• Không có kết quả nào được tìm thấy

B ÀI 11. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM NGUYÊN

Ví dụ 1: Tìm giá trị củamđể phương trình sau có hai nghiệm nguyên dương:

x2+mx+2=0. (1)

Cách 1. Gọix1,x2là các nghiệm nguyên dương của phương trình(1). Theo hệ thức Vi-etx1+x2=−mnênmlà số nguyên.

Ta có∆=m2−8. Để phương trình(1)có nghiệm nguyên thì∆phải là số chính phương.

Đặtm2−8=k2(k∈ N)⇔(m+k)(m−k) = 8.

m+kvàm−klà ước của8, cùng tính chẵn lẻ nên cùng chẵn vàm+k ≥m−k. Ta có bảng giá trị sau

m+k 4 −2 m−k 2 −4

m 3 −3

• Vớim =3, thay vào (1) đượcx2+3x+2 =0, ta cóx1 = −1, x2 = −2, không thỏa mãn x1>0, x2>0.

• Vớim=−3, thay vào(1)đượcx2−3x+2=0, ta cóx3=1, x4=2, thỏa mãn bài toán.

Vậym =−3.

Cách 2. Gọix1,x2là các nghiệm nguyên dương của phương trình(1). Theo hệ thức Vi-et, ta có:

x1+x2 =−m (2) x1x2 =2 (3)

Giả sửx1≤ x2. Dox1,x2nguyên dương nên từ(3)suy rax1 =1,x2 =2.

Từ(2)suy ram =−3.

!

Kinh nghiệm giải toánỞ cách 1, sau khi nhận xétmphải là số nguyên, ta giải phương trình với nghiệm nguyên x vàm, tìm được hai giá trị của m là 3 và−3. Sau đó ta tìm giá trị củaxđể chọn rax nguyên dương. Cách 1 được giải theo suy nghĩ thông thường.

Giải theo cách 2 gọn hơn. Ta chú ý đến tích của hai nghiệm nguyên dương bằng2 nên hai nghiệm đó là1và2. Từ đó tìm đượcm=−3.

Còn có thể giải thí dụ trên theo một hướng khác. Trước hết, chưa chú ý đến điều

!

kiện x1 vàx2 là các số nguyên, ta tìm điều kiện để phương trình(1) có hai nghiệm dương, điều kiện đó là









∆ ≥0 x1x2>0 x1+x2>0









m2−8>0 2>0

−m>0

m2 >8 m<0.

Do chưa sử dụng điều kiện x1,x2 nguyên nên chưa chặn được giá trị của m. Giải theo cách này không gọn bằng các cách trên.

Ví dụ 2: Tìm giá trị củamđể các nghiệm của phương trình sau đều là số nguyên.

x2−mx+ (m+2) =0. (2)

Gọix1,x2là các nghiệm nguyên của(1). Theo hệ thức Vi-et, ta có

x1+x2 =m x1x2=m+2.

Do đóx1x2−(x1+x2) =2 ⇔x1(x2−1)−(x2−1) = 3⇔(x1−1)(x2−1) = 3.

x1−1vàx2−1là ước của3. Giả sửx1 ≥x2thìx1−1≥x2−1.

Xảy ra hai trường hợp:

a)

x1−1=3 x2−1=1

x1 =4 x2 =2

. Khi đóm =6.

b)

x1−1=−1 x2−1=−3

x1 =0 x2 =−2

. Khi đóm =−2.

!

Lưu ý. Cũng có thể giải thí dụ trên bằng cách nhận xét mlà số nguyên, tìm∆ được m2−4m−8, rồi giải điều kiệnm2−4m−8=k2(k ∈ N)để đưa về(m−2+k)(m− 2−k) = 12, tìm đượcm=6vàm=−2.

BÀI TẬP

Bài 11.1: Tìm các số nguyên dươngkđể phương trình sau có nghiệm nguyên:x2−y2 =k.

Xét bốn trường hợp:k =4n;k =4n+1;k=4n+2; k=4n+3với nlà số tự nhiên.

• Với k = 4nthì phương trình x2−y2 = k(1) có nghiệm nguyên, chẳng hạn

x−y=2 x+y=2n cho

x =n+1 y=n−1.

• Vớik=4n+1thì(1)có nghiệm nguyên, chẳng hạn

x−y =1 x+y =4n+1

cho

x =2n+1 y=2n.

• Vớik=4n+3thì(1)có nghiệm nguyên, chẳng hạn

x−y =1

x+y =4n+3 cho

x =2n+2 y=2n+1.

• Với k = 4n+2, xétx2−y2 = (x−y)(x+y). Tích này chia hết cho4khix,y cùng chẵn, và tích này lẻ khi x,ycó tính chẵn lẻ khác nhau, do đó tích này khi chia cho4 không có dư bằng2. Vậyk6=4n+2(n∈ N).

Bài 11.2: Tìm các số nguyên a để phương trình sau có nghiệm nguyên dương: |4−3x| = 5−a.

|4−3x|=5−a (1) Vớia ≤5thì(1) ⇔

4−3x =5−a 4−3x =a−5

a=3x+1 a=9−3x.

3x+1≤5(x ∈N)nênx =1, khi đóa=4.

9−3x ≤5(x ∈N)nênx ∈ {2; 3; 4;· · · }. Vậy a=4hoặc a=9−3tvới t∈ Z,t ≥2.

!

Công thứca =93tvớit Z,t2có thể viết dưới dạng a=3kvớik∈ Z,k≤1.

Bài 11.3: Tìm giá trị củamđể các nghiệm của mỗi phương trình sau là số nguyên:

a) x2+mx+6m=0.

b) x2+m2x+ (m−1) = 0.

a) Gọi x1,x2là các nghiệm nguyên của phương trìnhx2+mx+6m =0.

Theo hệ thức Vi-et:

x1+x2 =−m x1x2 =6m.

Đưa về phương trình ước số:(x1+6)(x2+6) =36.

Giả sửx1≥ x2. Xét bảng giá trị củax1+6vàx2+6, có10trường hợp xảy ra:

x1+6 36 18 12 9 6 −1 −2 −3 −4 −6 x2+6 1 2 3 4 6 −36 −18 −12 −9 −6 x1 30 12 6 3 0 −7 −8 −9 −10 −12 x2 −5 −4 −3 −2 0 −42 −24 −18 −15 −12

m −25831 0 49 32 27 25 24

b) x2+m2x+ (m−1) = 0.

∆ =m4−4(m−1) = m4−4m+4.

Ta phải có∆là số chính phương. Xét các trường hợp sau:

• Vớim≤ −3thì(m2)2< <(m2+1)2. Thật vậy:

∆−m4 =4−4m≥4+12=16>0;

(m2+1)2 =m4+2m2+1−m4+4m−4

=2m2+4m−3=2(m+1)2−5≥2·4−5=3>0.

Do đó∆không là số chính phương.

• Vớim=−2thì∆ =28, không là số chính phương.

• Vớim=−1thì∆ =9=32. Từ x2+x−2=0cóx1=1;x2 =−2.

• Vớim=0thì∆=4=22. Từ x21 =0cóx3=1;x4 =−1.

• Vớim=1thì∆=1=12. Từ x2+x =0cóx5=0;x6 =−1.

• Vớim>1thì(m21)2 < <(m2)2. Thật vậy:

m4=4m−4>0;

∆−(m2−1)2=m4−4m+4−m4+2m2−1=2m2−4m+3=2(m−1)2+1>0.

Do đó∆không là số chính phương.

Đáp số:m =0;m=1;m=−1.

Bài 11.4: Tìm các số nguyên a và b sao cho a+2b = 25 và các nghiệm của phương trình x2+ax+b =0đều là số nguyên. Tìm các nghiệm đó.

Xét phương trìnhx2+ax+b =0. (1)

Để các nghiệm của phương trình(1)là số nguyên, ta phải có∆ =a2−4blà chính phương, tức là

a2−4b =m2(m ∈N) ⇔a2−4(25−a) = m2 ⇔a2+4a−(100+m2) =0. (2) Để phương trình(2)có nghiệm nguyên ta phải có:

m2+104=n2(n∈ N) ⇔(n+m)(n−m) =8·13.

Ta thấyn+mvàn−mcùng chẵn. Có hai trường hợp xảy ra:

a)

n+m =52 n−m =2

n=27 m=25.

Khi đó nghiệm của phương trình(2)làa1=25,a2 =−29nên

a1 =25 b1 =0

hoặc

a1 =−29 b1 =54.

Phương trìnhx2+ax+b =0là

x2+25x=0có nghiệmx1 =0;x2 =−25.

x2−29x+54=0có nghiệmx3 =2;x4 =27.

b)

n+m =26 n−m =4

n=15 m=11.

Khi đó nghiệm của phương trình(2)làa3=13,a4 =−17nên

a3 =13 b3 =12hoặc

a4 =−17 b4 =42.

Phương trìnhx2+ax+b =0là

x2+13x+12=0có nghiệmx5 =−1;x6=−12.

x2−17x+42=0có nghiệmx7 =14;x8=3.

Bài 11.5: Tìm các số nguyên a vàb (a ≥ b) sao cho a+2b = 25 và các nghiệm của phương trình sau đề là số nguyên:

x2−abx+ (a+b) = 0.

x2−abx+ (a+b) =0 (1)

Gọim,nlà các nghiệm của phương trình(1). Giả sửm ≥n. Theo hệ thức Vi-et, ta có

m+n=ab mn =a+b

(2)

Doa,blà các số nguyên dương nênm,nlà các số nguyên dương.

Trước hết ta cóBổ đề: Nếu hai số lớn hơn2thì tích của chúng lớn hơn tổng của chúng.

Thật vậy, giả sửa >2, b>2thìab>2a,ab>2bnên2ab>2(a+b), do đóab> a+b.

Theo Bổ đề trên, nếu cả bốn sốa,b,m,nđều lớn hơn 2thì ab > a+b, mn > m+n, không thể xảy ra(2). Do đó trong bốn sốa,b,m,ntồn tại một số không quá2.

Không mất tính tổng quát, giả sửn≤2.

Theo đề bàia ≥b. Có hai trường hợp xảy ra:

a) Xétn=1. Từ(2)ta có

ab =m+1 a+b=m.

Do đóab−a−b=1⇔(a−1)(b−1) =2.

Ta có

a−1=2 b−1=1

nên

 a =3 b =2

. Khi đóm=5.

b) Xétn=2. Từ(2)ta có

ab =m+2 a+b=2m.

Do đó2ab−a−b=4⇔4ab−2a−2b =8⇔(2a−1)(2b−1) = 9.

Xảy ra hai trường hợp:

2a−1 =9 2b−1=1

nên

 a=5 b =1

. Khi đóm=3.

2a−1 =3 2b−1=3

nên

 a=2 b =2

. Khi đóm=2.

Kết luận: Phương trình(1)có nghiệm nguyên khi(a;b)là(3; 2),(5; 1),(2; 2). Bài 11.6: Choavàblà các số nguyên.

a) Gọi x0,y0là các số nguyên sao cho biểu thức ax0+by0có giá trị nguyên dương nhỏ nhất làn. Gọirlà số dư của phép chia achon. Chứng minh rằngrcũng viết được dưới dạng ax+bytrong đóxvàylà các số nguyên.

b) Chứng minh rằngr=0.

c) Cho biết avàblà hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng các phương trìnhax+ by=1vàax+by=c(cnguyên) có nghiệm nguyên.

a) ax0+by0 =n. Giả sửa =nk+r(klà số nguyên) thì

r =a−nk= a−k(ax0+by0) = a−akx0bky0= a(1−kx0) +b(−ky0). Đặt1−kx0 =x;−ky0 =y, ta có điều phải chứng minh.

b) Giả sửr6=0thìrlà số nguyên dương. Dorlà số dư của phép chia achonnênr <n.

Như vậy tồn tại số nguyên dươngrnhỏ hơnn mà vẫn viết được dưới dạngax+by, trái với giả thiếtnlà giá trị nguyên dương nhỏ nhất củaax+by.

Vậyr =0.

c) Gọir0là số dư của phép chiabchon.

Chứng minh tương tự như trên, ta đượcr0 =0.

Do đóa... nvàb...n. Vậynlà ước chung củaavàb. Nếu(a,b) =1thìn=1.

Điều đó chứng tỏ rằng phương trình ax+by = c có một trong các nghiệm nguyên là (cx0;cy0).

!

Cách khác chứng minh phương trìnhax+by= 1có nghiệm nguyên nếu(a,b) =1 như sau.

Không mất tính tổng quát, chỉ cần chứng minh phương trìnhax+by=1có nghiệm nguyên, trong đó có thể giả sửa,b∈ N. Để chứng minh điều này, ta sẽ chứng minh tồn tại một bội củaacó dạngby+1, tức là chia chobdư1.

Xét các bội củaadạngkavới1≤k≤b−1.

Trongb−1bội đó củaa, không có số nào chia hết chob. Thật vậy giả sửka...bthì do (a,b) =1nên k... b, điều này trái với1≤k≤b−1.

Ta sẽ chứng minh trongb−1bội của anói trên, tồn tại một số chia chobdư1.

Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử không tồn tại số nào chia chob dư1 thì các số dư khi chiakachobchỉ có thể là2, 3, 4, . . . ,b−1(không có số dư0như đã chứng minh ở trên). Cób−2số dư, mà cób−1sốkanên tồn tại hai số có số dư bằng nhau, chẳng hạn hai số đó làmavàna, trong đó1≤ n <m ≤ b−1. Thế thì(ma−na)... b nên(m−n)a...b. Lại do(a,b) =1nên(m−n)...b, điều này trái với0<m−n <b−1.

BÀI TOÁN ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG