Câu 27: Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau
Câu 32: Cho hình chóp S ABCD. có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a và ABCD là hình vuông.
Gọi M là trung điểm của CD. Giá trị MS CB . bằng A. 2
2
a . B. 2
2
−a C. 2
3
a D. 2 2
2 a Câu 33: Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. AB⊥ AD. B. AC ⊥B′D′. C. A′B⊥BC. D. AB′⊥B′C. Câu 34: Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Chọn đáp án đúng trong các đáp án sau:
A. limun = +∞ nếu lim
(
u an−)
=0. B. limun =0 nếu lim(
u an−)
=0. C. lim(
u an −)
=0 nếu limun = +∞. D. limun =a nếu lim(
u an−)
=0.Lời giải Chọn D
Câu 2: Chọn câu sai:
A. lim 1k 0
n = với k là số nguyên dương. B. limC C= với C là hằng số.
C. limqn =0 với q>1. D. limqn =0 với 1− < <q 1. Lời giải Chọn C
Câu 3: Cho các mệnh đề sau:
(I) – Nếu limun =a thì lim un = a. (II) – Nếu limun =a; limvn =b thì lim n
n
u a
v b
=
.
(III) – Nếu limun = >a 0, limvn =0 và vn >0, ∀ >n 0 thì lim n
n
u v
= +∞
.
(IV) – Nếu limun = +∞ và limvn = >a 0 thì lim
(
u vn n)
= +∞. A. (I); (III); (IV) đúng. B. (III); (IV) đúng.C. Cả 4 mệnh đề đều đúng. D. (II); (III); (IV) đúng.
Lời giải Mệnh đề (I) và (II) sai vì thiếu điều kiện.
(I) – Nếu limun =a và un ≥0, ∀n thì lim un = a. (II) – Nếu limun =a; limvn =b và b≠0 thì lim n
n
u a
v b
=
. Câu 4: Kết quả đúng của lim 4 52 2
2 2.5
n
n n
− −
+ là A. 5
−2 . B. 1
−50 C. 5
2. D. 25
− 2 . Lời giải
Ta có: 2 2
4 1 0 1
4 5 5 25 25 1
lim lim
2 2.5 4 2 0 2 50
5
n n
n n n
− − −
− = = = −
+ + +
.
Câu 5: Kết quả đúng của 2
4
3 2
lim 3 2020
n n n
− + +
+ là A. 3
− 3 . B. 2020
− 3 . C. 3
−2020. D. 1 2. Lời giải
2 2 4
4
1 3 2
3 2 1 0 0 3
lim lim
2020 3 0 3
3 2020 3
n n n n
n n
− + +
− + + = =− + + = −
+ + +
.
Câu 6: Giới hạn lim 3 4
(
+ n2−5n3)
bằngA. +∞. B. −∞. C. 5. D. −5.
Lời giải
(
2 3)
3 3lim 3 4n 5n lim n . 3 4 5 n n
+ − = + − = −∞
Câu 7: Giới han lim
(
n n3+ +3)
bằngA. 3. B. −∞. C. +∞. D. −3.
Lời giải
Ta có
(
3)
3 2 31 3
lim n n 3 lim n 1
n n
+ + = + + = +∞. Câu 8: Giả sử ta có
( )
0
x xlim f x a
→ = và
( )
0
x xlimg x b
→ = . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
( ) ( )
lim0 . .
x x→ f x g x =a b. B.
( ) ( )
lim0
x x→ f x −g x = −a b.
C.
( )
( )
0
x xlim
f x a g x b
→ = . D.
( ) ( )
0
x xlim→ f x +g x = +a b. Lời giải Chọn C vì có thể b=0.
Câu 9: Giá trị của lim 3x→1
(
x2−2 1x−)
bằngA. 1. B. +∞. C. 0. D. 2.
Lời giải Ta có: lim 31
(
2 2 1 3.1 2.1 1 0)
2x→ x − x− = − − = .
Câu 10: Tính giới hạn xlim 3→−∞
(
x3−2x2+1)
A. −∞. B. +∞. C. 0. D. 3.
Lời giải
Ta có
(
3 2)
3 3lim 3 2 1 lim 3 2 1
x x x x x
x x
→−∞ →−∞
− + = − + = −∞. Câu 11: Tính giới hạn lim 3 22 2 1
3 1
x
x x x x
→+∞
− +
+ −
A. +∞. B. +∞. C. 0. D. 1
3. Lời giải
Ta có:
3 2 3 3 3
2 2
2 2
2 1 2 1
1 1
2 1
lim 3 1 lim 3 1 1 lim .3 1 1
x x x
x x x x x x x x
x x x
x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
− + − +
−+ −+ = + − = + − = +∞
.
Câu 12: lim2 1 2 x x
+
+
− có kết quả nào sau đây?
A. −∞. B. +∞. C. 1
−2. D. 2. Lời giải
Ta cĩ
( )
( )
+
+ +
→
→
→
+ = > +
⇒ = +∞
− = − > > −
2
2 2
lim 2 1 5 0 lim 2 1
lim 2 0 và 2 0 với mọi 2 2
x
x x
x x
x x x x .
Câu 13:
1
4 3
lim 1
x
x x
→−
−
− cĩ kết quả nào sau đây?
A. −∞. B. +∞. C. 3. D. 4.
Lời giải
Ta cĩ:
( )
( )
−
−
−
→
→
→
− = > −
⇒ = −∞
− = − < < −
1
1 1
lim 4 3 1 0 lim 4 3
lim 1 0 và 1 0 với mọi 1 1
x
x x
x x
x x x x .
Câu 14: Cho hàm số y f x=
( )
, xác định trên tập D và liên tục tại điểm xo. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?A. xo∉D. B. lim→
( )
= + ∞x xo f x . C. lim→
( )
=( )
o o
x x f x f x . D. lim→
( )
= −∞x xo f x .
Lời giải
Dựa vào định nghĩa hàm số liên tục, ta thấy C là mệnh đề đúng.
Câu 15: Hàm số
( )
2 2 3 12 + −
= +
x x
f x x liên tục trên khoảng nào sau đây?
A.
(
−3;0)
. B.( )
0;3 . C.(
−∞;0)
. D.(
− + ∞3;)
. Lời giảiChọn B
Hàm số
( )
2 2 3 12 + −
= +
x x
f x x xác định trên D= −∞ − ∪ − + ∞
(
; 2) (
2;)
nên f x( )
liên tục trên mỗi khoảng đĩ. Ta thấy( )
0;3 ⊂D nên f x( )
liên tục trên khoảng( )
0;3 .Câu 16: Hình chiếu song song của hình chữ nhật khơng thể là hình nào trong các hình sau?
A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình thoi.
Lời giải Do tính chất của phép chiếu song song.
Biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Phép chiếu song song khơng làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
Câu 17: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Ba vectơ a b c , ,
đồng phẳng khi và chỉ khi cĩ hai trong ba vectơ đĩ cùng phương.
B. Ba vectơ a b c , ,
đồng phẳng khi và chỉ khi cĩ một trong ba vectơ đĩ bằng vectơ . C. Ba vectơ a b c , ,
đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đĩ cùng cĩ giá thuộc một mặt phẳng.
D. Cho hai vectơ khơng cùng phương a
và b
và một vectơ c
trong khơng gian. Khi đĩ a b c , , đồng phẳng khi và chỉ khi cĩ cặp số m, n duy nhất sao choc ma nb= + .
Lời giải Theo định lý về tính đồng phẳng của ba vectơ nên chọn D
Câu 18: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′. Khi đĩ, vectơ bằng vectơ AB
là vectơ nào dưới đây?
0
A. CD. B. B A′ ′. C. D C′ ′. D. BA. Lời giải
Quan sát hình vẽ ta thấy = ′ ′
AB D C nên Chọn C
Câu 19: Cho hai đường thẳng a b, lần lượt có vectơ chỉ phương là u v ,
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu a b⊥ thì u v . =0
. B. Nếu u v . =0
thì a b⊥ . C. cos( , ) .
. a b u v
= u v
. D. cos( , ) . . a b u v
= u v
. Lời giải
Góc giữa 2 đường thẳng trong không gian luôn nhận giá trị từ 0o đến 90o nên cos( , ) . .
. a b u v
= u v
Câu 20: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng BC′?
A. A D′ . B. AC. C. BB′. D. AD′.
Lời giải B A
C D
' D
' ' A
B
' C
Ta có góc giữa BC′ và A D′ bằng góc giữa AD′ và A D′ Mà AD′⊥ A D′ nên BC′⊥ A D′ .
Câu 21: Cho dãy
S
n= + + + + 1 3 5 ... (2 1) n −
, ta có lim 23 n 4 S
n + bằng:
A. 0 . B.
+∞
. C. 23. D. 1
3. Lời giải
Ta có:
S
n= + + + + 1 3 5 ... (2 1) n −
là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng cóu
1= 1
vàu
n= − 2 1 n
suy ra ( 1 ) (1 2 1) 2
2 2
n n n n
S = u u+ = + n− =n suy ra 2 22
2
1 1
lim3 4 lim3 4 lim3 4 3
Sn n
n n
n
= = =
+ + + .
D' B' C'
A'
D C B
A
Câu 22: Biết lim 3 2 4 10 8 2 1 3 2 1
n n n a b
n
− + − + = +
+
, với a b∈, . Tính T a b= + .
A. T = −2. B. T =1. C. T = −1. D. T =3. Lời giải
Ta có: 2 2 2 2
4 10 1
3 8
3 4 10 8 1
lim 1 lim 1 1 3 2 2
n n n n n n
n n
− + − +
− + − + = = −
+
+
1, 2 1
a b T
⇒ = = − ⇒ = − . Câu 23: Tính
9 4
lim 1 2
3 4
n n n
n + + −
+ ta được:
A. 0 . B.
+∞
. C. 23. D. 1
3. Lời giải
Ta có: 9 4 7 8 3
4
1 1 2
lim 3 1 24 lim 3 4
n n n n n n n
n n
+ + −
+ + − = = +∞
+ +
Câu 24: Giới hạn lim 5 3 1 2
x
x x
→+∞
−
− bằng số nào sau đây?
A. 5
−2. B. 2
−3. C. 5. D. 3
2. Lời giải
Ta có:
5 3
5 3 5
lim 1 2 lim 1 2 2
x x
x x
x x
→+∞ →+∞
− = − = −
− − .
Câu 25: Giới hạn lim13 2 22 5 1
→−
− −
−
x
x x
x bằng
A. 3. B.
+∞
. C. 0. D. 4.Lời giải
Ta có:
( )( )
( )( ) ( )
( )
1 2
2 1 1
3 5 1 3. 1 5
3 2 5 3 5 8
lim lim lim 4
1 1 1 1 1 1 2
x x x
x x
x x x
x x x x
→− →− →−
− + − −
− − = = − = =− =
− − + − − − − .
Câu 26: Giá trị của giới hạn xlim
(
x2 1 x)
→+∞ + − là:
A. 0 . B.
+∞
. C. 12. D. −∞.
Lời giải
Ta có
(
2)
2lim 1 lim 1
1
x x x x
x x
→+∞ + − = →+∞
+ + 2
1
lim 0
1 1 1
x
x x
Câu 27: Cho hàm số: f x( )=ax2+(2 1)a− x b+ với a b∈, sao cho a≠0 và5a+2021 1b= . Chọn khẳng định SAI trong các khẳng định sau.
A. Hàm số f x( ) liên tục trên tập số thực.
B. Phương trình f x( ) 0= luôn có nghiệm thuộc khoảng
( )
0;3 . C. Phương trình f x( ) 0= luôn có nghiệm thuộc đoạn[ ]
0;3 .D. Đồ thị của hàm số là một đường parabol luôn có điểm chung với trục Ox. Lờigiải
Chọn B
( )
2(2 1)
f x ax = + a x b − +
là hàm số xác định và liên tục trên Do đó hàm số f x( )liên tục trên đoạn[ ]
0;3 .Ta có f(0)=b f; (3) 9= a+3(2a− + =1) b 15a b+ − =3 3.( 2021 )− b + = −b 6062b vì 5a+2021 1b=
Vậy
f (0). (3) 6062 f = − b
2≤ 0
, phương trình f x( ) có ít nhất một nghiệm thuộc[ ]
0;3Đồ thị hàm số là một đường Parabol luôn có điểm chung với trục Ox. Khi b=0, phương trình có nghiệm là 0 và 3 do đó khẳng định B sai
Câu 28: Cho hàm số
2
2 2
4 ( 2) khi 0
( ) 2 3 khi 0
2
x x x x
f x x
x m x
− + − + ≠
=
+ − =
Tính tổng các giá trị của m để hàm số liên tục trên tập số thực . A. 1
2 . B. 1
−2. C. 2. D. 0.
Lời giải Chọn D
Cho hàm số
2
2 2
4 ( 2) khi 0
( ) 2 3 khi 0
2
x x x x
f x x
x m x
− + − + ≠
=
+ − =
Tập xác định: D= 0
x
∀ ≠ , f x( ) x2 x 4 (x 2) x
− + − +
= nên f x( ) xác định và liên tục trên các khoảng
(
−∞;0)
và(
0;+∞)
. Để hàm số liên tục trên thì hàm số cần liên tục tại x=0Ta có:
( )
0 2 3 f =m −2( )
2 2 2
0 0 0 2
4 ( 2) 4 ( 4 4) 5
lim ( ) lim lim
4 ( 2) 4
x x x
x x x x x x x
f x x x x x x
→ → →
− + − + − + − + +
= = = −
− + + + Vậy hàm số f(x) liên tực trên tập số thực R khi và chỉ khi:
2 3 5 2 1 1
2 4 4 2
m − = − ⇔m = ⇔m= ± .
Câu 29: Cho hàm số
( )
2 3 4 khi 1 1
5 khi 1
x x x
f x x
m x
+ − ≠
= −
=
,
m
là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián đoạn tại x=1.A. m≠5. B. m≠2. C. m≠3. D. m≠1. Lời giải
Tập xác định của hàm số là: và f
( )
1 5= m.Ta có: limx→1 f x
( )
=limx→1 x2+ −x3 4−x1 =limx→1(
x−1x)(
−x1+4)
=limx→1(
x+ =4 5)
.Hàm số gián đoạn tại x=1 khi và chỉ khi limx→1 f x
( )
≠ f( )
1 ⇔ ≠5 5m⇔m≠1. Câu 30: Cho hàm số f x( )
32x 6 khikhi x 11x m x
+ ≥ −
= + < − ,
m
là tham số. Tìmm
để hàm số liên tục trên . A. m=6. B. m=5. C. m=4. D. m=12.Lời giải Tập xác định của hàm số là:
Ta có hàm số liên tục trên các khoảng
(
−∞ −; 1)
và(
− +∞1;)
.Xét tính liên tục của hàm số tại x= −1. Ta có f
( )
− =1 3 và( )
( )
( )
( )
1 1
lim lim 3 6 3
x + f x x + x
→ − = → − + = và
( )
( )
( )
( )
1 1
lim lim 2 2
x − f x x − x m m
→ − = → − + = − .
Hàm số liên tục trên khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x= −1 khi và chỉ khi
( )
( )
( )
( ) ( )
1 1
lim lim 1 3 2 5
x + f x x − f x f m m
→ − = → − = − ⇔ = − ⇔ = .
Câu 31: Cho tứ diệnABCD. Gọi P Q, là trung điểm của AB và CD. Chọn khẳng định đúng?
A. PQ=12
(
BC AD +)
. B. PQ=12(
BC AD −)
C. PQ BC AD= +
D. PQ=14
(
BC AD +)
Lời giải Ta có: PQ PB BC CQ = + +
và PQ PA AD DQ = + +
nên 2PQ=
(
PA PB +)
+BC AD + +(
CQ DQ +)
=BC AD + . Vậy PQ=12(
BC AD +)
Câu 32: Cho hình chóp S ABCD. có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng
a
và ABCD là hình vuông.Gọi M là trung điểm của CD. Giá trị MS CB . bằng A. 2
2
a . B. 2
2
−a C. 2
3
a D. 2 2
2 a Lời giải
Do tất cả các cạnh của hình chóp bằng nhau nên các mặt bên là các tam giác đều cạnh
a
và BSD∆ vuông cân tại S . Suy ra
. 0; . . 2
2 SB SD= SB SC SC SD= =a
Do M là trung điểm của CD nên ta có:
( )
1
MS = −2 SC SD+
và CB SB SC = − .
( )( ) ( ( )
2)
2
1 1
. . . .
2 2
= 2
MS CB SC SD SB SC SC SB SB SD SC SD SC a
= − + − = − + − −
Câu 33: Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. AB⊥ AD. B. AC ⊥B′D′. C. A′B ⊥BC. D. AB′⊥B′C. Lời giải
Ta có AB′= B′C = AC (vì đều là đường chéo của hình vuông).
Suy ra tam giác AB′Clà tam giác đều.
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB′và B′C bằng 600. Do đó khẳng định D là sai.
Câu 34: Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
B. Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì luôn cắt nhau.
C. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.
D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
O M A
B C
D S
Lời giải Mệnh đề A đúng.
Mệnh đề B sai vì hai đường thẳng vuông góc có thể chéo nhau.
Mệnh đề C sai vì góc giữa hai đường thẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 900còn góc giữa hai vectơ có thể là góc tù.
Mệnh đề D sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể cắt nhau.
Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Góc giữa hai đường thẳng SBvà CD bằng
A. 450. B. 600. C. 1200. D. 450. Lời giải
Ta có AB//CDnên góc giữa hai đường thẳng SBvà CD chính là góc giữa hai đường thẳng SBvà ABvà bằng góc
SBA = 60
0.II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 36: Cho giới hạn của dãy số lim 4
(
n an2+ −2021−bn)
=505, với a và b là hai số thực. Tính giá trị biểu thức P a b= + .Lời giải Giả thiết bài toán suy ra b0
Ta có:
(
2) (
2)(
2)
2
4 2021 4 2021
lim 4 2021 505 lim 505
4 2021
n an bn n an bn
n an bn
n an bn
+ − − + − +
+ − − = ⇔ =
+ − +
(
2)
22 2 2
2
2
4 2021
4 2021
lim 505 lim 505
4 2021 4 2021
b n an
n an b n
n an bn n a b
n n
− + −
+ − −
⇔ = ⇔ =
+ − + + − +
.
Suy ra
( )
4 2 0 0 2
505 2020 2
b b b
a a
b
− = > =
⇔
= =
+
. Vậy P a b= + =2022.
C2:
+) Giả thiết bài toán suy ra b2
+) Ta có:
(
2)
22
2021 2021
505 lim 4 2021 2 lim lim
2021 4
4 2021 2 4 2
an a n a
n an n
n an n a
n n
− −
= + − − = = =
+ − + + − +
Suy ra
a 2020 , b 2
Câu 37: Cho tứ diện SABC. Biết
ASB = 60
o,BSC = 90
o,CSA = 120
o, SA=1, SB=2, SC x= . Tìmx
để ∆ABC vuông tại B.Lời giải
Ta có: ∆ABC vuông tại B ⇔BA BC . =0 ⇔
(
SA SB SC SB −)(
−)
=0. . . 2 0
SA SC SA SB SB SC SB
⇔ − − + =