. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CÂU 3. ■
GHI CHÚ NHANH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
■
GHI CHÚ NHANH CÂU 2. Phương trình z
2+ 2z + 10 = 0 có hai nghiệm là z
1, z
2. Giá trị của | z
1− z
2| bằng
A. 2 . B. 6 . C. 3 . D. 4 .
Số phức z = 3 − 2i là một nghiệm của phương trình nào dưới đây ? A. z
2− 6 z + 13 = 0 . B. z
2− 6 z + 5 = 0 .
C. z
2+ 6 z − 13 = 0 . D. z
2+ 6 z + 13 = 0 . CÂU 4. Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 + p
2i và 1 − p 2i làm nghiệm?
A. z
2− 2z − 3 = 0 . B. z
2+ 2 z − 3 = 0 . C. z
2+ 2z + 3 = 0 . D. z
2− 2z + 3 = 0 . CÂU 5. Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z
2− 2z + 5 = 0 là
A. 1 + 2i . B. − 1 + 2 i . C. − 1 − 2i . D. 1 − 2i .
CÂU 6. Gọi z
1, z
2là hai nghiệm phức của phương trình 3z
2− 8z + 12 = 0 .Tính S = z
1+ z
2.
A. S = 4 . B. S = 8
3 . C. P = − 4 . D. S = − 8
3 . CÂU 7. Tập nghiệm của phương trình z
2+ 4 z + 5 = 0 trên tập số phức là
A. S = { − 2 + i; 2 − i} . B. S = { − 2 + i; − 2 − i} . C. S = {2 + i; 2 − i} . D. S = {2 + i; − 2 − i} .
CÂU 8. Số phức nào dưới đây là nghiệm của phương trình z
2+ 5 = 0 ? A. z = − p
5 i . B. z = − 5 . C. z = p
5 + i . D. z = p 5 − i . CÂU 9. Tất cả các nghiệm phức của phương trình z
2− 2z + 17 = 0 là
A. 1 − 4i; 1 + 4i . B. 4i . C. 2 + 4i; 2 − 4i . D. − 16i . CÂU 10. Số phức nào dưới đây là nghiệm của phương trình z
2+ 1 = 0 ? A. z = 1 + i . B. z = i . C. z = 1 − i . D. z = − 1 .
CÂU 11. Gọi z
0là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z
2− 8z + 25 = 0 . Số phức liên hợp của z
1= 2 − z
0là
A. − 2 − 3i . B. 2 + 3 i . C. 4 − 3i . D. − 2 + 3i .
CÂU 12. Gọi z
1và z
2là hai nghiệm của phương trình 2z
2+ 6z + 5 = 0 trong đó z
2có phần ảo âm. Điểm nào dưới đây có điểm biểu diễn của số phức z
1+ 3 z
2?
A. Q(6; 1) . B. M( − 6; 1) . C. N ( − 1; − 6) . D. P( − 6; − 1) . CÂU 13. Gọi z
1, z
2là hai nghiệm phức của phương trình z
2+ bz + c = 0 , ( c ̸= 0 ).
Tính P = 1 z
21+ 1
z
22theo b , c . A. P = b
2− 2c
c
2. B. P = b
2− 2 c
c . C. P = b
2+ 2c
c
2. D. P = b
2+ 2c c . CÂU 14. Gọi z
1, z
2là các nghiệm phức của phương trình z
2− 2z + 17 = 0 . Giá trị của biểu thức 3(z
1+ z
2) − z
1· z
2bằng
A. − 11 . B. − 8 . C. 16 . D. 23 .
CÂU 15. Gọi z
1, z
2là hai nghiệm phức của phương trình z
2+ 6z + 13 = 0 , trong đó z
1có phần ảo âm. Giá trị của 3 z
1+ z
2bằng
A. 4 + 12i . B. − 12 − 4i . C. 4 − 12i . D. − 12 + 4i . CÂU 16. Gọi z
1, z
2là hai nghiệm phức của phương trình z
2− 6z + 10 = 0 . Biểu thức | z
1− z
2| có giá trị bằng
A. 6 . B. 2 . C. 6i . D. 2i .
CÂU 17. Gọi z
1, z
2là hai nghiệm của phương trình z
2+ 2z + 4 = 0 . Khi đó | z
1|
2+
| z
2|
2có giá trị là
A. 4 . B. 8 . C. 20 . D. 14 .
CÂU 18. Gọi z
1, z
2là hai nghiệm của phương trình 2z
2− 2z + 5 = 0 . Tính | z
1| +
| z
2| .
A. p 5 . B. 2 p
5 . C. p 10 . D. 2 p
10 .
Năm học 2022-2023
134
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
■ GHI CHÚ NHANH CÂU 19. Gọi z
1, z
2là hai nghiệm phức của phương trình 2z
2+ 4z + 10 = 0 , trong
đó z
1có phần ảo dương. Số phức w = z
1− iz
2có mô đun là A. 3 p
2 . B. 37 . C. p 2 . D. 2 .
CÂU 20. Gọi z
1; z
2là hai nghiệm phức của phương trình z
2+ 4 z + 6 = 0 trong đó z
2có phần ảo dương. Số phức 3 z
1− z
2bằng
A. − 4 − 4 p
2i . B. − 4 + 4 p
2i . C. 4 + 4 p
2 i . D. 4 − 4 p 2i . CÂU 21. Gọi z
0là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z
2+ 4z + 5 = 0 . Phần ảo của số phức (3 − 2 i)z
0bằng
A. − 8 . B. 7 . C. 1 . D. − 4 .
CÂU 22. Số phức nào dưới đây là một nghiệm của phương trình z
2− 2 z + 5 = 0 ?
A. − 1 − i . B. 1 + 5i . C. 1 − i . D. 1 + 2i .
CÂU 23. Trong tập hợp số phức C . Phương trình bậc hai nào dưới đây nhận hai số phức 2 − 3i và 2 + 3i làm nghiệm?
A. z
2+ 4z + 13 = 0 . B. z
2+ 4z + 3 = 0 . C. z
2− 4z + 3 = 0 . D. z
2− 4z + 13 = 0 .
CÂU 24. Gọi z
1, z
2là hai nghiệm phân biệt của phương trình z
2+ 3z + 4 = 0 trên tập số phức. Tính giá trị của biểu thức P = | z
1| + | z
2| .
A. 4 p
2 . B. 2 . C. 2 p
2 . D. 4 .
CÂU 25. Gọi z
1, z
2là hai nghiệm của phương trình z
2− 2 z + 2 = 0 , trong đó z
1có phần ảo âm. Số phức z
1+ 2z
2bằng
A. 2 . B. 3 − i . C. 2 + i . D. 3 + i .
CÂU 26. Gọi z
1, z
2là hai nghiện phức của phương trình z
2+ 2 z + 10 = 0 . Giá trị của biểu thức | z
1|
2+ | z
2|
2bằng
A. 20 . B. 21 . C. 25 . D. 18 .
CÂU 27. Gọi z
1là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z
2+ 2z + 5 = 0 . Số phức 1
z
1có phần thực bằng A. 1
5 . B. 2
5 . C. − 2
5 . D. − 1
5 .
CÂU 28. Gọi z
1, z
2là hai nghiệm của phương trình z
2− 2z + 2
2022= 0 . Giá trị của biểu thức | z
1| + | z
2| bằng
A. 2
1011. B. 2
2022. C. 2
1012. D. 0 .
CÂU 29. Cho phương trình z
2− 6z + 10 = 0 . Gọi A , B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm của phương trình đã cho. Tính độ dài AB .
A. p 2 . B. 2 . C. 4 . D. 1 .
CÂU 30. Gọi z
1, z
2là 2 nghiệm phức của phương trình z
2+ z + 3 = 0 . Khi đó
| z
1| + | z
2| bằng
A. 6 . B. 3 . C. 2 p
3 . D. p 3 .
CÂU 31. Gọi z
1, z
2là hai nghiệm phức của phương trình z
2− 2z + 8 = 0 . Khi đó
| z
1| + | z
2| bằng
A. 4 . B. 4 p
2 . C. 4 p
3 . D. 16 .
CÂU 32. Phương trình z
2+ 2z + 5 = 0 có hai nghiệm phức z
1, z
2. Giá trị của
| z
1|
2+ | z
2|
2bằng
A. 10. B. 20. C. 5. D. 4.
CÂU 33. Số phức z
0= 2 + i là một nghiệm của phương trình z
2+ az + b = 0 với a , b ∈ R . Tìm phần ảo của số phức bz
0− a .
A. 5 . B. 14 . C. 14i . D. 5i .
135
Năm học 2022-2023. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
■
GHI CHÚ NHANH CÂU 34. Trên tập hợp các số phức, phương trình az
2+ bz + c = 0 , với a , b , c ∈ R , a ̸= 0 có các nghiệm z
1, z
2đều không là số thực. Đặt P = | z
1+ z
2|
2+ | z
1− z
2|
2, khẳng định nào sau đây đúng?
A. P = b
2− 2ac
a
2. B. P = 2c
a . C. P = 4c
a . D. P = 2b
2− 4ac a
2. CÂU 35. Cho phương trình z
2− 2mz + 6m − 8 = 0 . ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z
1, z
2thỏa mãn z
1z
1= z
2z
2?
A. 4 . B. 1 . C. 3 . D. 2 .
CÂU 36. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z
2− 2mz + 8m − 12 = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z
1, z
2thỏa mãn | z
1| = | z
2| ?
A. 5 . B. 6 . C. 3 . D. 4 .
CÂU 37. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z
2+ 2mz − m + 12 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z
1, z
2thỏa mãn | z
1| + | z
2| = p
2 | z
1− z
2| ?
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
CÂU 38. Cho các số thực b , c sao cho phương trình z
2+ bz + c = 0 có hai nghiệm phức z
1, z
2thỏa mãn | z
1− 4 + 3i | = 1 và | z
2− 8 − 6 i | = 4 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 5b + c = − 12 . B. 5b + c = 4 . C. 5b + c = − 4 . D. 5b + c = 12 . CÂU 39. Biết phương trình z
2+ az + b = 0 (a, b ∈ R ) có một nghiệm là z
1= 3i và nghiệm còn lại là z
2. Mô đun của số phức (a − b)z
2bằng
A. 10 . B. 9 . C. 18 . D. 27 .
CÂU 40. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình z
2+ 2mz + 1 = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z
1, z
2thỏa mãn | z
1+ 3 | = | z
2+ 3 | .
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
CÂU 41. Có bao nhiêu giá trị m nguyên và m ∈ [ −2022; 2022] để phương trình z
2− 2z + 1 − 3m = 0 có hai nghiệm phức thỏa mãn z
1· z
1= z
2· z
2.
A. 4045 . B. 2021 . C. 2022 . D. 2023 .
CÂU 42. Có bao nhiêu giá trị dương của số thực a sao cho phương trình z
2+ p 3 z + a
2− 2a = 0 có nghiệm phức z
0thỏa | z
0| = p
3 .
A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 4 .
CÂU 43. Trên tập hợp các số phức, gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình mz
2+ 2(m + 1)z − m + 6 = 0 có nghiệm z
0thỏa mãn | z
0| = 1 . Tính S .
A. 3 . B. − 4 . C. 1 . D. − 2 .
CÂU 44. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình z
2− 2mz + 9m − 8 = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z
1, z
2thỏa mãn | z
1| = | z
2| .
A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 7 .
CÂU 45. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình (z − 1 − a)(z + 1 − a) = 6 z ( a là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của a để phương trình đó có hai nghiệm z
1, z
2thỏa mãn | z
1|
2+ | z
2|
2= 42 ?
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
CÂU 46. Trên tập số phức, xét phương trình z
2− 4(m + 1)z + 4m
2+ 2 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình đó có nghiệm z
0thoả mãn | z
0| = 4 ?
A. 1 . B. 3 . C. 4 . D. 2 .
CÂU 47. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z
2− 2(m + 4)z + m
2− 8 = 0 ( m là tham số thực). Tính tổng các giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z
othỏa mãn | z
o| = 3 ?
Năm học 2022-2023
136
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
■ GHI CHÚ NHANH
A. p 17 . B. 6 . C. 6 + p
17 . D. 6 − p
17 . CÂU 48. Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình z
2+ 3z + a
2− 2a = 0 có nghiệm phức z
0thỏa | z
0| = 2 .
A. 0 . B. 2 . C. 6 . D. 4 .
CÂU 49. Cho các số thực b , c sao cho phương trình z
2+ bz + c = 0 có hai nghiệm phức z
1; z
2với phần thực là số nguyên và thỏa mãn | z
1+ 3 − 2i | = 1 và (z
1− 2 i)(z
2+ 2) là số thuần ảo. Khi đó, b + c bằng
A. − 1 . B. 12 . C. 4 . D. − 12 .
CÂU 50. Trong tập số phức, xét phương trình z
2− 2(m − 1)z + 2m − 2 = 0 ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt z
1, z
2thỏa mãn | z
1| = | z
2| . Tổng các phần tử của tập S là
A. 3. B. 1. C. 6. D. 2.
BẢNG ĐÁP ÁN
1. A 2. B 3. A 4. D 5. A 6. B 7. B 8. A 9. A 10.B 11.D 12.D 13. A 14. A 15.B 16.B 17. B 18. C 19. A 20.A 21.C 22.D 23. D 24. D 25.D 26.A 27. D 28. C 29. B 30.C 31.B 32.A 33. A 34. C 35.D 36.D 37. B 38. A 39. D 40.B 41.D 42.B 43. D 44. D 45.B 46.B 47. D 48. D 49. B 50.B
DẠNG
11 Định lí Vi-et trong số phức
CÂU 1. Gọi z
1, z
2là hai nghiệm phức của phương trình z
2− 6z + 10 = 0 . Giá trị z
21+ z
22bằng:
A. 36 . B. 56 . C. 16 . D. 20 .
CÂU 2. Cho z
1, z
2là hai nghiệm phức của phương trình 3z
2− 7 z + 27 = 0 . Giá trị của z
1| z
2| + z
2| z
1| bằng
A. 3 . B. 7 . C. 6 . D. 9 .
CÂU 3. Gọi z
1, z
2là hai nghiệm phức của phương trình z
2+ 2z + 5 = 0 . Giá trị của biểu thức z
21+ z
22bằng:
A. − 6 . B. 4 . C. 6 . D. 5 .
CÂU 4. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình z
2+ z + m = 0 nhận z = − 1
2 + i p 3
2 làm nghiệm?
A. m = − 1 . B. m = 1 . C. m = 2 . D. m = 3 . CÂU 5. Biết z = − 1
2 + 3
2 i là một nghiệm của phương trình az
2+ 2 z + b = 0 với a , b ∈ R . Tính tổng a + b
A. 10 . B. 7 . C. 5 . D. 2 .
CÂU 6. Trên tập số phức, phương trình z
2− 6z + 2021
2022+ 9 = 0 có một nghiệm là:
A. z = 3 − 2021
2022i . B. z = − 3 − 2021
1011i . C. z = 3 + 2021
1011i . D. z = 3 + 2021
2022i .
CÂU 7. Cho số phức w và hai số thực a , b . Biết rằng w + i và 3 − 2w là hai nghiệm của phương trình z
2+ az + b = 0 . Tổng S = a + b bằng
A. − 3 . B. 3 . C. 9 . D. 7 .
CÂU 8. Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình: 4z
2+ 4(m − 1)z + m
2− 3m = 0 có hai nghiệm z
1, z
2thỏa mãn | z
1| + | z
2| = 2 ?
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
137
Năm học 2022-2023. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
■
GHI CHÚ NHANH CÂU 9. Cho số phức w và hai số thực a , b . Biết z
1= w + 2i và z
2= 2w − 3 là hai nghiệm phức của phương trình z
2+ az + b = 0 . Tính giá trị của T = | z
1|+| z
2| .
A. T = 2 p
13 . B. T = 4 p
13 . C. T = 2 p 97
3 . D. T = 2 p
85 3 . CÂU 10. Trên tập hợp số phức, xét phương trình z
2− 2az + b
2− 20 = 0(1) với a , b là các tham số nguyên dương. Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt z
1, z
2thỏa mãn: z
1+ 3iz
2= 7 + 5i thì giá trị của biểu thức 7a + 5b bằng
A. 19 . B. 17 . C. 32 . D. 40 .
CÂU 11. Trên tập hợp số phức, xét phương trình z
2− 2mz + m
2− 2m = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình có nghiệm z
0thỏa mãn | z
0| = 2
A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .
CÂU 12. Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình z
2− (a − 3)z + a
2+ a = 0 có 2 nghiệm phức z
1, z
2thỏa mãn | z
1+ z
2| = | z
1− z
2| ?
A. 4 . B. 2 . C. 1 . D. 3 .
CÂU 13. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z
2− 2mz + 8m − 12 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt z
1, z
2thỏa mãn | z
1| + | z
2| = 4 ?
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
CÂU 14. Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình z
2− (a − 3)z + a
2+ a = 0 có hai nghiệm phức z
1, z
2thỏa mãn | z
1+ z
2| = | z
1− z
2| ?
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
CÂU 15. Cho số phức w và hai số thực b , c . Biết rằng w + 2 và 3w − 4 i là hai nghiệm của phương trình 2022z
2+ bz + c = 0 . Tính giá trị biểu thức P = b + c bằng
A. P = − 4044 . B. P = 8088 . C. P = 4044 . D. P = − 8088 . CÂU 16. Gọi z
1, z
2là hai nghiệm phức của phương trình z
2− z + 2 = 0 . Phần ảo của số phức [(z
1− i)(z
2− i)]
2022là
A. − 2
1011. B. 2
2022. C. − 2
2022. D. 2
1011.
CÂU 17. Cho phương trình 4 z
4+ mz
2+ 4 = 0 trong tập số phức và m là tham số thực. Gọi z
1, z
2, z
3, z
4là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của m để (z
21+ 4)(z
22+ 4)(z
23+ 4)(z
42+ 4) = 324 .
A.
"
m = 2
m = − 15 . B.
"
m = − 2
m = 15 . C.
"
m = 1
m = − 35 . D.
"
m = − 1 m = 35 . CÂU 18. Tổng các giá trị nguyên của tham số a để phương trình z
2− 2(a + 2)z + a
2+ 3a = 0 có hai nghiệm phức z
1, z
2thỏa mãn | z
1+ z
2| = | z
1− z
2| ?
A. 4. B. − 3 . C. 3. D. − 4 .
CÂU 19. Cho số phức w và hai số thực a , b Biết rằng w + i và 2w − 1 là hai nghiệm của phương trình z
2+ az + b = 0 . Tính tổng S = a + b
A. 13
9 . B. − 13
9 . C. − 5
9 . D. 5
9 .
CÂU 20. Kí hiệu z
1, z
2là hai nghiệm phức của phương trình z
2+ z + m = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để | z
1| + | z
2| = 2 .
A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 0 .
CÂU 21. Cho số phức w và hai số thực a , b . Biết rằng w + i và 3 − 2w là hai nghiệm của phương trình z
2+ az + b = 0 . Tổng S = a + b bằng
A. − 3 . B. 3 . C. 9 . D. 7 .
CÂU 22. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z
2− mz + m + 1 = 0 . Tính tổng các giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z
1, z
2thỏa mãn z
21+ z
22= z
1z
2+ 1 .
A. − 1 . B. − 4 . C. 3 . D. 5 .
Năm học 2022-2023
138
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
■ GHI CHÚ NHANH CÂU 23. Trên tập số phức, xét phương trình z
2− 2mz + 4m − 3 = 0 . Có bao nhiêu
giá trị nguyên dương của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z
1, z
2thỏa mãn | z
1| + | z
2| = 8 ?
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
CÂU 24. Trên tập các số phức, xét phương trình z
2− mz + m + 8 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có hai nghiệm z
1, z
2phân biệt thỏa mãn ¯ ¯z
1(z
21+ mz
2) ¯
¯ = (m
2− m − 8) | z
2| ?
A. 12 . B. 6 . C. 5 . D. 11 .
CÂU 25. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z
2− 6z + m = 0 (1) ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng (0; 20) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z
1, z
2thỏa mãn z
1· z
1= z
2· z
2?
A. 20 . B. 11 . C. 12 . D. 10 .
BẢNG ĐÁP ÁN
1. C 2. B 3. A 4. B 5. B 6. C 7. B 8. B 9. C 10.C 11.D 12.A 13. A 14. D 15.B 16.D 17. D 18. B 19. C 20.C
21.B 22. C 23. D 24. C 25.D
DẠNG
12 Biểu diễn hình học nghiệm của phương trình bậc hai
CÂU 1. Gọi z
1là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z
2− 2z + 5 = 0 . Tìm toạ độ điểm biểu diễn z
1trên mặt phẳng phức?
A. Q(2; − 1) . B. P(1; 2) . C. N(1; − 2) . D. M ( − 1; − 2) . CÂU 2. Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z
2− 2z + 2 = 0 . Số phức (2i − 1)z có điểm biểu diễn là
A. M (1; 1) . B. M(3; 1) . C. M( − 3; 1) . D. M (1; − 1) . CÂU 3. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y , cho M , N , P , Q là điểm biểu diễn của các số phức z thỏa mãn phương trình (z
2− 3 + 4 i)(z
2+ 3 − 4i) = 0 . Tính diện tích tứ giác M N PQ .
A. p 10 . B. 10 . C. 20 . D. 2 p
5 .
CÂU 4. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y , cho A , B , C là điểm biểu diễn của các số phức z thỏa mãn phương trình (z
2− 2 z − 3)(z − 1 − 2 i) = 0 . Tính diện tích tam giác ABC .
A. 8 . B. 4 . C. 2 . D. 1 .
CÂU 5. Cho phương trình z
2− 2(m − 2)z + m
2− 5 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có hai nghiêm phức phân biệt z
1, z
2thoả mãn | z
1|
2+ | z
2|
2≤ 8 ?
A. 5 . B. 7 . C. 2 . D. 1 .
CÂU 6. Biết phương trình z
2+ mz + m
2− 2 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm phức z
1, z
2. Gọi A , B , C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z
1, z
2và z
0= i . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để diện tích tam giác ABC bằng 1 ?
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1 .
CÂU 7. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z
2− 2z − m + 2 = 0 ( m là tham số thực). Gọi T là tập hợp các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt được biểu diễn hình học bởi hai điểm A , B trên mặt phẳng tọa độ sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2 p
2 , với C( − 1; 1) . Tổng các phần tử trong T bằng
A. 8 . B. 4 . C. 9 . D. − 1 .
139
Năm học 2022-2023. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
■
GHI CHÚ NHANH CÂU 8. Trên tập hợp các số phức, cho biết phương trình z
2− 2z + c
d = 0 có hai nghiệm z
1, z
2. Gọi A , B lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của z
1, z
2trên mặt phẳng Ox y . Biết tam giác O AB đều, tính giá trị của P = c + 4d .
A. P = 19 . B. P = 16 . C. P = 22 . D. P = 14 .
CÂU 9. Biết rằng phương trình z
2+ 2az + b = 0 (a , b là các số thực dương) có hai nghiệm phức liên hợp z
1, z
2. Gọi A , B , C lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức w = 2 , z
1, z
2. Tính giá trị của biểu thức T = b − 4a biết rằng ba điểm A , B , C tạo thành một tam giác vuông có diện tích bằng 9 .
A. 6 . B. − 8 . C. 9 . D. 14 .
CÂU 10. Kí hiệu z
0là nghiệm phức có phần thực và phần ảo đều âm của phương trình z
2+ 2 z + 5 = 0 Trên mặt phẳng toạ độ Ox y , điểm M nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w = i
3z ¯
0?
A. M(2; 1) . B. M( − 2; − 1) . C. M (2; − 1) . D. M( − 1; 2) . CÂU 11. Trên tập hợp các số phức, phương trình z
2+ (a − 2)z + 2a − 3 = 0 ( a là tham số thực) có 2 nghiệm z
1, z
2. Gọi M , N là điểm biểu diễn của z
1, z
2trên mặt phẳng tọa độ. Biết rằng có 2 giá trị của tham số a để tam giác OM N có một góc bằng 120
◦. Tổng các giá trị đó bằng bao nhiêu?
A. 6 . B. − 4 . C. 4 . D. − 6 .
CÂU 12. Biết số phức z = − 3 + 4 i là một nghiệm của phương trình z
2+ az + b = 0 , trong đó a , b là các số thực. Giá trị của a − b bằng:
A. 1 . B. − 19 . C. − 31 . D. − 11 .
CÂU 13. Trên tập hợp các số phức, cho phương trình z
2+ az + b = 0 , (a, b ∈ R ) . Biết phương trình đã cho có hai nghiệm là z
1= 2 − i và z
2, khi đó giá trị của
| az
1− bz
2| bằng A. 6 p
10 . B. 18 . C. 15 p
3 . D. 5 p
13 . CÂU 14. Số nghiệm phức của phương trình z
2+ | z | = 0 là
A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 1 .
CÂU 15. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z
2− 2mz + 5m − 6 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z
1, z
2thỏa mãn | z
1| = | z
2| ?
A. 5 . B. 1 . C. 3 . D. 4 .
CÂU 16. Gọi T là tổng các giá trị thực của tham số m để phương trình 4z
2+ 6z + 1 + 2m = 0 có các nghiệm phức thỏa mãn | z | = 2 . Tính T
A. 15
2 . B. − 17
2 . C. − 19
2 . D. − 29
2 .
CÂU 17. Trong tập các số phức, cho phưong trình z
2− 6z + m = 0 , m ∈ R (1) . Gọi m
0là một giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt z
1, z
2thỏa mãn z
1· z
1= z
2· z
2. Hỏi trong khoảng (0; 20) có bao nhiêu giá trị m
0∈ N ?
A. 10 . B. 12 . C. 11 . D. 13 .
CÂU 18. Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình z
2− (a − 3)z + a
2+ a = 0 có hai nghiệm phức z
1, z
2thỏa mãn | z
1+ z
2| = | z
1− z
2| .
A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1 .
CÂU 19. Gọi S là tập hợp các số nguyên dương x sao cho phương trình z + m z − 2 = 0 có nghiệm phức thỏa mãn | z
0| = 1 . Tổng các phần tử S bằng.
A. − 2 . B. − 4 . C. 1 . D. 2 .
CÂU 20. Gọi z
1, z
2, z
3là các nghiệm phức của phương trình z
3− 5z
2+ 17z − 13 = 0 . Gọi A , B , C lần lượt là điểm biểu diễn hình học của z
1, z
2, z
3. Tính diện tích tam giác ABC
A. S
∆ABC= 3 . B. S
∆ABC= 5
2 . C. S
∆ABC= 4 . D. S
∆ABC= 6 .
Năm học 2022-2023
140
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
■ GHI CHÚ NHANH BẢNG ĐÁP ÁN
1. C 2. C 3. B 4. B 5. C 6. A 7. A 8. B 9. A 10.A 11.A 12.B 13. D 14. A 15.B 16.C 17. A 18. A 19. A 20.A
DẠNG
13 Bài toán chứa tham số m
CÂU 1. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z
2− 2(m + 1)z + m + 3 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm phức z
0thỏa mãn | z
0+ 2 | = 6 ?
A. 3 . B. 4 . C. 1 . D. 2 .
CÂU 2. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z
2− 2(2m − 1)z + 4m
2− 5m = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm z
0thoả mãn ¯ ¯z
20+ (1 − 4m)z
0+ 4m
2− 5m − 3 ¯
¯ = 10 ?
A. 1 . B. 2 . C. 4 . D. 3 .
CÂU 3. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z
2− 2mz + 2m
2− 2m = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ ( − 10; 10) để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z
1, z
2thỏa mãn | z
1− 2 | = | z
2− 2 | ?
A. 15 . B. 18 . C. 16 . D. 17 .
CÂU 4. Trong tập số phức, xét phương trình z
2− 2(m − 1)z + 4 = 0 . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt z
1, z
2thỏa mãn | z
1| = | z
2| . Tính tổng các phần tử của tập S
A. 3 . B. 2 . C. 6 . D. 5 .
CÂU 5. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z
2− 2mz + 3m + 10 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm z
1, z
2không phải số thực thỏa mãn | z
1| + | z
2| ≤ 8 ?
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
CÂU 6. Trên tập số phức, xét phương trình z
2+ 2mz + m + 1 = 0(1) ( m là tham số thực thỏa m
2− m − 1 < 0 ); z
1, z
2là hai nghiệm phức của phương trình (1) ; A , B lần lượt là điểm biểu diễn của hai nghiệm phức đó trên mặt phẳng Ox y . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để ∆ O AB vuông tại O ?
A. 2 . B. 1 . C. 3 . D. 4 .
CÂU 7. Biết phương trình z
2+ mz + n = 0 (m, n ∈ R ) có một nghiệm là 1 − 3i . Tính n + 3m
A. 4 . B. 6 . C. V = 3 . D. 16 .
CÂU 8. Gọi S là tổng các số thực m để phương trình z
2− 2z + 1 − m = 0 có nghiệm phức thỏa mãn | z | = 2 . Tính S .
A. S = − 3 . B. S = 7 . C. S = 10 . D. S = 6 .
CÂU 9. Trên tập số phức, xét phương trình z
2− 2(m − 4)z + m
2− 4m + 1 = 0 , m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt z
1, z
2thỏa điều kiện | z
1+ z
2− 2z
1z
2| = | z
1| .
A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 3.
CÂU 10. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z
2− 2 z + 1 − m = 0 . Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm phức z
0thỏa mãn | z
0| = 2 ?
A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 4 .
CÂU 11. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình: z
2− 2(m + 1)z + m
2− 3m + 5 = 0 ( m là tham số thực). Hỏi tổng các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm z
0thỏa mãn | z
0|
3− 12 = 5 | z
0| ?
A. 9 . B. 12 . C. 10 . D. 8 .
141
Năm học 2022-2023. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .