Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng

Câu 24. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là sai?

A. Dãy số

 

an , với a₁3 và a_n1 a_n6,  n 1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

B. Dãy số

 

bn , với b₁1 và b_n1



2b_n² 1



3,  n 1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

C. Dãy số

 

cn , với c₁2 và c_n13c_n²10  n 1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

D. Dãy số

 

dn , với d₁ 3 và d_n12d_n²15,  n 1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

Câu 25. Các số x6 ,y 5x2 ,y 8x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời, các số 5,

x3 y1, 2x3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và .y

A. x 3,y 1 hoặc 3 1

, .

8 8

x y B. x3,y1 hoặc 3 1

, .

8 8

x  y 

C. x24,y8 hoặc x 3,y 1 D. x 24,y 8 hoặc x3,y1

Câu 26. Ba số , ,x y z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số 2;3;9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính

2 2 2.

F x y z

A. F389.hoặc F395. B. F395. hoặc F179.

C. F389. hoặc F179. D. F 441 hoặc F357.

0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 63 D. HƯỚNG DẪN GIẢI

Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân.

Câu 1. Đáp án B

Các dãy số trong các phương án ,A C và D đảm bảo về dấu còn dãy số trong phương án B thì 3 số hạng đầu âm còn số hạng thứ tư là dương nên dãy số trong phương án B không phải là cấp số nhân.

Câu 2. Đáp án C.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.

+ Phương án A: Ba số hạng đầu của dãy số là 4,1, 2 không lập thành cấp số nhân nên dãy số

 

un không phải là cấp số nhân.

+ Phương án B: Ba số hạng đầu của dãy số là 4; 2; 20  không lập thành cấp số nhân nên dãy số

 

vn không phải là cấp số nhân.

+ Phương án C: Ta có w_n17.3^n13 ,w_n  n 1 nên dãy số

 

wn là một cấp số nhân.

+ Phương án D: Ba số hạng đầu của dãy số là 7 7 7, ,

3 6 9 không lập thành cấp số nhân nên dãy số

 

tn không phải là cấp số nhân.

Câu 3. Đáp án B.

Các kiểm tra như câu 2.

Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân.

Câu 4. Đáp án B.

Ta có: ₁ 1

4 4.

n

n n

u _ u  u nên

 

un là cấp số nhân có công bội 1 4.

q Suy ra số hạng tổng quát là

1

1 1

1

. 3. 1 3.4 .

4

n

n n

un u q



   

    

 

Vậy phương án đúng là B. Câu 5. Đáp án B.

Ta có ²

4

3 27 x x

  

  



1 3 1

3 27 x q x q

  

   

1 1

3 x q

  

   ^hoặc

1 1

3. x q

 

  



Do đó B là phương án đúng.

Câu 6. Đáp án A. Ta có: ³

5

8 32 a a

 

 



2 1

4 1

8 32 a q a q

 

 

 

1 2

2 a q

 

   ^hoặc

1 2

2. a q

 

  



Với a₁2,q2 thì a₁₀ a q₁ ⁹ 1024.

Với a₁2,q 2 thì a₁₀a q₁ ⁹ 1024.

Vậy a₁₀  1024. Suy ra A là phương án đúng.

64 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371 Câu 7. Đáp án C.

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có:

2 12.192 2304

y     y 48.

Cũng theo tính chất của cấp số nhân, ta có:

122 144.

xy 

Với y48 thì x3; với y 48 thì x 3.

Vậy phương án đúng là C. Câu 8. Đáp án D.

Ta có: ₁.1 1

n n

S u q q

 

 nên theo giả thiế, ta có:

5.1 3 200 1 3

 n 

 3ⁿ 81 n 4.

Suy ra u₄u q₁. ³ 135. Vậy đáp án là D. Câu 9. Đáp án B.

Gọi q là công bội của cấp số nhân

 

an .

Ta có 20a110a2a32



q²10q20



^2



^q5



^{210 10,q.}

Dấu bằng xảy ra khi q5.

Suy ra a₇a q₁. ⁶2.5⁶31250.

Vậy phương án đúng là B. Câu 10. Đáp án B.

Cách 1: Kiểm tra các dãy số trong mỗi phương án có thỏa mãn yêu cầu của bài toán không.

+ Phương án A: Các góc 5 ,15 , 45 , 225 không lập thành cấp số nhân vì ^{0 0 0 0}

0 0

15 3.5 ; 45⁰ 3.15 ;⁰ 225⁰ 3.45 .⁰

+ Phương án B: Các góc 9 , 27 ,81 , 243 lập thành cấp số nhân và ^{0 0 0 0}

0 0 0 0 0

9 27 81 243 360 . Hơn nữa, ⁰ 1 ⁰

9 81

9 nên B là phương án đúng.

+ Phương án C và D: Kiểm tra như phương án A.

Cách 2: Gọi các góc của tứ giác là a aq aq aq, , ², ³, trong đó q1.

Theo giả thiết, ta có 1 ²

a9aq nên q3.

Suy ra các góc của tứ giác là ,3 ,9 , 27 .a a a a Vì tổng các góc trong tứ giác bằng 360 nên ta có: ⁰

3 9 27 3600

a a a a  a 9 .⁰

Do đó, phương án đúng là B (vì trong ba phương án còn lại không có phương án nào có góc 9 ). 0

0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 65 Câu 11. Đáp án A.

Ta có u₄u₆ 540 



u3u q5



 540.

Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được q 3.

Lại có u₃u₅180 u q1



²q⁴



180.

Vì q 3 nên u₁2.

Vậy phương án đúng là A. Câu 12. Đáp án A.

Ta có a₆ 224 a q₁ ⁵ 224  q 2 (do a₁7).

Do ^{Sk a1}



₁¹_^_q^qk

  

^{7 2k 1 nên} Sk ^{3577 7 2}



^{k 1}



^{3577 2k 29  k 9.}

Suy ra T 10a₉ 10a q₁ ⁸ 17920.

Vậy phương án đúng là A.

Dạng 3: Bài tập về tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Câu 13. Đáp án A.

Ta có u₃S₃S₂9 ₁ ² ₁ 9₂ 9

u q u

    q Vì S₂4 nên u₁u q₁ 4. Do đó 9₂ 9

q  q 4 4q2 9q 9 0

     q 3 hoặc 3

4. q  + Với q3 thì u₁1, u₆u q₁ ⁵243.

Suy ra ₅ ^{1 6} 1 243 1 1 3 121.

u u

S q

 

  

 

+ Với 3

q 4 thì u₁16, ₆ 243 64 . u   Suy ra ₅ ^{1 6} 181

1 16 .

u u

S q

  



Vậy phương án đúng là A. Câu 14. Đáp án B.

Gọi q là công bội của cấp số nhân. Khi đó

 

²

3 2 1

4u 2u 15u 2 4q1 122 122,q. Dấu bằng xảy ra khi 4q 1 0 1

4.

  q

Suy ra:

 

10 10 10

10 1 8

1 1 2 4 1

1 4

. 8.

1 1 1 5.4

4 S u q

q

 

   

  

  

   

 

Vậy phương án đúng là B.

66 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371 Câu 15. Đáp án C.

Gọi q là công bội của cấp số nhân, q0.

Ta có ₄ ³ ₆

7

1024 512

2 .

u q

u q

  

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

3 3 3 3 3 3

6 6 6

512 512 512

2q q q 3 q q. . 24.

q q q

     

Suy ra ₄

7

u 1024

 u đạt giá trị nhỏ nhất bằng 24 khi ³ 512₆

q  q  q 2.

Ta có 1



¹⁰



11

10

1 2 2;

1

u q

S q

   





²⁰



1 21

10

1 2 2.

1

u q

S q

   



Do đó SS₂₀S₁₀2095104. Vậy phương án đúng là C. Câu 16. Đáp án A.

Ta có u₄u₆ 540 



u3u q5



 540.

Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được q 3. Lại có u₃u₅180



^{2 4}



1 180.

u q q

  

Vì q 3 nên u₁2. Suy ra ^S21u1



₁¹_^_q^q21

  

^1₂ ^{3211 .}

Vậy phương án đúng là A.

Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân Câu 17. Đáp án B.

Cách 1: Ta có 8 8.

1 d a

   

Điều kiện cần để phương trình đã choc ó ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là x ³82 là nghiệm của phương trình.

Thay x2 vào phương trình đã cho, ta được 4 2 m0 m2.

Với m2, ta có phương trình x³7x²14x 8 0  x 1;x2;x4

Ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân nên m2 là giá trị cần tìm. Vậy, B là phương án đúng.

Cách 2: Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.

Câu 18. Đáp án A.

Ta có 54

2 27.

d a

   

Điều kiện cần để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân là

327 3

x  phải là nghiệm của phương trình đã cho.

2 2 8 0

m m

     m2;m 4.

Vì giả thiết cho biết tồn tại đúng hai giá trị của tham số m nên m2 và m 4 là các giá trị thỏa mãn

Suy ra ^{P23 }

 

^{4 3 56.}

Vậy phương án đúng là A.

0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 67 Câu 19. Đáp án B.

Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng A là:

1 100 100.10% 110.

M   

Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng A là:

2 110 110.10% 121.

M   

Suy ra phương án đúng là B. Suy ra phương án đúng là B.

Câu 20. Đáp án D.

Số tiền ban đầu là M₀10⁸ (đồng).

Đặt r0, 7% 0, 007 .

Số tiền sau tháng thứ nhất là M1M0M r M0  0



1r



. Số tiền sau tháng thứ hai là M2M1M r M1  0



1r



².

Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là M6M0



1r



⁶. Do đó M6 10 1,007⁸

 

⁶.

Câu 21. Đáp án C.

Đặt P₀ 2000000 2.10 ⁶ và r1, 2% 0, 012 . Gọi P_n là số dân của tỉnh M sau n năm nữa.

Ta có: P_n1P_nP r P_n  _n



1r



.

Suy ra

 

Pn là một cấp số nhân với số hạng đầu P₀ và công bội q 1 r.

Do đó số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là: P9M0



1r



⁹ 2.10 1, 012⁶

 

¹⁰2227000. Câu 22. Đáp án C.

Lúc đầu có 10 tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp ²² số nhân với u₁10²² và công bội q2.

Do cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 3 giờ sẽ có 9lần phân chia tế bào. Ta có u₁₀ là số tế bào nhận được sau 3 giờ. Vậy, số tế bào nhận được sau 3 giờ là u₁₀u q₁ ⁹ 512.10¹². Câu 23. Đáp án A.

Gọi u₀ là diện tích đế tháp và u_n là diện tích bề mặt trên của tầng thứ n, với 1 n 11. Theo giả thiết, ta có ₁ 1

0 10

n 2 n

u _  u  n .

Dãy số

 

un lập thành cấp số nhân với số hạng đầu u₀ 12288 và công bội 1 q2. Diện tích mặt trên cùng của tháp là

11

11 2

11 0

. 12288. 1 6 m

u u q     2  .

68 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371

Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng.

Câu 24. Đáp án D.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.

+ Phương án A:Ta có a₂ 3;a₂ 3;... Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ra chứng minh được rằng a_n  3, n 1. Do đó

 

an là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1).

+ Phương án B: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được b_n  1, n 1. Do đó

 

bn là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1).

+ Phương án C: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được c_n   2, n 1. Do đó

 

cn là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1).

+ Phương án D: Ta có: d₁ 3,d₂ 3,d₃3. Ba số hạng này không lập thành cấp số cộng cũng không lập thành cấp số nhân nên dãy số

 

dn không phải là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân .

Câu 25. Đáp án A.

+ Ba số x6 , 5y x2 ,8y x y lập thành cấp số cộng nên



^x6y

 

^{ 8x y}



^{2 5}



^x2y



^{ x 3y.}

+ Ba số 5

, 1, 2 3

x3 y x y lập thành cấp số nhân nên ⁵



^{2 3}

 

¹



²

x 3 x y y

     

 

  .

Thay x3y vào ta được 8y²7y    1 0 y 1 hoặc 1 y8. Với y 1 thì x 3; với 1

y8 thì 3 x8. Câu 26. Đáp án C.

Theo tính chất của cấp số cộng , ta có x z 2y.

Kết hợp với giả thiết x y z  21, ta suy ra 3y21 y 7.

Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x   y d 7 d và z   y d 7 d. Sau khi thêm các số 2;3;9 vào ba số , ,x y z ta được ba số là x2,y3,z9 hay

9d,10,16d.

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có



^9d



^16d



^{102 d27d44 0} . Giải phương trình ta được d 11 hoặc d4.

Với d 11, cấp số cộng 18, 7, 4 . Lúc này F389. Với d4, cấp số cộng 3,7,11. Lúc này F179.

Trong tài liệu Chuyên đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Tô Quốc An (Trang 63-70)