CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP

ĐỀ BÀI

Ví dụ 1 : Chứng minh rằng



^{C0nC2nC4n...}

 

^{2  C1n C3nC5n...}



^{2 2n}

Ví dụ 2: Cho khai triển



x 1



²ⁿx x 1







^{2n 1} a0a x a x1  2 ² ... a x2n ²ⁿ với n là số tự nhiên và n 3. Biết ⁿ _2k

k 0

a 768





 ^{, tính a .5}

Ví dụ 3: Gọi S là tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x trong khai triển nhị thức P x

 

x ^{1 2018}.

x

 

   Tính S ¹C¹⁰⁰⁹₂₀₁₈.

2

Ví dụ 4: Cho khai triển a x 1n







ⁿan 1_



x 1



^{n 1}  ... a x 11



 



a0 xⁿ với mọi x , n và n 5. Tìm n, biết a₂ a₃a₄ 83n.

Ví dụ 5: Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức x ¹₂ ²⁰ x^{3 1 10},

x x

     

   

    có tất cả bao

nhiêu số hạng ?

Ví dụ 6: Có bao nhiêu số thực x để khi khai triển nhị thức

1 x n

x 2

2 2 ^

 

  

  có tổng số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135, còn tổng của ba số hạng cuối bằng 22?

Ví dụ 7: Trong khai triển của biểu thức



^{x3 x 2}



^2017. Tính tổng S của các hệ số của x^{2k 1} với k nguyên dương?

Ví dụ 8: Kí hiệu a_{3n 3} là hệ số của số hạng chứa x^{3n 3} trong khai triển



^{x2 1}



ⁿ

^

^{x 2 .}

^

ⁿ

Tìm n sao cho a3n 3_ 26n.

Ví dụ 9: Cho khai triển x x 1







ⁿ 2 x 1







ⁿ a0a x a x1  2 ² ... a xn 1_ ^{n 1} với n là số tự nhiên và n 2. Tìm n, biết rằng a₂7n; na ;_n a_{n 2} theo thứ tự đî lập thành một cấp số cộng.

Ví dụ 10: Xác định n biết rằng hệ số của xⁿ trong khai triển



^{1 x 2x  2 ... nxn}



^{2 bằng}

6n.

Ví dụ 11: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C^{n 1}_{n 1}^_ Cⁿ_{n 1} 171. Tìm hệ số lớn nhất của biểu thức ^{P x}

  

^{ 1 x 1 2x}



^



ⁿ sau khi khai triển và rút gọn.

Ví dụ 12: Khai triển



^{1 x x  2 ... x10}



¹¹ được viết thành a₀a x a x₁  ₂ ² ... a x .₁₁₀ ¹¹⁰ Tính tổng S C a ⁰_{11 0}C a¹_{11 1}C a_{11 2}² C a³_{11 3} ... C a¹⁰_{11 10}C a .¹¹_{11 11}

Ví dụ 13: Tính tổng

1 2 2 2 3 3 4 2015 2016 2016 2017

2017 2017 2017 2017 2017 2017

C 2 C 3.2 C 4.2 C  ... 2016.2 C 2017.2 C Ví dụ 14: Tính tổng T C ¹₂₀₁₇ C³₂₀₁₇C⁵₂₀₁₇ ... C²⁰¹⁷₂₀₁₇

Ví dụ 15: Với n , n 2 và thỏa mãn _{2 2 2 2}

2 3 4 n

1 1 1 ... 1 9

C C C  C  5. Tính giá trị của biểu

thức

 

5 3

n n 2

C C

P n 4 !

 

  .

Ví dụ 16: Tính tổng ^{S C 10092018C10102018C10112018 ... C20182018}( trong tổng đî, các số hạng có dạng

k

C2018 với k nguyên dương nhận giá trị liên tục từ 1009 đến 2018 )

Ví dụ 17: Biết rằng trong khai triển nhị thức Niu-tơn của đa thức ^{P x}

 

^



^{2 x 2x  2x3}



ⁿ

thì hệ số của x⁵ là 1001. Tổng các hệ số trong khai triển của P x

 

bằng bao nhiêu?

Ví dụ 18: Cho khai triê n P x

  

 1 x 2 x ... 1 2017x





 





a0a x a x1  2 ².... a 2017x²⁰¹⁷. Kí hiệu P' x

 

và P'' x

 

lần lượt là đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của đa thức P x .

 

Tìm hệ số a₂?

Ví dụ 19: Tìm hệ số của số hạng chứa x³ trong khai triển



^{1 2x 2015x  20162016x2017 2017x2018}



^60.

Ví dụ 20: Biểu thức x¹⁰ x⁹.



1 x



x⁸.



1 x



² ...



1 x



¹⁰

10! 9! 1! 8! 2! 10!

  

    bằng bao nhiêu?

Ví dụ 21: Giá trị của A ^{1 1 1} ... ^{1 1}

1!2018! 2!2017! 3!2016! 1008!1011! 1009!1010!

      bằng?

Ví dụ 22: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C¹_{2n 1} C³_{2n 1}  ... C^{2n 1}_{2n 1}^ 1024. Ví dụ 23: Có bao nhiêu số dương n sao cho



⁰1 ⁰2 ⁰n

 

¹1 ¹2 ¹n

 

^{n 1}n 1 ^{n 1}n



ⁿn

S 2  C C  ... C  C C  ... C  ... C ^_ C ^ C là một số có 1000 chữ số?

Ví dụ 24: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển thành đa thức của



2 3x



²ⁿ, biết n là số nguyên dương thỏa mãn: C⁰_{2n 1} C²_{2n 1} C⁴_{2n 1}  ... C²ⁿ_{2n 1} 1024.

Ví dụ 25: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 2C⁰n5C¹n8C²n ...



3n 2 C



ⁿn 1600. Ví dụ 26 : Với x 1 ta có khai triển sau:

     

2 2018

2 2018 1 2 3 2018

0 1 2 2018 2 3 2018

b b

b b

x 2x 2

a a x a x ... a x ...

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

             

      

 

Tính tổng ²⁰¹⁸ _k

k 1

S b







^?

Ví dụ 27: Với n là số tự nhiên lớn hơn 2, đặt _{n 3 3 4 3}

3 4 5 n

1 1 1 1

S ...

C C C C

     . Tính lim S_n Ví dụ 28: Tính tổng



¹2018



²



²2018



²



²⁰¹⁷2018



²



²⁰¹⁸2018



²

1 2 2017 2018

S C C ... C C

2018 2017 2 1

    

Ví dụ 29: Cho số nguyên dương n, tính tổng

 

  

n n

1 2 3

n n n 1 nCn

C 2C 3C

S ...

2.3 3.4 4.5 n 1 n 2

 

    

  . Ví dụ 30: Tính tổng ^P

   

^{C0n 2  C1n 2 }

 

^{Cnn 2 theo n.}

Ví dụ 31: Cho n và k nguyên dương thỏa mãn k n . Chứng minh rằng

k k 1 k

n 1 n 1 n

n 1 1 1 1

n 2 C _ C ^_ C

 

   

  

Ví dụ 32: Chứng minh rằng 1 C³_n C⁶_n ... ¹ 2ⁿ 2 cosⁿ

3 3

 

       Ví dụ 33: Với số tự nhiên n 1 . Chứng minh rằng

 

0 1 2 n n n

n n n n

C cos C cos 2 C cos 3 ... C cos n 1 2 cos cosn 2

2 2

 

          

Ví dụ 34: Với số tự nhiên n 1 . Tính tổng sau

     

1 2 3 n n 2 n 2

n n n n

A C cos x sin x  0C C 3sin x cos x sin x cos x  ... C .n sin x cos x sin ^ x cos ^ x Ví dụ 35: Với số tự nhiên m nguyên dương. Chứng minh rằng

 

^m

0 1 2 m

1991 1991 1991 1991 m

1 1 1 1 1

C C C ... C

1991 1991 1991 1991 m ^ 1991

     

 LỜI GIẢI

Ví dụ 1 : Chứng minh rằng



^{C0n C2nC4n...}

 

^{2 C1n C3nC5n...}



^{2 2n}

Lời giải

Xét số phức ^{z }



^{i 1}



^{n C0n iC1ni C2 2n ... i Cn nn }



^{C0nC2nC4n...}

 

^{i C1nC3nC5n...}



Mặt khác ta lại có ^z



^{1 i}



^{n }

 

^{2 n}^cosn₄^{i sinn}₄^ So sánh z² ở cả hai vế ta cî điều phải chứng minh!

Ví dụ 2: Cho khai triển



x 1



²ⁿ x x 1







^{2n 1} a0a x a x1  2 ² ... a x2n ²ⁿ với n là số tự nhiên và n 3. Biết ⁿ _2k

k 0

a 768





 ^{, tính a .5}

Lời giải Ta có

 

 

^{0 1 2 2n}

   

ⁿ _2k

0 1 2 2n k 0

f 1 a a a ... a

f 1 f 1 2. a 1536

f 1 a a a ... a 

    

     

      





hay 2^{2n 1} 2²ⁿ 1536  n 5 hệ số a5 C⁵10

 

1 ⁵C⁴9  126.

Ví dụ 3: Gọi S là tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x trong khai triển nhị thức P x

 

x ^{1 2018}.

x

 

   Tính S ¹C¹⁰⁰⁹₂₀₁₈.

2

Lời giải

Ta có ^{2018 2018 k}₂₀₁₈ ^{2018 2k}

k 0

x 1 C .x .

x





   

 

 



Để lũy thừa với số mũ nguyên dương thë 2018 2k 0   k 1009.

Suy ra S C ⁰₂₀₁₈C¹₂₀₁₈ ... C¹⁰⁰⁸₂₀₁₈.

Suy ra S ¹C¹⁰⁰⁹₂₀₁₈ C⁰₂₀₁₈ C¹₂₀₁₈ ... C¹⁰⁰⁸₂₀₁₈ ¹C¹⁰⁰⁹₂₀₁₈

2 2

     

k n k

n n

C C 1009 0 1 1008 1009 2018 2017 1010 1009

2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018

1 1 1

2 S C C C ... C C C C ... C C

2 2 2

   

            

C⁰₂₀₁₈C¹₂₀₁₈ ... C²⁰¹⁷₂₀₁₈C²⁰¹⁸₂₀₁₈2²⁰¹⁸. Vậy S ¹C¹⁰⁰⁹₂₀₁₈ 2²⁰¹⁷.

2 

Ví dụ 4: Cho khai triển a x 1n







ⁿan 1



x 1



^{n 1}  ... a x 11



 



a0 xⁿ với mọi x , n và n 5. Tìm n, biết a₂a₃a₄ 83n.

Lời giải

Ta có xⁿ 



x 1 



1ⁿ C x 1⁰n







ⁿ C x 1¹n







^{n 1} C x 1²n







^{n 2}  ... C^{n 1}n^



x 1 



C .ⁿn

Vì a₂a₃a₄ 83nC²_nC³_nC⁴_n 83n



n 1

 

n 1 n 2

  

n 1 n 2 n 4

  

2! 3! 4! 83

     

     n 13.

Ví dụ 5: Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức x ¹₂ ²⁰ x^{3 1 10},

x x

     

   

    có tất cả bao

nhiêu số hạng ?

Lời giải

Ta có ₂ ^{20 3 10 20 k}₂₀ ^{20 k} ₂ ^{k 10 m}₁₀ ^{3 10 m  m}

k 0 m 0

1 1 1 1

x x C x C x

x x x x

 

 

           

       

   



 



 

²⁰

 

^{k k}₂₀ ^{20 3k 10}

 

^{m m 30 4m}₁₀

k 0 m 0

1 C x ^ 1 C x ^ .

 





 





Ta tìm các số hạng cî cñng lũy thừa của x :

       

0 m 10,0 k 20

k;m 2; 4 , 6;7 , 10;10 . 20 3k 30 4m 4m 3k 10

   

  

      



Vậy trong khai triển đã cho cî tất cả 21 11 3 29   số hạng.

Ví dụ 6: Có bao nhiêu số thực x để khi khai triển nhị thức

1 x n

x 2

2 2 ^

 

  

  có tổng số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135, còn tổng của ba số hạng cuối bằng 22?

Lời giải

Số hạng thứ



k 1



trong khai triển là Tk C 2^kn

 

^{x n k} 2^12x^k.

  

  Từ đî suy ra:

 Tổng hai số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135

 

^{n 2 1 x 2}

 

^{n 4 1 x 4}

2 x 2 4 x 2

2 4 n n

T T C 2 ^ 2 ^  C 2 ^ 2 ^  135

        

   

 

¹

 Tổng ba hệ số của ba số cuối bằng 22

 

n 2 n 1 n

n n n

n n 1

C C C 22 n 1 22 n 6.

2

  

         

Thay n 6 vào

 

1 , ta được C .2 .2²₆ ^{4x 1 2x} C .2 .2⁴₆ ^{2x 2 4x} 1352^{2x 1} 2^{2 2x} 9.

Đặt 0 u 2 ,  ^2x ta được 2u u⁴ 9 ^{u 4}u 1 ^{x 1}x 1

2 2

  



  

    



Vậy x 1; ¹ . 2

 

  

 

Ví dụ 7: Trong khai triển của biểu thức



^{x3 x 2}



^2017. Tính tổng S của các hệ số của x2k 1^ với k nguyên dương?

Lời giải Ta có



x³ x 2



²⁰¹⁷ a0a x a x1  2 ²  ... a6051x⁶⁰⁵¹

 

1 Ta cần tính S a ₃a₅a₇  ... a₆₀₅₁.

Thay x 1 vào

 

1 , ta được a₀a₁a₂ ... a₆₀₅₁ 2²⁰¹⁷

 

2 Thay x 1 vào

 

1 ,, ta được a₀a₁a₂ a₃ ... a₆₀₅₁  2²⁰¹⁷

 

3

Trừ vế theo vế

 

^{2 và}

 

^{3 , ta được} 2 a



0a1a2 ... a6051



 0 2S 2a 1    0 S a1

Theo khai triển nhị thức Niutơn, ta cî



³



^{2017 2017 k}2017



³



^k

^{ }

^{2017 k}

k 0

x x 2 C x x 2 ^



  



 

Số hạng a x₁ chỉ xuất hiện trong ^C12017



^x3x



¹

^{ }

^{2 2017 1 .}

Mà ^C12017



^x3x



¹

^{ }

^{2 2017 1 2017.22016. x}



^3x



^{a1  2017.22016  S 2017.22016.}

Ví dụ 8: Kí hiệu a_{3n 3} là hệ số của số hạng chứa x^{3n 3} trong khai triển



^{x2 1}



ⁿ

^

^{x 2 .}

^

ⁿ

Tìm n sao cho a3n 3_ 26n.

Lời giải

Ta có



²



ⁿ

^{ }

^{n n k}n

 

^{2 n k n i}n ^{n i i n n k}n ⁱn ^{i 3n 2k i}

k 0 i 0 k 0 i 0

x 1 x 2 C x ^ C x 2^ C C 2 x ^{ }.

   

  

    













Chọn 3n 2k i 3n 3    2k i 3  

     

k;i 



0; 3 , 1;1 .



Suy ra hệ số của số hạng chứa x^{3n 3} là C C 2⁰_n ³_n ³C C 2.¹_n ¹_n Theo giả thiết C C 2⁰_n ³_n ³C C 2 26n¹_n ¹_n   n 5.

Ví dụ 9: Cho khai triển x x 1







ⁿ 2 x 1







ⁿ a0a x a x1  2 ² ... a xn 1_ ^{n 1} với n là số tự nhiên và n 2. Tìm n, biết rằng a₂7n; na ;_n a_{n 2} theo thứ tự đî lập thành một cấp số cộng.

Lời giải

Ta có x x 1







ⁿ2 x 1





 

ⁿ  x 1

 

ⁿ x 2

 

 x 1

 

ⁿ x 1 



1



x 1



^{n 1} 



x 1 .



ⁿ

Suy ra

   

 

        

2 2 2

2 n 1 n

n n

n n 1 n

n 2 n 2

n 2 n 1 n

n 1 n n n 1

a C C n

2 2

a C C n 1 1 n 2

n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n 4

a C C

6 2 6





 

 

 

     

       

     

     



Theo giả thiết bài toán, ta có:

    ^{        }

 

2

n 0 L

n n 1 n 4

n n 2 n 7n n n 2 n 7 L

6 n 10



  

        

  N Vậy n 10.

Ví dụ 10: Xác định n biết rằng hệ số của xⁿ trong khai triển



^{1 x 2x  2  ... nxn}



^{2 bằng}

6n.

Lời giải

Ta có



^{1 x 2x}  ²  ^{... nxn}

 

²  ^{1 x 2x}  ²  ... nx . 1 x 2xⁿ

 

  ² ... nxⁿ



Hệ số của xⁿ là: 1.n 1. n 1



 



2. n 2







 ...



n 1 .1 n.1





       

   

      

2 2 2 2

2 3

1.n 1. n 1 2. n 2 ... n 1 . n n 1 n.1 2n n 1 2 3 ... n 1 1 2 3 ... n 1

1 n 1 n n 1 2n 1 n 11n

2n n . n 1 n .

2 6 6

           

 

               

   

    

       

   

Theo giả thiết, ta có n³ 11n

6n n 5 6

   

Ví dụ 11: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C^{n 1}_{n 1}^_ Cⁿ_{n 1} 171. Tìm hệ số lớn nhất của biểu thức P x

  

 1 x 1 2x







ⁿ sau khi khai triển và rút gọn.

Lời giải

Ta có

 

   

n 1 n

n 1 n 1

n 1 ! n 1 !

C C 171 171

2!. n 1 ! n!



 

 

    



   

²

 

n n 1 n 17

n 1 171 n 3n 340 0

n 20 L 2

 

            

Khi đî

    

¹⁷

 

^{17 k}17 ^{k k 17 k}17 ^{k k 17 k}17 ^{k k 1}

k 0 k 0 k 0

P x 1 x 1 2x 1 x C 2 x C 2 x C 2 x .^

  

    











Suy ra hệ số của x^k trong khai triển là C 2^k₁₇ ^kC 2^{k 1 k 1}₁₇^{ } .

Hệ số của x^k là lớn nhất khi ^k17_k ^k_k ^{k 1 k 117}_{k 1 k 1} ^{k 1 k 117}_{k 1 k 1} ^k17_{k 2 k 2}^k

17 17 17 17

C 2 C 2 C 2 C 2

C 2 C 2 C 2 C 2

   

     

   



  



       

     

2 k 1 k 1 k 1 k 1

17 17

k k k 2 k 2 2

17 17

1 2

k 1 !. 18 k ! k 1 !. 16 k !

C 2 C 2

C 2 C 2 2 1

k!. 17 k ! k 2 !. 19 k !

   

 

 

    

 

 

 

  

     

    

    

2 2

1 4

18 k 17 k k k 1 3k 141k 1224 0

4 1 3k 147k 1368 0 k 12

k 1 k 18 k 19 k

 

       

 

   

  

  

   



Vậy hệ số lớn nhất cần tìm là C 2¹²₁₇ ¹² C 2¹¹₁₇ ¹¹ 50692096.

Ví dụ 12: Khai triển



^{1 x x  2  ... x10}



¹¹ được viết thành a0a x a x1  2 ²  ... a x .110 ¹¹⁰

Tính tổng S C a ⁰_{11 0}C a¹_{11 1}C a²_{11 2}C a³_{11 3} ... C a_{11 10}¹⁰ C a .¹¹_{11 11} Lời giải

Xét x 1 , từ khai triển nhân hai vế cho



^{x 1 ,}



^{11 ta được}



^x111



^{11 }

^

^{x 1 . a}

^

^{11 }_ ^{0a x a x1  2 2 ... a x110 110}_^.

 Vế trái ^{11 k}11

 

^{11 k 11k}

k 0

C 1 ^ x







 ^{Hệ số của x11 bằng C111 11.}

 Vế phải ^{11 k}11 ^{11 k}

 

^k



0 1 2 ² 110 ¹¹⁰



k 0

C x ^ 1 . a a x a x ... a x



 

      







Hệ số của x¹¹ bằng C a⁰11 0C a¹11 1C a11 2² C a11 3³  ... C a¹⁰11 10C a .¹¹11 11

Vậy S C a ⁰_{11 0}C a¹_{11 1}C a²_{11 2}C a³_{11 3} ... C a¹⁰_{11 10}C a¹¹_{11 11}11.

Ví dụ 13: Tính tổng

1 2 2 2 3 3 4 2015 2016 2016 2017

2017 2017 2017 2017 2017 2017

C 2 C 3.2 C 4.2 C  ... 2016.2 C 2017.2 C Lời giải

Ta có

 

^{2017 2017 k}₂₀₁₇

 

^{k k}

k 0

1 x C . 1 .x



 





^{ }

^{2017 2017 k2017}

^{ }

^{k k}

k 0

1 x ' C . 1 .x '



   

   



  

 

^{2016 1}2017 ²2017 ^{2 3}2017 ³ 2017^{4 2015} 2017^{2016 2016 2017}2017

2017. 1 x C 2xC 3x C 4.2 C ... 2016.2 C 2017.2 C

        

Cho x 2 ta được:

1 2 2 2 3 3 4 2015 2016 2016 2017

2017 2017 2017 2017 2017 2017

C 2 C 3.2 C 4.2 C  ... 2016.2 C 2017.2 C 2017. Ví dụ 14: Tính tổng T C ¹₂₀₁₇ C³₂₀₁₇C⁵₂₀₁₇ ... C²⁰¹⁷₂₀₁₇

Lời giải Xét hai khai triển:

 2²⁰¹⁷ 



1 1



²⁰¹⁷ C⁰2017C¹2017C²2017C³2017 ... C²⁰¹⁷2017

 

1

 0



1 1



²⁰¹⁷ C⁰2017C¹2017C²2017C³2017 ... C²⁰¹⁷2017

 

2

Lấy

   

1  2 theo vế ta được: 2²⁰¹⁷  2 C



¹2017C³2017 C⁵2017 ... C²⁰¹⁷2017



 T 2²⁰¹⁶. Ví dụ 15: Với n , n 2 và thỏa mãn _{2 2 2 2}

2 3 4 n

1 1 1 ... 1 9

C C C  C  5. Tính giá trị của biểu thức

 

5 3

n n 2

C C

P n 4 !

 

  .

Lời giải

Ta có _{2 2 2 2}

2 3 4 n

1 1 1 ... 1 9

C C C  C  5 0!2! 1!2! 2!2! ...



n 2 !2!



9

2! 3! 4! n! 5

     

 ^2! 1.2 2.3 3.4^{1 1 1 ...}



n 1 n¹



⁹5

 

    

 

  

  ^

1 1 1 1 1 1 1 9

2! 1 ...

2 2 3 3 4 n 1 n 5

         

  

 

 1 9 1 1

2! 1 n 5 n 10

    

 

   n 10

 

5 3

n n 2

C C

P n 4 !

 

  

5 3

10 12

C C

6!

  ⁵⁹

 90

Ví dụ 16: Tình tổng S C ¹⁰⁰⁹2018C¹⁰¹⁰2018C¹⁰¹¹2018 ... C²⁰¹⁸2018( trong tổng đî, các số hạng cî dạng

k

C2018 với _k nguyên dương nhận giá trị liên tục từ ₁₀₀₉ đến ₂₀₁₈ ) Lời giải

Áp dụng tính chất C^k_n C^{n k}_n^ ta có

0 2018

2018 2018

C C

1 2017

2018 2018

C C

2 2016

2018 2018

C C

…..

1008 1010 2018 2018

C C

1009 1009 2018 2018

C C

 C⁰₂₀₁₈C¹₂₀₁₈C₂₀₁₈²  ... C¹⁰⁰⁹₂₀₁₈ C¹⁰⁰⁹₂₀₁₈C²⁰¹⁰₂₀₁₈ ... C₂₀₁₈²⁰¹⁸.

0 1 2 2018 1009

2018 2018 2018 2018 2018

2S C C C ... C C

       .

Mặt khác C⁰2018C¹2018C²2018 ... C²⁰¹⁸2018 



1 1



²⁰¹⁸ 2²⁰¹⁸. Vậy 2²⁰¹⁸ C^{10092018 2017} C^20181009

S 2

2 2

    .

Ví dụ 17: Biết rằng trong khai triển nhị thức Niu-tơn của đa thức ^{P x}

 

^



^{2 x 2x  2x3}



ⁿ

thì hệ số của x⁵ là 1001. Tổng các hệ số trong khai triển của ^{P x}

 

bằng bao nhiêu?

Lời giải Ta có ^{P x}

 

^



^{2 x 2x  2 x3}



^{n }

^

^{2 x}

^

ⁿ



^{1 x 2}



ⁿ

^{n k}n ^{n k k n l}n ^{2l n n}



^kn ^ln ^{n k}



^{k 2l}

k 0 l 0 k 0 l 0

C 2 ^ x C x C C 2 ^ x ^ .

   

  

  













Hệ số của x⁵ ứng với k 2l thỏa mãn k 2l 5  

       

k;l 



5;0 , 3;1 , 1; 2



 Trường hợp 1. Với n 5 khi đî

       

k;l 



5;0 , 3;1 , 1; 2 .



Hệ số của x⁵ là C C 2⁵_n ⁰_n ^{n 5} C C 2³_n ¹_n ^{n 3} C C 2¹_n ²_n ^{n 1} 1001.

Vì vế trái lẻ mà vế phải luôn chẵn nếu n 5 do đî chỉ có thể chọn n 5. Thử lại vào phương trënh ta thấy n 5 thỏa mãn điều kiện.

 Trường hợp 2. Với 3 n 5  khi đî

     

k;l 



3;1 , 1; 2 .



Hệ số của x⁵ là C C 2³_n ¹_n ^{n 3} C C 2¹_n ²_n ^{n 1} 1001.

Vì vế trái lẻ mà vế phải luôn chẵn nếu n 3 do đî chỉ có thể chọn n 3. Thử lại vào phương trënh ta thấy n 3 không thỏa mãn điều kiện.

 Trường hợp 3. Với n 2 khi đî

   

k;l  1; 2 .

Hệ số của x⁵ là C C 2 1001 :²₁ ²₂  vô lý.

Do đî chỉ có n 5 thỏa mãn  tổng các hệ số trong khai triển là ^{cho x 1} 6⁵ 7776.

Ví dụ 18: Cho khai triê n P x

  

 1 x 2 x ... 1 2017x





 





a0a x a x1  2 ².... a 2017x²⁰¹⁷. Kí hiệu P' x

 

và P'' x

 

lần lượt là đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của đa thức ^{P x .}

 

Tìm hệ số a₂?

Lời giải Ta có P' x

 

a12a x 3a x .... 2017a2  3 ²  2017x²⁰¹⁶.

Tiếp tục đạo hàm lần nữa, ta có P'' x

 

2a26a x.... 2017.2016a3  2017x²⁰¹⁵. Cho x 0, ta được

   

2 2

P'' 0 P'' 0 2a a

   2

Chú ý P' x

 

P x .

 

^{1 2} .... ²⁰¹⁷ 1 x 2 x 1 2017x

 

        

 

^{1 2 2017 2}

 

^{12 22 20172}

P'' P x . .... P x .... .

1 x 2 x 1 2017x 1 x 2 x 1 2017x

 

 

                  Ví dụ 19: Tìm hệ số của số hạng chứa x³ trong khai triển



^{1 2x 2015x  20162016x20172017x2018}



^60.

Lời giải

Đặt

   

 

2016 2017 2018 60

2016 2017 2018

f x 1 2x 2015x 2016x 2017x g x 2015x 2016x 2017x .

     



  



Suy ra

     

^{60 60 k}60

 

^k

k 0

f x 1 2x g x C 2x g x



 

     



   ^{60 k}60 ^{k i}k

 

ⁱ

 

^{k i}

 

k 0 i 0

C C 2x . g x ^ 0 i k 60 .

 



 

     

Vì bậc của đa thức ^{g x}

 

^{là 2018} số hạng chứa x³ ứng với k i 0 k 3 i 3 i 3 .

  

 

   

 

Vậy hệ số cần tìm là C .C . 2³60 ³3

 

 ³  8.C .60³

Ví dụ 20: Biểu thức x¹⁰ x⁹.



^{1 x}



x⁸.



^{1 x}



² ...



^{1 x}



¹⁰

10! 9! 1! 8! 2! 10!

  

    bằng bao nhiêu?

Lời giải

Ta có

 

 

k 1 x 10 k

x .

k! 10 k !

 

 ¹ .



^10!



.x . 1 x^k

 

^{10 k}

10! k! 10 k !

  

 ¹ .C .x . 1 x^k₁₀ ^k

 

^{10 k}

10!

  



0 k 10 



.

   

²

 

¹⁰

10 9 1 x 8 1 x 1 x

x x x

. . ...

10! 9! 1! 8! 2! 10!

  

    

 

10 k k 10 k

10 k 0

1 C .x . 1 x 10!









 ^ _10!¹

^

^{x 1 x }

^

^{10 }_10!^{1 .}

Ví dụ 21: Giá trị của A ^{1 1 1} ... ^{1 1}

1!2018! 2!2017! 3!2016! 1008!1011! 1009!1010!

      bằng?

Lời giải Ta có

 

k

Cn

1

k! n k ! n!

 . Do đî

1 2 3 1009

2019 2019 2019 2019

C C C C

A ...

2019! 2019! 2019! 2019!

     C¹²⁰¹⁹ C²²⁰¹⁹ ... C^10092019 2019!

  



0 1 2 1009

2019 2019 2019 2019

C C C ... C 1

2019!

    

 2²⁰¹⁸ 1

2019!

  .

Ví dụ 22: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C¹_{2n 1} C³_{2n 1}  ... C^{2n 1}_{2n 1}^_ 1024. Lời giải

Ta có 2^{2n 1} 



1 1



^{2n 1} C⁰2n 1_ C¹2n 1_  ... C^{2n 1}2n 1^_

 

^{2n 1 0}2n 1 ¹2n 1 2n 1^{2n 1}

0 1 1 ^ C _ C _  ... C ^_

Suy ra 2 C



¹2n 1_ C³2n 1_  ... C^{2n 1}2n 1^_



2^{2n 1} C¹2n 1_ C³2n 1_  ... C^{2n 1}2n 1^_ 2²ⁿ Do đî 2²ⁿ 20242²ⁿ 2¹⁰  n 5.

Ví dụ 23: Có bao nhiêu số dương n sao cho



⁰1 ⁰2 ⁰n

 

¹1 ¹2 ¹n

 

^{n 1}n 1 ^{n 1}n



ⁿn

S 2  C C  ... C  C C  ... C  ... C ^_ C ^ C là một số cî 1000 chữ số?

Lời giải Ta có:



⁰1 ⁰2 ⁰n

 

¹1 ¹2 ¹n

 

^{n 1}n 1 ^{n 1}n



ⁿn

S 2  C C  ... C  C C  ... C  ... C ^_ C ^ C



⁰1 ¹1

 

⁰2 ¹2 ²2

 

⁰n 1 ¹n 1 ^{n 1}n 1

 

⁰n ¹n ⁿn



2 C C C C C ... C _ C _ ... C ^_ C C ... C

              

 

²

 

^{n 1}

 

ⁿ

2 2 1 1 ... 1 1 ^ 1 1

        

1 2 n

2 2 2 ... 2

     2 2.2ⁿ 1 2 1

  



S 2n 1^

  .

S là một số cî 1000 chữ số 10⁹⁹⁹  S 10¹⁰⁰⁰ 10⁹⁹⁹2^{n 1} 10¹⁰⁰⁰

2 2

999 log 10 1 n 1000 log 10 1

    

Do n nên n



3318; 3319; 3320



.

Vậy có 3 số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 24: Tëm hệ số của x⁵ trong khai triển thành đa thức của



^{2 3x}



²ⁿ, biết n là số nguyên dương thỏa mãn: C⁰_{2n 1} C²_{2n 1} C⁴_{2n 1}  ... C²ⁿ_{2n 1} 1024.

Lời giải

Ta có



x 1



^{2n 1} C⁰2n 1_ .x^{2n 1} C¹2n 1_ .x²ⁿ  ... C²ⁿ2n 1_ .x C ^{2n 1}2n 1^_

 

¹

Thay x 1 vào

 

^{1 :} 2^{2n 1} C⁰2n 1_ C¹2n 1_  ... C²ⁿ2n 1_ C^{2n 1}2n 1^_

 

²

Thay x 1 vào

 

1 : 0 C⁰_{2n 1} C¹_{2n 1}  ... C²ⁿ_{2n 1} C^{2n 1}_{2n 1}^_

 

3

Phương trënh

 

^{2 trừ}

 

^{3 theo vế:} 2^{2n 1} 2 C



⁰2n 1 C²2n 1  ... C²ⁿ2n 1



Theo đề bài ta có 2^{2n 1} 2.1024 n 5

Số hạng tổng quát của khai triển



^{2 3x}



^{10 là} Tk 1_ C .2^k10 ^{10 k} . 3x







^k C .2^k10 ^{10 k} . 3 .x

 

 ^{k k} Theo giả thiết ta có k 5 . Vậy hệ số cần tìm là C .2 . 3⁵10 ⁵

 

 ⁵  1959552.

Ví dụ 25: Tëm số nguyên dương n thỏa mãn 2C⁰n5C¹n 8C²n  ...



3n 2 C



ⁿn 1600. Lời giải

Ta có 2C⁰n5C¹n8C²n ...



3n 2 C



ⁿn 3 C



¹n2C²n ... nCⁿn

 

2 C⁰nC¹nC²n ... Cⁿn



. Mặt khác C⁰_n C¹_n C²_n  ... Cⁿ_n 2ⁿ.

Trong tài liệu Vận dụng cao Nhị thức Newton - Nguyễn Minh Tuấn (Trang 33-43)