HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP

(1)

HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP

TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Giai thừa:

  

! . 1 2 ...1

n n n n Quy ước:0! 1

2. Hoán vị: Một tập hợp A gồm n phần tử (n1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự của n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

2.1 Số các hoán vị của n phần tử là P_nn! 3. Chỉnh hợp: Cho tập A gồm n phần tử (n1)

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

Số các chỉnh hợp:



^!

 

¹



^{2 ...}

 

¹



!

k n

A n n n n n k

 n k     



Lưu ý: P A_n _nⁿ( mỗi hoán vị của n phần tử cũng là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó)

4. Tổ hợp: Cho tập A gồm n phần tử (n1)

Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

Số các tổ hợp:



^!



! !

k n

C n

k n k

 

Các tính chất:

 

1

1 1

1. 0

2. 0

k n k

n n

k k k

n n n

C C k n

C C C k n



 

  

   

 Cách phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp

Chỉnh hợp Tổ hợp

Lấy k phần tử từ n phần tử rồi sắp xếp Lấy k phần tử từ n phần tử

(2)

Bài tập áp dụng:

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 bạn: An, Bình, Chi, Dung vào bàn học gồm 4 chỗ.

Giải: Để đơn giản ta gọi tên 4 bạn này là các chữ cái đầu

Cách 1: Liệt kê

A B C D

ABCD, ABDC, …

Nhận thấy đây là kết quả của một sự sắp xếp 4 phần tử nên ta có thể tính như sau

4 4! 24 P  

Cách 2: Dùng quy tắc nhân:

- Chỗ thứ nhất (Chọn 1 bạn): có 4 cách - Chỗ thứ 2(Chọn 1 trong 3 bạn còn lại):

có 3 cách

- Chỗ thứ 3(Chọn 1 trong 2 bạn còn lại):

có 2 cách

- Chỗ thứ 4: có 1 cách chọn

Áp dụng quy tắc nhân ta có: 4.3.2.1=24 Một bài toán có nhiều cách giải, các em nên chọn cách nào tối ưu nhất để làm Bài tương tự:

1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ tập hợp số



1;2;3;4;7;8;9



A

2. Có bao nhiêu cách xếp 6 quyển sách khác nhau lên một kệ sách nằm ngang

3. Có 5 tình nguyện viên được phân công vào các vị trí: phát phiếu, khám sàng lọc, đo huyết áp, tiêm ngừa và sau tiêm ngừa trong lần tiêm ngừa đại trà. Mỗi vị trí cần phải có một tình nguyện viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công giả sử các tình nguyện viên này đều có khả năng làm được tất cả các việc được yêu cầu.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lặp từ tập hợp số A



1;2;3;4;5;7;8



Giải: Gọi số cần tìm là a b c

Cách 1: Nhận thấy đây là việc chọn ra 3 số từ 7 số của tập hợp A rồi sắp xếp theo thứ tự nên số phần tử là

 

3 7

7! 210 7 3 !

A  



Cách 2: Áp dụng quy tắc đếm a (Chọn 1 từ 7 số): có 7 cách

b (chọn 1 từ 6 số còn lại): có 6 cách c (Chọn 1 từ 5 số còn lại): có 5 cách áp dụng quy tắc nhân: ta có: 7.6.5=210

(3)

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ tập hợp A



0;1;2;3;4;5;6



Giải: Gọi số cần tìm là abcde Liệt kê các số: 12346;12340

Nhận thấy: đây là việc chọn ra 5 số từ 7 số của tập hợp A rồi sắp xếp chúng, tuy nhiên có điều kiện là số chẵn nên ta không thể tùy tiện làm như cách 1 của ví dụ 2. Mà ta phải chọn điều kiện trước là số chẵn- các số có chữ số tận cùng là 0;2;4;6;8

TH1 Chọn ^e^

 

⁰ : có 1 cách

Chọnabcd: chọn 4 số từ 6 số còn lại và sắp xếp: có

 

4 6

6! 360 6 4 !

A  

 Áp dụng quy tắc nhân: 360.1=360 số

TH2:

e

chọn một số từ tập hợp



2;4;6 : có 3 cách



Chọn a0: chọn 1 số từ 5 số còn lại: có 5 cách Chọn bcd chọn 3 số từ 5 số còn lại rồi sắp xếp: có

 

3 5

5! 60

5 3 !

A  

 Áp dụng quy tắc nhân: 3.5.60=900 số

Vậy cả hai trường hợp có 900 + 360 = 1260 số Bài tập tương tự:

Bài 1. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ tập hợp



0;1;2;3;4;5;6



A

Bài 2: Trong trận chung kết bóng đá, để phân định thăng thua cần phải đá phạt đền.

huấn luyện viên lập danh sách 5 cầu thủ trong 11 cầu thủ trên sân (giả sử các cầu thủ có khả năng đá phạt đền như nhau). Hỏi có bao nhiêu cách lập danh sách như thế?

Bài 3: Có bao nhiêu vecto được tạo thành từ 5 điểm phân biệt.

Ví dụ 4: Cần 2 bác sĩ đa khoa trong nhóm 7 bác sĩ đang làm việc tại bện viện về vùng sâu, vùng xa chăm sóc thăm khám bệnh cho người dân địa phương. Giả sử cả 7 bác sĩ này đều có thể đảm nhiệm công việc trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 bác sĩ

Giải: Chọn 2 bác sĩ từ 4 bác sĩ nên có số cách chọn là

 

2 7

7! 21

2! 7 2 !

C  



(4)

Ví dụ 5: Có bao nhiêu đường thẳng được tạo thành từ 5 điểm không thẳng hàng

Giải: hai điểm tạo thành một dường thẳng, do đó số đường thẳng được tạo thành là

 

2 5

5! 10

2! 5 2 !

C  

 Bài tập tương tự:

Bài 1: Một tổ có 7 nam và 4 nữ.

a. Có bao nhiêu cách chọn một đội có 3 người.

b. Có bao nhiêu cách chọn một đội 3 người trong đó có đủ nam nữ.

Bài 2: Có bao nhiêu tập con có hai phần tử từ tập hợp ^A



a c d e g t^{, , , , ,}



Bài 3: Một bó có 10 hoa, chọn 3 hoa để cắm vào bình. Hỏi có bao nhiêu cách ch