Đề thi thử môn Toán 2018 ET 2

(1)

Đề tham khảo năm 2018 môn Toán số 2

Câu 1. Tập hợp ^A



0;1;2;3;4;5;6;7 , E







a a a a / a ;a ;a ;a^{1 2 3 4} ¹ ² ³ ⁴A,a¹0 .



Lấy 1 phần tử thuộc E bất kỳ. Tính xác suất để số đó chia hết cho 5.

A.

5

16 . B.

13

98 . C.

1

4 . D.

13 49 . Lời giải

Đáp án D

Số phần tử của tập E : A⁴⁸A³⁷ 1470

Để a a a a^{1 2 3 4} chia hết cho 5 điều kiện cần và đủ là a⁴ 0 hay a⁴ 5 Nếu a⁴ 0 thì lấy trong 7 chữ số 1, 2,.. .7.

Vậy có A³⁷ số tận cùng bằng 0

Nếu a⁴ 5thì các số a a a^{1 2 3}là A³⁷A²⁶ 180số Vây xác suất để số đó chia hết cho 5 là

3 2

7 6

4 3

8 7

2A A 13

A A 49

 



Câu 2. Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho A l;2;3 , B l;0; 5 ,





 



  

P : 2x y 3z 4 0.   

Tìm M P sao cho , ,

A B M thẳng hàng.

A. ^{M 3;4;11}



^



_. _B.^{M 2;3;7}



^



_. _C.^{M 0;1; 1}



^



_. _D.^{M 1;2;0}

 

_.

Lời giải Đáp án C

Phương trình

 

   

x 1 t qua A 1; 2;3

AB : x 2 t , t

VTCP AB 2; 2; 8 2 1; 1; 4

z 3 4t

  

  

    

 

     

 

   

 

 

M P

sao cho A, B, M thẳng hàng ^^{M AB}^ ^

 

^P

         

M AB M 1 t;2 t;3 4t .M    P 2 1 t   2 t 3 3 4t   0 t 1.

Vậy ^{M 0;1; 1 .}



^



Câu 3. Phương trình

   

 

1 2cos x 1 cos x 1 2cos x .sin x 1

 

  có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng



^{0; 2018 .}^



A. 3025 . B. 3026 . C. 3027 . D. 3028 .

   

     

1 2cos x 1 cos x

1 1 2cos x sinx 0 1 2cos x .sinx

 

  



1 cos x 2cos x sinx 2sin x cos x2 cos2x cos x sin 2x sinx 0

         

3x x 3x x

2cos cos 2sin cos 0

2 2 2 2

  

(2)

x

 

cos 0 l 2

x 3x 3x 2

2cos sin cos 0 x k .

2 2 2 sin 3x 0 6 3

2 4

 

  

  

           

Mà

 

2 2 1 3 1 3 1

k 0; 2018 0 k 2018 . k 2018 . k 3027.25

6 3 6 3 6 2 6 2 4

     

                  Do đó có 3027nghiệm.

Câu 4. Tìm chu kì của hàm số

sin 3x

y .

1 sin x

 

A. T . B. T 2 . C. T 2



. D.

T 2 3

  . Lời giải

Đáp án B

Vì hàm số sin xcó chu kỳ T¹  2 và sin 3xcó chu kỳ ² T 2

3

 

nên hàm số f có chu kỳ T là bội số chung nhỏ nhất của T¹ và T²hay T 2 .

Câu 5. Trong các hàm sau đây, hàm số nào không nghịch biến trên  . A. y  x² 2x²7x. B. y 4x cos x .

C. ² y 1

x 1

   . D.

2 x

y 2 3

 

    . Lời giải

Đáp án C

Với ²

y 1

x 1

   ta có ^{y '}^



^x²^2x^¹



²

y ' 0 khi x 0 và y ' 0 khi x 0 . Nên hàm số không nghịch biến trên  .

Câu 6. Từ các chữ số 0, 1, 2 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên (không bắt đầu bằng 0) là bội số của 3 và bé hơn 2.10 .⁸

A. 4373. B. 4374 . C. 3645 . D. 4370 . Lời giải

Đáp án C

Ta xem số thỏa mãn yêu cầu bài toán là số có dạng: A a a a a a a a a a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 trong đó các

 

ai 0;1; 2 và các aⁱkhông đồng thời bằng 0 . + Vì A 2.10 ⁸nên a1

 

0;1 a1

có 2 cách chọn.

+ Các số từ a²đến a⁸mỗi số đều có 3 cách chọn.

+ Chữ số a⁹ chỉ có 1 cách chọn ( Vì nếu a¹ ... a⁸chia cho 3 dư 0 thì chọn a⁹ 0,dư 1 thì chọn a9 2và dư 2 thì chọn a⁹ 1).

Vậy có tất cả là 2.3⁷ 4374 số ( gồm luôn các số dạng 0a a a a a a a a2 3 4 5 6 7 8 9).

(3)

Do đó số các số lập được thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2.3⁷ 3⁶ 3645số.

Câu 7. Cho hàm số

y 2x 1. x 1

 

 Mệnh để đúng là:

A. Hàm số đổng biến trên



^{ }^{; l và}

 

^{ }^l;



^._.

B. Hàm số nghịch biến trên



 ; l và l;

 

 



..

C. Hàm số đổng biến trên



 ; l và l;

 

 



, nghịch biến trên



^^{1;1 .}



_.

D. Hàm số đổng biến trên tập ..

Lời giải Đáp án A

TXĐ: ^D^ ^\

 

^¹

 

²

y ' 1 0, x D.

 x 1   



Hàm số đồng biến trên



^{ }^{; 1}



_và



^{ }^1;



_.

Câu 8. Giá trị nhỏ nhất của hàm số ^{y x}² ²



^{x 0}



 x 

bằng:

A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3 .

Lời giải Đáp án D

 

2

y ' 2x 2 , x 0; y ' 0 x 1 do x 0 .

  x     

Ta có:

 

x 0 x 0

f 1 3, lim y_ , lim y_

 

    

. Vậy giá trị nhỏ nhất là y 3 .

Câu 9. Cho hàm số ² y x 1 .

x 4

 

 Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là y 1, y  1 và hai đường tiệm cận đứng là x 2, x  2.

B. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là y 1, y  1và hai đường tiện cận ngang là x 2, x  2.

C. Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang là y 1 , hai đường tiệm cận đứng là x 2, x  2.

D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

TXĐ ^D^ ^{\ 2; 2 .}



^



xlim y2_ , lim yx 2_

      

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x 2, x  2.

(4)

x x

2 2

1 1

x 1 x 1

x x

lim y 1, lim y 1

4 4

x 1 x 1

x x

 

     

   

   

     

 

Đồ thị có hai đường tiệm cận ngang là y 1, y  1.

Câu 10. Đổ thị sau đây là đổ thị của hàm số nào?

A.

yx 1 x 1



 . B.

y 2x 1 x 1

 

 . C.

y x 2 x 1

 

 . D.

y x 3 1 x

 

 . Lời giải

Đáp án B

Dựa vào đồ thị, có 2 đường tiện cận là x 1 àv y 2 Câu 11. Đồ thị hàm số

4

x 2 3

y x

2 2

   

cắt trục hoành tại mấy điểm?

A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 0 .

Lời giải Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm :

4 2 2

2

x 1

x 3

x 0 x 3.

2 2 x 3

  

       

 

=> đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

Câu 12. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x ³2mx²m x 2²  đạt cực tiểu tại x l. A. m 1 . B. m 3 . C. m 1  m 3 . D. m 1.

TXĐ D

2 2

y ' 3x 4mx m , y '' 6x 4m.  

Do hàm số đã cho là hàm bậc ba nên hàm số đạt cực tiểu tại x 1.

 

2

m 1

y ' 1 0 m 4m 3 0 m 3

6 4m 0 m 1.

y '' 1 0 3

m 2

 

 

    

  

    

 

   

 



Câu 13. Cho hàm số ^{y f x}^

 

xác định và liên tục trên các khoảng



^^{;0 , 0;}

 

^



và có bảng biến thiên như sau:

(5)

Tìm tất cả các giá trị thực của ^m để đường thẳng y m cắt đổ thị hàm số ^{y f x}^

 

tại 3 điểm phân biệt.

A.   4 m 0. B.   4 m 0. C.   7 m 0. D.   4 m 0. Lời giải

Đáp án B

Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số ^{y f x}^

 

tại 3 điểm phân biệt khi 4 m 0

   .

Câu 14. Hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình thoi cạnh 1,BAD 60 ,  



^{SCD và SAD}

  

cùng vuông góc với mặt phẳng



^{ABCD ,}



_{góc gịữa}_SC và mặt đáy ABCD bằng 45 . Tính diện tích mặt cẩu ngoại tiếp tứ diện SBCD.

A.

7 2



. B.

7 4



. C.

7 6



. D.

7 3

 . Lời giải

Đáp án D

ABCD là hình thoi có BAD 60  ^  ABD và BCD là hai tam giác đều cạnh bằng 1.

   

 

SAD ABCD

SCD ABCD SD ABCD .

SAD SCD SD





  

  



Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Kẻ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Trong mặt phẳng



^SDG



, kẻ đường thẳng Ky vuông góc với SD và cắt Gxtại I ( với K là trung điểm

SD) ^ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD.

Ta có:

2 2

1 2 3 3 21

IG KD , DG . ID IG GD .

2 3 2 3 6

       

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD là

21 2 7

S 4 . .

6 3

  

   

Câu 15. Giải bất phương trình log 3x 22







log 6 5x2







được tập nghiệm là



^a;b



Hãy tính tổng S a b 

A.

S 26

 5

. B.

S 8

5

. C.

S 28

15

. D.

S 11

 5 . Lời giải

Đáp án D

(6)

   

2 2

x 2 3x 2 0 3

6 6

log 3x 2 log 6 5x 6 5x 0 x 1 x .

5 5

3x 2 6 5x x 1

6 11

a 1; b S .

5 5

 

   

 

          

    

  



    

Câu 16. Tính đạo hàm của hàm số y 2 . ^{x 1}^

A. ^{y '}^



^{x 1 2 ln 2}^



^x _. _B.y ' 2 ^{x 1}^ log 2. C.

2x 1

y ' ln 2

 

. D.

y ' 2 x 1^ ln 2.

Ta có: y ' 2 ^{x 1}^ ln 2

Câu 17. Nghiệm của bất phương trình

x 2 1

3 9

  là:

A. x 4. B. x 0 . C. x 0 . D. x 4 Lời giải

Đáp án A

x 2 1 x 2 2

3 3 3 x 2 2 x 4

9

            

Câu 18. Một cái bổn chứa nước gổm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ). Đường sinh của hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của bồn chứa nước là¹²⁸₃^

 

^{m .}³

Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị m .²

A. ^{50 m}^

 

² _. _B.^{64 m}^

 

² _. _C.^{40 m}^

 

² _. _D.^{48 m}^

 

² _.

Gọi ^{4x m}

 

là đường sinh hình trụ.

 đường tròn đáy hình trụ và mặt cầu có bán kính là ^{x m}

 

Thể tích bồn chứa nước này chình là thể tích của khối trụ có bán kính đáy R x đường sinh l h 4x  và thể tích khối cầu có bán kính R x .

Do đó ^{x .4x}² ⁴^x³ ¹²⁸ ^{x 2 m .}

 

3 3

  

    

Vậy diện tích xung quanh bồn nước là: ^S^{ }



^4x²^^2x.4x



^^{48 m .}^

 

²

(7)

Câu 19. Số nào trong các số phức sau là số thực?

A.



^{3 2i}^

 

^ ^{3 2i}^



_. _B.



^{3 2i}^

 

^{ }^{3 2i}



_.

C.



^{5 2i}^



^



^{5 2i}^



_. _D.



^{1 2i}^

 

^{  }^{1 2i}





^{3 2i}^

 

^{ }^{3 2i}



^^6.

Câu 20. Cho điểm M là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo cuả số phức z.

A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i . B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4i. C. Phần thực là 4 và phần ảo là 3 . D. Phần thực là 4 và phần ảo là 4.

Câu 21. Trong không gian Oxyz,cho ba véctơ ^a 



1; 10 , b







1; 1;0 , c







1; 1; 1 .



Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. ^b^^^c^. B. c  3

. C. a  2

. D. ^b^ ^^a^. Lời giải

Đáp án A

b.c 2 0   b,c 

không vuông góc với nhau.

Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độOxyz,cho mặt phẳng

 

P : 2x y z 3 0   

và điểm ^{A 1; 2;1 .}



^



Phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với

 

^P _là:

A.

1 2t y 2 4t z 1 3t

 

   

  

 . B.

x 1 2t y 2 2t z 1 2t

  

   

  

 . C.

x 2 t y 1 2t z 1 t

  

   

  

 . D.

x 1 2t y 2 t z 1 t

  

   

  

 .

Đường thẳng

 

 ^P

 

x 1 2t qua A 1; 2;1 .

: y 2 t.

VTCP n 2; 1;1 z 1 t

  

 

 

      

 

 

   



Câu 23. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A 9; 3; 5 , B a;b; c .





  

Gọi M N P, , lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt phẳng toạ độ



Oxy , Oxz và Oyz .

    

Biết

, ,

M N Pnằm trên đoạn AB sao cho AM MN NP PB.   Giá trị của tổng a b c  là:

A. 21. B. 15. C. 15 . D. 21.

(8)

Đường thẳng

 

x 9 9 a t AB y 3 3 b t .

z 5 5 c t

  



    

   



Từ điều kiện M, N, P AB và AM MN NP PB   .

 M N P, , là trung điểm của AB, AN và BN

9 a 3 b 5 c

9 3 5

9 a 3 b 5 c 2 2 2

N ; ; , M ; ;

2 2 2 2 2 2

   

     

 

   

 

    

 

9 a 3 b 5 c

a b c

2 2 2

M ; ;

2 2 2

   

    

 

 

Mà

 

5 5 c

2 0

M O xy 2 a 3

N O xz 3 b 0 b 3 .

2 c 15

P Oyz 9 a

a 2

2

  

 

 

    

      

  

     

   

 Vậy a b c   15.

Câu 24. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD A B C D.     có cạnh đáy bằng ^a. Biết đường chéo cùa mặt bên là a 3. Khi đó, thể tích khối làng trụ bằng:

A. a 3 .³ B. ^a³ ². C.

a3 2

3 . D. 2a .³ Lời giải

Đáp án B

Ta có: AB a, A 'B a 3  AA'=a 2

 

² ³

ABCD.A 'B'C'D'

V A A '. AB a 2

  

Câu 25. Cho hình chóp S.ABCcó SA vuông góc với mặt phẳng



^{ABC .}



Tam giác ABC vuông tại C, AB a 3, AC a.  Tính thể tích khối chóp S.ABC biết rằng SC a 5.

A.

a3 6

6 . B.

a 63

4 . C.

a3 2

3 . D.

a 103

6 . Lời giải

Đáp án C

2 2

3

S.ABC ABC

BC AB AC a 2.

SA SC AC 2a

1 1 1 a 2

S SA.S .2a. .a.a 2 .

3 2 2 3

  

   

(9)

Câu 26. Tính

dx , 2x 1



_{ta được:}

A. ¹^{ln 2x 1}

 

^C

2  

.B.

 

²

2 C

 2x 1 

 . C. ln 2x 1 C  . D.

1ln 2x 1 C

2  

. Lời giải

Đáp án D dx 1

ln 2x 1 C 2x 1 2  



 Câu 27. Cho

   

1

0

l n x 1 dx a ln b, a, b   



^

. Tính



^{a 3 .}^



^b

A. 25 . B.

1

7 . C. 16 . D.

1 9 . Lời giải

Đáp án C

Đặt

 

¹

u ln x 1 du dx

x 1 .

dv dx v x 1

  

 

  

 

    

       

1 1

0 0

I ln x 1 dx x 1 ln x 1 x 1 . 1 dx 2ln 2 x 2ln 2 1 1 ln 4.

       x 1       

 



 

^b

a 1, b 4 a 3 16.

      

Câu 28. Tập nghiệm của phương trình z⁴2z² 8 0 là:

A.



^{ }^{2; 4i}



_. _B.



^ ^{2; 2i}^



_. _C.



^ ^{2i; 2}^



_. _D.



^{ }^{2; 4i}



_.

2

4 2

2

z 2 z 2i

z 2z 8 0

z 2

z 4

     

    

 

 



Câu 29. Một vật chuyển động với vận tốc ^{v t}

 

có gia tốc là ^{a t}

 

^^3t²^^{t m / s .}



²



Vận tốc ban đẩu của vật là ^{2 m / s .}

 

Hỏi vận tốc của vật sau 2s.

A. 12m / s . B. 10m / s . C. 8m / s . D. 16m / s Lời giải

Đáp án A

Ta có: ^{v t}

 

^



^{a t dt}

 

^



^{3 t}



²^^{t dt t}



^{ }³ ^t₂² ^^c.

Ban đầu vật vận tốc ^{2 m / s}

 

^^{v 0}

 

^{  }² ^{c 2.}

 

³ ^t²

 

v t t 2 v 2 12.

   2   

Câu 30. Diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ sau là:

(10)

A.

22

3 . B. 2 . C.

16

3 . D.

10 3 . Lời giải

Đáp án D

Dựa vào hình vẽ, diện tích hình phẳng giới hạn sẽ là:

 

2 4

0 2

S xdx x x 2 dx 10



 

   3

Câu 31. Cho tứ diện ABCD và M là điểm ở trên cạnh AC. Mặt phẳng

 

^ _{qua và}_M song song với AB và CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi

 

^ _là:

A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình thang. D. Hình thoi.

Trên



^ABC



_kẻMN / /AB; N BC Trên



^BCD



_kẻNP / /CD; P BD Ta có

 

^ chính là mặt phẳng



^MNP



Sử dụng định lý ba giao tuyến ta có



^MNP



^^AD^

 

^Q _vớiMQ / /CD / NP Ta có

MQ / /NP / /CD MN / /PQ / /AB



 Thiết diện MNPQ là hình bình hành.

Câu 32. Trong hệ tục toạ độ không gian Oxyz, cho A 1;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c ,

     

biết b,c 0, phương trình mặt phẳng

 

P : y z 1 0.  

Tính M b c  biết



^ABC

  

P ,d O; ABC

   

¹

 3

A. 2 . B.

1

2 . C.

5

2 . D. 1.

Phương trình mặt chắn



^ABC



_là:^x_{1 b c}^{  }^{y z} ^1.

(11)

   

 

₂ ₂ ²

 

ABC P 1 1 0 b c.

b c

1 1 1

d O; ABC 9 1 2 b c

3 b

1 1

1 b c

     

                 

b 1,

  2

do đó b,c 0 nên

b c 1.M b c 1.

 2   

Câu 33. Cho khối lập phương ABCD A B C D.     có cạnh là ^a. Tính thể tích khối chóp tứ giác D.ABC 'D '.

A.

a3

3 . B.

a3 2

6 . C.

a3 2

3 . D.

a3

4 . Lời giải

Đáp án A

Ta có D.ABC'D' D.ABD' D.BC'D' D'.ABD B.DC'D'



D'.ABCD B.DCC'D'



V V V V V 1 V V

     2 

3 ABCD.A'B'C'D' ABCD.A'B'C'D' ABCD.A'B'C'D'

1 1 1 1 a

V V V .

2 3 3 3 3

 

    

Câu 34. . Cho hai đường tròn bằng nhau có tâm lấn lượt là O, O', biết chúng tiếp xúc ngoài, một phép quay tâm I và góc quay 2



biến đường tròn

 

^O thành đường tròn

 

^{O '} . Khẳng định nào sau đây sai?

A. I nằm trên đường tròn đường kính OO'. B. I nằm trên đường trung trực đoạn OO'.

C. I là giao điểm của đường tròn đường kính OO' và trung trực đoạn OO'. D. Có hai tâm I của phép quay thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Chỉ có một điểm I để



^{IO, IO '}



^0.

2

 

Câu 35. Cho ba số thực dương a b c, , khác 1. Đồ thị các hàm số y log x, y log x, y log x ^a  ^b  ^c được cho trong hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng.

A. b c a  . B. a b c  . C. a c b  . D. b a c  . Lời giải

Đáp án A

Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số y log x ^b nghịch biến, y log x, y log x ^a  ^c đồng biến và đồ thị y log x c phía trên y log x. ^a Nên ta có b c a  .

(12)

Câu 36. Tìm m để hàm số ^{y mx}^ ⁴ ^^{2 m 1 x}



^



²^² có 2 cực tiểu và một cực đại.

A. m 0 . B. 0 m 1  . C. m 2 . D. 1 m 2  . Lời giải

Đáp án B TXĐ D

 

3

2

y ' 4mx 4 m 1 x.

y ' 0 x 0

mx m 1

  

 

     

Hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại khi phương trình y ' 0 có ba nghiệm phân biệt và m 0 .

Khi đó phương trình ^mx² ^{ }



^{m 1}^



có hai nghiệm phân biệt khác 0 và m 0 . m 0

0 m 1.

m 1 0 m

 

     

Câu 37. Cho hình chóp S.ABCcó SA 3a,SA vuông góc vói mặt phẳng đáy, AB 2a, ABC 120 .    Khoảng cách từ A đến



^SBC



_bằng:

A.

3a

2 . B.

3a 10

10 . C.

6a 13

13 . D. a 13 . Lời giải

Đáp án D

Gọi I là trung điểm của CD, O là tâm hình vuông ABCD ^^SO^



^{ABCD .}



Ta có OI CD,SI CD  



^



SCD ; ABCD

   





^SI;OI



SIO 60 .^  ^

a a 3

SO OI.tan 60 3

2 2

 ^  

 

BD SO

BD SAC . BD AC

 

 

 



Kẻ OH SA tại H =>OH là đoạn vuông góc chung của SA BD, .

 

₂ ₂ ₂ ₂

a 3 a 2

SO.OA 2 . 2 a 30

d SA, BD .

SO OA 3a 2a 10

4 4

  

 

Câu 38. Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78.685.800người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1, 7%.

Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức S A.e ^Nr(trong đó A: là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là số dân sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm). Nếu dân số vẫn táng với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu

A. 2006 . B. 2020 . C. 2022 . D. 2025 . Lời giải

Đáp án A

(13)

Ta có 78685800.e^N.0,017 120000000N 24,8 (năm)

Do đó, tới năm 2026thì dân số nước ta đạt mức 120triệu người.

Câu 39. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

2 x

2018

y log 2017 x x m 2

 

     

  xác định với mọi ^x thuộc



^0;^



^.

A. m 9 . B. m 2 . C. 0 m 1  . D. m 1 . Lời giải

Đáp án D

Hàm số xác định với mọi ^x thuộc



^0;^



khi và chỉ khi

     

2 2

x x x x

2017 x m 0, x 0; 2017 x m, x 0; *

2 2

             

Xét hàm số: ^{f x}

 

²⁰¹⁷^x ^x ^x²

   2

trên



^0;^



.Hàm số liên tục trên



^0;^



 

^x

f ' x 2017 .ln 2017 1 x 

và liên tục trên



^0;^



 

^x

 

²

 

f '' x 2017 . ln 2017    1 0, x 0;

 

f ' x

 đồng biến trên



^0; 



^{f ' x}

 

^{f ' 0}

 

ln 2017 1 0, x   



0;



 

f x

là hàm số đồng biến trên



^0;^{ }



_^{min f x}_0;__

 

^^{f 0}

 

^^1.

Bất phương trình

     

_ _

 

* f x m, x 0; min f x0; m m 1.

         

Câu 40. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyến bằng ^a, diện tích xung quanh của hình nón đó là:

A.

2 xq

a 2

S 4

 

. B.

2 xq

a 2

S 2



. C. S^xq a²

. D. S^xq  a² 2 . Lời giải

Đáp án A

Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng ^a =>bán kính

đường tròn đáy là R a

 2

, đường sinh là a 2

2 . Vậy diện tích xung quanh của hình nón là

2 xq

a 2

S Rl .

4

  

Câu 41. Cho số phức z thoả mãnz 3 4i  2, w 2z 1 i.   Khi đó w có giá trị lớn nhất là:

A. 16 74. B. 2 130. C. 4 74. D. 4 130. Lời giải

Đáp án D Đặt

 

x 1 y 1 i w 1 i

w x yi z .

2 2

  

      



^{x 7}

 

^{y 9 i}

   

²



²

   

² ²

z 3 4i 2 2 x 7 y 9 4 x 7 9 16.

2

  

              

(14)

=>Tập hợp điểm biểu diễn số phức ^w là đường tròn tâm ^{I 7; 9}



^



_{bán kính}_{R 4}_ _.

Khi đó w

có giá trị lớn nhất là OI R 4   130. Câu 42. Tìm hệ số của x²⁶trong khai triển

n 7 4

1 x x

  

 

  biết ⁿ thỏa mãn biểu thức sau

1 2 n 20

2n 1 2n 1 2n 1

C _ C _  ... C _ 2 1.

A. 210 . B. 126 . C. 462 . D. 924 .

Biểu thức đã cho viết thành C⁰^{2n 1}_ C¹^{2n 1}_  ... C²^{2n 1}_ 2²⁰ Mà C⁰^{2n 1}_ C¹^{2n 1}_  ... Cⁿ^{2n 1}_  ... C^{2n 1}^{2n 1}^_ 2^{2n 1}^

Do tính chất C^k^{2n 1}_ C^{2n 1 k}^{2n 1}^{ }_ nên



⁰^{2n 1} ¹^{2n 1} ⁿ^{2n 1}



^{2n 1} ²¹ ^{2n 1}

2 C _ C _  ... C _ 2 ^ 2 2 ^  n 10 Số hạng tổng quát trong khai triển



^x^⁴^^x⁷



_làC .x10^k ^^{4 10 k}^ ^ ^.x^7k

Hệ số của x²⁶trong khai triển là C¹⁰^k với ^^{4 10 k}



^



^^{7k 26}^ ^{ }^{k 6}

Hệ số đó là C¹⁰⁶ 210.

Câu 43. Trong không gian hệ tọa độ Oxyzcho tứ diện ABCD với A



2;3; 2 , B 6; 1 2

 

 ;



,

  

^,



C l; 4;3 D l;6; 5 .  

Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất.

A. ^{M 1;1;0}

 

_. _B.^{M 0;1; 1}



^



_. _C.^{M 1;1; 1}



^



_. _D.^{M 1;1; 1}



^ ^



_.

Ta có:

2 2 2 2 2 2

AC 3 7 1  59, AD 3 7 1  59 ACDcân tại A

2 2 2 2 2 2

BC 3 7 5  83, BD 3 7 5  83 BCDcân tại B

Từ đó gọi M là trung điểm của CD ta có AMCD, BMCD. Do đó chu vi ABMlà

 

_min

 

_min

p AB AM BM   AM BM (vì AB không thay đổi), tức là khi M là trung điểm cuả CD hay ^{M 0;1; 1}



^



Câu 44. Cho tam giác ABC có các góc A B C, , tạo thành một cấp số nhân công bội 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

1 1 1 a  b c

. B.

1 1 1 b  a c

. C.

1 1 1 c a b

. D.

1 1 1 a  b c 1

. Lời giải

Đáp án A

(15)

Ta có B 2A,C 2B 4A   mà

A 7

A B C B 2 .

7 C 4

7

 



 

     

 

 

Thế vào

4 2

sin sin

1 1 1 1 1 . 7 7 1 .sin 1.

2 4 4 2

b c 2R sin 2R sin 2R sin .sin 2R 7 a

7 7 7 7

  

     

   

Câu 45. Cho hình vẽ dưới đây trong đó A B C D, , , lần lượt là tâm của bốn đường tròn có bán kính bằng nhau, chúng tạo thành một hình vuông có cạnh là 4. Bốn đường tròn nhỏ bằng nhau và tâm của nó nằm trên các cạnh của hình vuông ABCD và mồi đường tròn này tiếp xúc với hai đường tròn lớn. Tìm diện tích lớn nhất của phần in đậm.

A. 5.38 . B. 7.62 . C. 5.98 . D. 4.44 .

Gọi bán kính của các đường tròn lớn là R x . Ta có:

2

2 2 4 2x 2 8

S 4 x 2 3 x 8 x 16 8 16

2 3

  

                .

Câu 46. Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn 3

 

3

x 1 y 1

log x y 2 1 log .

y x

   

      

  Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

2 2

x y a

xy b

 

với a, b và



^{a, b}



^^1._Hỏi_{a b}_ bằng bao nhiêu.

A. 2 . B. 9 . C. 12 . D. 13 .

Ta có:

     

3 3

x 1 y 1 x y 1 1 1 1

log x y 2 1 log 3 x y 3 2 2 x y .3 2

y x y x x y x y

         

                   

       

x y x y x y 10

3 2 3 6 2

y x y x y x 3

   

          

   

Do đó a b 13. 

(16)

Câu 47. Cho hình nón có đỉnh S, chiều cao h và bán kính đáy bằng R. Mặt phẳng

 

^ _qua_S_{cắt hình}

nón tạo ra một thiết diện tam giác. Diện tích lớn nhất của thiết diện bằng:

A.

2

2 R

h  2

. B.

2 2

h R 4



. C.

2 2

h R 3



. D.

2 2

h R 2

 . Lời giải

Đáp án D

Thiết diện là tam giác SMN cân tại S.

Kẻ bán kính OA của hình nón vuông góc với MN tại H. Đặt x OH. Tam giác OHM vuông tại H có:

2 2 2 2 2 2 2

HM OM OH R x HM R x Tam giác vuông SOH tại O có:

2 2 2 2 2 2 2

SH SO OH h x SH h x . Diện tích thiết diện:

2 2 2 2 2 2 2 2

SMN

1 1

S SH.MN h x .2 R x h x . R x

2 2

      

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:



² ²

 

² ²



² ²

2 2 2 2 h x R x h R

h x . R x .

2 2

   

   

Suy ra

2 2 2 2

max

h R R h

S h x R x x .

2 2

 

      

Vậy thiết diện có diện tích lớn nhất khi và chỉ khi giao tuyến của

 

^ với mặt đáy của hình nón cách tâm của đáy một khoảng bằng

2 2

R h

2 .



Câu 48. Biết ³ ³ 3³ ³

 

1 2 3 ... n a

lim a, b

n 1 b

     

 

. Giá trị của 2a²b²là:

A. 33 . B. 73 . C. 51. D. 99 .

Ta có:

 

²

3 3 3 3 n n 1

1 2 3 ... n

2

     

do đó

 

3 3 3 3 2

3 3

1 2 3 ... n n 1 1

lim lim .

3n 1 2 3n 1 6

    

 

 

Nên 2a²b² 73.

(17)

Câu 49. Cho ba số dương a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị lớn nhất của biểu thức

 

2 2

a 8bc 3 P

2a c 1

 

  

có dạng ^{x y x, y}



^



^. Hỏi x y bằng bao nhiêu:

A. 9 . B. 11. C. 13 . D. 7 .

Ta có:

 

²

 

²

2 2 2 2 2

a c 2b   a 2b c a  2b c a 8bc 4b 4bc c a 8bc 2b c

Do đó

 

² ²

2b c 3 t 3

P 10

t 1 2b c 1

  

  

  

với t 2b c  , dấu bằng xảy ra khi

2b c 1.

  3 Vậy x y 11. 

Câu 50. Diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi parabol

 

^P ^{: y}^^x²^¹ và đường thẳng d : y mx 2  là:

A.

4

3 . B.

2

5 . C. 1. D.

3 4 Lời giải

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm : x² 1 mx 2 x²mx 1 0  m2 4 0 m

      nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

 

2 2

1 2 1 2

2

2 1 2 1 2 1

m m 4 m m 4

x , x x x

2 2

x x m 4,S x x m, P x x 1

   

  

         

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 

^P _và

 

^d _là:

 

2 2 2

1 1 1

x x 3 2 x

2 2

x x x

x mx

S x mx 1 dx x mx 1 dx x

2 2

 

          

 

 



²³ ¹³

 

²² ¹²

 

² ¹



1 m

x x x x x x

3 2

     



^x² ^x¹



¹₃



^x²² ^{x x}^{2 1} ^x¹²



^m₂



^x² ^x¹



¹



^x² ^x¹

 

¹₃ ^x² ^x¹



² ^{x x}^{2 1} ^m₂



^x² ^x¹



¹

             

2 2 2 2 2

2 m 1 m 2 m 2 2 m 4 m 4 4 4

m 4 1 m 4 m 4. 4. m

3 2 6 3 6 6 6 3

  

              

Diện tích S nhỏ nhất bằng

2

4 2 m 4

m 4.

3 6

  

nhỏ nhất m 0 .