20 bài tập - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Dạng 2) - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với ABBCa, AD2a. Hai mặt phẳng
SAC
và
SBD
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng
SBD
A.
5
a B. 2
5
a C. 3
5
a D. 4
5 a
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB 2HA. Biết SC tạo với đáy một góc 45° và cạnh bên SA2a 2. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
SAB
A. 3 2
a B. 2 2
3
a C. 3 3
2
a D. 2
3 a
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a, SAB là tam giác vuông cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ trung điểm H của AB đến mặt phẳng
SBD
là?A. 3 3
a B. a C. 3
2
a D. 10
2 a
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có SA3a và SA
ABC
. Biết ABBC2a, ABC120. Tính khoảng cách từ A đến
SBC
?A. 2a B.
2
a C. a D. 3
2 a
Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC a 3,ABC 30 , góc giữa SC và mặt phẳng
ABC
bằng 60°. Cạnh bên S vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
SBC
bằng A. 6
35
a B. 3
35
a C. 3
5
a D. 2 3 35 a
Câu 6. Cho hình lăng trụ ABC A B C. ' ' ' có ABa 3,ABC 30 ,ACB 60 . Hình chiếu vuông góc của '
A trên mặt đáy là trung điểm của BC. Thể tích khối chóp A ABC' bằng
3
6
a . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng
A AB'
bằngA. 6 6
a B. 2
7
a C. 6
4
a D. 6
12 a
Câu 7. Cho hình chóp đều S.ABC có ABa, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60°. Tính 4d
a , biết d là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
SBC
.A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA
ABCD
, SAABa và.
ADx a. Gọi E là trung điểm cạnh SC. Tìm x, biết khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng
SBD
là3 d a.
A. x1 B. x2 C. x3 D. x4
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA
ABCD
,3
SAa . Tính theo a khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng
SBC
.A. 2
a B. 3
4
a C. 5
6
a D. 7
8 a
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA
ABCD
, SAABa và2
AD a. Gọi F là trung điểm cạnh CD. Tính 33d
a , biết d là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
SBF
.A. 2 33 B. 4 33 C. 2 11 D. 4 11
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4a. Gọi H là điểm thuộc đường thẳng AB sao cho 3HAHB0. Hai mặt phẳng
SAB
và
SHC
đều vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
SHC
.A. 5 12
a B. 5
6
a C. 12
5
a D. 6 5
a
Câu 12. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, M là trung điểm của CD. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng
SOM
A. a B.
2
a C.
4
a D.
8 a
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng
SHC
biết thể tích khối chóp S.ABCD là3 3
3 a
A. 17
a B. 2
17
a C.
27
a D. 2
27 a
Câu 14. Cho hình hộp đứng ABCD A B C D. ' ' ' ' có đáy là hình vuông, tam giác A AC' vuông cân tại A, cạnh A C' 2a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
BCD'
theo a?A. 3 3
a B. 6
3
a C. 2
2
a D. 3
2 a
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có SA3a
và
SA
ABC . Giả sử
ABBC2a, góc
ABC120.
Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng
SBC ?
A. 2
a
B. a
C. 3
2
a
D. 2a
Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác với ABa AC, 2 ,a BAC 120
. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SBC tạo với đáy một góc 60°. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
SBC là:
A. 3 2 7
a
B. 3 7 2
a
C. 7
2
a
D. 2 7 3
a
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
Cạnh SC hợp với đáy một góc 60°. Gọi h là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
SBD . Tỉ số
h
a
bằng
A. 18
13
B. 78
13
C. 58
13
D. 38
13
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; AD2AB2BC
;
BCa;
SA
ABCD và SB hợp với mặt phẳng đáy một góc 45°. Tính
d A SDC
,
a
A. 2 6
3
B. 2 3
3
C. 2
3
D. 6
3
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCBAD 90
,
BABCa;
2AD a
. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và
SAD bằng 30°. Tính khoagnr cách từ A đến
SCD .
A. a
B. a 2
C.
2
a
D. a 3
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có BAD120
. Cho
SA ABCD
. Gọi M là trung điểm của BC; biết
SMA 45. Tính
d B SDC
, ?
A. 6 4
a
B. 6
2
a
C. 3
2
a
D. 3
8 a
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Chọn đáp án B
Ta có
SAC ABCD SBD ABCD
và
SAC
SBD
SO
SO ABCD
với OACBD
Kẻ AH BD ta có AH BD AH
SBD
AH SO
Ta có 1 2 12 12 52 2
4 5
AH a
AH AB AD a
,
25 d A SBD a
Câu 2. Chọn đáp án C
Ta có
SC ABC, SCH 45
Giả sử ABBCCA3x
Ta có CH AH2 AC22AH AC. .cos 60 x 7 Ta lại có SA2 SH2AH2 8a2 8x2 x a
3 AB BC CA a
Kẻ CK AB ta có CK AB CK
SAB
CK SH
Mà 3 3
, 3 3
2 2
a a
CK d C SAB Câu 3. Chọn đáp án A
Vì SAB là tam giác vuông cân tại S nên SH
ABCD
.Từ H kẻ HI BD, từ H kẻ HKSI với IBD K, SI . Ta có
SH BD
BD SHI BD HK HK SBD HI BD
.
Do đó d H SBD
, HK. Mặt khác 12 12 1 2 HI SH HK .
Mà 1
,
2 2
HI d A BD a và
2
SH AB a.
Nên 1 2 1 2 12 32
3 2
HK a
HK a a a
Câu 4. Chọn đáp án D
Từ A kẻ AH BC, kẻ AKSH với HBC K, SH . Ta có
SA BC
BC SAH BC AK AK SBC AH BC
Do đó d A SBC
, AK thỏa mãn 2 2 2
1 1 1
SA AH AK .
Mà SA3a và 3
sin 60 . .2 3
AH AB 2 aa Nên
2 2 2 2
1 1 1 4 3 3
9 3 9 2 , 2
a a
AK d A SBC
AK a a a
Câu 5. Chọn đáp án C
Kẻ AE BC AK, SE E
BC K, SE
.Chứng minh AK
SBC
AK d A SBC
, .
Xét tam giác SAE vuông tại A ta có:
2 2
. SA AE AK
SA AE
.
Tính SA, AE:
Xét hai tam giác vuông ABC và SAC: ABSA3a. Xét tam giác vuông ABC: 3
2 AE a.
,
35 d A SBC HK a
.
Câu 6. Chọn đáp án B
Gọi E là trung điểm của AB.
Ta có .tan 30
2 AC AB a HE a.
3 '
1 ' . '
3 6 3
A ABC ABC
a a
V A H S A H
Kẻ '
,
'
7 HK A EHK d H A AB a
, '
2
,
' 2
7 d C A AB d H A AB a
Câu 7. Chọn đáp án A
Gọi O là tâm của tam giác ABC và H là trung điểm của BC.
Có
,
,
SO BC
BC SAH SBC ABC SH AH SHA AH BC
Kẻ OK SH suy ra OK
SBC
d O SBC
, OK.
Xét OKH vuông tại K, có
3 3
sin 60 . . .
2 6 4
OK OH OH AH a
Do đó
, 3 , 3 4 3
4
a d
d A SBC d H SBC d
a .
Câu 8. Chọn đáp án B
Ta có
, 1 , , 2
2 3 3
a a
d E SBD d A SBD d A SBD . Gọi H là hình chiếu của A lên BD. Và K là hình chiếu của A lên SH.
Ta được
, 2
3 AK SBD AK d A SBD a.
Mà
2
2 2 2 2 2
. .
. . AB AD x a
AH BD AB AD AH
AB BD a x a
Do đó
2 2 2
2 2 2 2 2 2 4
1 1 1 9 1
4
a x a
AK SA AH a a x a
.
2 2 2
5 1
4 2
4
x x x
x
vì x0.
Câu 9. Chọn đáp án B
Ta có d A SBC
, 2d O SBC ,
Gọi H là hình chiếu của A lên SB.
Ta có SA BC BC
SAB
BC AH AH
SBC
AB BC
Mà 1 2 12 12 12 12 42 3
3 3 2
AH a
AH SA AB a a a
Do đó
, 1 , 1 3
2 2 4
d O SBC d A SBC AH a Câu 10. Chọn đáp án B
Gọi H là hình chiếu của A lên BF. Và K là hình chiếu của A lên SH.
Ta có
SA BF
BF SAH BF AK AK SBF AH BF
.
Do đó d d A SBF
, AK.
Mà 2 2 17
2 BF BC CF a .
Nên
. 2 2 4
. .
17 17
2
AB AD a a
AH BF AD AB AH
BF a
.
Khi đó 1 2 12 1 2 12 172 332 4
16 16 33
AK a
AK SA AH a a a .
Vậy
33. 4
33 33 4 33
a d
a a
Câu 11. Chọn đáp án C
Ta có
SAB ABCD SHC ABCD
mà
SAB
SHC
SH
SH ABCD
Kẻ BKCH ta có BK CH BK
SHC
BK SH
Ta có 12 1 2 12 25 2 12
144 5
BK a
BK BH BC a
,
125 d B SHC a
Câu 12. Chọn đáp án B
Do hình chóp S.ABCD là hình chóp đều nên
SO ABCD
Ta có CM OM CM
SOM
CM SO
Mà
,
2 2
a a
CM d C SOM Câu 13. Chọn đáp án A
Gọi H là trung điểm của ABSH
ABCD
và3 2 SH a Ta có
2 .
1 1 1 3 3.
. . . .
3 3 3 2 6
S ABCD ABCD
a a BC
V SH S SH AB BC a BC
Mà
3 2 3
.
3 3 3
. 2
3 6 3
S ABCD
a a a
V BC BC a
Kẻ OK CH ta có OK CH OK
SCH
OK SH
Ta tính được
,
17 17
a a
OK d O SCH
Câu 14. Chọn đáp án B
+) Kẻ AP A B' d A BCD
,
' d A A BC , ' AP
+) A AC' vuông cân tại
' 2
' 2
2 2
A C a
A A A AC a . Tứ giác ABCD là hình vuông
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
' 2 2
2 AB AC a
AP A A AB a a a
2 6 6
, '
3 3
3
a a a
AP d A BCD
Câu 15. Chọn đáp án C
+) Trên mặt phẳng đáy, qua A kẻ một đường thẳng vuông góc với AC, đường thẳng này cắt BC tại P.
Đặt d A SBC
, d A SPC , h , tứ diện vuông S.APC
2 2 2 2
1 1 1 1
h AS AC AP
.
+) ABP đều
2 2 2 2 2
2 2
tan 60 3 2 3
1 1 1 1 4 3
9 12 4 9 2
AP BA a
AP a
AC AC a
AP
h a
h a a a a
Câu 16. Chọn đáp án A
Ta có: BC AB2AC22AB AC. .cos120 a 7 Dựng AE BC AF; SE khi đó d A SBC
, AF
Ta có: 2 . sin 21
7 SABC AB AC BAC a
AE BC BC
Mặt khác BC SA BC
SAE
SEA 60BC AE
Suy ra 21 3 3
sin 60 .
7 2 2 7
a a
d AF AE
Câu 17. Chọn đáp án B
Do ABCD là hình vuông nên ACBD tại tâm O của
hình vuông có 2
2; 2
AC a OA a Do
60 tan 60 6SA ABCD SAC SA AC a Dựng
,
2. 2 7813 SA AO a AH SO d A SBD AH
SA OA
Do đó 78
13 h
a Câu 18. Chọn đáp án D
Ta có: SA
ABCD
nên SBA
SB ABCD, 45
Khi đó SAABtan 45 a. Gọi E là trung điểm của AD khi đó ABCE là hình vuông cạnh a. Do 1
CE 2AD nên tam giác ACD vuông tại C suy ra ACCD , dựng
AF SC Ta có:
2. 2 62, ,
3 SA SC a AC a d A SCD AF
SA AC
Do đó
, 6
3 d A SCD
a
Câu 19. Chọn đáp án A
Gọi E là trung điểm của AD khi đó ABCE là hình vuông cạnh a suy ra CEAD, lại có CESA Do đó CE
SAD
CSE
SC SAD, 30.
Lại có: SCsin 30 CE a SC 2a
2 2
2 SA SC AC a
. Do 1
CE 2AD nên tam giác ACD vuông tại C suy ra ACCD , dựng
AF SC.
Ta có: d A SCD
, AF SA SC. a
SC . Câu 20. Chọn đáp án A
Do ABCD là hình thoi có BAD120 nên tam giác ABC và ACD là các tam giác đều.
Khi đó 3
2
AM a , dựng 3
2 AECD AE a , dựng AFSE suy ra d A SCD
, AF.
Do 3
45 tan 45
2 SMA SA AM a Mặt khác
/ / , ,
AB CDd B SCD d A SCD AF
2 2
. 6
4 SA SE a SA AE