CHUYÊN ĐỀ:
TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG
Chủ đề 3:
ỨNG DỤNG CỦA TÍNH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
Ứng dụng 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I. LÝ THUYẾT
Bài toán 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x
liên tục trên đoạn;
a b
, trục hoành và hai đường thẳng xa x b, được tính theo công thức: b
da
S
f x x (1)Minh họa các dạng thường gặp:
0, ; .f x x a b f x
0, x a b; . f x
không mang 1 dấu trên; .
a b
db
a
S
f x x
db
a
S
f x x c
d b
da c
S
f x x
f x x Lưu ý:Bằng cách xem x là hàm của biến y, tức là xg y
, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số xg y
liên tục trên đoạn a b; , trục tung và hai đường thẳng y a y b , được tính theo công thức: b
da
S
g y y (2)Bài toán 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số f x
, g x
liên tụctrên a b; và hai đường thẳng xa x, b được tính theo công thức: b
da
S
f x g x x (3)(H)
O y f(x)
x a b
a b
x y
f(x) O
(H)
(H) c f(x)
a
b y
x O
(H)
O a b
y
x g(y)
Minh họa các dạng thường gặp:
, ; .f x g x x a b f x
g x , x a b; . f x
g x , x a c; ;
, ; ;
. f x g x x c b a c b
db
a
S
f x g x x
db
a
S
g x f x x
d d
c b
a c
S
f x g x x
g x f x x Lưu ý:Bằng cách xem x là hàm của biến y, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số x f y
, xg y
liên tục trên đoạn a b; và hai đường thẳng y a y b , được tính theo công thức: b
da
S
f y g y y (4)Bài toán 3: Hình phẳng giới hạn bởi nhiều hơn hai đường cong
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị được chia thành nhiều phần diện tích, mà mỗi phần ta có thể tích theo công thức (1), (2), (3) và (4).
Minh họa các dạng thường gặp:
, ; ; f x h x x a c
, ; ;
.g x h x x c b a c b
, ; ; f y g y y a c
, ; ;
.f y h y y c b a c b
d
dc b
a c
S
f x h x x
g x h x x
d
dc b
a c
S
f y g y y
f y h y y(H) g(x)
O a b
f(x)
x y
(H) g(x)
O a b
f(x)
x y
(H)
c
a b
g(x) y f(x)
O
x
(H)
x y
O
g(y) f(y)
b
a
y
x h(x)
g(x) f(x)
O a c b
(H2) (H1)
(H1)
(H2) b
a c
O
g(y) f(y)
h(y)
x y
II. PHƯƠNG PHÁP
Phương pháp: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân (thêm cận trung gian) để tính tích phân chưa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ).
+) Tính chất: Hàm số y f x
liên tục trên K (khoảng, đoạn, nửa khoảng) và a b c, , là ba số bất kì thuộc K. Khi đó, ta có: b
d c
d b
da a c
f x x f x x f x x
Chú ý: Khi áp dụng công thức (3): b
da
S
f x g x x , ngoài việc khử dấu GTTĐ như phương pháp đã trình bày ở trên, ta có thể khử dấu GTTĐ theo phương pháp sau:Bước 1: Giải phương trình f x
g x 0 trên a b; , giả sử có các nghiệm
, ; ; .
c d a b a c d b Khi đó, f x
g x không đổi dấu trên các đoạn a c; ; c d; ; d b; . Tức là:Bước 2: b
d c
d d
d b
da a c d
S
f x g x x
f x g x x
f x g x x
f x g x x c
d d
d b
da c d
f x g x x f x g x x f x g x x
.Phương pháp 2: Phác thảo dạng đồ thị và đưa ra kết quả.
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA Câu 1: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x
, trục hoành và hai đường thẳng xa x b, như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?A. a
d .b
S
f x x B. b
d .a
S
f x x C. a
d .b
S
f x x D. b
d .a
S
f x xLời giải:
Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân ta có kết quả: b
d .a
S
f x x Chọn đáp án D.
Câu 2: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x
, trục hoành và hai đường thẳng,
xa x b như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. b
d .a
S
f x x B. b
d .a
S
f x x C. c
d b
d .a c
S
f x x
f x x D. c
d b
d .a c
S
f x x
f x x Lời giải:(H) O
y f(x)
x a b
(H) c
f(x)
a
b y
x O
Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân và chia đoạn a b; thành hai đoạn thành phần
; ; ; a c c b
, ta có kết quả: c
d b
d .a c
S
f x x
f x x Chọn đáp án C.
Câu 3: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f x
, yg x
và hai đường thẳng xa x b, như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?A. b
d b
d .a a
S
g x x
f x x B. b
d b
d .a a
S
f x x
g x x C. b
d b
d .a a
S
g x x
f x x D. b
d b
d .a a
S
f x x
g x x Lời giải: (Chọn B)Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y f x
, Ox và hai đường thẳng
d; 1 .
b
a
x a x b S
f x xGọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi yg x
, Ox và hai đường thẳng
d; 2 .
b
a
x a x b S
g x xVậy 1 2
d
d .b b
a a
S S S
f x x
g x xCâu 4: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f x
, yg x
vàhai đường thẳng xa x b, như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. c
d b
d .a c
S
g x f x x
f x g x x B. b
d .a
S
f x g x xC. c
d b
d .a c
S
f x g x x
g x f x x D. c
d b
d .a c
S
f x x
g x x Lời giải:Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y f x
, yg x
và hai đường thẳng
d; 1 .
c
a
x a x c S
f x g x xGọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y f x
, yg x
và hai đường thẳng
d; 2 .
b
c
x c x b S
g x f x xVậy 1 2
d
d .c b
a c
S S S
f x g x x
g x f x x(H)
g(x)
O a b
f(x)
x y
(H)
a c b
f(x) g(x) y
O
x
Chọn đáp án C.
Câu 5: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f x
x42x2 vàtrục hoành như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây sai?
A. 2
d2
.
S f x x
B. 2
d0
2 .
S
f x xC. 2
d0
2 .
S
f x x D. 0
d 2
d2 0
.
S f x x f x x
Lời giải:
Hình phẳng đối xứng qua Oy nên 2
d 0
d 2
d2 2 0
2 2 .
S f x x f x x f x x
Chọn đáp án B.
Câu 6: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
xg y , trục tung và hai đường thẳng y a y b , như hình vẽ bên.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. b
d .a
S
g y x B. a
d .b
S
g y y C. b
d .a
S
g y y D. b
d .a
S
g y xLời giải:
Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân ta có kết quả: b
d .a
S
g y y Chọn đáp án C.
Câu 7: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số x f y
, xg y
và hai đường thẳng y a y b , như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. c
d b
d .a c
S
g y f y x
f y g y x B. b
d .a
S
f y g y yC. c
d b
d .a c
S
g y f y y
f y g y y D. b
d .a
S
f y g y y Lời giải:(H)
O a
b y
x g(y)
x y
- 2 2
f(x)
O
O y
x g(y)
f(y) c
b
a
Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi x f y
,xg y
và hai đường thẳng
d; 1 .
c
a
ya y c S
g y f y yGọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi x f y
,xg y
và hai đường thẳng
d; 2 .
b
c
y c y b S
f y g y yVậy 1 2
d
d .c b
a c
S S S
g y f y y
f y g y y Chọn đáp án C.
Câu 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ; ; 1
x x
ye ye x . A.
2 2 1
e e . e
B.
2 2 1
e e . e
C.
2 2 1
e e . e
D.
2 2 1
e e . e
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: ex ex x 0.
d d
1 1 1 2
1
0 0 0
2 1
2 .
x x x x x x e e
S e e x e e x e e e e
e
Chọn đáp án B.
Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 2 4x1, y m m , ( 3), x0,x3 là:
A. 3m6. B. 3m6. C. 3m6. D. 3m6. Lời giải:
Ta có: x24x 1
x2
2 3 3, xDo đó 3
2
d 3 2 30 0
4 1 2 6 3
3
S x x m x x x x mx m
. Chọn đáp án D.
Câu 10: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 2x1, y m m , ( 2), 0, 1
x x . Tìm m sao cho S48:
A. m4. B. m6. C. m8. D. m10. Lời giải:
Ta có: x2 2x 1
x 1
2 2 2, xDo đó 3
2
d 3 2 30 0
2 1 3 24
3
S m x x x mx x x x m
.48 3 24 48 8
S m m
Chọn đáp án C.
Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 22x1, y x 1, x0,
, 0 3
xm m bằng:
A.
3 2
3
3 2
m m . B.
3 2
3
3 2
m m
. C.
3 2
3 2 2
m m
m. D.
3 2
3 2 2
m m
m. Lời giải:
Ta có: x23x 0, x 0;m. Vì 0 m 3
Do đó 2 d
2
d 3 2 2 30 0 0
3 3
3 3
3 2 2 3
m m m
x x m m
S x x x x x x
. Chọn đáp án B.
Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 22x1, y x 1, x0,
, 0
xm m bằng 5
6. Khi đó giá trị mbằng:
A. 3. B. 2 . C. 1 . D. 4 .
Lời giải:
Ta có: x2 x 0, x m; 0.
Do đó 0 2 d 0
2
d 33 22 0 22 33m m m
x x m m
S x x x x x x
.2 3
5 5
6 2 3 6 1
m m
S m
Chọn đáp án C.
Câu 13: Hình phẳng giới hạn bởi đường elip ( ) :E x216y2 16 có diện bằng.
A. B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải:
d d
4 2 4
2
0 0
4 16 16
4
S
x x
x xĐặt 4 sin ,t t ; d 4 costdt x 2 2 x .
Đổi cận: 0 t 0; 4 t
x x 2
t tdt tdt t dt
2 2 2
2 2
0 0 0
16 16 sin .4 cos 16 cos 8 1 cos 2 S
t t 20
8 1sin 2 4 . 2
Chọn đáp án C.
Câu 14: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3, trục Ox và đường thẳng x 2 có diện tích là
A. S1. B. S16. C. S4. D. S4 . Lời giải:
Phương trình x3 0 x 0.
Diện tích hình phẳng: d d
0 0 4
3 3
2 2
0 4
2 4 S x x x x x
. Chọn đáp án C.
Câu 15: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 1 12
x , trục Ox và hai đường thẳng 1, 2
x 2 x có diện tích là
A. S5. B. 5
S 2. C. S2. D. S1. Lời giải:
4 4
1 1 y
x 16 2
4
x y
Diện tích hình phẳng: d d d d
2 2 2 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2
1 1 1 1
1 x x x
S x x x x
x x x x
d d
1 2
2 2
1 1
2
1 2
1 1 1 1
1 1 1 1
2 1
x x x x
x x
x x
. Chọn đáp án D.
Câu 16: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 32x và đường thẳng 2x y 0 có diện tích là
A. S8. B. S4. C. S2. D. S16. Lời giải:
Giải phương trình: x32x2x x 0 x 2 x 2.
Diện tích hình phẳng: 2 3 d 0
3
d 2
3
d2 2 0
4 4 4 4 4 8
S x x x x x x x x x
. Chọn đáp án A.
Câu 17: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 10 2
y 3 x x và khi khi
1
2 1
x x
y x x
, có diện tích là
A. S13. B. 15
S 2 . C. 13
S 2 . D. S7. Lời giải:
Tìm hoành độ các giao điểm:
2 2
10 10
0; 2 3.
3 x x x x 3 x x x x
Dựa vào đồ thị (hình bên) diện tích hình phẳng cần tìm
là d d
1 3
2 2
0 1
10 10
3 3 2
S x x x x x x x x
13
2 (đ.v.d.t)
Chọn đáp án C.
Câu 18: Diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường 3 1, , 1
y x Ox Oy
x
là
A. 4 ln4 1
S 3 . B. 4 ln4
S 3. C. 4 ln4 1
S 3 . D. 4 ln4 2 S 3 . Lời giải:
Xét phương trình: 3 1 0 1.
1 3
x x
x
Vậy d
0
1 3
3 1 4
4 ln 1
1 3
S x x
x
(đ.v.d.t). Chọn đáp án C.
Câu 19: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x24x3 , y x 3 là S a
b;
a b; ; a0
; ab là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. b a 103 0. B. ba654 0. C.
2 25
109 b
a D. b a 3 107 0.
Lời giải:
Xét phương trình: 2 2
2
3 0
4 3 3 4 3 3 0 5.
4 3 3
x
x x x x x x x x
x x x
Vậy 5
2
d 5
2
d 30 0
4 3 3 4 3 3 109 109; 6 107 0.
S
x x x x
x x x x 6 a b b a Chọn đáp án D.
Câu 20: Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị
2 2
4 ,
4 4 2
x x
y y (hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d
2 2 2 2
0
2 4 .
4 2 4
x x
S x
B. 0 2 2 d2 2
2 4 .
4 2 4
x x
S x
C. d
2 2 2 2
2 2
4 .
4 2 4
x x
S x
D. 2 2 2 2 d2 2
4 .
4 4 2
x x
S x
Lời giải:
Ta có: d
2 2 2 2 2 2
2 2
4 ; 2 2; 2 2 4 .
4 4 2 4 4 2
x x x x
x S x
Chọn đáp án D.
Câu 21: (Đề thử nghiệm 2017) Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
A.7.862.000 đồng. B.7.653.000 đồng. C.7.128.000 đồng. D.7.826.000 đồng.
Lời giải: (Chọn B)
Giả sử elip có phương trình
2 2
2 y2 1
x
a b . Từ giả thiết ta có 2a16 a 8 và 2b10 b 5 Vậy phương trình của elip là
2 2
2 1
2 1
5 64 1 8
64 25 5
8 64
y y E
y x
y y E
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường
E1 ; E2 ; x 4; x4 và diện tích củadải vườn là d d
4 4
2 2
4 0
5 5
2 64 64 .
8 2
S x x x x
Tính tích phân này bằng phép đổi biến x8 sint, ta được 3
80 .
6 4
S
Khi đó số tiền là 3
80 .100000 7652891,82 7.653.000
6 4
T
.
8m
x y
4 2
-4
2
-2 2 2 2
(P)
(E)
O
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN (Đăng ký: ngochuyenlb.gr8.com để nhận Đáp án) Câu 1: Cho hai hàm số y f x
, yg x
liên tục trên đoạn a b; có đồ thị lần lượt là
C1 , C2Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
C1 , C2 và hai đường thẳng
,
xa x b a b bằng A. b
da
S
f x g x x. B. b
d b
da a
S
f x x
g x x. C. b
d b
da a
S
g x x
f x x. D. 12 b
da
S
f x g x x.Câu 2: Cho hai hàm số y f x y
, g x
liên tục trên đoạn a b; , c a b; . Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y f x y
, g x
và hai đường thẳng x a x b , Công thức nào sau đây sai?A. b
dxa
S
g x f x . B. b
da
S
f x g x x . C. ( ) ( )dxb
a
S
f x g x . D. c
( )dx b
( )dxa c
S
f x g x
f x g x .Câu 3: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 3 bàm số hàm số y f x y
, g x y
, h x
phần gạch chéo hình bên dưới được tính bởi công thức là:
A. b
d c
da b
S
g x f x x
h x f x x. B. b
d c
da b
S
f x h x x
f x g x x. C. b
( ) d c
( ) da b
S
g x h x x
g x f x x. D. b
( ) d c
( ) da b
S
f x g x x
f x h x x.Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường yln ,x y0, x e A. 1
2(đ.v.d.t). B. 1
3(đ.v.d.t). C.1
4 (đ.v.d.t). D. 1 (đ.v.d.t).
Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 22x2, ym m,
1
, x0,x3 làA. 3m6(đ.v.d.t). B. 3m6(đ.v.d.t). C. 3m6(đ.v.d.t). D. 3m6(đ.v.d.t).
Câu 6: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2, trục Oy, trục Ox và đường thẳng x 3 có diện tích là
A. S1 (đ.v.d.t). B. S16(đ.v.d.t).
C. S9(đ.v.d.t). D. S4 (đ.v.d.t).
Câu 7: Cho Parabol
P :yx2 và tiếp tuyến của
P tại điểm
1;1A có phương trình y2x1.Diện tích của phần bôi đậm như hình vẽ là
A. 1
3(đ.v.d.t). B. 5
3(đ.v.d.t). C. 2 (đ.v.d.t). D. 8
3(đ.v.d.t).
y f x
yg x
yh x
a b c x
y
O
Câu 8: Cho hàm số f x
liên tục trên đoạn a b; . Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f x
, trục hoành và hai đường thẳng xa x b,
a b
bằngA. b
d .a
f x x
B. b
d .a
f x x
C. b 2
d .a
f x x
D. b
d .a
f x x
Câu 9: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3, trục Oy , trục Ox và đường thẳng x 2 có diện tích là
A. S1 (đ.v.d.t). B. S16(đ.v.d.t). C. S4(đ.v.d.t). D. S4(đ.v.d.t).
Câu 10: Cho hình phẳng
H giới hạn bởi đồ thị hàm số yx
2x
và trục Ox. Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng
H quanh trục Ox có thể tích làA. 16 V 15
(đ.v.t.t). B. 4 V 3
(đ.v.t.t). C. 512 V 15
(đ.v.t.t). D.
V 5
(đ.v.t.t).
Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x 36x và y x 2 (hình bên) bằng
A. 0
3 2
d2
6 .
S x x x x
B. 3
3 2
d2
6 .
S x x x x
C. 3
2 3
d2
6 .
S x x x x
D. 0
3 2
d 3
3 2
d2 0
6 6 .
S x x x x x x x x
Câu 12: Cho hàm số f x
liên tục trên đoạn a b; , f x
0, x a b; .GọiS là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f x
, trục hoành và hai đường thẳng xa x b,
a b
. Khẳng định nào sau đây sai?A. b
d .a
S
f x x B. b
d .a
f x x
C. b
d .a
S
f x x D. b
d .a
f x x
Câu 13: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y x 2 x 3 và y2x1 là A. 1
S6 (đ.v.d.t). B. 1
S8 (đ.v.d.t). C. 5
S6 (đ.v.d.t). D. 3
S 7 (đ.v.d.t).
Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ysin ,x y0, x0 và x là A. S4 (đ.v.d.t). B. S2 (đ.v.d.t). C. S4 (đ.v.d.t). D. S (đ.v.d.t).
Câu 15: Cho hàm số f x
liên tục trên đoạn a b; . Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f x
, trục hoành và hai đường thẳng xa x b,
a b
bằngA. b
d .a
f x x
B. b
d .a
f x x
C. b 2
d .a
f x x
D. b
d .a
f x x
Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số ylnx, x 1, x e
e và trục hoành (hình bên) được tính theo công thức
A. d
1
ln .
e
e
x x B. 1 d d1 1
ln ln .
e
e
x x x x
C. d d
1
1 1
ln ln .
e
e
x x x x
D. d1
ln .
e
e
x xCâu 17: Diện tích của hình phẳng phần gạch chéo trong hình dưới được tính bởi công thức:
A. ( )d ( )d ( ) .d
c d b
a c d
f x x f x x f x x
B. ( )d ( )d ( ) .d
c d b
a c d
f x x f x x f x x
C. ( )d ( )d ( ) .d
c d b
a c d
f x x f x x f x x
D. ( ) .d
b
a
f x x
Câu 18: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y e y e x, x,x1. A.
2 2 1
e e . e
B.
2 2 1
e e . e
C.
2 2 1
e e . e
D.
2 2 1
e e . e
Câu 19: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 22x1, y x 1, x0, xk k,
0
bằng 5
6. Khi đó giá trị kbằng:
A. 3. B. 2 . C. 1 . D. 4 .
Câu 20: Hình phẳng giới hạn bởi đường elip ( ) :E x2 4y2 4 có diện bằng.
A. . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 21: Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 2, trục hoành và hai đường thẳng x0 và x1 là
A. 2
2
0
2
x dx
. B. 0
2
1
2
x dx
. C. 1
2
0
2
x dx
. D. 2.Câu 22: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y2x x y x 2, khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích là
A. d
1 2 0
x x. B. 1
2
2d0
2x x x
. C. 1
2
2d0
x x x
. D. 1
2
2d 1 2d0 0
2x x x x x.
Câu 23: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số yx2 2 và y3x là:
A. 2 . B. 3. C. 7
2. D. 1.
6 Câu 24: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi yln ,x y0,x e là
A. 2 B. 1 . C. 5. D. 4 .
Câu 25: Giả sử hình phẳng tạo bởi các đường cong y f x y( ), g x( ), x a x b , có diện tích là S1. Còn hình phẳng tạo bởi các đường cong y2 ( ),f x y2 ( ),g x x a x b , có diện tích là S2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. S2 4S1. B. S2 S1. C. 2S2 S1. D. S2 2S1. Câu 26: Cho đồ thị hàm số y f x
. Diện tích hình phẳng(phần tô đậm trong hình bên) là A. 4
d3
f x x
. B. 1
d 4
d3 1
f x x f x x
.C. 0
d 0
d3 4
f x x f x x
. D. 3
d 4
d0 0
f x x f x x
.Câu 27: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y x 3 và y x 5 bằng
A. 0. B. 4 . C. 1
6 . D. 2.
Câu 28: Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi đường thẳng y4x và đồ thị hàm số y x 3 là:
A. 4. B. 5. C. 3. D. 3,5.
Câu 29: Cho đường cong
C :y x. Gọi d là tiếp tuyến của
C tại điểm M
4, 2 . Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
C ; d và Ox làA. 8
3. B. 2
3. C. 16
3 . D. 22
3 . Câu 30: Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số
( ), ( )
y f x yg x và các đường thẳng x a x b , là:
A. ( ) ( ) d .
b
a
S
f x g x x B. b ( ) ( )d .a
S
f x g x x C. ( ) ( )d .b
a
S
f x g x x D. b ( ) ( ) 2d .a
S
f x g x xCâu 31: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 và đường thẳng y2x là:
A. 4
3. B. 3
2. C. 5.
3 D. 23
15. Câu 32: Diện tích miền D được giới hạn bởi hai đường: y 2x2 và y 2x 4 là
A. 3 .
13 B. 9. C. 13.
3 D. 1.
9
Câu 33: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y x 2, trục hoành và hai đường thẳng x 1,x3 là
A. 28
.9 dvdt B. 28
.3 dvdt C. 1
.3 dvdt D. 1
.5 dvdt
Câu 34: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường y x 2 x 3và đường thẳng y2x1là A. 7
.6 dvdt B. 1
.6 dvdt
C. 1
.6 dvdt D. 5
dvdt
.Câu 35: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
C :yx2 và d x y: 2 bằngA. 7.
2 B. 9.
2 C. 11.
2 D. 13.
2 Câu 36: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
C1 :yx2 và
C2 :y x bằngA. 2.
3 B. 4.
3 C. 5.
3 D. 1.
3
Câu 37: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 3x2 và đồ thị hàm số 2
y x .
A.S8 B.S4 C.S16 D.S2
Câu 38: Xét hai phát biểu:
(1) cho y1 f x1
và y2 f x2
là hai hàm số liên tục trên đoạn a b; . Giả sử: và , với a b, là các nghiệm của phương trình f x1
f x2
0. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng và đồ thị được cho bởi công th