• Không có kết quả nào được tìm thấy

Phương Pháp Giải Hình 9 Góc Có Đỉnh Ở Bên Trong Bên Ngoài Đường Tròn

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "Phương Pháp Giải Hình 9 Góc Có Đỉnh Ở Bên Trong Bên Ngoài Đường Tròn"

Copied!
8
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

Bài 5

. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG.

BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

Là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn, mỗi góc có đỉnh bên trong đường tròn, một cung nằm bên trong góc và cung kia nằm bên trong góc đối đỉnh của nó. Góc BED là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung

AmB và BmD.

ĐỊNH LÍ. Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

2. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN

Là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn, các cạnh đều có điểm chung với đường tròn. Các góc có đỉnh E trong hình vẽ là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.

ĐỊNH LÍ. Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chứng minh hai góc hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau

 Sử dụng định lý về số đo góc có đỉnh ở bên trong đường tròn và góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.

Ví dụ 1. Cho đường tròn ( )O hai dây AB, AC. Gọi M , N lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC. Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H. Chứng minh AEH là tam giác cân.

Lời giải

(2)

Ta có

 

 

 

 

sñ sñ

2

1 sñ sñ

2

sñ sñ

sñ sñ .

AHE AM CN

AEH BM AN

AM BM AN CN

 



  



 

 

AHEAEH

  .

AEH cân tại A.

Ví dụ 2. Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn ( )O vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh SA SD .

Lời giải

Ta có SDA SBA DAB   (góc ngoài của tam giác) (1)

  

SAD SAC DAC  (2)

 

SBA SAC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến) (3)

 

DAB DAC (AD là phân giác) (4) Từ (1), (2), (3) và (4) ta có SDA SAD   .

Suy ra SAD cân tại S. Vậy SA SD .

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc vuông góc hoặc các đẳng thức cho trước

 Sử dụng định lý về số đo góc có đỉnh ở bên trong đường tròn và góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.

Ví dụ 3. Cho ABC nội tiếp đường tròn. Gọi P, Q, R theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung bị chắn BC, CA, AB bởi các góc A, B, C.

a) Chứng minh APQR.

b) Gọi I là giao điểm của AP, CR. Chứng minh CPI cân.

Lời giải

a) Chứng minh APQR.

Gọi H là giao điểm của APQR.

(3)

Ta có AHQ là góc có đỉnh bên trong (ABC).

Suy ra

12

12 180 90

AHQAQRP   . Vậy APQR tại H.

b) Chứng minh CPI cân.

Ta có

 

 

 

 

1 sñ sñ

2

1 sñ sñ

2

sñ sñ

sñ sñ .

PIC AR CP PCI BR BP

AR BR CP BP

  



  



 

 

 

PIC PCI

  .

CPI cân tại P.

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O . Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau ở I và cắt đường tròn theo thứ tự ở DE.

a) Chứng minh BDI cân.

b) Chứng minh DE là đường trung trực của IC.

c) Gọi F là giao điểm của ACDE. Chứng minh IF BC . Lời giải

a) Chứng minh BDI cân.

Ta có

 

 

 

 

1 sñ sñ

2

1 sñ sñ

2

sñ sñ

sñ sñ .

BID AE BD

IBD CE CD

AE CE BD CD

  



  



 

 

 

BID IBD

  .

BDI cân tại D.

b) Chứng minh DE là đường trung trực của IC. Ta có DB DI và DB DC .

(4)

Suy ra và cân tại .

Mặt khác DE là phân giác (vì sñAEsñCE ) nên DE là đường trung trực của IC. c) Chứng minh IF BC .

ABCAIBI là phân giác.

CI là phân giác.

Suy ra ICB ICA  .

Mặt khác ICA FIC  (F thuộc trung trực của IC) nên ICB FIC  . Suy ra IF BC .

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Trên một đường tròn lấy ba cung liên tiếp AC, CD, DB sao cho số đo các cung AC, CD, DB bằng 60. Hai đường thẳng ACBD cắt nhau tại E. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại BC cắt nhau tại T. Chứng minh

a) AEB BTC  ; b) CD là tia phân giác của BCT . Lời giải

a) AEB BTC  .

Ta có

 

 

 

1 sñ sñ

2

1 1

sñ sñ sñ sñ .

2 2

AEB AB CD

BTC BAC BDC AB DC

  



    



AEB BTC

  .

CD là tia phân giác của BCT .

Ta có

 

 

1 30

2

1 30 .

2 DCT CD DCB BD

  



  



 

DCT DCB

  .

CD là tia phân giác của BCT .

Bài 2. Cho ABC vuông ở A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D. Tiếp tuyến ở D cắt ACP. Chứng minh PD PC .

(5)

Lời giải

ABD nội tiếp đường tròn đường kính AB. Suy ra ABD vuông tại D.

Ta có PA PD (hai tiếp tuyến cắt nhau)

PAD cân tại P.

 

PAD PDA

  (1)

Ta có PAD PCD  90. (2)

Ta có PDA PDC  90 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có PDA PDC  . Suy ra PCD cân tại P. Vậy PD PC .

Bài 3. Cho đường tròn ( )O và điểm S nằm bên ngoài đường tròn. Từ S kẻ tiếp tuyến SA, SD và cát tuyến SBC tới đường tròn (SB SC ).

a) Phân giác BAC cắt dây cung BCM . Chứng minh SA SM .

b) AM cắt ( )O tại E, OE cắt BS tại G, AD cắt BC tại F . Chứng minh SA2SG SF . Lời giải

a) Chứng minh SA SM .

Ta có SMA MAC MCA   (góc ngoài của tam giác); (1)

Ta có SAM SAB BAM  ; (2)

Ta có MCA SAB  (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến); (3)

Ta có MAC BAM   (AM là phân giác); (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có SMA SAM   . Suy ra SAM cân tại S.

Vậy SA SM .

b) Chứng minh SA2SG SF . Gọi I là giao điểm của SOAD.

(6)

Suy ra tại .

Ta cĩ OE là trung trực của BC.

Ta cĩ

2 (hệ thức lượng)

( ).

SA SI SO

SI SO SG SF SIF SGO

  

   

  ∽

SA2 SG SF

   .

Bài 4. Từ điểm P nằm bên ngồi đường trịn ( )O , vẽ tiếp tuyến PA với đường trịn. Qua trung điểm B của đoạn PA vẽ cát tuyến BCD với đường trịn (BC BD ). Các đường thẳng PCPD lần lượt cắt đường trịn ( )O tại EF . Chứng minh

a) DCE DPE CAF   ; b) AP EF . Lời giải

a) DCE DPE CAF   .

Ta cĩ DCE DPE CDF   (gĩc ngồi của tam giác).

CDF CAF  (hai gĩc nội tiếp cùng chắn một cung) nên DCE DPE CAF  . AP EF .

ABC DBA

 ∽ (g-g).

AB BC BP BC DB AB BD BP

   

. BDP BPC

 ∽ (c-g-c).

  

BPC BDP CEF

   .

AP EF

  .

D. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 5. Cho đường trịn ( )O hai dây ABAC bằng nhau. Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M . Gọi S là giao điểm của AMBC. Chứng minh ASC MCA .

Lời giải

Ta cĩ

 

 

1 sđ sđ

2

sđ sđ .

ASC AB CM

AB AC

  



 

(7)

 1  2sñ ASC AM

 

.

Mặt khác

 1 

2sñ MCAAM

nên ASC MCA  .

Bài 6. Cho ABCD là hai đường kính vuông góc của ( )O . Trên cung nhỏ BD lấy điểm M . Tiếp tuyến tại M cắt ABE, đoạn thẳng CM cắt ABS. Chứng minh ESEM .

Lời giải

Ta có

 

 

 

1 sñ sñ

2

1 sñ sñ

2

sñ sñ .

BSM AC BM

EMC BC BM

AC BC

  



  



 



 

BSM EMC

  .

ESM cân tại E. ES EM

  .

Bài 7. Cho A, B, C là ba điểm thuộc đường tròn ( )O sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC tại D. Tia phân giác của góc BAC cắt đường tròn ở M , tia phân giác của góc D cắt AMI. Chứng minh DI vuông góc AM .

Lời giải

Ta có

 1 

2sñ MADAM

(góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung) (1)

Ta có

12

DTAACBM

(2) Ta có sñCM sñBM (AM là phân giác) (3) Từ (1), (2) và (3) ta có MAD DTA  .

Suy ra DTA cân tại D.

DI là phân giác nên DI là đường cao.

Vậy DIAM tại I .

(8)

Bài 8. Cho đường tròn ( ) và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Từ M kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC với đường tròn (MB MC ). Phân giác góc BAC cắt BC tại D, cắt đường tròn ở E. Chứng minh

a) MA MD ; b) AD AE AC AB . Lời giải

a) MA MD .

Ta có

 1 

2sd MADAE

(góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung) (1)

Ta có

12

sdsd

MDAABEC

(2) Ta có sñCE sñBE (AE là phân giác) (3) Từ (1), (2) và (3) ta có MAD MDA  .

Suy ra MDA cân tại M . Vậy MA MD .

AD AE AC AB .

ADC và ABE

 

 

 

phan giac (goc noi tiep) DAC BAE

ACD AEB

 



 

ADC ABE

 ∽ (g-g).

AD AC

AD AE AC AB AB AE

     

.

--- HẾT ---

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

[r]

• “ Nếu góc BAx ( với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo c ủ a cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì

Tổng số đo của góc trong và góc ngoài ở mỗi đỉnh của hình n-giác bằng 180 o. Hình n-giác có n đỉnh nên tổng số đo các góc trong và góc ngoài của đa giác bằng n.180 o.

Định lý: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.. Góc AEB là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, chắn

Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.. - Định lí góc có đỉnh ở bên trong

[r]

- Vận dụng đ.n, định lý và hệ quả của góc tao bởi tia tiếp tuyến và dây cung giải bài tập áp dụng. GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG, BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN I.. - HS nhận biết được góc

Từ điểm A ở bên ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác góc BAC tại H cắt CD tại E. Chứng minh BM là tia phân giác góc CBD.. b)