Đề HSG Toán 7 năm 2022 – 2023 cụm chuyên môn 3T-H-G Bình Xuyên – Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN CỤM CHUYÊN MÔN 3T-H-G

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2022 – 2023

ĐỀ THI MÔN: TOÁN, LỚP 7

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.

Họ và tên thí sinh:... SBD:...

Câu 1. (2 điểm) Tính hợp lí 4 2 2 3 3 3

: .

7 5 3 7 5 2

− −

 +  + + 

   

   

Câu 2. (2 điểm) Rút gọn biểu thức sau: ^{3 4}

( )

²⁰²³

2 3

2 3

. . 1

3 4 71

2 5 5

5 . 12 A

  −  −

   

   

= −

  − 

   

   

.

Câu 3. (2 điểm) Tìm x biết: 3 ⁹ 2 : ¹⁹ 1 ^{2 4} 1

10 x 10 5 5

 − − +   − − + =

   

   

Câu 4. (2 điểm) Tìm 3 số x, y, z biết rằng: x y

3 = 7; y z

2 = 5 và x + y + z = -110.

Câu 5. (2 điểm) Cho n là số tự nhiên, chứng minh rằng 9.10ⁿ+18 chia hết cho 27 Câu 6. (2 điểm) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để số 2²⁰²³+23n là một bội số của 31

Câu 7. (2 điểm) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia trồng cây trong vườn trường, lúc đầu thầy phụ trách dự định giao số cây trồng cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó thầy giao theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp trồng nhiều hơn dự định 4 cây. Tính tổng số cây mà ba lớp đã trồng.

Câu 8. (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (ABAC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE.

a) Chứng minh rằng DC = BE.

b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều.

Câu 9. (1 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, gọi D là trung điểm của AC. Trên đoạn BD lấy điểm E sao cho DAE=ABD. Chứng minh rằng DAE=ECB.

Câu 10. (1 điểm) Cho x là số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 1 2 2 2 10

A= x− + x− +  + x−

==== HẾT ====

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

HƯỚNG DẪN CHẤM

MÔN Toán LỚP 7 HDC này gồm 04 trang A. Hướng dẫn chung:

- Đề thi và đáp án tính theo thang điểm 20.

- Hướng dẫn chấm chỉ là một cách giải. HS có thể giải theo cách khác, nếu đúng logic, khoa học giám khảo căn cứ vào bài làm cụ thể của HS để cho điểm; điểm cho không được vượt quá thang điểm phần đó.

- Câu hình học nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai thì không chấm điểm.

B. Đáp án và thang điểm:

Câu Ý Nội dung Điểm

1

4 2 2 3 3 2

: :

7 5 3 7 5 3

− −

   

= +  + + 

= 4 2 3 3 2

7 5 7 5 :3

− −

 + + + 

 

 

4 3 2 3 2

7 7 5 5 :3

 − −   

= +   + +  0 :2 0

= 3= Vậy: A = 0

0,5 0,5

0,5

0,5

2

3 4

( )

2023

9 5 2

2 3 6 3 3

2 3

. . 1

3 4 71 2 .3 .5 71

5 2 .3 .5 5

2 5

5 . 12 A

  −  −

   

   

= − = −

  − 

   

   

72 71 1

5 5 ; 5

A= − A=

1

1

3

Ta có

0

; 4

2

; 2 2

10 2 1 10 2 21

10 1 10 . 5 5 2 1 10

21

5 1 10 : 5 10 2

21

5 1 4 10

4 10 10 10 : 19 10 2

9 10 30

5 1 4 5 1 2 10 : 19 10 2

3 9

−

=



−

= +



=

−

= +



=

= +

−



 =



 



 − +



−

=



 



 − −



 



 − − +



=

+



 



 − −



 



 − − +

x x x

x x

x x

Vậy x = 0; -4

0,5

0,5

0,5

0,5

4 Từ x y x y

3 =  =7 6 14 ; y z y z

2 = 5 14 =35 . 0,5

0,25

Suy ra x y z 6 =14 =35

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x y z

6 =14 =35 x y z 110

6 14 35 55

+ + −

= =

+ + ^{= -2}

Suy ra x = -2.6 = -12; y = -2.14 = -28; z = -2.35 = - 70.

Vậy x = -12; y = -28; z = - 70.

0,5 0,5 0,25

5

Ta có: 9.10ⁿ+18 = ^{9 10}

(

ⁿ⁺²

)

⁹ (1) Mặt khác 10ⁿ là số có tổng các chữ số là 1 Nên 10ⁿ +2 là số có tổng các chữ số là 3 Suy ra: 10ⁿ+2 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ^{9 10}

(

ⁿ⁺²

)

^{27 hay 9.10n+18 27}

0,5 0,5 0,5 0,5

6

Ta có 2⁵ =32 1( mod 31) và 2023=5.404+3 nên: 2²⁰²² =(2 )^{5 404}.8 8(mo d 31).

Suy ra 2²⁰²³ +23n  +8 23 (n mod 31)

Vì n là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn 2²⁰²³ +23 31n nên 8+23n =31 n=1

Vậy: n=1 là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn.

0,5

0,5

0,5

0,5

7

Gọi tổng số cây 3 lớp đã trồng là x (x là số tự nhiên khác 0)

Số cây dự định chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c

Ta có: ⁵ ; ⁶ ; ⁷

5 6 7 18 18 18 18 3 18

a b c a b c x x x x x

a b c

= = = + + =  = = = = (1) Số cây sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có:

, , , , , ,

, 4 , 5 , 6

; ;

4 5 6 15 15 15 15 3 15

a b c a b c x x x x x

a b c

= = = + + =  = = = = (2)

So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu

Vây: c’ – c = 4 hay ^{6 7} 4 4 360

15 18 90

x x x

− =  =  =x Vậy số cây 3 lớp đã trồng là 360 cây.

0,25 0,5

0,5 0,25 0,25 0,25

8 a

Ta có: AD = AB; DAC=BAE và AC = AE

Suy ra ADC = ABE (c.g.c) Suy ra DC=BE 1

1

N

M

E

D

B C

A

b

Từ ADC = ABE (câu a)  CM = EN và ACM =AEN

ACM = AEN (c.g.c)  AM = AN (1) và CAM =EANMAN=CAE = 60⁰. (2) Từ (1) và (2) suy ra AMN đều.

0,5 0,5 0,5 0,5

9

Vẽ AF vuông góc BD, CG vuông góc BD, CH vuông góc với AE.

Ta có ABF= CAH (cạnh huyền – góc nhon).

Suy ra: AF = CH.

( )

ADF CDG ch gn

 =  − suy ra AF = CG.

Từ đó ta có CH = CG.

( ) ;

CEH CEG ch cgv CEH CEG

 =  −  =

Mà

; ;

CEG=EBC+ECB CEH =EAC+ECA

Do đó: EBC+ECB=EAC+ECA;(1) Măt khác: EBA+EBC=ECB+ECA;(2) lấy (1) trừ (2) theo vế ta có:

ECB EBA EAC ECB EBA ECB EBA ECB

− = − = −

 =

Mà DAE= ABD nên DAE=ECB.

0,25

0,25

0,25

0,25

10

Ta có: A= 2x− +1 2x− + 2 2x−10

( 2 1 2 10 ) ( 2 2 2 9 ) ( 2 5 2 6 ) A= x− + x− + x− + x− +  + x− + x−

( 2 1 10 2 ) ( 2 2 9 2 ) ( 2 5 6 2 ) A= x− + − x + x− + − x +  + x− + − x

2 1 10 2 2 2 9 2 2 5 6 2

A x− + − x + x− + − x +  + x− + − x 9 7 5 3 1 25

= + + + + =

0,25

0,25

D G

E

H

B C

F A

Dấu bằng khi:

1 5

(2 1)(10 2 ) 0 2

(2 2)(9 2 ) 0 1 9 5

2 3 ... 2

...

(2 5)(6 2 ) 0

5 3

2 x

x x

x x x

x

x x

x

  

− −  

 

 − −    

    

 

 

 − −  

   



Vậy GTNN của A là 25 khi 5 2 x 3

0,25

0,25