Trắc nghiệm nâng cao giới hạn – Đặng Việt Đông - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

––

(2)

GIỚI HẠN

A - LÝ THUYẾT CHUNG

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Định nghĩa

 Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số

 

un có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cực và viết lim _n 0

n u

  viết tắt là limu_n 0 hoặc u_n 0 , nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

 Định nghĩa 2: Ta nói rằng dãy số

 

un có giới hạn là số thực a khi ndần đến dương vô cực và viết lim _n

n u a

  , viết tắt là limu_n a hoặc u_n a , nếu ^lim



n



⁰

n u a

  

2. Một vài giới hạn đặc biệt a) lim¹ 0

n  ; lim ¹_k 0

n  với k nguyên dương b) limqⁿ 0 nếu q 1

c) Nếu u_n c (c là hằng số) thì limu_n limcc II. Định lý về giới hạn hữu hạn

Định lý 1:

a) Nếu limu_n a , limv_n b thì

 ^lim



unvn



ab

 ^lim



unvn



ab

 ^lim



u vn n



a b^.

 lim ⁿ

n

u a

v b(nếu b0 )

b) Nếu u_n 0 với mọi n và limu_n a thìa0 và lim u_n  a III. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn u u u₁, ₂, ₃,... ,...u_n có công bội q với q 1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng S của cấp số nhân đó là: ₁ ₁ ₁ ² ... ¹

1 S u u q u q u

     q

 . IV. Giới hạn vô cực

1. Định nghĩa:

 Ta nói dãy số

 

un có giới hạn  nếu với mỗi số dương tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Khi đó ta viết ^lim

 

un   hoặc

lim( )u_n   hoặc u_n  

 Ta nói dãy số

 

un có giới hạn  nếu với mỗi số âm tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.

(3)

Khi đó ta viết ^lim

 

un  hoặc limu_n   hoặc u_n  

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) limn^k   với k nguyên dương b) limqⁿ   nếu q1

3. Định lý 2:

a) Nếu limu_n a và limv_n   thì lim ⁿ 0

n

u v 

b) Nếu limu_n a0 , limv_n 0 và v_n 0 với mọi n thì lim ⁿ

n

u v  

c) Nếu limu_n   và limv_n a0 thì ^lim



u vn n



 

V. Một số lưu ý:

Khi làm bài tập trắc nghiệm, ta có thể làm như bài tập tự luận, sau khi tính toán sẽ chọn kết quả phù hợp với yêu cầu của bài toán

Ngoài ra có thể sử dụng các nhận xét để có kết quả nhanh chóng, chính xác hơn. Có một số bài tập có thể nhận xét nhanh để loại trừ được những phương án không phù hợp

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Định lý:

a) Giả sử

 

0

lim

x x f x L

  và

 

0

lim

x x g x M

  . Khi đó:



   

0

lim

x x f x g x L M

    



   

0

lim

x x f x g x L M

    



   

0

lim . .

x x f x g x L M

  



 

0

xlimx

f x L g x M

  (nếu M 0)

b) Nếu ^{f x}

 

^⁰^{với mọi} xJ\

 

x0 , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x₀ thì L0 và

 

0

lim

x x f x L

 

2. Một vài giới hạn đặc biệt

 lim ^k

x x

   với k nguyên dương

 lim ^k

x x

   nếu k là số lẻ

 lim ^k

x x

   nếu k là số chẵn 3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

Định lý về giới hạn của tích và thương hai hàm số chỉ áp dụng được khi các hàm số có giới hạn hữu hạn

Sau đây là một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số có giới hạn vô cực.

Nếu

 

0

lim 0

x x f x L

   và

 

0

limx x g x

   thì

(4)

   

0

lim .

x x f x g x

   bằng  (dấu “+” nếu hai giới hạn cùng dấu và dấu “- “ nếu hai giới hạn khác dấu.

 

0

lim 0

x x

f x g x

 

 

0

xlimx

g x f x

   (dấu “+” nếu hai giới hạn cùng dấu và dấu “-“ nếu hai giới hạn khác dấu.

Các quy tắc trên vẫn được áp dụng cho các trường hợp : xx0^, xx₀^ , x  và x 

HÀM SỐ LIÊN TỤC 1. Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa: Giả sử hàm số ^{f x}

 

xác định trên khoảng K và x₀K . Hàm số ^y^ ^{f x}

 

^{gọi là}

liên tục tại xx₀ nếu

   

0 0

xlimx f x f x

 

Hàm số không liên tục tại xx₀ gọi là gián đoạn tại x₀ 2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Hàm số ^y^ ^{f x}

 

liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó. Hàm số

 

y f x gọi là liên tục trên đoạn



^{a b}^;



nếu nó liên tục trên khoảng



^{a b}^,



^và^lim

   

x a

f x f a

  

;

   

lim

x b f x f b

 

3. Một số định lý cơ bản

Định lý 1: Hàm số đa thức liên tục trên tập  . Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác ysinx , ycosx , ytanx, ycotx là những hàm số liên tục trên tập xác định của chúng

Định lý 2. Giả sử ^y^ ^{f x}

 

^và^y^^{g x}

 

là hai hàm số liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

a) Các hàm số ^y^ ^{f x}

 

^^{g x}

 

^,^y^ ^{f x}

 

^^{g x}

 

^và^y^ ^{f x g x}

   

^. liên tục tại điểm x₀

b) Hàm số

 

y f x

 g x liên tục tại x₀ nếu g x

 

0 0

Định lý 3. Nếu hàm số ^{f x}

 

liên tục trên đoạn



^{a b}^;



^và ^{f a f b}

   

^. ^⁰ thì tồn tại ít nhất một điểm



^;



c a b sao cho ^{f c}

 

^⁰

B - BÀI TẬP

Câu 1. Tìm limu_n biết

1 2 n 1

n k

u

n k







A.  B.  C.3 D.1

(5)

Câu 2. Tìm limu_n biết

dau can

2 2... 2

n n

u 

A.  B.  C.2 D. 1

Câu 3. Tìm giá trị đúng của 2 1 ¹ ¹ ¹ ... ¹ ...

2 4 8 2ⁿ

S  

        

 .

A. 21. B. 2. C. 2 2. D. ¹

2. Câu 4. Tính giới hạn

 

1 1 1

lim ....

1.2 2.3 n n 1

 

  

 

  

A. 0 B.1. C. ³

2 . D. Không có giới

Câu 5. Tính

 

1 1 1

lim ....

1.3 3.5 n 2n 1

 

  

 

  

A. 1. B. 0. C. ²

3 . D. 2.

Câu 6. Tính giới hạn:

 

1 1 1

lim ....

1.3 2.4 n n 2

 

  

 

  

A. ³

4. B.1. C. 0. D. ²

3.

Câu 7. Tính giới hạn 1 1 1

lim ...

1.4 2.5 n n( 3)

 

  

  

 

. A. ¹¹

18. B. 2. C. 1. D. ³

2. Câu 8. Tính giới hạn: 1₂ 1₂ 1₂

lim 1 1 ... 1

2 3 n

    

  

    

 

    

 

.

A. 1. B. ¹

2 . C. ¹

4 . D. ³

2. Câu 9. Tính giới hạn của dãy số

1 2

1 1 1

(1 )(1 )...(1 )

n

u  T T T trong đó ⁽ ¹⁾

n 2

T n n

 .:

A.  B.  C. ¹

3 D. 1

Câu 10. Tính giới hạn của dãy số

3 3 3

2 1 3 1 1

. ....

2 1 3 1 1

n

u n

n

  

    .:

A.  B.  C. ²

3 D. 1

(6)

1

2 1

2

n

n k

k

u k





 ^.:

A.  B.  C.3 D. 1

Câu 12. Tính giới hạn của dãy số ₂

1 n n

k

u n

n k





 ^.:

A.  B.  C.3 D. 1

Câu 13. Tính giới hạn của dãy số u_n q2q²...nqⁿ với q 1.:

A.  B.  C.



¹



²

q q

 D.



¹



²

q q



Câu 14. Biết

 

3 3 3 3

3

1 2 3 ...

lim ,

1

n a

n b a b

   

 

 

. Giá trị của 2a²b²là:

A. 33 B. 73 C. 51 D. 99

Câu 15. Tính giới hạn của dãy số ¹ ¹ ... ¹

2 1 2 3 2 2 3 ( 1) 1

un

n n n n

   

     :

A.  B.  C.0 D. 1

3 3 3

3

( 1) 1 2 ...

3 2

n

n n

u n n

   

   :

A.  B.  C. ¹

9 D. 1

Câu 17. Cho các số thực a,b thỏa a 1;b 1. Tìm giới hạn

2 2

1 ...

lim1 ...

   

    

n n

a a a

I b b b .

A.  B.  C. ¹

1



 b

a D. 1

Câu 18. Cho dãy số (u_n) được xác định bởi:

0

1 2

2011 1

n n

n

u

u u

 u

 

  



. Tìm

3

limuⁿ n .

A.  B.  C.3 D. 1

Câu 19. Cho dãy số

 

un được xác định bởi

 

1

3 .

2 1 _n _n 2

u

n u _ nu n

 



   



Tính limu_n.

A. limu_n 1. B. limu_n 4. C. limu_n 3. D. limu_n 0.

Câu 20. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi:

1

1 2

1 , 1

n 2

n

u

u n

 u

 





  

 



. Tìm kết quả đúng của limu_n.

A. 0. B.1. C. 1. D. ¹

2

(7)

Câu 21. Cho dãy số

 

un thỏa mãn

 

1

2

2 1 , .

1 2 1





 

    

 

  



n 

n

u

u n

u

Tính u₂₀₁₈.

A. u₂₀₁₈ 7 5 2 B. u₂₀₁₈ 2 C. u₂₀₁₈  7 5 2 D. u₂₀₁₈ 7 2 Câu 22. Cho dãy số (x_n) xác định bởi ₁ ¹, ₁ ² , 1

2 ⁿ ⁿ ⁿ

x  x _ x x  n

Đặt

1 2

1 1 1

n

S  x  x   x

    . Tính limS_n.

A.  B.  C.2 D. 1

Câu 23. Cho dãy (x_k) được xác định như sau: 1 2

2! 3! ... ( 1)!

k

x k

    k



Tìm limu_n với u_n ⁿ x₁ⁿx₂ⁿ...x₂₀₁₁ⁿ .

A.  B.  C. 1 ¹

2012!

 D. 1 ¹

2012!



Câu 24. Cho dãy (x_k) được xác định như sau: 1 2

2! 3! ... ( 1)!

k

x k

    k

 . Tìm limu_n với u_n ⁿ x₁ⁿx₂ⁿ...x₂₀₁₁ⁿ .

A. . B. . C. 1 ¹

2012!

 . D. 1 ¹

2012!



Câu 25. Cho hàm số ^{f n}

 

^^{a n}^{ }¹ ^{b n}^{ }² ^{c n}^³



ⁿ^^^*



^với^{a b c}^{, ,} là hằng số thỏa mãn 0.

a  b c Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ^lim

 

¹

x f n

   B. ^lim

 

¹

x f n

  C. ^lim

 

⁰

x f n

  D. ^lim

 

²

x f n

 

Câu 26. Cho ^{a b}^, ^^^^{, ( , )}^{a b} ^^1;ⁿ^



^ab^^1,^ab^^2,...



^{. Kí hiệu}rn là số cặp số ( , )u v ^^ sao cho naubv. Tìm lim ⁿ ¹

n

r n ab

  .

A. . B. . C. ¹

ab . D. ab1.

Câu 27. Cho dãy số xác định bởi với mọi . Gọi là tổng số hạng đàu tiên của dãy số . Tìm .

A. . C. . B. . D. .

Câu 28. Cho dãy số xác định bởi với mọi . Tìm .

(u_n) u₁3, 2u_n_₁ u_n 1 n1 S_n n (u_n) limS_n

limS_n   limS_n 1 limS_n   limS_n  1

(u_n) ₁ 1, ₂ 2, ₂ ¹

2

n n

n

u u

u u u _ ^ 

   n1 limu_n

(8)

A. . B. . C. . D. .

Câu 29. Cho dãy số xác định bởi với mọi . Tìm .

A. . C. . B. . D. .

Câu 30. Cho dãy số xác định bởi với mọi . Khi đó bằng.

A. . B.0. C.1. D.2.

Câu 31. Cho dãy số được xác định bởi với mọi , trong đó và là các số thực cho trước, . Tìm giới hạn của .

A. . C. . B. . D. .

Câu 32. Cho dãy số với , trong đó là tham số. Để có giới hạn bằng 2 thì giá trị của tham số a là?

A. -4. B.2. C.4. D.3.

Câu 33. Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương và để: .

A. . B. . C. . D. .

Câu 34. Tìm các số thực và sao cho .

A. . B. . C. . D. .

Câu 35. Cho dãy số . Biết với mọi . Tìm .

A. 1. B. . C.0. D. .

Câu 36. bằng:

A. 0. B. . C. . D. .

 ³

2

5 3

4 3

(u_n) ₁ ¹, ₁ ²

4 2

n

n n

u  u _ u u n1 limu_n lim 1

n 4

u  1

limuⁿ 2 limu_n 0 limu_n  

(u_n) u₁1,u_n_₁u_n 2n1 n1 lim ⁿ ¹

n

u u





(u_n) ₁ , ₂ , ₂ ¹

2

n n

n

u u

u a u b u _ ^ 

   n1 a

b ab (u_n)

limu_n a lim ²

n 3

a b

u 

 limu_n b lim ²

n 3

a b

u 



(u_n)

2 2

4 2

n 5

n n

u an

  

 a (u_n)

a b lim( n²an 5 n²bn3)2 2

a b  a b 2 a b 4 a b 4

a b lim( 1³ n³ an b )0 1

0 a b

  

 



1 0 a b

 

 



1 1 a b

  

  



0 1 a b

 

 



(u_n)

2

1

3 9

2

n k k

n n

u



 



ⁿ^¹

1

1 ⁿ

k n k

nu



_ u 1

2 

2 2 1

1 3 3 ... 3

lim 5

n k

k k





   



17 100

17 200

1 8

(9)

GIỚI HẠN HÀM SỐ

Câu 37. Tìm giới hạn ⁰ ¹ ₀ ₀

0 1

lim ... , ( , 0)

...

n

n n

x m

m m

a x a x a

A a b

b x b x b



 

  

 

   .

A. . B. . C. ⁴

3 . D. Đáp án khác.

Câu 38.

2 2

3 5sin 2 cos

lim 2

x

x x x

x



 

 bằng:

A. . B. 0. C. 3. D. .

Câu 39. Cho và là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa và để giới hạn:

là hữu hạn:

A. B. C. D.

Câu 40. Cho là một số thực khác 0. Kết quả đúng của bằng:

A. B. C. D.

Câu 41. Cho là tham số thực. Tìm để

A. B. C. D.

Câu 42. Cho và là các số thực khác Nếu thì bằng:

A. B. C. D.

Câu 43. Giới hạn

3

1 5 1

lim^x 4 3

x x



  

  bằng ^a

b (phân số tối giản). Giá trị của ab là

A. 1. B. ¹

9. C. 1. D. ⁹

8

Câu 44. Biết trong đó là phân số tối giản, và là các số nguyên dương. Tổng bằng:

A. B. C. D.

Câu 45. Biết trong đó là phân số tối giản, và là các số nguyên dương. Khi đó bằng:

A. B. C. D.

Câu 46. Cho là các số thực khác . Tìm hệ thức liên hệ giữa để .

a b a b

2 2

2

lim 6 8 5 6

x

a b

x x x x

 

 

  

   

 

4 0.

a b a3b0. a2b0. a b 0.

a

4 4

lim

x a

x a x a





3a3 2a³ a³ 4a³

2 1 2

lim 1,

1

x

x mx m

C m

x



  

  m C2.

2

m m 2 m1 m 1

a b 0. ²

lim2 6

2

x

x ax b x



 

 

a b

2 4 6 8

3 2 2

8 11 7

lim^x 3 2

x x m

x x n



  

  

m

n m n

2m n

68 69 70 71

   

3 3 2

6 9 27 54

lim ,

3 3 18

x

x x m

x x x n



  

   

m

n m n

3m n

55 56 57 58

, ,

a b c 0 a b c, ,

9 2 2

lim 5

1

x

ax b x cx



 

 

(10)

A. . B. . C. . D. .

Câu 47. Cho và là các tham số thực. Biết rằng và thỏa mãn hệ thức nào trong các hệ thức dưới đây?

A. B. C. D.

Câu 48. Cho là một số thực dương. Tính giới hạn .

A.bằng . B.là . C.là . D.không tồn tại.

Câu 49. Cho là một số nguyên dương. Tính giới hạn .

A. . B. . C. . D.

Câu 50. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực sao cho giới hạn là hữu hạn.

A. . B. . C. . D. .

Câu 51. Tìm giới hạn

0

1 1

lim ( *, 0)

n x

B ax n a

x



 

   :

A.  B.  C. ^a

n D. 1 n

a

0

1 1

lim

1 1

n x m

A ax

bx



 



  với ab0:

A.  B.  C. ^am

bn D. 1 am

 bn Câu 53. Tìm giới hạn

0

1 1

lim

m n

x

ax bx

N ^ x

  

 :

A.  B.  C. ^a ^b

mn D. ^a ^b

mn

0

1 1

lim

1 1

m n

x

ax bx

N

x



  



  :

A.  B.  C. ²



^{an bm}



mn

 D.0

0

1 1 1

lim

m n

x

ax bx

G ^ x

  

 :

3 5

a b c

  3

a b 5 c

   3

a b 5 c

  3

a b 5 c

  

a b

 

4 2 3 1

lim 0 ,

1

x

x x

ax b a

cx



   

  

 

  

b

9.

a b  a b  9. a b 9. a b  9.

a

 

²

1 1 1

limx^a x a x a

 

  

  

2

1

a  

n

1

lim 1

1 ⁿ 1

x

n

x x



 

  

 

 

2

n 1

2

n 1

2

n 2

2 n

k ₂

1

lim( 1 )

1 1

x

k

x x

 

 

2

k k2 k2 k2

(11)

A.  B.  C. ^a ^b

mn D. ^a ^b

mn Câu 56. Tìm giới hạn

0

(2 1)(3 1)(4 1) 1 lim

n x

x x x

F ^ x

   

 :

A.  B.  C. ⁹

n D. 0

3 4

0

1 1 1 1

lim

x

x x x

B x

  



   

 với  0.:

A.  B.  C.

4 3 2

B   

   D.

4 3 2

B   

  

   

0 2

1 1

lim

n m

x

mx nx

V ^ x

  

 :

A.  B.  C.

 

2 mn n m

D.

 

2 mn n m

    

 

3 1 1

1 1 ... 1

lim

1

n x n

x x x

K

x ^



  





:

A.  B.  C. ¹

!

n D. 0



²

 

²



0

1 1

lim

n n

x

x x x x

L ^ x

    

 :

A.  B.  C. 2n D. 0

   

0 3

1 1

lim

1 2 1 3

n m

x

mx nx

V

x x



  

    :

A.  B.  C. ²



^{an bm}



mn

 D. ^{mn n m}



^



Câu 62. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực sao cho hàm số có giới hạn hữu hạn khi

A. B. C. D.

Câu 63. Giới hạn nếu.

A. . B. . C. . D. .

Câu 64. Cho và là các số thực khác . Biết , thì tổng bằng

A. . B. . C. . D. .

m ^{f x}

 

^^mx^ ⁹^x²^³^x^¹

. x 

3

m  m 3 m0 m0

lim ( 2 3 5+ax) = +

x x x

   

1

a a1 a1 a1

a b 0

lim ( 2 2) 3

x ax x bx

    

a b

2 6 7 5

(12)

Câu 65. Cho và là các số thực khác . Biết số lớn hơn trong hai số và là số nào trong các số dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 66. Biết trong đó là phân số tối giản, và là

các số nguyên dương. Tìm bội số chung nhỏ nhất của và .

A. . B. . C. . D. .

Câu 67. Cho và là các số nguyên dương. Biết , hỏi và

thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 68. Tìm giới hạn lim [ (ⁿ ₁)( ₂)...( _n) ]

x

C x a x a x a x



     :

A.  B.  C. â¹ â² ^... âⁿ

n

  

D. ¹ ² ^...

2

a a an

n

  

Câu 69. Cho và là các số thực khác Giới hạn bằng:

A. B. C. D.

Câu 70. Cho là các số thực khác Tìm hệ thức liên hệ giữa để:

A. B. C. D.

Câu 71. Cho và là các số nguyên dương phân biệt. Giới hạn bằng:

A. B. C. D.

1

sin( ) lim.sin( )

m x n

A x

x



  :

A.  B.  C. ⁿ

m D.0

Câu 73. Tìm giới hạn ₂

0

cos cos

lim sin

m m

x

ax bx

H ^ x

  :

A.  B.  C.

2 2

b a

n m D.0

a b 0 lim (ax+b- ² 6 2) 5

x x x

   

a b

4 3 2 1

3

2 3 2

lim ( 9 2 27 4 5)

x

x x x x m

n

       m

n m n

m n

135 136 138 140

a b lim ( 9 ²+ ax ³27 ³ ² 5) ⁷

27

x x x bx

     a

b

2 33

a b a2b34 a2b35 a2b36

a b 0.

0

1 1

lim^x sin ax

bx



 

2 a

b 2

a

 b 2a

b

2a

 b , , c

a b 0, 3b2c0. a b c, ,

0 3

tan 1

lim .

1 1 2

x

ax

bx cx

 

   1

3 2 10

a b c 



1

3 2 6

a b c 



1

3 2 2

a b c 



1

3 2 12

a b c 



m n

 

1

sin 1 lim _m _n

x

x x x





m n n m ¹

m n

1 nm

(13)

Câu 74. Tìm giới hạn ₂

0

1 cos lim

n x

M ax

x



  :

A.  B.  C.

2 a

n D. 0

Câu 75. Cho f x( ) là đa thức thỏa mãn

3

( ) 15

lim 12

3

x

f x x



 

 . Tính

3 3 2

5 ( ) 11 4

lim^x 6

T f x

x x



 

   .

A. ³

T  20. B. ³

T  40. C. ¹

T  4 D. ¹

T  20. HÀM SỐ LIÊN TỤC

Câu 76. Cho hàm số

 

1 0

1 , 2 0 eax

x khix f x

khix

 

 

 

 



với a0. Tìm giá trị của a để hàm số ^{f x}

 

^{liên tục}

tại x₀ 0.

A. a1. B. ¹

a 2. C. a 1. D. ¹

a 2

Câu 77. Tìm a để các hàm số ²

4 1 1

khi 0

( ) (2 1)

3 khi 0

x x

f x ax a x

x

  

 

  

 



liên tục tại ^x^⁰

A. ¹

2 B. ¹

4 C. ¹

6 D. 1

 

2 3

, 1

2 , 0 1

1

sin , 0

x x

f x x x

x x x x

 



  

 





. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. ^{f x}

 

liên tục trên . B. ^{f x}

 

liên tục trên ^^{\ 0}

 

^.

C. ^{f x}

 

liên tục trên ^^{\ 1}

 

^. ^D. ^{f x}

 

liên tục trên ^^{\ 0;1}

 

^.

Câu 79. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

 

1 1

khi 0

1 khi 0

1

x x

f x x

m x

x

   

 

 

   

 



liên tục tại x0.

A. m1. B. m 2. C. m 1. D. m0

Câu 80. Tìm m để các hàm số

3 2 2 1

khi 1

( ) 1

3 2 khi 1

   

 

  

  



x x

f x x x

m x

liên tục trên 

(14)

A. m1 B. ⁴

3

m C. m2 D. m0

Câu 81. Tìm m để các hàm số

2

2 4 3 khi 2

( ) 1

khi 2

2 3 2

   

  

 

  



x x

f x x

x mx m x

liên tục trên 

A. m1 B. ¹

 6

m C. m5 D. m0

Câu 82. Cho hàm số liên tục tại Tính

A. B. C. D.

Câu 83. Chon hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để hàm số liên tục tại .

A. . B. . C. . D. .

2

( 2) 2

khi 1

( ) 3 2

8 khi 1

ax a x

f x x x

a x

   

 

  

  



. Có tất cả bao nhiêu giá trị của a để hàm số liên tục tại x1?

A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.

 

3

12 9 2 12 . 1 2 9

x f x ax b

x x





   

 

  

Biết rằng a, b là giá trị thực để hàm số liên tục tại x₀ 9. Tính giá trị của Pab.

A. ¹

P 2 B. P5 C. P17 D. ¹

P 2

Câu 86. Cho phương trình trong đó là các tham số thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. Phương trình vô nghiệm với mọi .

B.Phương trình có ít nhất một nghiệm với mọi . C. Phương trình có ít nhất hai nghiệm với mọi .

 

  

 

 

   

   





2 2

4

3 2

2 6 2

x x

neáu x x

f x x b neáu x

a b neáu x

2.

x I  a b?

9 I 30

 93

I  16 19

I 32 173

I  16

  

³



²

khi 3.

3

khi 3

x x

f x x

m x

 

 

  

 



m

3 x

m m m1 m 1

 

3 2

0 1

x ax bx c a b c, ,

 

¹ ^{a b c}^{, ,}

 

¹ ^{a b c}^{, ,}

 

¹ ^{a b c}^{, ,}

(15)

D. Phương trình có ít nhất ba nghiệm với mọi . Câu 87. Phương trình ⁵ ¹ ⁴ 5 ³ ² 4 1 0

x 2x  x x  x  có bao nhiêu nghiệm.

A. 2 B.3 C.4 D. 5

Câu 88. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực sao cho phương trình sau có nghiệm

A. . B. .C. . D. .

 

¹ ^{a b c}^{, ,}

m



²^m²^⁵^m^²

 

^x^¹



²⁰¹⁷



^x²⁰¹⁸^²



^²^x^{ }³ ^0.

\ 1; 2

m 2 

  

 

 ^;¹



^2;



m  2

   

 

1; 2 m 2 

  

 

m

(16)

C - HƯỚNG DẪN GIẢI

GIỚI HẠN DÃY SỐ

1 2 n 1

n k

u

n k







A.  B.  C.3 D.1

Hướng dẫn giải Chọn D.

Ta có:

2 2 2

1 1 1

, 1, 2,..., 1

k n

n n n k n

  

  

Suy ra

2 2

n 1

n n

u

n n n

 

 

Mà lim 2 lim 2 1

1

n n

n n n

 

 

nên suy ra limu_n 1.

dau can

2 2... 2

n n

u 

A.  B.  C.2 D.1

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: ²

1 1 ... 1 1 1 2 2 2 2

2 2

n n

un

 

    

    ,nên

1 1

lim lim 2 2 2

n

un

  

    .

Câu 3. Tìm giá trị đúng của

1 1 1 1

2 1 ... ...

2 4 8 2ⁿ

S  

        

 .

A. 21. B. 2. C. 2 2. D. ¹

2 . Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: _{2 1} ¹ ¹ ¹ _... ¹ _... _2. ¹ _{2 2}

2 4 8 2 1

1 2

S  n 

         

  

.

Câu 4. Tính giới hạn

 

1 1 1

lim ....

1.2 2.3 n n 1

 

  

 

  

A. 0 B.1. C. ³

2 . D.Không có giới

hạn.

Hướng dẫn giải Chọn B.

(17)

Đặt :

 

1 1 1

1.2 2.3 .... 1

   

A 

n n

1 1 1 1 1

1 ...

2 2 3 1

      

 n n

1 1

  

 

n

n n

 

1 1 1 1

lim .... lim lim 1

1.2 2.3 1 1 1 1

 

       

 

  

n

n n n

n

Câu 5. Tính

 

1 1 1

lim ....

1.3 3.5 n 2n 1

 

  

 

  

A. 1. B. 0. C. ²

3 . D. 2.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Đặt

 

1 1 1

1.3 3.5 .... 2 1 A   n n



 

2 2 2

2 ....

1.3 3.5 2 1

1 1 1 1 1 1 1

2 1 ...

3 3 5 5 7 2 1

1 2

2 1

2 1 2 1

2 1

A n n

A n

n n

A n n

    



         



   

 

 



Nên

 

1 1 1 1 1

lim .... lim lim .

1.3 3.5 2 1 2 1 1 2

2

 

     

 

 

  

n

n n n

n

Câu 6. Tính giới hạn:

 

1 1 1

lim ....

1.3 2.4 n n 2

 

  

 

  

A. ³

4. B.1. C. 0. D. ²

3. Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có :

   

1 1 1 1 2 2 2

lim .... lim ....

1.3 2.4 2 2 1.3 2.4 2

   

      

   

 

 n n   n n 

1 1 1 1 1 1 1 1

lim 1 ...

2 3 2 4 3 5 2

 

         

 n n 

1 1 1 3

lim 1 .

2 2 2 4

 

    

 n 

Câu 7. Tính giới hạn 1 1 1

lim ...

1.4 2.5 n n( 3)

 

  

  

 

.

(18)

A. ¹¹

18. B. 2. C. 1. D. ³

Chọn A.

Cách 1:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

lim ... lim 1 ...

1.4 2.5 n n( 3) 3 4 2 5 3 6 n n 3

    

             

      

 

1 1 1 1 1 1

lim 1

3 2 3 n 1 n 2 n 3

  

           

   

11 3 2 12 11 11

18 lim 1 2 3 18

n n

n n n

   

   

  

 

.

Cách 2: Bấm máy tính như sau: lim [ (ⁿ ₁)( ₂)...( _n) ]

x

C x a x a x a x



     và so đáp án (có

thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).

Câu 8. Tính giới hạn: 1₂ 1₂ 1₂

lim 1 1 ... 1

2 3 n

    

  

    

 

    

 

.

A. 1. B. ¹

2 . C. ¹

4 . D. ³

Chọn B.

Cách 1:

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

lim 1 1 ... 1 lim 1 1 1 1 ... 1 1

2 3 n 2 2 3 3 n n

              

         

              

   

              

   

1 1 1

( )( ... )

n n n n n

y x y x y ^ y ^ x x ^

       ₁ ₁ ₁

...

n n

n n n

y x y x

y ^ y ^ x x ^

   

  

Cách 2: Bấm máy tính như sau: lim ( ) lim ₁ ₂ ₁

...

n n

n n n

x x

y x y x

y ^ y ^ x x ^

 

   

   và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).

1 2

1 1 1

(1 )(1 )...(1 )

n

u  T T T trong đó ⁽ ¹⁾

n 2

T n n

 .:

A.  B.  C. ¹

3 D. 1

Hướng dẫn giải Chọn C.

(19)

Ta có: 1 ¹ 1 ² ⁽ ¹⁾⁽ ²⁾

( 1) ( 1)

k

k k

T k k k k

 

   

 

Suy ra ¹. ² lim ¹

3 3

n n

u n u

n

    .

3 3 3

2 1 3 1 1

. ....

2 1 3 1 1

n

u n

n

  

    .:

A.  B.  C. ²

3 D. 1

Ta có

3 2

1 ( 1)( 1)

1 ( 1)[( 1) ( 1) 1]

k k k k

   

      

Suy ra

2 2 1 2

. lim

3 ( 1) 3

n n

u u

n n

     



1

2 1

2

n

n k

k

u k





 ^.:

A.  B.  C.3 D. 1

Ta có: ¹ ¹ ¹ ¹₂ ... ¹₁ ² ₁¹

2 2 2 2 2 2

n n n n

u u  _  n_

      

 

1

1 3 2 1

lim 3

2 ⁿ 2 2ⁿ ⁿ

u n_ u

     .

Câu 12. Tính giới hạn của dãy số ₂

1 n n

k

u n

n k





 ^.:

A.  B.  C.3 D. 1

Hướng dẫn giải Chọn D.

Ta có: ₂ ₂ ₂ 1 ₂ ¹

1 1 1

n n

n n n

n u n u

n n n n n

 

     

   

1 2 0 lim 1

n 1 n

u n u

   n   

 .

Câu 13. Tính giới hạn của dãy số u_n q2q²...nqⁿ với q 1.: