Tổng hợp bài tập nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nhóm Toán - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

Group Nhóm Toán | Trắc nghiệm 2016-2017 1

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN (TỰ LUẬN)

Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số 2

1. Kiến thức liên quan

1.1. Công thức nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng

dx x C

 

^{a dx}^. ^^{ax C}^ ^{, a}^

1

, 1

1

x dx x C

  



    







⁽^{ax b dx}^ ⁾^ ^^{1 (}_a^. ^{ax b}_^_₁⁾^^¹^^C

ln , x 0

dx x C

x   

 

_ax^dx__b ^ ¹_a^.ln ^ax^{ }^b ^C

x x

e dxe C



e^{ax b}dx ¹.e^{ax b} C

a

   



ln

x

x a

a dx C

 a 

 

^a^{ }^x^ ^dx^_¹^.^a_ln^{ }^x_a^ ^^C

cosxdxsinx C



cos(ax b dx) ¹.sin(ax b) C

  a  



sinxdx cosx C



sin(ax b dx) ¹.cos(ax b) C

  a  



2

1 tan

cos dx x C

x  

 

_{cos (}² _{ax b}¹ _ ₎^dx^ ¹_a^tan(^{ax b}^{ }⁾ ^C

2

1

sin dx cotx C

x   

 

_{sin (}² _{ax b}¹ _ ₎^dx^{ }¹_a^{cot ax b}⁽ ^{ }⁾ ^C

1.2. Công thức tích phân

F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì

(2)

( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dxF x F b F a



1.3. Phương pháp đổi biến số

1.3.1. Dạng 1 : Tính I = ^b



^{( )}



^'^{( )}

a

f  x  x dx



+ Đặt t = ( )x dt ^'( ).x dx + Đổi cận :

( )

( ). ( ) ( ) ( )

b

a

f t dt F t b a



 



 I =

1.3.2. Dạng 2 : Tính I = ( )

b

a

f x dx



bằng cách đặt x = ( )t

Dạng chứa a²x² : Đặt x = asint, t ; 2 2

  

   (a>0)

1.4. Phương pháp tích phân từng phần * Công thức tính : ( )

b b b

b a

a a a

f x dx udvuv  vdu

  

 Đặt

Ta thường gặp hai loại tích phân như sau:

* Loại 1:











 



) (

...

) (

...

ham nguyen

lay v

ham dao

lay dx

du dv

u

x a b t ( )a ( )b

(3)

( )

( ).sin ( ).

( ).cos ( ). ( )

( ). .

b

a b

f x a

P x f x dx

P x f x dx u P x

P x e dx



  









, trong đó ( )P x là đa thức bậc n.

*Loại 2: ( ).ln ( ). ln ( )

b

a

P x f x dx  u f x



1.5. Tính chất tích phân

Tính chất 1: ( ) ( )

b b

a a

kf x dxk f x dx

 

, k: hằng số

Tính chất 2: ^b



^{( )} ^{( )}



^b ^{( )} ^b ^{( )}

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

  

Tính chất 3: ( ) ( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx a c b

  

1.6. Diện tích hình phẳng

1.6.1. Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:

( )

b

a

S 



f x dx^(*) Lưu ý:

 f x( )0 vô nghiệm trên (a;b) thì

( ) ( )

b b

a a

S 



f x dx



f x dx

 f x( )0 có 1 nghiệm c( ; )a b thì

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

S 



f x dx



f x dx 



f x dx

(4)

1.6.2. Dạng 2: Cho hai hàm số y = f₁(x) và y = f₂(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f₁(x), f₂(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là:

₁( ) ₂( )

b

a

S 



f x  f x dx^(**)

Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức (**) thực hiện tương tự đối với công thức (*).

1.7. Thể tích vật thể tròn xoay

Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:

²( )

b

a

V 



f x dx

Lưu ý: Diện tích, thể tích đều là những giá trị dương.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau

   

 

1 1

0 0 0

4 2

3

1 0

1 / (2x+e ) x 2 / 2 3 3 / s inx+ cos

2 3

4 / 5 / sin 2

x x x

A d B e dx C x dx

x x

D dx E x x dx

x



   

   

    

 

  

 

Lời giải

 

1 1 1

1 1

2

0 0

0 0 0

1 / A



2xe^x dx



2xdx



e dx^x x e^x     1 0 e 1 e

     

¹ ¹

1 1 1

0 0 0 0 0

2 2 2 1 3

2 / 2 3 2 3 2 3

ln 2 ln 2 ln 2 ln 2

x x

x x x x e e

B e dx e dx dx

e e

  





 







   

 

₀ ₀

0 0 0

3 /C sinx cosx dx sinxdx cosxdx cosx sinx 2

  

 





 







   

(5)

4 4 5 3 4

4 4

3 2

2 2

3 3 1 1

1 1 1

1 3 1 2 3

4 / 3 ln

3 2

D x dx x x dx x x x

x x x x

   

   





    



        

 

² ²

0 0

0 0 0

1 1

5 / sin 2 sin 2 cos 2

2 2 2

E x x dx xdx xdx x x

 

   





 







  

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau

 

6 1

1 0

ln 2

1 0

2 1

1 / 3 x 2 / x

1 3 1

1 2ln 1 1

3 / 4 /

ln 1 2 1

e

x

I x x d J x d

x

K x dx L x dx

x x e

x

   

 

    

         

 

Lời giải

6

1

1 /I 



x x3dx

 Đặt x 3 t ta đượcx  3 t² dx2tdt

 Đổi cận: x  1 t 2;x  6 t 3

 Khi đó ³



⁴ ²



⁵ ³ ³

2 2

2 232

2 6 2

5 5

I  t  t dt  t  t  

 



1

0

2 1

2 /

1 3 1

J x dx

x

 

 



 Đặt 3x 1 t ta được

2 1 2

3 3

x t  dx tdt

  

 Đổi cậnx  0 t 1;x  1 t 2

 Khi đó

2 3 2

2

1 1

2 2 2 3 28 2 3

2 2 3 ln

9 1 9 1 27 3 2

t t

J dt t t dt

t t

  





 



       

 

1

1 2ln 1

3 / ln 1

e x

K dx

x x x

  





   

 Tính ₁

1 e 1

K dx





x ta được kết quả^K¹^²



^e^¹



(6)

 Đặt lnxt ta được dx dt  x

 Đổi cậnx  1 t 0;x  e t 1

 Khi đó 2 ¹

   

¹

0 0

2 1

2 ln 1 2 ln 2

1

K t dt t t

t

      





 Vậy ta được K K₁K₂ 2 eln 2

ln 2

0

4 / 1

2 ^x 1

L x dx

e

 





   

 Tính

ln 2 1

0

L 



xdx ta được kết quả 1 ² 2ln 2 I 

 Tính

ln 2 2

0

1 2 ^x 1

L dx

 e





 Đặte^x t ta được e dx^x dt

 Đổi cận x  0 t 1;xln 2 t 2

 Khi đó

     

2 2

2 1

1

5 6

ln ln 2 1 ln 2 ln ln

2 1 3 5

L dt t t

t t

      





 Vậy ta được ₁ ₂ 1 ² 6

ln 2 ln

2 5

LL L   Ví dụ 3. Tính các tích phân sau



³



⁴ 2 4

 

0 0

6

1 / 1 sin cos 2 / 1 3 / sinx sin

sin cos

I x xdx J dx K x xdx

x x



 







 









Lời giải

 

2

3 0

1 /I 1 sin x cosxdx









 Đặt sinx t dtcosxdx

 Đổi cận 0 0; 1

x_{  }t x_2 _{ }t

(7)

 Khi đó ¹



³



⁴ ¹

0 0

1 3

4 4

I t dt t t 

     

 



4

2 4

6

2 / 1

sin cos

J dx

x x







 Đặt 1₂

cotx t dt sin dx x

   

 Đổi cận 3; 1

6 4

x_ _{ }t x_ _{ }t

 Khi đó

2 3

3 3

2 2 4 3

1 1 1

1 2 1 2 1 8 3 4

1 1

3 27 3

J dt dt t

t t t t t

     





   



         

 

²

0 0 0

3 /K sinx x sinxdx sin xdx xsinxdx

  





 







 Đặt ₁ ²

0 0

1 cos 2 1

sin 2 2

K xdx xdx

 

 











 ₂

0

sin

K x xdx







 sin cos

u x du dx

dv xdx v x

 

 

    

 

 ₂

0 0

0

cos cos sinx

K x x xdx

  

 

  



  

* Chú ý: Ta thường đặt t là căn, mũ, mẫu.

- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất.

- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.

- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức.

- Nếu tích phân chứa dx

x thì đặt t lnx. - Nếu tích phân chứa e^x thì đặt te^x. - Nếu tích phân chứa dx

x thì đặt t x.

(8)

- Nếu tích phân chứa dx₂

x thì đặt 1 t  x.

- Nếu tích phân chứa cosxdx thì đặt t sinx. - Nếu tích phân chứa sinxdx thì đặt tcosx. - Nếu tích phân chứa ₂

cos dx

x thì đặt ttanx. - Nếu tích phân chứa ₂

sin dx

x thì đặt tcotx.

Ví dụ 3. Tính các tích phân

a)

2

0

sin

I x xdx







1

) ln

e

b J 



x xdx ¹

0

) ^x

c K 



xe dx Lời giải

a)

2

0

sin

I x xdx







 sin cos

u x du dx

dv xdx v x

 

 

    

 



2

2 2

0 0

0

cos cos 0 0 sinx 1

I x x xdx



 

  



   

1

) ln

e

b J 



x xdx

 2

1 ln

2 du dx

u x x

dv xdx x

v

 

 

 

  

  





2 2 2 2

1 1 1 1

ln ln 1

2 2 2 4 4

e e e e

x x x x e

J  x 



dx x   

(9)

1

0

) ^x

c K 



xe dx

 x x

u x du dx

dv e dx v e

 

 

 

 

 



1 1 1

0 0

0

x x x 1

K xe 



e dx e e 

Ví dụ 4. Tính các tích phân sau

2 2 ln 4 2 2

2

3 2

1 0 1

1 1 1

1 / 2 / 3 / ln

2

x x

I x dx J e dx K xdx

x x e x

 

   





    



    



Lời giải

2 2 2 2 2

2 2

3 2

1 1 1

1 1

1 / x x

I x dx x dx dx

x x x x

   





    









Tính

2 2

2 3

1 1 1

1 7

3 3

I 



x dx x 

2 2 2 2 2 2

2 3

1 1 1 1

1 1

1 1 1 4

ln ln

1 1 5

d x

x x x

I dx dx dx x

x x x x x

x x

  

  

    





 



  



      

Vậy ₁ ₂ 7 4

3 ln5 I  I I  

ln 4 ln 4 ln 4

0 0 0

1 1

2 /

2 2

x x

J e dx e dx dx

e e

 

     

 

 

  

ln 4 ln 4

1 0

0

x x 3

J 



e dx e 

(10)

 

ln 4

2 2

0 2 2 2

1 1

1 2

; 2

2

2 3

ln ln

2 2 2

x x x

J x dx t e t e tdt e dx dx dt

e t

J dt t

t t t

       



 

       



Vậy ₁ ₂ 3

3 ln2 J J J  

2 2 2 1

3 / x 1ln

K xdx

x







Đặt

2 2

2

1 2 1

ln 1

1 1 1

1 ln

1

u x du dx

x K x x x dx

x x x x

dv dx

v x

x x

 

  

         

       

   

 



2 2

1 1

1 1 5 3

ln ln 2

2 2

K x x x

x x

   

        

(11)

Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau a) yx², trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2.

b) yx² , y  2x 3 và hai đường thẳng x =0, x=2.

c) yx², y x 2 Lời giải

a) yx², trục hoành và hai đường thẳng x= 0, x=2.

 Trên [0; 2] ta có x²    0 x 0 [0;2]

 Diện tích của hình phẳng đã cho:

2 2

2 3

0 0

1 8

3 3

S 



x dx x  b) Đặt f x₁( )x², f x₂( )  2x 3

Ta có: ₁ ₂ ² ² 1 [0; 2]

( ) ( ) 0 ( 2 3) 0 2 3 0

3 [0; 2]

f x f x x x x x x

x

  

               

 Diện tích hình phẳng đã cho

2 2 0

| 2 3 |

S 



x  x dx

(12)

1 2

2 2

0 1

1 2

3 3

2 2

0 1

( 2 3) ( 2 3)

3 3

1 8 1 5 7

2 4 6 1 3 4

3 3 3 3 3

x x dx x x dx

x x

x x x x

     

   

         

   

          

 

c) Ta có: ² ² 1

( 2) 0 2 0

2

x x x x x

x

  

         

Diện tích hình phẳng

2 3 2 2

2

1 1

8 1 1 9

| 2 | x 2x 2 4 2

3 2 3 3 2 2

x x

S x x d

 

 

              

 



Ví dụ 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (D) quanh trục Ox biết (D) giới hạn bởi

1 2, 0

y x y Lời giải

 Ta có: 1x²    0 x 1

 Áp dụng công thức: ²( )

b

a

V 



f x dx

 Ta có:

1

2 2 1

(1 )

V  x dx







 ¹



² ⁴



³ ⁵ ¹

1 1

1 2x 2x

3 5

x dx x x

 

 

 

       

 



2 1 2 1 4 2 16

1 1 2

3 5 3 5 3 5 15

^^ ^{ } ^^ ^ ^ 

              

Bài Tập tự luyện

Bài 1: Tính các tích phân sau

(13)

1.

1 3 0

(x  x 1)dx



^2. ² ²

1

1 1

( )

e

x x dx

x x

  



^3.²

1

1 x dx



4.

2

3

(2sinx 3cosx x dx)



 



^5.¹

0

(e^x x dx)



^6.¹ ³

0

(x x x dx)



7.

2

1

( x1)(x x 1)dx



^8.²

3

(3sinx 2cosx 1)dx x



 



^9.¹ ²

0

(e^x x 1)dx



10.

3 3 1

(x 1).dx





 ^11.

2

1

7 2 5

e x x

x dx

 



^12. ²

2

( 3) x x dx







13.

4 2 3

(x 4)dx





 ^14.² ² ³

1

1 1

x x dx

  

 

 



^15.² ² ³

1

2

x x

x dx





16.

8

2 3 1

4 1 3

x dx

x

 

  

 



Bài 2: Tính các tích phân sau

1.

2

3 2

3

sin xcos xdx





^2.⁶

0

1 4sinxcosxdx





 ^3.¹ ²

0

1 x x  dx



4.

1

2 0

1

x x dx



^5.¹ 3²

0 1

x dx x 



^6.¹ ^{2 2}

0(1 3 )

x dx

 x



7.

2 sin

4

e xcosxdx





^8.² ² ³

0

sin 2 (1 sinx x dx)





 ^9.¹ ⁵ ^{3 6}

0

(1 )

x x dx



(14)

12.

6

2 0

cos 6 5sin sin

x dx

x x



 



^11.⁹

4 1

x dx x



^12.⁶

0

1 4sin .cosx xdx







13. ²

1 2 0

ex ^ xdx



^14.

1 e 1 ln

xdx x



 ^15.

1

sin(ln )

e x

x dx



16.

1

0

1 x x dx



^17.¹ ² ³

0

5 x x  dx



^18. ⁸ 2

3

1 1

dx x x 



19.

ln 5

ln 3 ^x 2 ^x 3

dx e  e^ 



^20.¹

0

e dx^x



^21.³ ³

0

sin x cos

x d x





22.

1

2 0

1x dx



^23.¹ 2

0

1 4

dx

x



^24.¹ ²

0

1

1 dx

x



Bài 3: Tính các tích phân sau

1.

2 2 0

cos x xdx





^2.¹

0 xsin e xdx



^3.²

0

(2x 1) osxc dx







4.

1

0

xe dxx



^5.

1

ln

e

x xdx



^6.² ²

0

(x 1)sin xdx







7.

2

2 0

(x cos )sin xx dx





 ^8.² ²

0

sin 3x e x dx





^9.¹ ²

0

(x2)e dx^x



10.

1

2 0

ln(1 ) x x dx



^11.

1

(2 2) ln

e

x xdx



^12.²

0

cos x x dx





13.

2

0

(2x7) ln(x1)dx



^14.¹ ²

0

(x2)e dx^x



Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

(15)

a) 1 ³ ² 2

3 3

y  x x  , trục hoành, x = 0 và x = 2.

b) yx²1, x 1, x2 và trục hoành.

c) yx³12 ,x y x²

d)y x³1 và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng -2.

e) y x²4 ,x y0, x0, x3

f) 3

sinx, y=0, x=0, x=

y 2



g) ye^x, Ox, x0,x3

Bài 5: Tính thể tích vật tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành:

a) yx²4 ,x y0, x0, x3 b) ycos ,x y0, x0,x



c) tan , 0, 0,

y x y x x 4

   

d) y 2 x², y1

e) 1

ln , , , 0

y x x x e y

  e  

TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM - NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

PHẦN 1 : Câu1: Tính

2 3

(x 2 x dx)

 x



(16)

Group Nhóm Toán | Trắc nghiệm 2016-2017 16 A.

3

4 3

3 3ln 3

x  x  x C B.

3

4 3

3 3ln 3

x  x  x C.

3

4 3

3 3ln 3

x  x  x C

D.

3

4 3

3 3ln 3

x  x  x C

Câu 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)= 1 ( 3) x x A. ²ln

3 3

x C

x 

 B. ¹ln

3 3

x C

x

 



C. ¹ln

3 3

x C

x 

 D. ²ln

3 3

x C

x

 



Câu 3: Tính



(1 s inx)dx

A. xcosxC C. cosxC B. xcosxC D. cosxC Câu 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)= 1

1 dx

x

A. 1

C

x B. -2 1 x C C. 2

1x D.C 1x Câu 5: Tính



(2e^³^x)dx

A. 2x +e^^3xC B. 2x - e^^3xC C. 2 x - ¹ 3

e^3xC D. 2x+¹ 3

e^3xC

Câu 6: ChoF(x) là một nguyên hàm của hàm số y= ¹₂ cos x

 và F(0)=1.Khi đóF(x) là:

A. -tan x B. –tanx +1 C.tanx+1 D. tanx-1 Câu 7: Tìm họ nguyên hàm

2 1

xex ^dx



(17)

Group Nhóm Toán | Trắc nghiệm 2016-2017 17 A. e^x²^¹C B. ¹

2

x2

e C C. ¹ 2

2 1

ex ^ C D. e^x²^¹C

Câu 8: Tìm họ nguyên hàm

2 ln 1 dx

x x



A. F(x) =¹ln 1

2 x C B. ¹ln 2 ln 1

2 x C C. 2lnx 1 C D. ln 2lnx 1 C Câu 9: Tìm họ nguyên hàm (2 ₂ )

cos

x

x e

e dx

x

 



Lời giải: 1₂

(2 ) 2

cos

x x

e dx e

 x 



+ tanx +C

A. 2e^x +tanx+C B. 2e^x +tanx C.2e^x -tanx+C D. Đáp án khác Câu 9: Hàm số f(x)= x x1 có một nguyên hàm là F(x).Nếu F(0)=2 thì giá trị của F(3) là : A.116

15 B. 146

15 C. 886

105 D. Một đáp án khác Lời giải:

( 1)2

1 ( 1)

2

x x dx x   x C



F(0)= 2  C 2 (3 1)²

(3) (3 1) 2 6

F 2

     

PHẦN 2 :

Mức 1: Nhận biết

Câu 1: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn

 

^{a b}^; . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn

 

^{a b}^; ^.

Công thức nào sau đây đúng:

A. ( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dxF x F b F a



C. ( ) ( ) (a) (b)

b

b a a

f x dxF x F F



B. ( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dxF x F b F a



D. ( ) ( ) (a) (b)

b

b a a

f x dxF x F F



Lời giải: ( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dxF x F b F a



Phương án nhiễu:

+) Phương án B: Nhầm dấu.

(18)

Group Nhóm Toán | Trắc nghiệm 2016-2017 18 +) Phương án C: Thay nhầm cận a,b.

,+) Phương án D: Nhầm trong việc thay cận trên hay dưới và dấu.

Câu 2: Tích phân ¹

 

0

I   x  2 dx

^bằng:

A.

  5

I 2

^B.

5

I  2

^C.

I  5

D.

 13

I 2

Lời giải:

 

² ¹

0

2 5

2 2.

I x

 

Phương án nhiễu:

+) Phương án A: Nhầm ^{F x}^{( )}^b_a ^^{F a}

 

^^{F b}

 

+) Phương án C: Nhầm

 

²¹

0

2 5.

I  x  +) Phương án D: ^{F x}^{( )}^b_a ^^{F a}

 

^^{F b}

 

Câu 3: Tích phân ³

0

cos .sin I 

^

 x xdx

A.

I  0

B.

1

I  2

C.

I





⁴ ^D.

I   4 

Lời giải: ³

 

⁴

0 0

cos cos cos 0

4

I xd x x

 

 



  ^.

Phương án nhiễu:

+) Phương án B: Đổi dấu sai trong công đoạn thay cận +) Phương án C,D: Thay cận sai.

Mức 2: Thông hiểu Câu 4: Cho biết

5 5

2 2

( ) 3; g(t) 9 f x dx  dt 

 

. Giá trị của

5

2

( ) g( ) A     f x  x dx  

A.

I  27

B.

I   12

C.

I  12

D. Không xác định được

(19)

Group Nhóm Toán | Trắc nghiệm 2016-2017 19 Lời giải: Do tích phân của hàm số trên

 

^{a b}^; cho trước không phụ thuộc vào biến số nên:

     

5 5 5

2 2 2

( ) 12

I 



f x g x dx 



f x dx



g t dt  Phương án nhiễu:

+) Phương án D không xác định do học sinh không nắm được “tích phân của hàm số trên

 

^{a b}^; cho trước không phụ thuộc vào biến số”

+) Phương án A,C. Áp dụng sai công thức tích phân của một tổng.

Câu 5: Giá trị tích phân

 

5

2016 1

1

2 1

I dx

x





 ^là:

A. ¹ ₂₀₁₅¹ 1 4030 9

    B. ¹ ₂₀₁₅¹ 1 4030 9

    C. ¹ ₂₀₁₅¹ 1 2015 9

    D. ¹ ₂₀₁₅¹ 1 2015 9

   

Lời giải:

 

5

2016 2015

1

2 1

1 1 1

2 2 1 4030 9 1

d x I

x

   

    

 



 Phương án nhiễu:

+) Phương án B: Sai tại công đoạn thay cận đổi dấu.

+) Phương án C: Đưa dx thành d(2x -1), không chia 2.

+) Phương án D. Đưa dx thành d(2x -1), không chia 2 và thay cận sai.

Câu 6: Nếu ( ) 5; ( ) 2,

d d

a b

f x dx f x dx

 

^với^a^{ }^d ^b^thì ^b

 

a

I 



f x dx^bằng:

A.

I  7

B.

I  3

C.

I  10

D. Đáp án khác Lời giải: ^b

 

^d

 

^b

 

³

a a d

I 



f x dx



f x dx



f x dx Phương án nhiễu:

+) Phương án A: Nhầm lẫn ^d

 

^b

 

b d

f x dx f x dx

 

^.

(20)

Group Nhĩm Tốn | Trắc nghiệm 2016-2017 20 +) Phương án C: Nhầm lẫn ^b

 

^d

 

^.^b

 

¹⁰

a a d

I 



f x dx



f x dx



f x dx  +) Phương án D: Gây nhiễu

Mức 3: Vận dụng thấp

Câu 7: Giả sử

 



 

⁴

  

0

sin3 .sin2 2 ,

I x xdx a b 2 a b

. Khi đĩ, giá trị của

a b 

là:

A. 1

I

 ^6 B. 3

I

10 C. 3

I

10^ D. 3

I

 5

Lời giải: ⁴

 

⁴

0 0

1 1 1 3 2

cos cos 5 s inx sin 5 .

2 2 5 5 2

I x x dx x

 

 





     

Suy ra 0, ³

a b5 và ³. a b 5 Phương án nhiễu:

+) Phương án B: Biến đổi sai cơng thức tích thành tổng.

+) Phương án C: đổi sai cơng thức tích thành tổng và sai bước đổi dấu thay cận.

+)Phương án A: Khơng xác đinh được a,b.

Câu 8: Biến đổi

3

0

1 1

x dx

 x 



^thành ²

1

( ) với 1 f t dt t   x



. Khi đĩ

f t ( )

là hàm số nào trong các hàm số sau:

A.

f t ( ) 2  t

²

 2 t

B.

f t t ( )  

²

t

C.

f t t ( )  

²

t

D.

f t ( ) 2  t

²

 2 t

Lời giải: Đặt t x    1 t² x 1 2tdtdx

Đổi cận x  0 t 1;x  3 t 2. Khi đĩ ²



²



1

2 2 .

I 



t  t dt Phương án nhiễu:

+) Phương án B,C,D tính sai dt.

Mức 3: Vận dụng cao

(21)

Group Nhóm Toán | Trắc nghiệm 2016-2017 21 Câu 9: . Giá trị tích phân

2 2016

2 ^x 1

I x dx

 e





 ^là:

A.

22017

2017 B.

22018

2017

C. 0

D.

2018

2 2

2 1

2017 e

e  Lời giải: Đặt x  t dx dt

Đổi cận: Với x   2 t 2;x   2 t 2 Khi đó:

2 2016 2 2016

2 1 2 1

x

t x

t x e dx

I dt

e e



  

 

 

^{, suy ra}

2 2017 2 2018

2016

2 2

2017 2017 I x dx x

 





  ^.

+)Phương án B: Sai lầm để 2I và chọn đáp án B +) Phương án C: Biến đổi sai lầm sau phép đặt được

2 2016

2 ^x 1

I x dx

 e

 



 và kết luận I = 0.

+) Phương án D: Nhớ sai công thức ² ²⁰¹⁶ ² ²⁰¹⁶ ²

 

2 2 2

dx : 1

1

x x

I x dx x e dx

 e  

  





 

và tính ra D.

Câu 10: Cho³ ¹ ³



¹



2 2 4ln

sin 2sin cos 3cos 0

dx c

a b

x x x x

 

 

   và a, b, c nguyên dương. Tổng a b c  bằng:

A. 9 B. 8 C. 7 D. Không xác định

Lời giải: Ta cã

3 3 cos2

2 2 2

0 sin 2 sin cos 3 cos 0 tan 2 tan 3

dx

dx x

I

x x x x x x

 

   

   

§Æt tan 2

cos t x dt dx

x

  

  

³ ³



³ ¹



3 3 1 1 1

ln ln

0 2 2 3 0 1 3 4 3 0 4 3 3

dt dt t

I

t t t

t t

 

      

   

  Suy ra a b c  9.

+) Phương án B,C,D: Gây nhiễu

(22)

Group Nhóm Toán | Trắc nghiệm 2016-2017 22 PHẦN 3 :

Câu nhận biết

Câu 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường y x và 2 đường Thẳng x =0, x= 1, trục hoành là.

A. ¹

S 2 (đvdt) B. S 1(đvdt) C.S2(đvdt) D.

S _2

(đvdt)

Câu 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hs y=f(x) nằm phía trên trục hoành và 2 đường x=a,x=b với a<b và trục hoành là.

A.^S^ ^{f a}

 

^ ^{f b}

 

(đvdt) B. ^S ^ ^{f b}

 

^ ^{f a}

 

(đvdt) C.^S ^^⁽^{f b}

 

^ ^{f a}

 

⁾(đvdt) D.



^{( ) f(b)}



S  f a  (đvdt)

Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường y0, ysin x và 2 đường thẳng

, 2

x_o x_ là

A.S 0 (đvdt) B. S (đvdt) C.S 1(đvdt) D.S 2(đvdt) Câu thông hiểu

Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bỏi 2 đường thẳng x=1, y 3 x trục ox là.

A.S2 _B.S 4 _C.S4 _D.S 2

Câu 5.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi yx.lnx ,trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = e.

A. 1 ²

( 1)

S 4 e  B. 1 ²

( 1)

S 4 e  C. 1 ²

(1 )

S 4 e D.S  (1 e²) Câu 6. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi các đường yx y, 2 trục oy khi xoay quanh trục hoành là.

A. 8

( )

V 3 dvtt B.V 8 (dvtt) C. 8

V 3 D. Các kết quả trên đều sai.

(23)

Group Nhóm Toán | Trắc nghiệm 2016-2017 23 Câu vận dụng thấp

Câu 7.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi yx.ln² x ,trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = e.

A. 1 ²

( 1)

S 4 e  B. 1 ²

( 1)

S 4 e  C. 1 ²

(1 )

S 4 e D.S  (1 e²)

Câu 8.Thể tích hình phẳng giới hạn bởi các đườngy (x 2),² y0,x=o,x=2 khi xoay quanh trục hoành là.

A. 32

V  5 (dvtt) B.V 32 (dvtt) C. 32

. ( )

V  5  dvtt D.32 Câu vận dụng cao

Câu 9. Diện tích hình phẳng giới hạn bỏi trục tung và 2 đường y2 ,^x y 3 x là.

A. 5

2 ln 2

S  B. 3

S 2 C.S 5 ln 2 D. 5 1 2 ln 2 S  

Câu 10. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y (x 2) ,² y4 khi xoay quanh trục hoành là.

A. 256

( )

V  5 dvtt B. 256

( )

V  5  dvtt C.V 256. (dvtt) D. Các kết quả trên đều sai.

PHẦN 4 : Câu 1. Tính

0

sin xcosxdx



  

 





^bằng:

A. 0 B. 1 C.  D. 3

2

Câu 2. Cho tích phân

2 2 1

2 1.

I 



x x  dx^{. Đặt}^u^^x²^¹. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A.

3

0

I 



udu ^B.^I ^ ²₃^{. 27} ^C. ²

1

I 



udu ^D. ³

0

2. I  3 u u Câu 3. Cho a<b<c thỏa mãn: ( ) 8

b

a

f x dx



^và^c ^{( )} ²

b

f x dx



khi đó giá trị của tích phân ( )

c

a

f x dx



^bằng:

(24)

A. 6 B. 10 C. 4 D. 16

Câu 4. Tính tích phân

2 3 1

lnx x dx



A. 2 ln 2 16

 B. 3 2 ln 2

16

 C. 3 ln 2

16

 A. 3 2 ln 2

16



Câu 5. Biết rằng f(x) có đạo hàm f '(x) liên tục trên R và f(0)2e, :

0

'( ) 5

e

f x dx e



^{. Tính} ^{f e}^{( )}^.

A. f e( )0 B. f e( ) 3e C. f e( )7 e D. f e( )3e

Câu 6. Giả sử

5

1

2 1 ln

I dx a

 x 



 khi đó a nhận giá trị:

A. 9 B. 3 C. 8 D. 81

Câu 7. Cho a0. Với giá trị nào của a để biểu thức

1

(2 4)

a

I 



x dx đạt giá trị nhỏ nhất:

A. a1 B. a4 C. a2 D. a3

Câu 8. Tính tích phân

1

0

(| 3 1| 2 | |)

I 



x  x dx^bằng:

A. 1

6 B.7

6 ^C.

1 2

 D. 0

Câu 9. Tìm giá trị thực của m để I=4, biết I=

2