Tứ giác nội tiếp

(1)

Tiết 47-48 §7. TỨ GIÁC NỘI TIẾP

1. Khái niệm tứ giác nội tiếp:

?1

• Vẽ một đường tròn tâm O rồi vẽ một tứ giác có tất cả các đỉnh nằm trên đường tròn đó.

• Vẽ một đường tròn tâm I rồi vẽ một tứ giác có 3 đỉnh nằm trên đường tròn đó còn đỉnh thứ tư thì không

.

^O

a)

A

B

C

D Q

M

I

N

P N

Q

M I

P b)

A, B, C, D (O; R) ABCD nội tiếp (O; R)

 

(2)

Tiết 47 - 48 §7. TỨ GIÁC NỘI TIẾP

1. Khái niệm tứ giác nội tiếp:

.

^O

A

B

C D

Định nghĩa:

Một tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)

A, B, C, D (O; R)

ABCD nội tiếp trong (O; R)





(3)

A B

M

C D

E

Trên hình có bao nhiêu tứ giác nội tiếp

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

ACDE; ABDE; ABCD;

TRẮC NGHIỆM

NỘI DUNG

Định nghĩa:

1. Khái niệm tứ giác nội tiếp:

(4)

NỘI DUNG

Định nghĩa:

Tiết 48 §7. TỨ GIÁC NỘI TIẾP

.

^O

A

B

C D

GT KL

ABCD là tứ giác nội tiếp

2. Định lí:

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180⁰

?2

Chứng minh:

6

Chúng là góc nội tiếp phải

không?

-Viết công thức số đo góc nội tiếp. Rồi ta cộng số đo của hai cung bị chắn.

  ⁰

B  D 180

  ⁰

A  C 180 ;

(5)

?2: cho t giác ABCD n i tiếp ứ ộ đường tròn (O). Hãy tính t ngổ các c p góc đối di n bằ%ng cáchặ ệ điế%n và chố( trống trong b ng sau:ả

Đ nh lí: ị Trong m t t giác n i tiếp, t ng số đo hai góc đối nhau ộ ứ ộ ổ bằ%ng 180˚.

.

O

A

C D

B

Cặp góc đối diện Cung bị chắn So sánh

và và ………..

và …….. và ……. ………….

=

BAD BCD

ADC

ABC

BCD BAD BAD BCD  1  

( d )

2 sd BCD s BAD

 

ABC ADC ¹( ... ...)

2 sd sd

ADC ABC ADC ABC

(6)

NỘI DUNG

Ñònh nghóa:

.

^O

A

B

C D

GT KL

ABCD là tứ giác nội tiếp

2. Định lí:

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180⁰

?2

Chứng minh:

sđ sđ

Chứng minh tương tự ta có

Ta có: Tứ giác ABCD nội tiếp (O) sđ

sđ

(Góc nội tiếp)

Vậy:

  ⁰

A  C 180 ; B  D 180⁰

  ¹



 



A C BCD DAB

   2  1 ⁰ ⁰

360 180

 2 

  ⁰

B D 180 

 

A 1 BCD

2

C 1 DAB

2

 



 

  ⁰

A  C 180 ;

(7)

Bài 53/89 Sgk:

Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ơ trống trong bảng sau

Trường hợp Góc

1 2 3 4 5 6

A  B  C  D 

80

0

70

0

105

0

75

0

60

0

40

0

65

⁰

74

0

95

0

98

0

75

0

105

0

100

0

110

0

0

100

0 1800  

80

0

140

0

120

0

106

0

115

0

82

0

85

0

(8)

NỘI DUNG

3. Định lí đảo:

2. Định lí:

Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180⁰ thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp được đường tròn.

GT KL

Vẽ (O) qua ba điểm A, B, C.

Hai điểm A và C chia (O) thành hai cung:

ABC và AmC

AmC là cung chứa góc (180⁰ – B) dựng trên đoạn AC.

B + D = 180⁰nên D = (180⁰–B)

=> Điểm D thuộc AmC

Hay ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn (O).

Chứng minh:

Tứ giác ABCD: B + D = 180^o

O A

D

C m B

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O)

(9)

NỘI DUNG

GT KL

2. Định lí:

Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180⁰ thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp được đường tròn.

Chứng minh:(SGK)

.

^O

A

B

C D

Tứ giác ABCD:

hay

ABCD nội tiếp

Trong các tứ giác đã học, tứ giác nào nội tiếp được

đường tròn

D

A B

C . O

A B

D C

. O

A B

D C

. O

  ⁰

B  D 180

  ⁰

A  C 180

(10)

TỨ GIÁC NỘI TIẾP

1).Nh n biết t giác n i tiếp ậ ứ ộ Đ nh nghĩa: ị

M t t giác có bốn đ nh nằ%m trến m t đ ộ ứ ỉ ộ ườ ng tròn đ ượ c g i là ọ t giác n i tiếp đ ứ ộ ườ ng

tròn( g i tằt là ọ t giác n i tiếp ứ ộ )

(11)

Đ nh lí: ị Trong m t t giác n i tiếp, t ng số đo hai góc đối nhau ộ ứ ộ ổ bằ%ng 180˚.

Đ nh lí đ o: ị ả Nếu m t t giác n i tiếp có t ng số đo hai góc đối ộ ứ ộ ổ nhau bằ%ng 180˚ thì t giác đó n i tiếp đứ ộ ược đường tròn.

.

O

A

C D

B

(12)

4. Dấu hi u nh n biết t giác n i tiếp(SGK/103) ệ ậ ứ ộ 1) T giác có t ng hai góc đối bằ%ng 180˚. ứ ổ

2) T giác có góc ngoài t i m t đ nh bằ%ng ứ ạ ộ ỉ góc trong t i đ nh đốic a đ nh đó (góc ạ ỉ ủ ỉ

ngoài bằ%ng góc đối trong)

3) T giác có bốn đ nh cách đế%u m t ứ ỉ ộ đi m (mà ta có th xác đ nh đ ể ể ị ượ c).

Đi m đó là tâm c a đ ể ủ ườ ng tròn ngo i tiếp t giác ạ ứ

4) T giác có hai đ nh kế% nhau cùng ứ ỉ nhìn c nh ch a hai đ nh còn l i d ạ ứ ỉ ạ ướ i m t góc x ộ

.

O

A

B C

D

x

.

O

M N

Q

P

Suy ra MNPO n i tiếpộ

( góc ngoài = góc đối trong)

E

F H

K

OE=OF=OH=OK(gt) Suy ra EFHK nt

B N

C D (tg có 2 đ nh kế% nhau cùngỉ nhìn BC dưới m t góc x )ộ

x x

 

0

180

( 180 )

M P

hay N Q

 

 

A C

ABCD nt





. O

 

CBD CND x BCDN nt

 



(13)

LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AM và BN cắt nhau tại Q. Chứng minh: Tứ giác MQNC và

ABMN nội tiếp được đường tròn

A

B C

M

N

Q

Chứng minh:

 Tứ giác MQNC có:

mà M và N là hai đỉnh đối nhau Vậy MQNC nội tiếp

 Tứ giác ABMC có:

=> M và N cùng thuộc đường tròn đường kính AB

Vậy: ABMN nội tiếp đường tròn đường kính AB.

  ⁰

M N 180 (gt) 

  ⁰

AMB ANB 90 

(14)

Bài 2: Cho tam giác nh n ABC (AB < AC) n i tiếp (O). Các ọ ộ đ ườ ng cao AD, BE, CF cằt nhau t i H, K đ ạ ẻ ườ ng kính AK.

a) Ch ng minh: BCEF, AFDC, ABDE, AEHF, BFHD,CDHE ứ n i tiếp và ộ

b) G i I là giao đi m c a hai đ ọ ể ủ ườ ng th ng BC và EF. Tia ẳ KH cằt (O) t i M. Ch ng minh A, M, E, H, F cùng thu c ạ ứ ộ m t đ ộ ườ ng tròn.

c) Ch ng minh: IMFB là t giác n i tiếp t đó suy ra I, A, ứ ứ ộ ừ M th ng hàng. ẳ

 

BAD CAK 

(15)

Bài 2: Cho tam giác nh n ABC (AB < ọ

AC) n i tiếp (O). ộ

Các đ ườ ng cao AD, BE, CF cằt nhau t i ạ H, K đ ẻ ườ ng kính AK.

a) Ch ng minh: ứ BCEF, AFDC, ABDE, AEHF,

BFHD,CDHE n i ộ tiếp và

Bài 2: Cho tam giác nh n ABC (AB < ọ

AC) n i tiếp (O). ộ

Các đ ườ ng cao AD, BE, CF cằt nhau t i ạ H, K đ ẻ ườ ng kính AK.

a) Ch ng minh: ứ BCEF, AFDC, ABDE, AEHF,

BFHD,CDHE n i ộ tiếp và

O

A

B C

F H E

D

K

 

BAD CAK

(16)

a)Ch ng minh: BCEF n i tiếp ứ ộ BCEF n i tiếp ộ

O

A

B C

F H E

D

(BE là đường cao) (BE là đường cao)

K

 90⁰

BEC  BFC  90⁰

(17)

a)Ch ng minh: BCEF n i tiếp ứ ộ Xét t giác BCEF có ứ

O

A

B C

F H E

D (BE là đường cao)

(BF là đường cao)

( tg có 2 đ nh kế% nhau cùng ỉ nhìn m t c nh BC dộ ạ ưới

m t góc bằ%ng 90ộ ^˚)

K



0 0

90 90 BEC

BFC

BCEF nt

 



 



(18)

a)Ch ng minh: ứ

O

A

B C

F H E

D

(Cùng chằn cung AC )

K

? ?

Cùng chằn cung AC

(góc n i tiếp chằn n a độ ử ường tròn )

  90⁰

DAB  ACK  ABC  AKC

 

BAD CAK

 

BAD CAK

( . ) ADB ACK g g

  

ACK  90⁰

(19)

a)Ch ng minh: ứ Ta có:

Xét ∆ADB và ∆ACK có

O

A

B C

F H E

D K

? ?

(Cùng chằn cung AC)

(góc n i tiếp chằn n a độ ử ường tròn )

(Hai góc tương ng)ứ

 

900

( . ) AB

DAB ACK B

C AKC

AD

AD C K

g A

B ACK g















  





 

BAD CAK

ACK  90⁰

(20)

b) G i I là giao đi m c a hai đọ ể ủ ường th ng BC vàEF. Tia KH cằt (O) ẳ t i M. Ch ng minh A, M, E, H, F cùng thu c m t đạ ứ ộ ộ ường tròn.

A, M, E, H, F đ ϵ ườ ng tròn

O

A

B C

E

F H

D

(CF là đường cao )

K

? (góc n i tiếp chằn ộ

n a đử ường tròn )

I

M

(BE là đường cao )

AMK  90⁰ AFH  90⁰ AEH  90⁰

(21)

b) Ch ng minh A, M, E, H, F cùng thu c m t đứ ộ ộ ường tròn.

Ta có

Suy ra M, E, F cùng nhìn AH dưới m t góc vuốngộ V y A, M, E, H, F cùng thu c m t đậ ộ ộ ường

tròn đường kính AH.

O

A

B C

E

F H

D

K

? (góc n i tiếp chằn n a độ ử ường tròn )

I

M

AMK  90⁰

AFH  90⁰

AEH  90⁰

(22)

b) G i I là giao đi m c a hai đọ ể ủ ường th ng BC vàEF. Tia KH cằt (O) ẳ t i M. Ch ng minh A, M, E, H, F cùng thu c m t đạ ứ ộ ộ ường tròn.

A, M, E, H, F đ ϵ ườ ng tròn

O

A

B C

E

F H

D

K

? (góc n i tiếp chằn ộ

n a đử ường tròn )

I

M

AMK  90⁰ AFH  90⁰ AEH  90⁰

(23)

c) Ch ng minh: I, A, M th ng hàng. ứ ẳ

I, A, M th ng hàng.ẳ

O

A

B C

E F H

D

IMFB n i tiếpộ K

I

M

  180⁰

AEF FMA 

  180 (??)⁰ IMF FMA 

  ( )

AEF  ABC BCEFN nt

AEF FMA  180 (⁰ AEFM nt )

MF  ( )? I  ABC ?

 

MFI  MAE(AMFE )nt _MBI^ _ _MAE^ ₍_AMBC₎_nt

 

MFI  MBI