Hệ thống kiến thức Toán lớp 11 Giữa học kì 2

(1)

4 ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ 2 LỚP 11 ĐỀ SỐ 1

THỜI GIAN : 60 PHÚT

I. Trắc nghiệm (7,5 điểm )

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A. ^lim ¹ ¹

n^n  . B. lim ⁿ 0, 1

n q q

   . C. lim 1ⁿ 0

n  . D. lim ⁿ 0, 1

n q q

  

Lời giải

Dựa vào một số giới hạn đặc biệt ta có:

lim 1 0

n^n  ; lim ⁿ 0; 1

n q q

   ta có khẳng định D là đúng.

Chọn D.

Câu 2. Cho dãy số (u_n) xác định bởi 2 .sin 9

n

n n

u  n. Tính lim un

A. 0 B. 2

9 C.  D. 9 2 Lời giải

Theo công thức giới hạn đặc biệt, ta có:

|

| ( )

Mà 2

lim 0

9

  n

   nên lim un=0 Chọn A

(2)

Câu 3. Giá trị của

2 2

2 3 1

lim 3 2

n n

A n n

 

   bằng:

A.  B. C.²

3 D. 1

Lời giải

Chia cả tử và mẫu cho n²- mũ cao nhất của phân thức ta được :

2 2

2

3 1

2 3 1 2 2

lim lim

1 2

3 2 3 3

n n n n

A n n

n n

   

  

    .

Chọn C.

Câu 4. Giá trị của



²



⁴

 

⁹

17

2 1 2

lim 1

n n

C n

 

  bằng:

A.  B. C.16 D. 1

Lời giải

Ta có:



²



⁴

 

⁹ ⁸ ² ⁴ ⁹ ⁹ ² ⁴ ⁹

17 17

1 2 1 2

(2 ) . (1 ) (2 ) .(1 )

2 1 2

lim lim lim

1 1

1 (1 ) 1

n n

n n n n n n

C n

n n n

   

 

  

  

Suy ra C

4 9

(2 0) .(1 0) 1 0 16

C   



Chọn C.

Câu 5. Tính ^lim



ⁿ²^{ }⁷ ⁿ²^⁵



A.0 B. 7  5 C.  D. 2 Lời giải

(3)



² ²



2² ² 2 2 2

7 5 2

lim 7 5 lim lim 0

7 5 7 5

n n

n n n n

  

     

     

Chọn A.

Câu 6. Viết số thập phân m3,030303 … (chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ.

A. 10

3 B. 100

33 C. 99

31 D. 101 33 Lời giải

3

3 3 3 100 3 1 100

3 ... 3 3 3

100 10000 100 1 1 99 33 33

100

m     n       



Trong đó, 3 3 3

; ; ...; ;...

100 10000 100ⁿ lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạn đầu

1

3 1

100; 100

u  q

Chọn B.

Câu 7. Cho cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng S= 6 và tổng hai số hạng đầu

1 2

41

u  u 2. Tìm công bội của cấp số nhân đó?

A. 1

q 3 B. ¹

q  2 C. 1

q 2 D. Đáp án khác Lời giải

Theo đầu bài ta có:

(4)

 

1

1 1

6 6 1 (1)

1

1 1 41 (2)

4 2

2

S u u q

q

u q

u u q

     

 

 

 

 

   



Thay (1) vào (2) ta được:

2 2

9 3

6(1 ).(1 ) (1 ).(1 )

2 4

3 1 1

1 4 4 2

q q q q

q q q

      

      

Chọn C.

Câu 8. Giá trị của lim ^3.2₁ ³₁

2 3

n n

C  _  _

 bằng:

A.  B. C. ¹

3 D. 1 Lời giải

Ta có: ₁ ₁

3. 2 1

3.2 3 3 3.0 1 1 2

lim lim ;lim 0

2 3 2 2.0 3 3 3

2. 3

3

n n n n

n n n

C _ _

  

      

               

Chọn C.

Câu 9 . Tính giới hạn:  

2

1 3 5 .... 2 1

lim 3 4

    

 n n

A.0. B.¹

3. C.²

3 . D.1.

Lời giải

Ta có : 1+ 3+ 5 + ... + (2n +1) là tổng n số hạng của 1 cấp số cộng với số hạng đầu u₁ =1 và công sai d= 2

(5)

Do đó, S = 1+ 3+ 5+ ...+(2n+ 1) = [2.1 ( 1).2] ² 2

n n

  n

 

Suy ra:

  ²

2 2

2

1 3 5 .... 2 1 1 1

lim lim lim .

3 4 3 4 3 4 3

    

  

  

n n

n

Chọn B.

Câu 10. Giá trị của ^D^^lim



ⁿ²^²ⁿ^³ⁿ³^²ⁿ²



^bằng:

A.  B. C.¹

3 D. 1

Lời giải

Ta có: ^D^^lim



ⁿ²^²^{n n}^

 

^^lim ³ⁿ³^²ⁿ² ^ⁿ



2 3

2 3 3 2 2 3 2 2

2 2

lim lim

2 ( 2 ) 2

n n

n n n n n n n n n

 

     

    

  

  ³  ² ³  

2 2 2 2 1

lim lim

1 1 1 1 1 3

2 2 2

1 1 (1 ) 1 1

n n n

.

Chọn C.

Câu 11. lim⁵ ¹ 3 1





n

n bằng :

A.. B.1 . C.0 D..

Lời giải

(6)

Ta có:

1 1

5 1 5

lim lim

3 1 3 1

5 5

   

   

        

n n

n

Nhưng lim 1 ¹ 1 0 5

    

   

   

 

n

, và ³ ¹ 0 ^*

5 5

n n

n N

      

   

   

Nên lim⁵ ¹ 3 1

  



n

n .

Chọn A

Câu 12. Tính :

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Câu 13. Tìm a để hàm số có giới hạn tại

A. B. C. D.

Lời giải Ta có:

Vậy để hàm số có giới hạn khi x0

0 0

lim ( ) lim ( )

x x

f x f x

 

 

 

3 1

lim 0

5 5

    

   

   

n n

3 2

1 5

2 1

lim^ 2 1

 



x

x x

x

2 1

2 2

   

 

3 2

5 1 5

1 2. 1 1

2 1

lim 2

2 1 2 1 1



   

    

  

x

x x x

2 2

5 3 2 1 0 ( )

1 2 0

    

 

    



ax x a khi x f x

x x x khi x

0 x

  2

2 1



²



0 0

lim_ ( ) lim 5_ 3 2 1 2 1

       

x x

f x ax x a a



²



0 0

lim_ ( ) lim 1_ 2 1 2

        

x f x x x x x

(7)

. Chọn C.

Câu 14. Tính :

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Câu 15. Tìm giới hạn

3 0

4 1 2 1

lim

  

x

x x

A x :

A. B. C. D. 0

Mà:

3

0 0 3 2 3

2 1 1 2 2

lim lim

(2 1) 2 1 1 3

 

   

     

 

x x

x x x x

Vậy .

Chọn C.

2 1 1 2 2

     2

a a

2 1 3

2 1

lim^ 2 2

 



x

x x

x

 0 1

2 ^

2 1 3

2 1

lim^ 2 2

 



x

x x

x

 

2 1 2

lim 1

2 1 1



 

  

x

x x x ^^x^lim^¹²



^x²^x^{ }^¹^x ¹



^⁰

  4

3

0 0

4 1 1 2 1 1

lim lim

 

   

 

x x

A x x

 

0 0 0

4 1 1 4 4

lim lim lim 2

4 1 1

  

    

   

x x x

x x

x x x x

2 4 2 3 3

   A

(8)

Câu 16. Giá trị đúng của

4 4

lim 7

 1



x

x là:

A. -1 B.1 C. 7 D.

Lời giải

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho x⁴- lũy thừa bậc cao nhất của x ta được:

. Chọn B.

Câu 17. Tìm giới hạn lim ( 4 ² 1 )

    F x x x x :

A. B. C. D. 0

2

2 2

lim ( 4 1 ) lim 4 1

1 1

lim 4 lim 4 1

x x

F x x x x x x

x

x x x x

x x

 

 

       

 

   

         

   

2

( lim ; lim 4 1 1 4 1 3 0)

x x x

  x

 

          

 

Chọn B

Câu 18. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của_x^{lim 4}_



^x⁵^³^x³^{ }^x ¹



^là:

A. . B. 0 C. 4 D. .

Lời giải

.

4 4

4

1 7

lim 7 lim 1

1 1 1

 

 

 

 

x x

x

  4

3

(9)



⁵ ³



⁵ 2 4 5

3 1 1

lim 4 3 1 lim 4 .

 

 

         

x x x x x x

x x x

Vì ⁵ 3₂ 1₄ 1₅

lim ; lim 4 4 0

x x x

 

 

       

 

Chọn A.

Câu 19. bằng:

A. –. B. –1. C. 1. D. +.

Lời giải

vì và .

Chọn D.

Câu 20.Tìm giới hạn :

A. B. C. 1 D. 0

Lời giải

Ta có 1- cos2x = 2sin²x nên:

. Chọn D.

Câu 21.Cho hàm số . Tìm k để f(x) gián đoạn tại x= 1.

A. . B. . C. . D. .

2 1 2

lim 1

 1



 



x

x x x

2 1 2

lim 1

 1



   



x

x x

x ^lim₁



²   ¹



^{1 0}

x

x x ^lim₁



² ¹



^0; ² ^{1 0}

x

x x

0

1 cos 2

lim 3

2sin 2



 

x

A x

x

 

2

0 0 0

sin3

sin sin 3 2

lim lim ( ) . lim 0

3 2 3

sin 2 2

  

  

x x x

x

x x

A x

x x x

 

 ²

2 2

1 , 1 3 , 1 , 1

  

  

 



x x

f x x x

k x

 2

k k2 k  2 k 1

(10)

Lời giải TXĐ: D = R.

Với x= 1 ta có f(1) = k² Với ta có

;

Suy ra .

Vậy để hàm số gián đoạn tại x = 1 khi .

Chọn A.

Câu 22. Tìm m để hàm số  

2 2

khi 2 2

1 khi 2

x x f x x x

m x

  

 

 

  



liên tục tại x= 2.

A. m = 1 B. m = 2 C. m = -1 D. m = - 2 Lời giải

Hàm đã cho xác định trên R.

Ta có

    

2

2 2 2

2 1

lim 2 lim lim 1 3

2 2

x x x

x x

x x x

  

 

     

  và ^f

 

² ^{ }^m ¹.

Để hàm số liên tục tại x=2 thì

   

lim2 2 1 3 2

x f x f m m

       .

Chọn B.

Câu 23. Tính

1

lim ( )

x f x

 , biết

2 2

3 1

khi 1 ( ) 2

3 2

khi 1 3

x x x x f x x

x

   

 

   



khi x1

A. 5

3 B. 7

3 C. 1

3 D.Không tồn tại Lời giải

1 x

 



²



1 1

lim_ lim_ 3 4

    

x x

f x x    ²

1 1

lim_ lim_ 1 4

    

x x

f x x

1

 

lim 4

 

x f x

 

²

lim1

 

x f x k k² 4   k 2

(11)

Ta có:

1 1

3 2 5

lim ( ) lim

3 3

x x

f x x

 

 

   .

2

1 1 2 1 1

3 1 5 5

lim ( ) lim lim ( ) lim ( )

2 3 3

x x x x

x x

f x f x f x

  x  

   

 

    

 .

Vậy  

1

lim ( ) 5 3

x f x .

Chọn A.

Câu 24. Cho hình lăng trụ ABC A B C.   , M là trung điểm của ^BB. Đặt CAa,

CBb , AA c . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ¹

AM   b c 2a. B. ¹

AM   a c 2b.

C. ¹

AM   a c 2b. D. ¹

AM   b a 2c. Hướng dẫn giải:

Ta phân tích như sau:

1 AM ABBM CB CA 2BB

1 1

2 2

b a AA b a c

      . Chọn D.

Câu 25. Cho hình lập phương ABCD EFGH. có cạnh bằng a. Ta có AB EG. bằng?

A. a² 2. B. a². C. a² 3. D.

2 2

2 a . Hướng dẫn giải:

M B'

C'

A C

B A'

(12)

 

. . . .

AB EG AB EFEH AB EFAB EH  AB²AB AD EH. ( AD)

2 2

0

a a

  

(Vì ABADAB AD. 0 ) Chọn B.

Câu 26. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M N, sao cho 3

AM  MD, BN3NC. Gọi P Q, lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ BD AC MN, , đồng phẳng. B. Các vectơ MN DC PQ, , đồng phẳng.

C. Các vectơ AB DC PQ, , đồng phẳng. D. Các vectơ AB DC MN, , đồng phẳng.

Lời giải

A. Sai vì

3 3 3 3

MN MA AC CN MN MA AC CN

MN MD DB BN MN MD DB BN

       

 

 

     

 

 

4 3 1

MN AC BD 2BC

     BD AC MN, , không đồng phẳng.

B. Đúng vì

 

2 1

2 MN MP PQ QN

MN PQ DC MN PQ DC MN MD DC CN

   

      

   



 MN DC PQ, , : đồng phẳng.

(13)

C. Đúng. Bằng cách biểu diễn PQ tương tự như trên ta có ^PQ^¹₂



^AB^^DC



^.

D. Đúng. Biểu diễn giống đáp án A ta có ¹ ¹

4 4

MN  AB DC. Chọn A.

Câu 27. Cho hình chóp S ABCD. có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc



^{IJ CD}^,



^bằng

A. 30. B. 45. C. 60. D. 90.

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1).

Ta có: SA = SB = SC = SD = a nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2).

Từ (1) và (2) ^^SO^



^ABCD



.

Từ giả thiết ta có: IJ // SB (do IJ là đường trung bình của ^SAB). ^



^{IJ CD}^,

 

^ ^{SB AB}^,



.

Mặt khác, ta lại có SAB đều, do đó:

SBA ^⁶⁰^{ }^{SB AB}^, ^⁶⁰^{ }^{IJ CD}^, ^⁶⁰^^. Chọn C.

Câu 28. Cho tứ diện ABCD có AB CD . Gọi I, J , E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc giữa



^{IE JF}^,



^bằng

A. 30. B. 45. C. 60. D. 90.

Hướng dẫn giải

 Xét tam giác ABC có IJ là đường trung bình nên:

J I

D O

A B

C S

(14)

IJ / / ; IJ 1

AB  2AB (1)

 Xét tam giác ABD có EF là đường trung bình của tam giác nên : EF / / ; EF ¹

AB 2AB (2) Từ (1); (2) suy ra: IJ // EF và IJ = EF

Từ đó suy ra tứ giác IJEF là hình bình hành.

Mặt khác: ¹ ¹

2 2

ABCDIJ  ABJE CDABCD là hình thoi

IE JF

  (tính chất hai đường chéo của hình thoi)



^{IE JF}^,



⁹⁰

  .

Chọn D.

Câu 29 . Cho hình chóp S ABC. có SASBSC và ASB BSCCSA. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SB và AC?

A. 60. B. 120. C. 45. D. 90.

Hướng dẫn giải:

Ta có: ^^SAB^{ }^SBC ^{ }^{SCA c g c}



^{ }



^AB^BC^CA. Do đó, tam giác ABC đều.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vì hình chóp S.ABC có SA= SB = SC

nên hình chiếu của S lên mp(ABC) trùng với G Hay ^SG^



^ABC



.

Ta có: ^AC ^BG ^AC



^SBG



AC SG

   

 



J I

F

B E D

C A

(15)

Suy ra ACSB.

Vậy góc giữa cặp vectơ SB và AC bằng 90⁰. Chọn D.

Câu 30. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là?

A. 120. B. 60. C. 90. D. 30. Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của AB

Vì ABC và ABD là các tam giác đều Nên ^CI ^AB

DI AB

 

 

 .

Suy ra ^AB^



^CID



^^AB^^CD^.

Do đó, góc giữa AB và CD là 90⁰

Chọn C.

II. Tự luận ( 2,5 điểm)

Bài 1.( 0,5 điểm) Tính giới hạn:

Lời giải Đặt

 

1 1 1

lim ....

1.3 3.5 2 1

 

  

  

 n n 

(16)

Nên

Bài 2. (1,5 điểm) Cho hàm số:  

2 3 2

1 1

1 khi khi x x

x x f x

a x

   

 

  

a) Tìm a để ^{f x}

 

liên tục tại trái điểm x1

b) Tìm a để ^{f x}

 

liên tục tại phải điểm x1 c) Tìm a để ^{f x}

 

liên tục trên R

 

2 1

1

2 1

khi khi khi

x x

f x a x

x x

 



 

  



a) Để ^{f x}

 

liên tục trái tại điểm x1

   

1 1

lim lim 2 1

x _ f x x _ x

 

    và ^f

 

¹ ^^a Vậy điều kiện là a1

b) Để ^{f x}

 

liên tục phải tại điểm x1

 

1 1 1

1.3 3.5 .... 2 1

2 2 2

2 ....

1.3 3.5 2 1

1 1 1 1 1 1 1

2 1 ...

3 3 5 5 7 2 1

1 2

2 1

2 1 2 1

2 1

   



    



         



   

 

  

A n n

A n

n n

A n n

 

1 1 1 1 1

lim .... lim lim .

1.3 3.5 2 1 2 1 1 2

2

 

     

   

  

n

n n n

n

(17)

1

 

lim

x _ f x

  tồn tại và

   

1

lim 1

x _ f x f

 

Ta có:

   

1 1

lim lim 2 1

x _ f x x _ x

      và ^f

 

¹ ^^a Vậy điều kiện là a 1

c) Hàm số liên tục trên R trước hết hàm số liên tục tại x=1

   

1 1

lim lim 1 1

x _ f x x _ f x

      (mâu thuẫn)

Vậy không tồn tại a để hàm số liên tục trên R.

Bài 3. (0,5 điểm) Chứng minh rằng phương trình x³  x 1 0 có nghiệm duy nhất

x0 thỏa mãn 0 ₀ ¹ x 2

  Lời giải

Xét hàm số ^{f x}

 

^{  }^x³ ^x ¹^{, ta có} ^f

 

⁰ ^{ }¹^và ^f

 

¹ ^¹^nên ^f

   

^{0 .}^f ¹ ^⁰

Mặt khác: ^{f x}

 

^{  }^x³ ^x ¹ là hàm đa thức nên liên tục trên

 

^0;1

 1  2



¹³ ¹

 

³² ²



^ ¹ ²^



¹² ^{1 2} ²²



1 2 1 2 1 2

1 1 1

x x x x x x x x x x

f x f x

x x x x x x

        

  

  

2 2

2 2 2 2

1 1 2 2 1

1 3 1 0

2 4

x x

x x x x x 

         

  với mọi x x₁, ₂ thuộc R

Suy ra ^{f x}

 

^{  }^x³ ^x ¹ đồng biến trên R nên phương trình x³  x 1 0 có nghiệm duy nhất x0

 

0;1

Theo bất đẳng thức Côsi:

3 4 2 2

0 0 0 0 0 0

1 1

1 2 1 2 0

2 2

x x x x x x

         

(18)

ĐỀ SỐ 2

THỜI GIAN: 60 PHÚT I. Trắc nghiệm

Câu 1. ^lim



ⁿ³ ^²ⁿ^¹



^bằng

A.0 B. 1 C. 

D. . Lời giải

Ta có:n³ 2n 1 n³ 1 ²₂ ¹₃

n n

 

      .

Vì limn³   vàlim 1 ²₂ ¹₃ 1 0

n n

    

 

  nên ^lim



ⁿ³^²ⁿ^{  }¹



Chọn D.

Câu 2. Tính lim un với

2 2

5 3 7

n

n n

u n

 

 :

A. 0 B. 5 C. 3 D. – 7

2

2 2 2 2

5 3 7 3 7

lim _n lim n n lim 5 5

u n n n n n

   

         . Chọn B

Câu 3. Giới hạn của dãy số (u_n) với

3

4 3 2

2 1

3 5 6

n

n n

u n n n

 

    bằng

A. 1 B. 0 C. . D. ¹.

3

(19)

Lời giải

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n⁴ ( n⁴ là bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được

3 3 4

4 3 2

2 3

1 2 1

2 1 0

lim lim lim 0

3 5 6

3 5 6 1 1

n

n n n n n

u n n n

n n n

 

   

     

.

( vì 1 2₃ 1₄ 3 5₂ 6₃

lim 0 0 0 0; lim 1 1 0 0 0 1

n n n n n n

               

   

    )

Chọn B

Câu 4.

 

2

sin !

lim 1

n

n  bằng

A. 0 B. 1 C. . D.2

Lời giải Ta có

 

2 2

sin ! 1

1 1

n

n  n

  mà lim ₂¹ 0 1

n 

 nên

 

2

sin !

lim 0

1 n

n 

 Chọn đáp án A.

Câu 5. ^lim



ⁿ² ^ⁿ ⁴ⁿ^¹



^bằng:

A. - 1 B. 3 C. . D. .

Lời giải

Ta có n² n 4n 1 n² 1 ⁴ ¹₂ . n n

 

      

 

Vì limn^2<