BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. BẤT ĐẲNG THỨC

438  Download (0)

Full text

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. BẤT ĐẲNG THỨC

1. Tínhchất:

ðiều kiện Nội dung

Cộng hai vế với số bất kì a < b a + c < b + c (1)

Bắc cầu a < b và b < c a < c (2)

Nhân hai vế c > 0 a < b ac < bc (3a)

c < 0 a < b ac > bc (3b)

Cộng vế theo vế các BðT cùng chiều < 

⇔ + < +

<  

a b a c b d

c d (4)

Nhân 2 vế BðT khi biết nĩ dương:

a > 0, c > 0

0 0

< < 

⇔ <

< <  

a b ac bd

c d (5)

Nâng lên lũy thừa với n ∈ℤ

+

Mũ lẻ a b < ⇔ a

2n+1

< b

2n+1

(6a) Mũ chẵn 0 ≤ a b < ⇔ a

2n

< b

2n

(6b)

Lấy căn hai vế a 0 a b < ⇔ a < b (7a)

a bất kỳ a b < ⇔

3

a <

3

b (7b)

Nghịch đảo

a, b cùng dấu a b > 1 < 1

a b (8a)

a, b khác dấu a b > 1 > 1

a b (8b)

  Lưu ý:

Khơng cĩ qui tắc chia hai về bất đẳng thức cùng chiều.

Ta chỉ nhân hai vế bất đẳng thức khi biết chúng dương.

Cần nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và cách biến đổi.

2. Bấtđẳngthứcvềcáccạnhcủatamgiác:

Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta cĩ:

a b c , , > 0 • a b − < c a b < +

b c − < a b c < + • c a − < b c a < + 3. Bấtđẳngthứcvềgiátrịtuyệtđối:

• − xxx , với mọi số thực x

x ≥ 0; xx x ; ≥ − x , với mọi số thực x

xa ⇔ − ≤ a x avới a 0

xax ≤ − a hoặc x a với a 0

ðịnh lí: a, b ta cĩ: aba b + ≤ a + b . Tĩm t Tĩm t Tĩm t

Tĩm tắt lí thuyết ắt lí thuyết ắt lí thuyết ắt lí thuyết

Chủđề 4

(10)

4. Bấtđẳngthứcgiữatrungbìnhcộngvàtrungbìnhnhân (BấtđẳngthứcCô-sihayAM-GM)

ðịnh lí: Với hai số không âm a, b ta có:

2 + ≥

a b ab hay a b + ≥ 2 ab hay

2

2

 + 

  ≥

 

a b ab Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay ñổi nhưng có tổng không ñổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số ñó bằng nhau.

Tức là với hai số dương a, b có a + b = S không ñổi thì:

( )

2 2

2

max

4 4

≤ ⇔ ≤ S ⇒ = S

ab S ab ab , ñạt ñược khi a = b

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

Hệ quả 2: Nếu hai số dương thay ñổi nhưng có tích không ñổi thì tổng của chúng lớn nhất khi hai số ñó bằng nhau.

Tức là với hai số dương a, b có a. b = P không ñổi thì:

( )

min

2 2

+ ≥ ⇒ + =

a b P a b P , ñạt ñược khi a = b

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

Mở rộng:

① Với các số a, b, c không âm, ta có:

3

3

+ + ≥

a b c

abc hay a b c + + ≥ 3

3

abc hay

3

3

 + + 

  ≥

 

a b c

abc Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

② Với n số a

1

, a

2

, a

3

, …, a

n

không âm, ta có:

1

+

2

+

3

+ ... +

1 2 3

...

n

n

n

a a a a

a a a a n

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a

1

= a

2

= a

3

= … = a

n

. 5. BấtđẳngthứcBunhiacôpxki(chứngminhtrướckhidùng)

 D D D Dạng tổng quát: ạng tổng quát: ạng tổng quát: ạng tổng quát:

Cho 2n số thực tùy ý a

1

, a

2

, …, a

n

, b

1

, b

2

, …, b

n

,khi ñó:

Dạng 1: ( a b

1 1

+ a b

2 2

+ ... + a b

n n

)

2

≤ ( a

12

+ a

22

+ ... + a

n2

)( b

12

+ b

22

+ ... + b

n2

)

Dấu “=” xảy ra

1 2

1 2

...

= = =

n

n

a a a

b b b .

Dạng 2: a b

1 1

+ a b

2 2

+ ... + a b

n n

≤ ( a

12

+ a

22

+ ... + a

n2

)( b

12

+ b

22

+ ... + b

n2

)

Dấu “=” xảy ra

1 2

1 2

...

= = =

n

n

a

a a

b b b .

Dạng 3: a b

1 1

+ a b

2 2

+ ... + a b

n n

≤ ( a

12

+ a

22

+ ... + a

n2

)( b

12

+ b

22

+ ... + b

n2

)

Dấu “=” xảy ra

1 2

1 2

... 0

= = =

n

n

a a a

b b b .

(11)

 H Hệ quả: H H ệ quả: ệ quả: ệ quả:

Nếu a x

1 1

+ a x

2 2

+ ... + a x

n n

= c là hằng số thì:

(

12 22 2

)

2 2 2 2 1 2

1 2 1 2

min ... ...

+ + + = ... ⇔ = = =

+ + +

n n

n n

x

x x

x x x c

a a a a a a

Nếu x

12

+ x

12

+ ... + x

n2

= c

2

là hằng số thì:

(

1 1 2 2

)

12 22 2

max a x + a x + ... + a x

n n

= c a + a + ... + a

n 1 2

1 2

... 0

⇔ = = =

n

n

x x x

a a a

(

1 1 2 2

)

12 22 2

max a x + a x + ... + a x

n n

= − c a + a + ... + a

n 1 2

1 2

... 0

⇔ = = =

n

n

x x x

a a a

 Tr Trư Tr Tr ư ư ường hợp đặc biệt: ờng hợp đặc biệt: ờng hợp đặc biệt: ờng hợp đặc biệt:

Cho a, b, x, y là những số thực, ta có:

Dạng 1: ( ax by + )

2

( a

2

+ b

2

)( x

2

+ y

2

) . Dấu “=” a = b

x y .

Dạng 2: ax by + ( a

2

+ b

2

)( x

2

+ y

2

) . Dấu “=” a = b

x y .

Dạng 3: ax by + ( a

2

+ b

2

)( x

2

+ y

2

) . Dấu “=” a = b 0

x y .

Dạng1. ChứngminhBĐTdựavàođịnhnghĩavàtínhchất



A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ðể chứng minh A B > bằng ñịnh nghĩa, ta lựa chọn theo các hướng sau:

Hướng 1. Chứng minh A B – > 0

Hướng 2. Thực hiện các phép biến ñổi ñại số ñể biến ñổi bất ñẳng thức ban ñầu về một bất ñẳng thức ñúng.

Hướng 3. Xuất phát từ một bất ñẳng thức ñúng.

Hướng 4. Biến ñổi vế trái hoặc vế phải thành vế còn lại.

Chú ý: Với các hướng 1 và hướng 2 công việc thường là biến ñổi A B thành tổng các ñại lượng không âm. Và với các bất ñẳng thức A B – ≥ 0 chúng ta cần chỉ ra dấu “=” xảy ra khi nào ?

B. BÀI TẬP MẪU VD 1.1

VD 1.1 VD 1.1

VD 1.1 Cho , , , a b c d là các số thực. Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

a

2

+ b

2

≥ 2 ab a

2

+ b

2

+ ≥ 1 ab a b + +

a

2

+ b

2

+ c

2

ab bc ca + + Nếu a < 1

b thì < + + a a c b b c

a

3

+ b

3

a b b a ab a b

2

+

2

= ( + ) a

2

+ x

2

+ b

2

+ y

2

( a b + )

2

+ ( x y + )

2

Phương pháp gi Phương pháp gi Phương pháp gi

Phương pháp giải toán ải toán ải toán ải toán

(12)

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(13)

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.1 Cho , , , a b c d là các số thực. Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

a

2

+ b

2

+ c

2

+ ≥ 3 2 ( a b c + + ) a

2

+ b

2

+ c

2

≥ 2 ( ab bc ca + − )

2 2 2

2

4 + + ≥ − +

a b c ab ac bc a

4

+ b

4

+ c

2

+ ≥ 1 2 a a b a c (

2

− + + 1 )

a

2

( 1 + b

2

) + b

2

( 1 + c

2

) + c

2

( 1 + a

2

) 6 abc a

2

+ b

2

+ c

2

+ d

2

+ e

2

a b c d e ( + + + )

1 1 1 1 1 1

+ + ≥ + +

a b c ab bc ca , với , , a b c > 0 a b c + + ≥ ab + bc + ca , với , , a b c ≥ 0 1.2 Cho , , , a b c d là các số thực. Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

3 3 3

2 2

+  + 

≥  

 

a b a b

, với , a b ≥ 0 a

4

+ b

4

a b ab

3

+

3

a

4

+ ≥ 3 4 a

2

a

3

+ b

3

+ c

3

abc , với a,b,c ≥ 0

4

+

4

a

62

+ b

62

a b

b a , với a, b ≠ 0

2

2

3 2

2 + >

+ a

a

1

2

1

2

2 1 + 1 ≥ 1

+ a + b + ab , với , a b > 1 ( a

5

+ b

5

) ( a b + ) ( a

4

+ b

4

)( a

2

+ b

2

) ,với ab > 0

1.3 Cho , , , , a b c d e ∈ ℝ . Chứng minh a

2

+ b

2

≥ 2 ab (1). Áp dụng bất ñẳng thức (1) ñể chứng minh các bất ñẳng thức sau:

( a

2

+ 1 )( b

2

+ 1 )( c

2

+ 1 ) 8 abc ( a

2

+ 4 )( b

2

+ 4 )( c

2

+ 4 )( d

2

+ 4 ) 256 abcd

a

4

+ b

4

+ c

4

+ d

4

≥ 4 abcd

1.4 Cho , , a b c ∈ ℝ . Chứng minh a

2

+ b

2

+ c

2

ab bc ca + + (2). Áp dụng bất ñẳng thức (2) ñể chứng minh các bất ñẳng thức sau:

( a b c + + ) 3 ( a

2

+ b

2

+ c

2

) a

4

+ b

4

+ c

4

abc a b c ( + + )

( a b c + + )

2

≥ 3 ( ab bc ca + + )

2 2 2 2

3 3

+ +  + + 

≥  

 

a b c a b c

3 3

+ + + +

a b cab bc ca

, với , , a b c > 0 a

4

+ b

4

+ c

4

abc , với a b c + + = 1

1.5 Cho , , , a b c d > 0 . Chứng minh rằng: nếu a < 1

b thì < + + a a c

b b c (3). Áp dụng bất ñẳng thức (3) ñể chứng minh các bất ñẳng thức sau:

+ + < 2

+ + +

a b c

a b b c c a 1 < + + + < 2

+ + + + + + + +

a b c d

a b c b c d c d a d a b

2 + + + + 3

< + + + <

+ + + + + + + +

a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

(14)

1.6 Cho , , a b c ∈ ℝ . Chứng minh a

3

+ b

3

a b b a ab a b

2

+

2

= ( + ) (4). Áp dụng bất ñẳng thức (4) ñể chứng minh các bất ñẳng thức sau:

( )

3 3 3 3 3 3

+ + + 2

+ + ≥ + +

a b b c c a

a b c

ab bc ca

3

1

3

+

3 3

1 +

3

1

3

1

+ + + + + +

a b abc b c abc c a abc abc , , , a b c > 0

3

1

3 3

1

3 3

1

3

1

1 + 1 + 1 ≤

+ + + + + +

a b b c c a , với abc = 1

1 1 1 1

1 + 1 + 1 ≤

+ + + + + +

a b b c c a , với , , a b c > 0 và abc = 1

3

4 ( a

3

+ b

3

) +

3

4 ( b

3

+ c

3

) +

3

4 ( c

3

+ a

3

) 2( a b c + + ) , , , a b c 0

1.7 Cho a b x y , , , ∈ ℝ . Chứng minh bất ñẳng thức sau (BðT Min-côp-xki):

( )

2

( )

2

2

+

2

+

2

+

2

≥ + + +

a x b y a b x y (5).

Áp dụng (5):

① Cho , a b ≥ 0 thỏa a b + = 1 . Chứng minh: 1 + a

2

+ 1 + b

2

≥ 5

Tìm GTNN của

2

1

2 2

1

2

= + + +

P a b

b a , với , a b ≠ 0

③ Cho , , x y z > 0 thỏa x y z + + = 1 . Chứng minh: x

2

+ 1

2

+ y

2

+ 1

2

+ z

2

+ 1

2

≥ 82

x y z

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(15)

Dạng2. ChứngminhBĐTdựavàoBĐTCauchy(AM-GM)



A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Các dạng của bất ñẳng thức Cauchy (AM-GM):

Với x y , ≥ 0 thì

2 2

2 2

 + ≥

 

+ ≥



x y xy

x y xy

. Dấu “=” xảy ra khi x = y .

Với x y , ∈ ℝ thì

2

2

2

( ) 4

  + 

  ≥

 

 + ≥

x y xy

x y xy

. Dấu “=” xảy ra khi x = y .

Với x y z , , ≥ 0 thì

3 3

3 3

 + + ≥

   + + 

  ≥

 

x y z xyz

x y z

xyz

. Dấu “=” khi x = y = z B. BÀI TẬP MẪU

Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại:

VD 1.2 VD 1.2 VD 1.2

VD 1.2 Cho , , a b c > 0 . Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

( a b + )

2

≥ 4 ab 2 ( a

2

+ b

2

) ( a b + )

2

1 1 + 4

a b a b + 1 1 1 + + 9 a b c a b c + +

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(16)

Loại 2: Tách cặp nghịch đảo VD 1.3

VD 1.3 VD 1.3

VD 1.3 Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

a b + ≥ 2 ( ∀ , > 0 )

b a a b 18 6 ( 0 )

2 + ≥ ∀ >

x x

x

2 3 ( 2 )

2 + 2 ≥ ∀ >

x x

x 1 10 ( 3 )

+ ≥ 3 ∀ ≥

a a

a

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM):

Dạng 1: ( + ) 1 1 + 4 1 1 + 4 (1)

  +

x y hay

x y x y x y . Dấu “=” xảy ra khi x = y

Dạng 2: ( )  1 1 1  9 1 1 1 9 (2)

+ +  + +  ≥ + + ≥

+ +

 

x y z hay

x y z x y z x y z . Dấu “=” xảy ra khi x=y=z VD 1.4

VD 1.4 VD 1.4

VD 1.4 Cho , a b > 0 . Chứng minh 1 1 + ≥ 4

a b a b + (1). Áp dụng bất ñẳng thức (1) ñể chứng minh các bất ñẳng thức sau:

1 1 1 2  1 1 1  ( , , 0 )

+ + ≥  + +  ∀ >

+ + +

  a b c

a b c a b b c c a

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2

 

+ + ≥  + + 

+ + +  + + + + + + 

a b b c c a a b c b c a c a b ( a b c , , > 0 )

(17)

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Loại 4: Đặt ẩn phụ để áo dụng BĐT Cauchy:

VD 1.5 VD 1.5 VD 1.5

VD 1.5 Cho , , a b c > 0 . Chứng minh bất ñẳng thức (BðT Nesbit) sau:

3

+ + ≥ 2

+ + +

a b c

b c c a a b HD: ðặt

+ =

  + =

  + =

b c x c a y a b z

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(18)

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại:

1.8 Cho , , a b c > 0 . Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

a

2

+ b

2

≥ 2 ab ( a b + )(1 + ab ) 4 ≥ ab

1 1 1

( )   9

+ +  + +  ≥

 

a b c

a b c 1 1

( )   4

+  +  ≥

 

a b a b

⑤ 1   1  1  8

+ + + ≥

   

   

a b c

b c a 1 1 1 1 + + + 16

+ + + a b c d a b c d

( 1 + a b a b ab + )( + + ) ≥ 9 ab ( a + b )

8

64 ab a b ( + )

2

3 a

3

+ 7 b

3

≥ 9 ab

2

( a b b c c a + )( + )( + ) ≥ 8 abc

( a + b )

2

2 2( a b ab + ) + 4 3 2, ∀ > − 3

+

a a

a 1.9 Cho , , a b c > 0 . Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

a b c + + ≥ ab + bc + ca ab bc ca + + abc ( a + b + c )

ab bc ac + + a b c + +

c a b a + b + c 1 1 1 + +

bc ca ab a b c

+ a b + ≥ + + 1

ab a b

b a a

3

+ b

3

+ c

3

≥ + +

ab bc ca

b c a

1.10 Cho , , a b c > 0 . Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

a

2

+ b

2

+ c

2

≥ + + a b c

b c a a

32

+ b

32

+ c

32

≥ + +

a b c

b c a

a

32

+ b

23

+ c

32

a

2

+ b

2

+ c

2

b c a b c a a

3

+ b

3

+ c

3

≥ + +

a b c bc ca ab

a

3

+ b

3

+ c

3

≥ + + ab bc ca

b c a a

53

+ b

53

+ c

53

2

+

2

+

2

a b c

b c a

Loại 2: Tách cặp nghịch đảo

1.11 Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

1

2

9 ( 2 )

+ ≥ 4 ∀ ≥

a a

a ( )

2 2

2 2

1

+ ≥ ∀ ∈

+ a

a a

8 6 ( 1 )

1

+ ≥ ∀ >

x x

x

( 1 ) 3 ( 0 )

+ ≥ ∀ > >

aa b

a a b Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM):

1.12 Cho , a b > 0 . Chứng minh 1 1 + ≥ 4

a b a b + (1). Áp dụng bất ñẳng thức (1) ñể chứng minh các bất

ñẳng thức sau, với , , a b c > 0 :

(19)

1 1 1 1 1 1

2  

+ + ≥  + + 

+ + +

 

a b c a b b c c a

2

+ + ≤ + +

+ + +

ab bc ca a b c a b b c c a

1 1 1 1

2 + 2 + 2 ≤

+ + + + + +

a b c a b c a b c với 1 1 1 + + = 4 a b c

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2

 

+ + ≥  + + 

+ + +  + + + + + + 

a b b c c a a b c b c a c a b

1.13 Cho , , a b c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi.

Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1

2  

+ + ≥  + + 

− − −  

p a p b p c a b c

1.14 Cho , , a b c > 0 . Chứng minh 1 1 1 + + ≥ 9

a b c a b c + + (2). Áp dụng bất ñẳng thức (2) ñể chứng minh các bất ñẳng thức sau:

2 + 2 + 29 ( ∀ , , > 0 )

+ + + + + a b c

a b b c c a a b c

(

2 2 2

) 1 1 1 3 ( ) ( , , 0 )

2

 

+ +  + +  ≥ + + ∀ >

+ + +

 

a b c a b c a b c

a b b c c a

3 ( 0; 1 )

1 + 1 + 1 4 ≤ ∀ > > > + + =

+ + +

x y z

x y z x y z

x y z

2

1

2

1

2

1 9 ( , , 0 )

2 + 2 + 2 ≥ ∀ >

+ + + a b c

a bc b ac c ab

2

1

2 2

+ 1 + 1 + 1 ≥ 30 ( ∀ , , > 0 )

+ + a b c

a b c ab bc ca

Loại 4: Đặt ẩn phụ để áp dụng BĐT Cauchy:

1.15 Cho x > 2014 . Chứng minh bất ñẳng thức sau:

2013 2014 1 1

2 2 2015 2 2014

− −

+ ≤ +

+

x x

x x . HD: ðặt 2013 0

2014 0

 = − ≥

 

= − ≥



a x

b x

1.16 Cho , , x y z > 0 . Chứng minh bất ñẳng thức sau:

3

2 + 2 + 2 ≤ 4

+ + + + + +

x y z

x y z x y z x y z . HD: ðặt

2 0

2 0

2 0

= + + >

 

= + + >

 

= + + >

a x y z b x y z c x y z

...

...

...

...

...

...

...

(20)

Dạng3. ChứngminhBĐTdựavàoBĐTCauchySchwarz



A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Thực chất bất ñẳng thức Cauchy Schwarz là hệ quả trực tiếp của bất ñẳng thức Bunhiacôpski mà ở ñây dễ dàng hình dung, tạm gọi là bất ñẳng thức cộng mẫu số.

1. Cho a b , ∈ ℝ x y , > 0 . Áp dụng BðT Bunhiacôpski cho bộ hai số:  , 

 

 

 

a b

x y ; ( x , y )

ta ñược:

( )

2 2 ôps 2 2

( )

2

. .

 

  +

+ + ≥  +  ⇔ + ≥

    +

   

Bunhiac ki

a b a b a b a b

x y x y

x y x y x y x y (1)

2. Cho a b c , , ∈ ℝ x y z , , > 0 . Áp dụng BðT Bunhiacôpski cho bộ ba số:  , , 

 

 

 

a b c

x y z ;

( x , y , z ta ñược: )

( )

2 2 2 ôps

. . .

 

 

+ + + + ≥  + + 

   

   

Bunhiac ki

a b c a b c

x y z x y z

x y z x y z

2 2 2

( + + )

2

⇔ + + ≥

+ +

a b c a b c

x y z x y z (2)

B. BÀI TẬP MẪU

VD 1.6 VD 1.6 VD 1.6

VD 1.6 Chứng minh:

2 2 2

2 + + ≥ + +

+ + +

a b c a b c

b c c a a b , với , , a b c > 0

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(21)

VD 1.7 VD 1.7 VD 1.7

VD 1.7 Với , , a b c ≥ 0 và a b c + + = 3 . Chứng minh rằng:

1

2 + 2 + 2 ≥

+ + +

a b c

a bc b ac c ab 1

2 + 2 + 2 ≤

+ + +

a b c

a bc b ac c ab

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.17 Chứng minh:

1

2 + 2 + 2 ≥

+ + +

a b c

b c c a a b , với , , a b c > 0

3

+ + ≥ 2

+ + +

a b c

b c c a a b , với , , a b c > 0

3 3 3 2 2 2

2

+ +

+ + ≥

+ + +

a b c a b c

b c c a a b , với , , a b c ∈ ℝ

( )

2

( )

2

( )

2

( )

9

+ + ≥ 4

+ + + + +

a b c

a b c

b c c a a c , với , , a b c > 0

2 2 2 2 2 2

1

2 + 2 + 2 ≥

+ + +

a b c

a b b c c a , với , , a b c > 0 và a b c + + = 3 . 1.18 Với , , a b c là ñộ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

2

+

2

+

2

≥ + +

+ − + − + −

a b c

a b c

b c a c a b a b c

3

+

3

+

3

2

+

2

+

2

+ − + − + −

a b c

a b c

b c a c a b a b c

(22)

Dạng4. ChứngminhBĐTdựavàoBĐTC.B. C.B. C.B. C.B.S



A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cho a b x y , , , ∈ ℝ Cho a b c x y z , , , , , ∈ ℝ

( ax by + )

2

( a

2

+ b

2

)( x

2

+ y

2

)

Dấu “=”xảy ra khi a = b x y

❶ ( ax by cz + + )

2

( a

2

+ b

2

+ c

2

)( x

2

+ y

2

+ z

2

)

Dấu “=”xảy ra khi a = b = c

x y z

ax by + ( a

2

+ b

2

)( x

2

+ y

2

)

Dấu “=”xảy ra khi a = b x y

ax by cz + + ( a

2

+ b

2

+ c

2

)( x

2

+ y

2

+ z

2

)

Dấu “=”xảy ra khi a = b = c

x y z

ax by + ( a

2

+ b

2

)( x

2

+ y

2

)

Dấu “=” xảy ra khi a = b ≥ 0 x y

ax by cz + + ( a

2

+ b

2

+ c

2

)( x

2

+ y

2

+ z

2

)

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c ≥ 0

x y z

B. BÀI TẬP MẪU

VD 1.8 VD 1.8 VD 1.8

VD 1.8 Chứng minh rằng:

Nếu x

2

+ y

2

= 1 thì x y + ≤ 2 . Nếu 4 x − 3 y = 15 thì x

2

+ y

2

≥ 9 . Gi i

Ta có: ( x y + )

2

= x

2

+ y

2

+ 2 xy 2 ( x

2

+ y

2

) = 2 nên x y + 2 .

Dấu "=" xảy ra khi:

2 2

1

 =

 + =

x y

x y 2

2

1

 =

⇔ 

 = x y

x

1 .

x = y = ± 2 Ta có: 4 x − 5 y = 15 4 5

y 3 x

⇔ = − .

Do ñó:

2 2

2

2

4

3 x 5

x y x  

 −

= +  

+ 

2

16

2

40

9 3 25

x x x

= + − +

2

25

2

40 5

4 9

25 9

9 x 3 x  3 x

= −  −  +

 

= ≥

+ .

Dấu "=" xảy ra khi:

5 4 0

3

4 3 15

 − =

 

 − =

x

x y

12 / 5 9 / 5

 =

⇔ 

 = − x

y .

VD 1.9 VD 1.9 VD 1.9

VD 1.9 Chứng minh rằng: Nếu 2 x + 3 y = 7 thì

2 2

49 2 x + 3 y ≥ 5 .

Gi i

Ta có: 7

2

= ( 2 x + 3 y )

2

= ( 2. x 2 + 3. x 3 ) ( 2 3 2 + ) ( x

2

+ 3 y

2

) = 5 2 ( x

2

+ 3 y

2

)

2 2

4

2 3 5 9

x y

⇒ + .

Dấu "=" xảy ra khi ta có: 2 3 2 3 7 7 2 3 5

x y

x y

x y x y

+ =

= ⇔   ⇒ = =

 = .

(23)

VD 1.10 VD 1.10 VD 1.10

VD 1.10 Chứng minh rằng: ① Nếu x

2

+ y

2

= 1 thì 3 x + 4 y ≤ 5

② Nếu x

2

+ y

2

= 1 thì x + 2 y ≤ 5 Nếu 3 x + 4 y = 1 thì

2 2

1 + ≥ 25 x y

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.19 Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

① Nếu x

2

+ y

2

= 1 thì 3 x + 4 y ≤ 5 ② Nếu x

2

+ 2 y

2

= 8 thì 2 x + 3 y ≤ 2 17

③ Nếu x

2

+ 4 y

2

= 1 thì 5

− ≤ 2

x y ④ Nếu 36 x

2

+ 16 y

2

= 9 thì 2 5

− ≤ 4 y x 1.20 Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

① Nếu x ∈ [1; 3] thì A = 6 x − + 1 8 3 − x ≤ 10 2

② Nếu x ∈ [1; 5] thì B = 3 x − + 1 4 5 − x ≤ 10

③ Nếu x ∈ − [ 2; 1] thì C = 1 − x + 2 + x ≤ 6

④ Nếu x ∈ [4; 13] thì D = 2 x − 4 + 13 − x ≤ 3 5

(24)

Dạng5. ChứngminhBĐTdựavàotọađộvectơ



A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. = ( ; ) ⇒ =

2

+

2

a x y a x y

2. AB = ( x

B

x

A

)

2

+ ( y

B

y

A

)

2

3. AB BC + ≥ AC , dấu “=” xảy ra khi B nằm giữa A và C.

4. − ≤ + ≤ +

u v u v u v , dấu “=” xảy ra khi u v cùng hướng , 5. + + ≤ + +

u v w u v w , dấu “=” xảy ra khi , ,

u v w cùng hướng 6. . ≤ .

u v u v

B. BÀI TẬP MẪU

VD 1.11 VD 1.11 VD 1.11

VD 1.11 Chứng minh rằng: ∀ x y z , , ta luôn có x

2

+ xy y +

2

+ x

2

+ xz z +

2

y

2

+ yz z +

2

Gi i:

Trong mặt phẳng ( Oxy ) , xét: ; 3 2 2

 

=   +  

 

y

a x y và ; 3

2 2

 

= − −    

 

z

b x z

Suy ra ; 3 3

2 2 2 2

 

+ =   − +  

 

y z

a b y z .

2

3

2

2 4

 

=  +  +

 

y

a x y ;

2

3

2

2 4

 

=  +  +

 

z

b x z

2 2

3 3

2 2 2

 

 − 

+ =     +    +    y z

a b y z

Ta có + ≥ +

a b a b

2 2 2 2

2 2

3 3 3 3

2 4 2 4 2 2 2

 

     − 

⇔   +   + +   +   + ≥     +    +   

y z y z

x y x z y z

2 2 2 2 2 2

+ + + + + ≥ + +

x xy y x xz z y yz z (ñpcm)

VD 1.12 VD 1.12 VD 1.12

VD 1.12 Với mọi x , y , z thỏa x y z + + = 1 . Chứng minh rằng: x

2

+ 1

2

+ y

2

+ 1

2

+ z

2

+ 1

2

≥ 82

x y z .

Gi i:

Trong mặt phẳng ( Oxy )

ðặt: 1

 ; 

=  

 

a x x

2 2

⇒ = + 1

a x

x ;

; 1

 

=  

 

b y y

2 2

⇒ = + 1

b y

y

(25)

; 1

 

=  

 

c z z

2 2

⇒ = + 1

c x z

Suy ra 1 1 1

 ; 

+ + =  + + + + 

 

a b c x y z

x y z+ + = ( + + )

2

+ 1 1 1 + +

 

a b c x y z

x y z

Ta có + + ≥ + +

a b c a b c

( )

2

2 2 2

2 2 2

1 1 1  1 1 1 

⇔ + + + + + ≥ + + +  + + 

 

x y x x y z

x y z x y z

Lại có 1 1 1 3

2

1 3 9

3

+ + ≥ ≥ =

+ + x y z x y z xyz

Vậy x

2

+ 1

2

+ y

2

+ 1

2

+ z

2

+ 1

2

≥ 82

x y z

VD 1.13 VD 1.13 VD 1.13

VD 1.13 CMR: ( a c + )

2

+ b

2

+ ( a c − )

2

+ b

2

≥ 2 a

2

+ b

2

, với , , a b c ∈ ℝ

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

VD 1.14 VD 1.14 VD 1.14

VD 1.14 Chứng minh rằng với mọi x , y , z ta có:

( )

2 2 2 2 2 2

3

x + xy y + + y + yz z + + z + zx x + ≥ x y z + + .

...

...

...

...

...

...

...

...

(26)

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.21 Chứng minh bất ñẳng thức sau:

a

2

+ 4 b

2

+ 6 a + 9 + a

2

+ 4 b

2

− 2 a − 12 b + 10 5 ≥ ,với , , a b c ∈ ℝ

a

2

+ ab b +

2

+ a

2

+ ac c +

2

b

2

+ cb c +

2

, với , , a b c ∈ ℝ

( a b − )

2

+ c

2

+ ( a b + )

2

+ c

2

≥ 2 a

2

+ c

2

, với , , a b c ∈ ℝ

− ≤ 1 x

2

+ x + − 1 x

2

− + < x 1 1 , với x ∈ ℝ

c a c ( ) + c b c ( ) ab , với a c > > 0, b c >

Dạng6. Bấtđẳngthứcvềgiátrịtuyệtđối



A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1.xxx , với mọi số thực x

2. x ≥ 0; xx x ; ≥ − x , với mọi số thực x 3. xa ⇔ − ≤ a x avới a ≥ 0

4. xax ≤ − a hoặc x a với a ≥ 0

5. ðịnh lí: ∀a b ta có: , aba b + ≤ a + b

B. BÀI TẬP MẪU

Figure

Updating...

References

Related subjects :

Scan QR code by 1PDF app
for download now

Install 1PDF app in