§Ò thi chän häc sinh giái cÊp tr−êng M«n : To¸n
§Ò chÝnh thøc
Thêi gian: 120 phót (Kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bµi 1: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
A = ( )( ) ( )( )
( )
a b x y a y b x abxy xy ay ab by
+ − − − − −
+ + + Víi a = 1
3 ; b = -2 ; x = 3
2 ; y = 1
Bµi 2: Chøng minh r»ng: NÕu 0 < a1 < a2 < ... < a9 th×:
1 2 9
3 6 9
.... 3
a a a
a a a + + +
+ + <
Bµi 3: Cã 3 m¶nh ®Êt h×nh ch÷ nhËt: A; B vµ C. C¸c diÖn tÝch cña A vµ B tØ lÖ víi 4 vµ 5, c¸c diÖn tÝch cña B vµ C tØ lÖ víi 7 vµ 8; A vµ B cã cïng chiÒu dµi vµ tæng c¸c chiÒu réng cña chóng lµ 27m. B vµ C cã cïng chiÒu réng. ChiÒu dµi cña m¶nh ®Êt C lµ 24m. H·y tÝnh diÖn tÝch cña mçi m¶nh ®Êt ®ã.
Bµi 4: Cho 2 biÓu thøc:
A = 4 7 2 x x
−
− ; B =
3 2 9 2 3
x x
x
− +
a) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó mçi biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn −
b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó c¶ hai biÓu thøc cïng cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 5: Cho tam gi¸c c©n ABC, AB = AC. Trªn tia ®èi cña c¸c tia BC vµ CB lÊy theo thø tù hai ®iÓm D vµ E sao cho BD = CE
a) Chøng minh tam gi¸c ADE lµ tam gi¸c c©n.
b) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE
c) Tõ B vµ C vÏ BH vµ CK theo thø tù vu«ng gãc víi AD vµ AE. Chøng minh BH = CK d) Chøng minh 3 ®−êng th¼ng AM; BH; CK gÆp nhau t¹i 1 ®iÓm.
§Ò thi chän häc sinh giái cÊp tr−êng líp 7- n¨m häc 2011- 2012
M«n: To¸n
§¸p ¸n
Bµi C¸ch gi¶i §iÓm
TP
§iÓm toµn bµi
1
A = ( )( ) ( )( )
( )
a b x y a y b x abxy xy ay ab by
+ − − − − −
+ + +
= ( ) ( ) ( ) ( )
( )
a x y b x y a b x y b x abxy xy ay ab by
− − + − − − − + − + + +
= ( )
ax ay bx by ab ax by xy abxy xy ay ab by
− − − − − + + −
+ + +
= ( )
ay bx ab xy abxy xy ay ab by
− − − − + + +
= ( )
( )
xy ay ab by abxy xy ay ab by
− + + +
+ + +
= 1 abxy
− Víi a = 1
3 ; b = -2 ; x = 3
2 ; y = 1 ta ®−îc: A = 1
1 3 1
( 2) 1
3 2
− =
⋅ − ⋅ ⋅
0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5
2,5
2
Ta cã: 0 < a1 < a2 < ….. < a9 nªn suy ra:
a1 + a2 + a3 < 3a3 (1) a4 + a5 + a6 < 3a6 (2) a7 + a8 + a9 < 3a9 (3)
Céng vÕ víi vÕ cña (1) (2) (3) ta ®−îc:
a1 + a2 + ….. + a9 < 3(a3 + a6 + a9)
V× a1 + a2 + ….. + a9 > 0 nªn ta ®−îc: 1 2 9
3 6 9
.... 3
a a a
a a a + + +
+ + <
0,25 0,25 0,25 0,75 0,5
2
3
Gäi diÖn tÝch, chiÒu dµi, chiÒu réng cña c¸c m¶nh ®Êt A, B, C theo thø tù lµ SA, dA, rA, SB, dB, rB, SC, dC, rC.
Theo bµi ra ta cã:
4 5
A B
S
S = ; 7 8
B C
S
S = ; dA = dB ; rA + rB = 27(m) ; rB = rC ; dC = 24(m)
Hai h×nh ch÷ nhËt A vµ B cã cïng chiÒu dµi nªn c¸c diÖn tÝch cña chóng tØ lÖ thuËn víi c¸c chiÒu réng. Ta cã:
4 5
A A
B B
S r
S = = r ⇒ 27
4 5 4 5 9 3
A B A B
r r r +r
= = = =
+
⇒ rA = 12(m) ; rB = 15(m) = rC
Hai h×nh ch÷ nhËt B vµ C cã cïng chiÒu réng nªn c¸c diÖn tÝch cña chóng tØ lÖ thuËn víi c¸c chiÒu dµi. Ta cã:
7 8
B B
C C
S d
S = =d ⇒ dB = 7 7.24 8 8 21 dC
= = (m) = dA
Do ®ã: SA = dA.rA = 21. 12 = 252 (m2) SB = dB. rB = 21. 15 = 315 (m2) SC = dC. rC = 24. 15 = 360 (m2)
0,25
0,5
1 0,25
1 0,5 0,5 0,5
4,5
4
a) Ta cã: A = 4 7 2 x x
−
− = 4( 2) 1 1
2 4 2
x
x x
− +
− = + −
Víi x ∈ Z th× x - 2 ∈ Z.
§Ó A nguyªn th× 1 2
x− nguyªn. ⇒ x - 2 lµ −íc cña 1 Ta cã: x - 2 = 1 hoÆc x - 2 = -1. Do ®ã: x = 3 hoÆc x = 1 VËy ®Ó A nguyªn th× x = 3 hoÆc x = 1
0,5 0,25
0,5
3
+) B =
3 2 9 2 3
x x
x
− +
− = 3 ( 3) 2 2
3 3 3
x x x
x x
− +
= +
− −
Víi x ∈ Z th× x - 3 ∈ Z.
§Ó B nguyªn th× 2 3
x− nguyªn. ⇒ x - 3 lµ −íc cña 2 Ta cã: x - 3 = ± 2 hoÆc x - 3 = ±1.
Do ®ã x = 5 ; x = 1 ; x = 4 ; x = 2
VËy ®Ó B nguyªn th× x = 5 hoÆc x = 1 hoÆc x = 4 hoÆc x = 2 b) Tõ c©u a) suy ra: §Ó A vµ B cïng nguyªn th× x = 1
0,5
0,25 0,5 0,5
5
A
H K
M
D B C E O
Chøng minh:
a) ∆ABC c©n cã AB = AC nªn: ΑΒ = Α ΒC C Suy ra: ΑΒ = ΑD CE XÐt ∆ABD vµ ∆ACE cã:
AB = AC (gt)
D CE
ΑΒ = Α (CM trªn) DB = CE (gt)
Do ®ã ∆ABD = ∆ACE (c - g - c)
⇒ AD = AE (2 c¹nh t−¬ng øng). VËy ∆ADE c©n t¹i A.
b) XÐt ∆AMD vµ ∆AME cã:
MD = ME (Do DB = CE vµ MB = MC theo gt) AM: C¹nh chung
AD = AE (CM trªn)
Do ®ã ∆AMD = ∆AME (c - c - c)
⇒ MAD=MAE.
VËy AM lµ tia ph©n gi¸c cña DAE
c) V× ∆ADE c©n t¹i A (CM c©u a)). Nªn ADE= AED XÐt ∆BHD vµ ∆CKE cã:
BDH =CEK (Do ADE= AED) DB = CE (gt)
⇒ ∆BHD = ∆CKE (C¹nh huyÒn- gãc nhän) Do ®ã: BH = CK.
d) Gäi giao ®iÓm cña BH vµ CK lµ O.
XÐt ∆AHO vµ ∆AKO cã:
OA: C¹nh chung
AH = AK (Do AD = AE; DH = KE (v× ∆BHD = ∆CKE))
⇒ ∆AHO = ∆AKO (C¹nh huyÒn- C¹nh gãc vu«ng)
Do ®ã OAH =OAK nªn AO lµ tia ph©n gi¸c cña KAH hay AO lµ tia ph©n gi¸c cña DAE.
MÆt kh¸c theo c©u b) AM lµ tia ph©n gi¸c cña DAE.
Do ®ã AO ≡ AM, suy ra 3 ®−êng th¼ng AM; BH; CK c¾t nhau t¹i O.
0,5
0,5
1 0,5
1 0,5 0,25
1 0,5 0,25
1 0,25 0,75
8
