Từ các đề thi thử trường chuyên 2021
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1
§1
– KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN1
A
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . .1
B B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . .1
| Dạng 1.1: Nhận biết hình đa diện. . . .1
| Dạng 1.2: Đếm số cạnh, số mặt của một hình đa diện. . . .2
| Dạng 1.3: Phân chia, lắp ghép khối đa diện. . . .3
§2
– KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU5
A A KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . .5B B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . .9
| Dạng 2.4: Nhận biết khối đa diện lồi, khối đa diện đều. . . .9
| Dạng 2.5: Số mặt phẳng đối xứng của hình đa diện. . . .10
§3
– THỂ TÍCH KHỐI CHÓP12
A A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . .12B B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA. . . .15
| Dạng 3.6: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy. . . .15
| Dạng 3.7: Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy. . . .53
| Dạng 3.8: Khối chóp có hai mặt phẳng chứa đỉnh cùng vuông góc với đáy. . . .54
| Dạng 3.9: Khối chóp đều. . . .66
| Dạng 3.10: Khối chóp biết hình chiếu của đỉnh xuống mặt đáy. . . .84
§4
– THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ90
A
A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . .90
B B MỘT SỐ VÍ VỤ MINH HỌA. . . .90
| Dạng 4.11: Khối lăng trụ đứng tam giác. . . .90
| Dạng 4.12: Khối lăng trụ đứng tứ giác. . . .93
| Dạng 4.13: Khối lăng trụ xiên. . . .96
C C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . .99
§5
– PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH104
A A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . .104B B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA. . . .105
| Dạng 5.14: Tỉ số thể tích trong khối chóp. . . .105
| Dạng 5.15: Tỉ số thể tích trong khối lăng trụ. . . .110
C C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . .115
§6
– MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP119
A A ĐỀ ÔN SỐ 1. . . .119B B ĐỀ ÔN SỐ 2. . . .121
C C ĐỀ ÔN SỐ 3. . . .124
KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA
1 DIỆN
KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN Bài 1
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Khi cho một hình đa diện, ta cần xác định được:
1 Đỉnh, mặt; điểm thuộc, điểm trong, điểm ngoài.
2 Mặt bên, cạnh bên.; mặt đáy, cạnh đáy (nếu có).
Các khối đa diện cần nhớ rõ tính chất:
1 Khối tứ diện đều, khối chóp.
2 Khối lăng trụ, khối hộp chữ nhật, khối lập phương.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
p Dạng 1.1. Nhận biết hình đa diện
Hình đa diện là hình được tạo thành bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung,
hoặc chỉ có một cạnh chung.
Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nàođúng? Số các đỉnh hoặc các mặt bất kỳ hình đa diện nào cũng
Câu 2. Mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của bao nhiêu mặt của khối đa diện?
A. Không có mặt nào. B. Ba mặt. C. Bốn mặt. D. Hai mặt.
Câu 3. Trong các mệnh đề sau, hãy chọn mệnh đềđúng. Trong một khối đa diện thì
A. hai mặt bất kì có ít nhất một cạnh chung. B. hai cạnh bất kì có ít nhất một điểm chung.
C. hai mặt bất kì có ít nhất một điểm chung. D. mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.
Câu 4. Mỗi đỉnh của một đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt?
A. Ba mặt. B. Hai mặt. C. Bốn mặt. D. Năm mặt.
Câu 5. Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng, tìm hìnhkhônglà hình đa diện.
A. B. C. D.
Câu 6. Vật thể nào trong các hình sau đâykhôngphải là khối đa diện?
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Cho các hình vẽ sau:
Số các hình đa diện trong các hình trên là
A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 8. Hình nào dưới đâykhôngphải là hình đa diện?
A. . B. . C. . D. .
p Dạng 1.2. Đếm số cạnh, số mặt của một hình đa diện
Số cạnh của hình chóp (cạnh đáy, cạnh bên) bằng 2 lần số đỉnh của mặt đáy.
Số cạnh của hình lăng trụ (cạnh đáy, cạnh bên) bằng 3 lần số đỉnh của một mặt đáy.
(Đ) + (M) = (C) +2
Câu 1.Tìm số mặt của hình đa diện ở hình vẽ bên.
A. 11. B. 10.
C. 12. D. 9.
Câu 2.Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?
A. 10. B. 15.
C. 8. D. 11.
Câu 3.Hình đa diện sau có bao nhiêu mặt?
A. 12.
B. 10.
C. 6.
D. 11.
Câu 4. Khối chóp ngũ giác có bao nhiêu cạnh?
A. 20. B. 15. C. 5. D. 10.
Câu 5. Khối lăng trụ ngũ giác có tất cả bao nhiêu cạnh?
A. 20. B. 25. C. 10. D. 15.
Câu 6. Cho hình chóp có 20 cạnh. Tính số mặt của hình chóp đó.
A. 20. B. 11. C. 12. D. 10.
Câu 7. Hình lăng trụ có thể có số cạnh nào sau đây?
A. 2018. B. 2016. C. 2017. D. 2015.
p Dạng 1.3. Phân chia, lắp ghép khối đa diện
Câu 1. Mặt phẳng (AB0C0)chia khối lăng trụ ABC.A0B0C0 thành các khối đa diện nào?
A. Hai khối chóp tứ giác.
B. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
C. Hai khối chóp tam giác.
D. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.
A
B
C
A0
B0
C0
Câu 2. Mặt phẳng nào sau đây chia khối hộpABCD.A0B0C0D0 thành hai khối lăng trụ?
A. (A0BC0). B. (ABC0).
C. (AB0C). D. (A0BD).
D
A B
C A0 B0
C0 D0
Câu 3. Cắt khối lăng trụ MNP.M0N0P0 bởi các mặt phẳng (MN0P0) và
(MNP0)ta được những khối đa diện nào?
A. Ba khối tứ diện.
B. Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác.
C. Hai khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.
D. Một khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.
M N
P P0 M0
N0
Câu 4. Cho khối tứ diện ABCD. Hai điểm M,N lần lượt là trung
điểm của BC và BD. Mặt phẳng (AMN) chia khối tứ diện ABCD
thành
A. Một khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.
B. Hai khối tứ diện.
C. Hai khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.
D. Hai khối chóp tứ giác.
B
C M A
D
N
Câu 5. Có thể dùng ít nhất bao nhiêu khối tứ diện để ghép thành một hình hộp chữ nhật?
A. 4. B. 3. C. 5. D. 6.
—–HẾT—–
ĐỀU
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Khối đa diện (H)là khối đa diện lồi nếu đoạn nối hai điểm bất kì thuộc (H)thì luôn thuộc (H)
(đoạn đó nằm trên mặt hoặc nằm trong(H)).
Khối đa diện đều
– Mỗi mặt của nó là một đa giác đềupcạnh;
– Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúngqmặt.
– Khối đa diện đều như vậy được kí hiệu loại(p;q).
Hình ảnh năm khối đa diện đều và các tóm tắt:
Khối tứ diện đều Khối lập phương Khối bát diện đều Khối12mặt đều Khối20mặt đều
Loại {3;3} Loại {4;3} Loại {3;4} Loại {5;3} Loại {3;5}
Đ,C,M: 4, 6, 4 Đ,C,M: 8, 12, 6 Đ,C,M: 6, 12, 8 Đ,C,M: 20, 30, 12 Đ,C,M: 12, 30, 20
Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi
a) Cho một khối tứ diện đều, ta có
+ Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.
+ Các trung điểm của các trung điểm của các cạnh của nó là đỉnh của một khối bát diện đều(khối tám mặt đều).
b) Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều.
c) Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một hình lập phương.
+ Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
+ Ba đường chéo đôi một vuông góc.
+ Ba đường chéo bằng nhau.
Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện đều
Đa diện đều cạnha Đỉnh Cạnh Mặt Thể tíchV Bán kính mặt cầu ngoại tiếp
Tứ diện đều{3; 3} 4 6 4
V =
√ 2a3
12 R=a√
6 4
Lập phương{4; 3} 8 12 6 V =a3
R=a√ 3 2
Bát diện đều{3; 4} 6 12 8
V =
√ 2a3
3 R=a√
2 2
Mười hai mặt đều{5; 3} 20 30 12
V = 15+7√ 5
4 a3 R=
√3+√ 15
4 a
Hai mươi mặt đều{3; 5} 12 30 20
V = 15+5√ 5
12 a3 R=
√10+√ 20
4 a
1. Phép đối xứng qua mặt phẳng
c Định nghĩa 2.1. Cho mặt phẳng(P), phép biến hình biến mỗi điểm thuộc(P)thành chính
nó, biến mỗi điểmMkhông thuộc(P)thànhM0sao cho(P)là mặt phẳng trung trực củaMM0.
Chú ý
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H ) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt
phẳng đối xứng của hình(H ).
Mặt phẳng đối xứng của một số hình thường gặp
a) Hình hộp chữ nhật có3mặt phẳng đối xứng.
Hình1. Hình2. Hình3.
b) Hình lăng trụ tam giác đều có4mặt đối xứng.
1
Hình1. Hình2. Hình3. Hình4.
c) Hình chóp tam giác đều có cạnh bên và cạnh đáy khác nhau có3mặt đối xứng.
Hình1. Hình2. Hình3.
d) Tứ diện đều có6mặt phẳng đối xứng.
Hình4. Hình5. Hình6.
e) Hình chóp tứ giác đều.
Hình1. Hình2. Hình3. Hình4.
f) Hình bát diện đều.
Hình1. Hình2. Hình3. Hình4.
Hình5. Hình6. Hình7. Hình8. Hình9.
g) Hình lập phương.
Hình5. Hình6. Hình7. Hình8. Hình9.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
p Dạng 2.4. Nhận biết khối đa diện lồi, khối đa diện đều
Câu 1. Trong các hình dưới đây hình nào không phải đa diện lồi?
Hình(I) Hình(II) Hình(III) Hình(IV)
A. Hình(IV). B. Hình(III). C. Hình(II). D. Hình(I).
Câu 2. Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là
A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 3. Hỏi khối đa diện đều loại{4; 3}có bao nhiêu mặt?
A. 4. B. 20. C. 6. D. 12.
Câu 4. Khối mười hai mặt đều thuộc loại khối đa diện đều nào sau đây?
A. {3; 4}. B. {4; 3}. C. {3; 5}. D. {5; 3}.
Câu 5. Số cạnh của khối12mặt đều là bao nhiêu?
A. 14. B. 20. C. 30. D. 16.
Câu 6. Khối tám mặt đều có tất cả bao nhiêu đỉnh?
Câu 8. Khối hai mươi mặt đều thuộc khối đa diện loại nào?
A. loại{3; 5}. B. loại{5; 3}. C. loại{3; 4}. D. loại{4; 3}.
Câu 9. Số đỉnh của hình hai mươi mặt đều là
A. 12. B. 20. C. 30. D. 16.
Câu 10. Một người thợ thủ công làm mô hình đèn lồng hình bát diện đều, mỗi cạnh của bát diện đó
được làm từ các que tre có độ dài8cm. Hỏi người đó cần bao nhiêu mét que tre để làm100cái đèn (giả
sử mối nối giữa các que tre có độ dài không đáng kể)?
A. 96m. B. 960m. C. 192m. D. 128m.
Câu 11. Trong các khối đa diện sau, khối đa diện nào có số đỉnh và số mặt bằng nhau?
A. Khối lập phương. B. Khối bát diện đều.
C. Khối mười hai mặt đều. D. Khối tứ diện đều.
Câu 12. Trung điểm của tất cả các cạnh của hình tứ diện đều là đỉnh khối đa diện nào?
A. Hình hộp chữ nhật. B. Hình bát diện đều. C. Hình lập phương. D. Hình tứ diện đều.
Câu 13. Tâm các mặt của hình lập phương tạo thành các đỉnh của khối đa diện nào sau đây?
A. Khối bát diện đều. B. Khối lăng trụ tam giác đều.
C. Khối chóp lục giác đều. D. Khối tứ diện đều.
p Dạng 2.5. Số mặt phẳng đối xứng của hình đa diện
Câu 1. Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 5. B. 6. C. 3. D. 4.
Câu 2. Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân nhưng không phải là tam đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 3. Hình hộp chữ nhật với ba kích thước phân biệt có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 6. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 4. Hình lăng trụ lục giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 6. B. 4. C. 3. D. 7.
Câu 5. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 3mặt phẳng. B. 2mặt phẳng. C. 5mặt phẳng. D. 4mặt phẳng.
Câu 6. Hình tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 6mặt phẳng. B. 4mặt phẳng. C. 10mặt phẳng. D. 8mặt phẳng.
—–HẾT—–
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Bài 3
A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1. Công thức tính (độ dài, diện tích,...) cho các hình phẳng đặc biệt
Tam giácABCvuông tạiA:
– Diện tíchSABC= 1
2·AB·AC;
– Mlà tâm đường tròn ngoại tiếp4ABC;
– Pi–ta–go: BC2=AB2+AC2 ;AM=1
2BC; B H M C
A
– AC2=CH·CB;
– AB2=BH·BC;
– 1
AH2 = 1
AB2+ 1 AC2; – AH2=HB·HC;
– AH= AB·AC
√
AB2+AC2; – AB·AC=BC·AH;
Tam giác đềuABCcạnh bằnga:
– Diện tíchSABC= (cạnh)2·√
3
4 =a2√ 3 4 ;
– Đường caoAM= (cạnh)·√
3 2 = a√
3 2 ;
– Glà trọng tâm và là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC;
– GA=2
3AM= a√ 3
3 vàGM= 1
3AM= a√ 3
6 . B M C
A
G
Hình vuôngABCDcạnh bằnga:
– Diện tíchSABCD= (cạnh)2=a2;
– Đường chéoAC=BD= (cạnh)·√
2=a√ 2;
– Ilà tâm đường tròn ngoại tiếpABCD;
– AC⊥BD;AN⊥DM. A M B
C D
I N
– Diện tíchSABCD=AB·BC=a·b;
– Đường chéoAC=BD=√
a2+b2;
– Ilà tâm đường tròn ngoại tiếpABCD;
– Chú ý:AC không vuôngBD. A B
D C
I
Hình thangABCDcó hai đáyABvàCD:
– DHlà chiều cao của hình thangABCD;
– Diện tíchSABCD=AB+CD
2 ·DH. A H B
C D
Hình thoiABCD:
– Các cạnh của hình thoi bằng nhau;
– Diện tíchSABCD=1
2AC·BD;
– Nếu có một góc bằng 60◦ hoặc 120◦ thì hình
thoi này thực chất là ghép của hai tam giác đều.
Suy ra
SABCD=2·(cạnh)2·
√3
4 = (cạnh)2·
√3
2 .
B D
A C
I
2. Các công thức tính trong tam giác thường (không đặc biệt)
Các hệ thức lượng cần nhớ
– Định lý hàm số sin: a
sinA= b
sinB= c
sinC=2R.
– Định lý hàm số cos:
a2=b2+c2−2bccosA ⇒cosA= b2+c2−a2 2bc b2=a2+c2−2accosB ⇒cosB= a2+c2−b2
2ac c2=a2+b2−2abcosC ⇒cosC= a2+b2−c2
2ab .
– Tính góc:cosA=b2+c2−a2 2bc ;
– Tính đường trung tuyếnm2a= b2+c2
2 −a2 4;
– Định lý sin: a
sinA = b
sinB= c
sinC =2R.
– Định lý Thales
PQ∥BC⇒AP AB = AQ
AC =PQ BC =k S4APQ
S4ABC = ÅAP
AB ã2
= ÅPQ
BC ã2
=k2.
B H M C
A
P Q
– Định lý Menelaus: Cho tam giácABC. Các điểm
D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC,
CA, AB. Khi đó: D, E, F thẳng hàng ⇔ FA FB · DB
DC·EC EA =1.
A
B C D
F
E
Công thức tính diện tích tam giác
– SABC=1 2a·h;
– SABC =p
p(p−a)(p−b)(p−c),
với p= a+b+c
2 .
– SABC= 1
2b·c·sinA;
– SABC = abc
4R;SABC= p·r, với R,rlà bán kính đ.tròn ngoại, nội tiếp.
(α)
S
M α H
– Dựng hình chiếu củaSMlàMH;
– Góc cần tìm làSMH.’
S
N
K H
M α
– KẻHK⊥MNvàSK⊥MN
– Góc cần tìm làSKH.‘
B. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Ta có thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với đường cao hình chóp.
Vchóp=1
3·Sđáy·h Trong đó
Ë Sđáy=SABCDlà diện tích mặt đáy của khối chóp.
Ë h=SH là chiều cao của khối chóp.
S
A
B C
H
D
p Dạng 3.6. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
¬ Khi vẽ hình, nên vẽ cạnh vuông góc với đáy thẳng đứng.
Xác định mặt đáy và tính diện tíchSđáy.
® Xác định và tính chiều caohlà cạnh bên vuông với đáy.
¯ Thay vào công thứcVchóp= 1
3·Sđáy·h.
S
A D
B
C
Ví dụ 1
d
Cho hình chóp tứ giácS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnha,cạnh
bênSAvuông góc với đáy vàSA=a√
3.Tính thể tíchV của khối
chópS.ABCD.
. . . . . . . . . . . .
S
A D
B C
Ví dụ 2
d
Cho khối chópS.ABCcó đáyABClà tam giác vuông cân tạiB, độ dài cạnh
AB=BC=a,cạnh bênSAvuông góc với đáy vàSA=2a.Tính thể tíchV
của khối chópS.ABC.
. . . . . . . . . . . .
S
B
A C
Ví dụ 3
d
Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật vớiAB=2a,
BC=a, SA vuông góc với mặt đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc
30◦. Tính thể tíchV của khối chópS.ABCDtheoa.
. . . . . . . . . . . . . . . .
A S
B
D C
30◦
Ví dụ 4 d
vuông góc với đáy(ABC). Biết góc tạo vởi hai mặt phẳng(SBC)và(ABC)
bằng60◦, tính thể tíchV của khối chópS.ABC.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B M C
A
Ví dụ 5
d Cho hình chópS.ABCcóSA⊥(ABC). Tam giácABCvuông tạiC,AB=a√
3,AC=a,SC= a√
5. Thể tích của khối chópS.ABCbằng A.
√ 6a3
6 . B.
√ 6a3
4 . C.
√ 2a3
3 . D.
√ 10a3
6 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ví dụ 6
d Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giác vuông tạiB, cạnhSAvuông góc với đáy vàAB=a,
SA=AC=2a. Thể tích của khối chópS.ABCbằng A. 2√
3a3
3 . B. 2a3
3 . C.
√3a3
3 . D. √
3a3. Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 7
d Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AB=a, BC=2a, chiều cao
SA=a√
6. Thể tích của khối chópS.ABCbằng A.
√2a3
2 . B.
√6a3
3 . C.
√2a3
3 . D. 2√
6a3. Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 8
d Cho khối chópS.ABCcóSAvuông góc với đáy,SA=4,AB=6,BC=10vàCA=8. Thể tích
của khối chópS.ABCbằng
A. 40. B. 192. C. 32. D. 24.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 9
d Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết đáy ABC vuông tại B và
AD=5,AB=5,BC=12. Thể tích của tứ diệnABCD A. 120. B. 325
16 . C. 50. D. 140
3 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 10
d Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giác vuông tạiB, cạnhAB=a,BC=a√
3,SAvuông góc
với mặt phẳng đáy. Biết góc giữaSCvà(ABC)bằng60◦. Thể tích của khối chópS.ABCbằng
A. 3a3. B. a3
3 . C. a3. D.
√3a3
3 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . Ví dụ 11
d Cho hình chóp S.ABC cóSA⊥(ABC), tam giác ABCvuông tại B, AB=a, AC =a√
3. Biết
góc giữaSBvà(ABC)bằng30◦. Thể tích của khối chópS.ABCbằng
A.
√6a3
9 . B.
√6a3
18 . C. 2√
6a3
3 . D.
√6a3
6 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ví dụ 12
d Cho hình chópS.ABC có đáy là tam giác vuông tạiA, SB⊥(ABC), AB=a,ACB‘=30◦, góc
giữa đường thẳngSCvà mặt phẳng(ABC)là60◦. Thể tích của khối chópS.ABCbằng
A. 3a3. B. 4a3
3 . C. a3. D. 3a3
2 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 13
d Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giác vuông cân tạiB,AB=a,SA⊥(ABC). Góc giữa cạnh
bênSBvà(ABC)bằng45◦. Thể tích của khối chópS.ABCbằng A.
√3a3
3 . B. a3
3 . C.
√2a3
6 . D. a3
6 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 14
d Cho hình chópS.ABCcó chiều cao bằnga,AB=a,BC=a√
3,ABC‘=60◦. Thể tích của khối chópS.ABCbằng
A.
√3a3
12 . B. a3
4 . C.
√3a3
4 . D. a3
2 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Ví dụ 15
d Cho hình chóp S.ABCcó SA⊥(ABC), SA=a,AB=a,AC=2a, BAC‘ =120◦. Thể tích của
khối chópS.ABCbằng
A.
√ 3a3
3 . B.
√ 3a3
2 . C. √
3a3. D.
√ 3a3 6 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 16
d Cho hình chópS.ABCcó đáyABClà tam giác đều có cạnh bằnga,SA⊥(ABC), góc giữa SB
và(ABC)bằng60◦. Thể tích của khối chópS.ABCbằng A. a3
4 . B. √
3a3. C. a3
2 . D. a3.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 17
d Cho hình chópS.ABCcó đáyABClà tam giác có độ dài ba cạnh làAB=5a,BC=8a,AC=7a,
SA⊥(ABC), góc giữaSBvà mặt phẳng(ABC)bằng45◦. Thể tích khối chópS.ABCbằng
5a 8a 7a
A B
C S
A. 50√
3a3. B. 50√ 3a3
3 . C. 50a3
3 . D. 50√
7a3 3 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 18
d Cho hình chópS.ABCcó đáyABClà tam giác đều có cạnh bằnga,SA⊥(ABC), góc giữa hai
mặt phẳng(SBC)và(ABC)bằng60◦. Thể tích khối chópS.ABCbằng
a
a a
A B
C
A.
√3a3
24 . B. 3√
3a3
8 . C.
√3a3
8 . D.
√3a3
12 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 19
d Cho tứ diệnSABCcó đáyABClà tam giác vuông cân tạiA, độ dài đường caoAH của tam giác
ABC bằng a, SA⊥(ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)bằng 60◦. Thể tích khối tứ
diệnSABCbằng
a
A B
C S
H
A.
√ 6a3
3 . B.
√ 3a3
3 . C. 2√
6a3
3 . D.
√ 2a3 3 . Lời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ví dụ 20
d Cho khối chóp S.ABCDcó thể tích bằng 4√
3a3
3 , đáyABCD là hình vuông có cạnh bằng2a.
Chiều cao của khối chópS.ABCDbằng
2a A 2a
B C
S
D H
A. 4√
3a. B.
√3a
3 . C. √
3a. D. 4√
3a 3 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ví dụ 21
d Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật,SA⊥(ABCD), AB=3a, AD=2a,
SB=5a. Thể tích khối chópS.ABCDbằng
3a 5a
A 2a
B C
S
D
A. 8a3
3 . B. 24a3. C. 10a3
3 . D. 8a3.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 22
d Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông có cạnh bằnga,SA⊥(ABCD),SC=a√
3.
Thể tích khối chópS.ABCDbằng
a
a√ 3 A a
B C
S
D
A. 3a3
2 . B. a3
3 . C.
√3a3
3 . D.
√2a3
3 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 23
d Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình vuông,SA⊥(ABCD),SA=a√
3. Biết tam giácSBD
là tam giác đều. Thể tích khối chópS.ABCDbằng
A. √
3a3. B.
√ 3a3
6 . C. 2√
3a3
3 . D.
√ 3a3 3 .
A
B C
D S
a√ 3
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 24
d
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA⊥(ABCD),
SA=a√
2. Biết tam giác SBD là tam giác đều. Thể tích khối chópS.ABCDbằng
A. 2√ 2a3
3 . B. 2√
2a3. C.
√2a3
3 . D. √ 2a3.
A
B C
D S
a√ 2
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45◦. Thể tích khối chópS.ABCDbằng A. √
2a3. B.
√2a3
3 . C. √
3a3. D. a3 3 .
A
B C
D S
a
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 26
d Cho hình chópS.ABCD có đáyABCDlà hình chữ nhật vớiAB=2a,BC=a, SA⊥(ABCD),
A. 2√ 15a3
3 . B.
√15a3
3 . C.
√15a3
9 . D. 2√
15a3 9 .
A
B C
D S
a
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SCtạo với(SAB)một góc30◦. Thể tích khối chópS.ABCDbằng A. 2√
6a3
3 . B. 2a3
3 . C. √
3a3. D.
√3a3
3 .
A
B C
D S
a
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ví dụ 28
d Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnha,SA⊥(ABCD),SCtạo với(SAD)
một góc30◦. Thể tích khối chópS.ABCDbằng
A.
√3a3
3 . B.
√2a3
4 . C.
√2a3
2 . D.
√2a3
3 .
A
B C
D S
a
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
đỉnhS trên mặt phẳng đáy(ABCD) là trung điểmH củaAB, SC tạo với mặt phẳng đáy một góc
45◦. Thể tích của khối chópS.ABCDbằng
A. 2a3
a . B. 2√
2a3
3 . C. a3
3 . D.
√3a3
2 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 30
d Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnh bằng2a, cạnhSBvuông góc với đáy
A. 3a3√ 3
8 . B. 4a3√
3
3 . C. 8a3√
3
3 . D. 3a3√
3 4 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 31
d Cho khối chópS.ABCDcó đáy là hình chữ nhật,AB=a,AD=a√
3,SAvuông góc với đáy và
mặt phẳng(SBC)tạo với mặt phẳng đáy một góc60◦. Thể tích của khối chópS.ABCDbằng
A. a3
3 . B. 3a3. C. a3. D.
√ 3a3 3 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 32
d Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnhavàSA⊥(ABCD). Góc giữa(SCD)
và(ABCD)bằng60◦. Thể tích của khối chópS.ABCDbằng A.
√6a3
3 . B.
√3a3
3 . C.
√3a3
6 . D.
√6a3
6 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ví dụ 33
d Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình vuông tâmOcạnh bằnga. Hình chiếu vuông góc của
đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh OC. Góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt
phẳng(ABCD)bằng60◦. Thể tích của hình chópS.ABCDbằng
A.
√3a3
8 . B.
√3a3
4 . C. 3√
3a3
4 . D. 3√
3a3 8 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 34
d Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình chữ nhật,SA⊥(ABCD),AC=2AB=4a. Biết góc giữa
(SBD)và(ABCD)bằng30◦. Thể tích khối chópS.ABCbằng A. 4a3
9 . B. 2√
3a3
3 . C. 4√
3a3
3 . D. 4√
6a3 9 . Lời giải.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 35
d Cho hình chópS.ABCD có đáy là hình vuông cạnha, hai mặt(SAB),(SAD)cùng vuông góc
với đáy,SCtạo với đáy một góc bằng60◦. Thể tích của khối chópS.ABCDbằng
A. a3√ 2
3 . B. a3√
6
3 . C. 2a3√
6
3 . D. 4a3√
6 3 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chú ý
Hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì chiều cao là giao tuyến của hai mặt bên.
Ví dụ 36
d Cho khối chópS.ABCcó đáyABClà tam giác đều cạnha. Hai mặt bên(SAB)và(SAC)cùng
vuông góc với đáy. BiếtSC=a√
3, thể tích khối chóp bằng A. 2√
6a3
9 . B.
√6a3
12 . C.
√3a3
2 . D.
√3a3
4 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 37
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3, hai mặt(SAB)và (SAD)cùng vuông
góc với đáy, góc giữaSCvà mặt đáy là60◦. Thể tích của khối chópS.ABCDbằng
A. 6√
6. B. 9√
6. C. 3√
3. D. 3√
6.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 38
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, AC=5a . Hai mặt bên
(SAB)và(SAD)cùng vuông góc với đáy, cạnh bênSBtạo với đáy một góc bằng60◦. Thể tích của
khối chópS.ABCDbằng
A. 2√
2a3. B. 4√
2a3. C. 6√
2a3. D. 2a3. Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 39
d Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật cóAB=a,AD=a√
3,SAvuông góc
với đáy và(SBC)tạo với đáy một góc bằng60◦. Thể tích của khối chópS.ABCbằng
A. a3
2 . B. a3. C. a3√
3
3 . D. 3a3. Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . Ví dụ 40
d Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCD là hình vuông cạnh2a. Hai mặt bên (SAB)và (SAD)
cùng vuông góc với đáy, góc giữa(SBC)và(ABCD)bằng30◦. Thể tích khối chópS.ABCDbằng
A. a3√ 3
2 . B. √
3a3. C. 8√ 3a3
9 . D. 8√
3a3 3 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 41
d Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình bình hành có AB=a, AD=2a, BAD‘ =60◦.
Hai mặt phẳng(SAB)và(SAD)cùng vuông góc với đáy,SCA‘=60◦. Thể tích khối chópS.ABCD
bằng
3 3 Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 42
d Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnha, hai mặt(SAC)và(SAB)cùng vuông góc
với đáy. Góc giữa(SCD)và(ABCD)bằng60◦. Thể tích khối chóp bằng
A.
√ 6a3
3 . B.
√3a3
6 . C.
√ 6a3
6 . D.
√3a3
3 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 43
d Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnha. Hình chiếu Slên mặt phẳng đáy
trùng với trọng tâm của tam giácABD. CạnhSD tạo với mặt phẳng đáy60◦. Thể tích khối chóp
S.ABCDbằng A. a3√
15
3 . B. a3√
15
27 . C. a3√
15
9 . D. a3
3 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 44
d Cho hình chóp S.ABC có AB=a, AC =2a, BAC‘ =120◦ và SA⊥(ABC). Biết mặt phẳng
(SBC)và(ABC)bằng60◦. Thể tích khối chópSABCbằng A.
√21a3
14 . B.
√7a3
14 . C.
√7a3
7 . D. 3√
21a3 14 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 45
d Cho tứ diệnABCD cóAB,AC,ADđôi một vuông góc với nhau vàAB=a, AC=b, AD=c.
Thể tích khối tư diệnABCDbằng
A. abc
2 . B. abc
6 . C. abc
3 . D. abc.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Thể tích khối tứ diệnOABCbằng
A. 8a3. B. 4a3. C. 3a3. D. 6a3. Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p Dạng 3.7. Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
¬ Xác định giao tuyến của mặt phẳng(α)với mặt đáy.
Từ đỉnhS, kẻ đoạnSHvuông góc với giao tuyến. Suy raSHlà đường cao của khối chóp.
Ví dụ 1
d
Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giácABCvuông cân tạiB,AB=a, tam
giácSACcân tạiSvà nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích
khối chópS.ABCbiết góc giữaSBvà mặt phẳng(ABC)bằng45◦.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A B C
S
Ví dụ 2
d
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Tam giác SAD
vuông tạiS và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích
khối chópS.ABCD, biếtSA=a√
3vàSD=a.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A B
HD C
S
p Dạng 3.8. Khối chóp có hai mặt phẳng chứa đỉnh cùng vuông góc với đáy
¬ Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Giao tuyến đó chính là đường cao của khối chóp.
Khi vẽ hình, nên vẽ trục giao tuyến "thẳng đứng".
Ví dụ 1
d
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
ADC‘ =60◦. Hai mặt phẳng(SAB)và(SAD)cùng vuông góc với
đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) với đáy bằng 60◦. Tính thể tích
khối chópS.ABCD.
. . . . . . . . . . . . . . . .
A C D
B S
Ví dụ 2
d Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giác cân tạiA,AB=AC=a,BAC‘=120◦. Mặt bênSAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Thể tích của khối chópS.ABC
bằng A. a3
8 . B. a3. C. a3
2 . D. 2a3.
Lời giải.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 3
d Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnha. Mặt bênSABlà tam giác đều nằm
trong mặt phẳng vuông với đáy(ABCD). Thể tích khối chópS.ABCDbằng
A. a3√ 3
6 . B. a3√
3
4 . C. a3√
3
2 . D. a3√
3.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 4
d Cho hình chópS.ABC có đáyABClà tam giác đều cạnh2a, tam giácSABlà tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chópS.ABCbằng
A. a3
2 . B. a3. C. 3a3
2 . D. 3a3.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . Ví dụ 5
d Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnh a, tam giácSABcân tại Svà nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy,SA=2a. Thể tích khối chópS.ABCDbằng
A. a3√ 15
6 . B. a3√
15
12 . C. 2a3
3 . D. 2a3.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ví dụ 6
d Cho hình chópS.ABCcó đáyABClà tam giác vuông cân tạiAvàAB=AC=a√
2. Tam giác
SBC có diện tích bằng 2a2 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp
S.ABCbằng A. 4a3
3 . B. a3
3 . C. 2a3. D. 2a3
3 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 7
d Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật,AB=a,AD=2a. Tam giácSABcân
tạiSvà nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳngSCtạo với đáy một góc60◦. Khi đó
thể tích khối chópS.ABCDbằng
A. a3√ 51
3 . B. a3√
17
3 . C. a3√
17
9 . D. a3√
17 6 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 8
d Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giácABCvuông tạiB,AB=a,AC=2a. Mặt bên(SAC)
là tam giác cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữaSBvà đáy bằng
60◦. Thể tích của khối chópS.ABCbằng
a3√
3 a3 a3 a3√
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 9
d Cho hình chóp tứ giácS.ABCDcó đáy là hình chữ nhật vớiAB=2a,AD=a. Mặt bên(SAB)
là tam giác cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng
đáy một góc45◦. Thể tích của khối chópS.ABCDbằng
A. 2a3
3 . B. 2a3√
2
3 . C. a3
3 . D. a3√
3 2 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 10
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 4SAB đều cạnh a nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt đáy(ABCD). Biết mặt phẳng(SCD)tạo với mặt phẳng(ABCD)một góc
bằng30◦. Thể tích của khối chópS.ABCDbằng
A. a3√ 3
8 . B. a3√
3
4 . C. a3√
3
2 . D. a3√
3 3 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 11
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng(ABCD)trùng với trung điểm của cạnhAD, cạnhSBhợp với đáy một góc60◦. Thể tích của
khối chópS.ABCDbằng
A. a3√ 15
2 . B. a3√
15
6 . C. a3√
5
4 . D. a3√
5 6 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SABđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chópS.ABCDbằng A. a3
2 . B. a3
3 . C. a3√
2
6 . D. a3√
3 4 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 13
d Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật, mặt bên(SAD)là tam giác đều cạnh
2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt
phẳng(ABCD)bằng30◦. Thể tích khối chópS.ABCDbằng
A. a3√ 3
2 . B. 2a3√
3. C. 2a3√
3
3 . D. 4a3√
3 3 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 14
d Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giác vuông cân đỉnhA, AB=AC=a. Hình chiếu vuông
góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của đoạn BC. Mặt phẳng (SAB) hợp với mặt
phẳng đáy một góc60◦. Thể tích của khối chópS.ABCbằng
A.
√ 2a3
12 . B.
√3a3
4 . C.
√3a3
6 . D.
√3a3
12 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 15
d Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình chữ nhật, mặt bên (SAD)là tam giác đều cạnh2avà
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tíchV của khối chópS.ABCD, biết rằng mặt
phẳng(SBC)tạo với mặt phẳng đáy một góc30◦.
A.
√3a3
2 . B. 2√
3a3. C. 2√ 3a3
3 . D. 4√
3a3 3 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
p Dạng 3.9. Khối chóp đều
¬ Đáy là đa giác đều (hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều, hình chóp tứ giác đều có
đáy là hình vuông).
Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (hình chóp tam giác đều có
chân đường cao trung với trọng tâmG, hình chóp tứ giác đều có chân đường cao trùng với
tâmOcủa hình vuông).
® Các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.
¯ Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau hoặc góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng
nhau.
Góc giữa
cạnh bên
và mặt
đáy Góc
giữa mặt
bên vàmặt
đáy
||
||
||
A
B
C S
G M
Góc giữa
mặt bên
và mặt
đáy
Góc giữa
cạnh bên
vàmặt đáy
A
B C
D S
M O
oCHÚ Ý
Tứ diện đều là những trường hợp đặc biệt của hình chóp tam giác đều, nó có bốn mặt là những tam giác đều bằng nhau.
Chóp tam giác đềuS.ABC, với cạnh đáy bằnga
S
A M
C
B
G N
Diện tích đáyS4ABC=a2·√
3 4 .
® Góc giữa cạnh bên với đáy làSCG.‘
¯ Góc giữa mặt bên với đáy làSMG‘ hoặcSNG.‘
° Công thức giải nhanh:
VS.ABC= a3·tanSCG‘
12 ; VS.ABC= a3·tanSNG‘ 24 .
± Tứ diện đều cạnha:V =a3√
2 12 .
Chóp tứ giác đềuS.ABCD, với cạnh đáy bằnga.
S
B
D
C O M A
¬ SOlà đường cao của khối chóp.
AC=BD=a√
2,OA=OB=OC=OD= a√ 2 2 .
Diện tích đáyS4ABCD=a2
® Góc giữa cạnh bên với đáy làSDO.‘
¯ Góc giữa mặt bên với đáy làSMO.‘
Ví dụ 1
d
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằnga, cạnh bên bằng
2a. Tính thể tíchV của khối chóp đã cho.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S
B
D
C O A
Ví dụ 2
d Cho hình chóp tam giác đềuS.ABC có cạnh đáyavà mặt bên hợp với đáy một góc 60◦. Thể
tích của hình chópS.ABCbằng
A.
√3a3
12 . B. a3
6 . C. a3
3 . D.
√3a3
24 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 3
d Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng2avà mặt bên tạo với mặt đáy một góc45◦. Thể
tích của khối chóp đó bằng A. 8√
3a3
9 . B. 4√
3a3
4 . C. 8√
3a3
3 . D. a3
3 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 4
d Thể tích hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều làabằng
A.
√2a3
6 . B.
√2a3
2 . C. a3
6 . D.
√2a3
3 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 5
d Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó cạnh đáy bằng2a, cạnh bên bằng3a. Thể tích của khối
chóp đã cho bằng A. 4√
7a3. B. 4√ 7a3
9 . C. 4a3
3 . D. 4√
7a3 3 . Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 6
d Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó cạnh đáy bằnga, cạnh bên bằnga√
3. Thể tích của khối chópS.ABCDbằng
A.
√2a3
3 . B.
√11a3
6 . C. 2√
6a3
9 . D.
√10a3
6 . Lời giải.
. . . .