Giải Toán 10 Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu - Chân trời sáng tạo

(1)

Bài 4. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

A. Câu hỏi

Hoạt động khởi động trang 120 sgk Toán 10 tập 1:

Nhiệt độ không khí trung bình các tháng trong năm 2019 tại Lai Châu và Lâm Đồng (đơn vị: độ C)

Theo bạn, địa phương nào có thời tiết ôn hòa hơn?

Lời giải:

Lâm Đồng có thời tiết ôn hòa hơn do sự chênh lệch nhiệt độ giữa các tháng không lớn.

Hoạt động khám phá 1 trang 120 sgk Toán 10 tập 1:

Thời gian hoàn thành bài chạy 5 km (tính theo phút) của hai nhóm thanh niên được cho ở bảng sau:

(2)

a) Hãy tính độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong từng nhóm.

b) Nhóm nào có thành tích chạy đồng đều hơn?

Lời giải:

a) Thời gian chạy nhanh nhất của nhóm 1 là 17 phút, thời gian chạy chậm nhất của nhóm 1 là 47 phút.

Độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 1 là 47 − 17 = 30 phút.

Thời gian chạy nhanh nhất của nhóm 1 là 29 phút, thời gian chạy chậm nhất của nhóm 2 là 32 phút.

Độ chênh lệch giữa thời gian chạy của người nhanh nhất và người chậm nhất trong nhóm 2 là 32 − 29 = 3 phút.

b) Dựa vào mẫu số liệu trên, ta thấy nhóm 2 có thành tích chạy đồng đều hơn nhóm 1.

Thực hành 1 trang 121 sgk Toán 10 tập 1:

Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:

a) 10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7.

b) 15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15.

Lời giải:

a) Giá trị cao nhất trong mẫu là: 19.

Giá trị thấp nhất trong mẫu là: 2.

Khoảng biến thiên của mẫu là: 19 − 2 = 17.

(3)

Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm ta được:

2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19.

Cỡ mẫu bằng 9 nên tứ phân vị thứ hai là Q2 = 10.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 2; 2; 5; 7 là Q1 = 1

2(2 + 5) = 3,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 10; 13; 15; 19 là Q3 = 1

2(13 + 15) = 14.

Khoảng tứ phân vị của mẫu trên là: 14 − 3,5 = 10,5.

b) Giá trị cao nhất trong mẫu là: 19.

Giá trị thấp nhất trong mẫu là: 1.

Khoảng biến thiên của mẫu là: 19 − 1 = 18.

Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm ta được:

1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19.

Cỡ mẫu bằng 10 nên tứ phân vị thứ hai là Q2 = 1

2(9 + 10) = 9,5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 1; 2; 5; 5; 9 là Q1 = 5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 10; 10; 15; 15; 19 là Q3 = 15.

Khoảng tứ phân vị của mẫu trên là: 15 − 5 = 10.

Vận dụng 1 trang 121 sgk Toán 10 tập 1:

Dưới đây là bảng số liệu thống kê của Biểu đồ nhiệt độ trung bình các tháng trong năm 2019 của hai tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng (được đề cập đến ở hoạt động khởi động của bài học).

(4)

a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng.

b) Hãy cho biết trong một năm, nhiệt độ ở địa phương nào ít thay đổi hơn.

Lời giải:

a) +) Tỉnh Lai Châu:

Sắp xếp nhiệt độ trung bình các tháng trong năm 2019 của tỉnh Lai Châu ta được mẫu sau:

14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0; 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7.

Khi đó khoảng biến thiên nhiệt độ trung bình tháng của tỉnh Lai Châu là: 24,7 − 14,2

= 10,5.

Cỡ mẫu bằng 12 nên tứ phân vị thứ hai của mẫu là Q2 = 1

2(21 + 22,7) = 21,85.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0 là Q1 = 1 2 (18,6 + 18,8) = 18,7.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7 là Q3 = 1 2 (23,6 + 24,2) = 23,9.

Khoảng tứ phân vị nhiệt độ trung bình tháng của tỉnh Lai Châu là: 23,9 − 18,7 = 5,2.

(5)

+) Tỉnh Lâm Đồng:

Sắp xếp nhiệt độ trung bình các tháng trong năm 2019 của tỉnh Lâm Đồng ta được mẫu sau:

16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6; 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3.

Khi đó khoảng biến thiên nhiệt độ trung bình tháng của tỉnh Lâm Đồng là: 20,3 − 16

= 4,3.

Cỡ mẫu bằng 12 nên tứ phân vị thứ hai của mẫu là Q2 = 1

2(18,6 + 18,7) = 18,65.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6 là Q1 = 1 2 (17,4 + 17,5) = 17,45.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3 là Q3 = 1 2 (19,5 + 19,8) = 19,65.

Khoảng tứ phân vị nhiệt độ trung bình tháng của tỉnh Lâm Đồng là: 19,65 − 17,45 = 2,2.

b) Ta thấy khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu lớn hơn tỉnh Lâm Đồng nên nhiệt độ tỉnh Lâm Đồng ổn định hơn.

Thực hành 2 trang 122 sgk Toán 10 tập 1:

Hãy tìm giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu: 37; 12; 3; 9; 10; 9; 12; 3; 10.

Lời giải:

Sắp xếp mẫu trên theo thứ tự không giảm ta được mẫu:

3; 3; 9; 9; 10; 10; 12; 12; 37.

(6)

Cỡ mẫu bằng 9 nên tứ phân vị thứ hai là Q2 = 10,

2(3 + 9) = 6.

2(12 +12) = 12.

Khi đó _Q = Q3 − Q1 = 12 − 6 = 6.

Ta có Q3 + 1,5_Q = 12 + 1,5 . 6 = 21, Q1 − 1,5_Q = 6 − 6 = −3.

Do đó giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên là 37.

Hoạt động khám phá 2 trang 122 sgk Toán 10 tập 1:

Hai cung thủ A và B đã ghi lại kết quả từng lần bắn của mình ở bảng sau:

a) Tính kết quả trung bình của mỗi cung thủ trên.

b) Cung thủ nào có kết quả các lần bắn ổn định hơn?

Lời giải:

a) Kết quả trung bình của cung thủ A là:

1

10(8 + 9 + 10 + 7 + 6 + 10 + 6 + 7 + 9 + 8) = 8.

Kết quả trung bình của cung thủ B là:

1

10(10 + 6 + 8 + 7 + 9 + 9 + 8 + 7 + 8 + 8) = 8.

(7)

b) Dựa vào mẫu số liệu, ta thấy kết quả giữa các lần bắn liên tiếp của cung thủ B có sự chênh lệch nhỏ hơn cung thủ A nên cung thủ B có kết quả các lần bắn ổn định hơn.

Vận dụng 2 trang 124 sgk Toán 10 tập 1:

Bảng dưới đây thống kê tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng được đo bởi hai trạm quan sát khí tượng đặt ở Tuyên Quang và Cà Mau.

a) Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của dữ liệu từng tỉnh.

b) Nêu nhận xét về sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng ở mỗi tỉnh.

Lời giải:

a) +) Tỉnh Tuyên Quang:

Số trung bình tổng số giờ nắng trong năm 2019 của tỉnh Tuyên Quang là:

1

12(25 + 89 + 72 + 117 + 106 + 177 + 156 + 203 + 227 + 146 + 117 + 145)

≈ 131,66.

Phương sai của mẫu số liệu tổng số giờ nắng trong năm 2019 của tỉnh Tuyên Quang là:

(8)

S² = 1

12(25² + 89² + 72² + 117² + 106² + 177² + 156² + 203² + 227² + 146² + 117² + 145²) −131,66² ≈ 2 922,98.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu tổng số giờ nắng trong năm 2019 của tỉnh Tuyên Quang là:

S = S² = 2 922,98 ≈ 54.

+) Tỉnh Cà Mau:

Số trung bình tổng số giờ nắng trong năm 2019 của tỉnh Cà Mau là:

1

12(180 + 223 + 257 + 245 + 191 + 111 + 141 + 134 + 130 + 122 + 157 + 173) = 172.

Phương sai của mẫu số liệu tổng số giờ nắng trong năm 2019 của tỉnh Cà Mau là:

S² = 1

12(180² + 223² + 257² + 245² + 191² + 111² + 141² + 134² + 130² + 122² + 157² + 173²) − 172² = 2 183.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu tổng số giờ nắng trong năm 2019 của tỉnh Tuyên Quang là:

S = S² = 2 183 ≈ 46,72.

b) Ta thấy 46,72 < 54 nên Cà Mau có sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng nhỏ hơn Tuyên Quang.

B. Bài tập

Bài 1 trang 124 sgk Toán 10 tập 1:

(9)

Hãy chọn ngẫu nhiên trong lớp ra 5 bạn nam và 5 bạn nữ rồi đo chiều cao các bạn đó. So sánh xem chiều cao của các bạn nam hay các bạn nữ đồng đều hơn.

Lời giải:

Học sinh tự thực hiện việc đo, sau đó tính phương sai, độ lệch chuẩn của chiều cao các bạn nam và các bạn nữ, sau đó so sánh để thu được kết quả.

Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và các giá trị ngoại lệ của các mẫu số liệu sau:

a) 6; 8; 3; 4; 5; 6; 7; 2; 4.

b) 13; 37; 64; 12; 26; 43; 29; 23.

Lời giải:

a) Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta được mẫu:

2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 8.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: 8 − 2 = 6.

Cỡ mẫu bằng 9 nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q2 = 5.

Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 2; 3; 4; 4 là Q1 = 1

2(3 + 4) = 3,5.

Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 6; 6; 7; 8 là Q3 = 1

2(6 + 7) = 6,5.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: _Q = 6,5 − 3,5 = 3.

Ta có Q3 + 1,5_Q = 6,5 + 1,5 . 3 = 11; Q1 − 1,5_Q = 3,5 − 1,5 . 3 = −1.

(10)

Do đó mẫu trên không có giá trị ngoại lệ.

b) Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta được mẫu:

12; 13; 23; 26; 29; 37; 43; 64.

Cỡ mẫu bằng 8 nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q2 = 1

2(26 + 29) = 27,5.

Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 12; 13; 23; 26 là Q1 = 1

2(13 + 23) = 18.

Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 29; 37; 43; 64 là Q3 = 1

2(37 + 43) = 40.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: _Q = 40 − 18 = 22.

Ta có Q3 + 1,5_Q = 40 + 1,5 . 22 = 73; Q1 − 1,5_Q = 18 − 1,5 . 22 = −15.

Do đó mẫu trên không có giá trị ngoại lệ.

Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:

a)

b)

(11)

Lời giải:

a) Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

( )

^{2 .10}

( )

^{1 .20 1.20} ^2.10

10 20 30 20 10

− + − + +

+ + + + = 0

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

1

90[10 . (−2)² + 20 . (−1)² + 20 . 1² + 10 . 2²] = 4 3. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

4 2

3 = 3.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: 2 − (−2) = 4.

Cỡ mẫu bằng 90 nên tứ phân vị thứ hai bằng trung bình cộng của số liệu thứ 45 và 46 của mẫu số liệu là Q2 =1

2(0 + 0) = 0.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu −2; −1; 0 với cỡ mẫu 45 nên tứ phân vị thứ nhất là số liệu thứ 23 trong mẫu số liệu là Q1 = −1.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 0; 1; 2 với cỡ mẫu 45 nên tứ phân vị thứ ba là số liệu thứ 78 trong mẫu số liệu là Q3 = 1.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: 1 − (−1) = 3.

(12)

b) Gọi cỡ mẫu là 10.

Khi đó giá trị 0 xuất hiện 0,1 . 10 = 1 lần, giá trị 1 xuất hiện 0,2 . 10 = 2 lần, giá trị 2 xuất hiện 0,4 . 10 = 4 lần, giá trị 3 xuất hiện 0,2 . 10 = 2 lần, giá trị 4 xuất hiện 0,1 . 10 = 1 lần.

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

1.2 2.4 3.2 4.1 10

+ + +

= 2.

1

10(2 . 1² + 4 . 2² + 2 . 3² + 1 . 4²) − 2² = 1,2.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

1, 2 30

= 5 .

Cỡ mẫu bằng 10 nên tứ phân vị thứ hai bằng trung bình cộng của số liệu thứ 5 và thứ 6 trong mẫu số liệu là Q2 = 1

2(2 + 2) = 2.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 0; 1; 2 với cỡ mẫu bằng 5 là số liệu thứ 3 trong mẫu số liệu là Q1 = 1.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 2; 3; 4 với cỡ mẫu bằng 5 là số liệu thứ 8 trong mẫu số liệu là Q3 = 3.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 3 − 1 = 2.

(13)

Hãy so sánh số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của ba mẫu số liệu sau:

Mẫu 1: 0,1; 0,3; 0,5; 0,5; 0,3; 0,7.

Mẫu 2: 1,1; 1,3; 1,5; 1,5; 1,3; 1,7.

Mẫu 3: 1; 3; 5; 5; 3; 7.

Lời giải:

+) Mẫu 1:

Số trung bình của mẫu số liệu 1 là: 1

6 (0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,5 + 0,3 + 0,7) = 0,4.

Phương sai của mẫu số liệu 1 là: 1

6 (0,1² + 0,3² + 0,5² + 0,5² + 0,3² + 0,7²) − 0,4² = 11

300.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu 1 là: 11 33 300 = 30 . +) Mẫu 2:

6 (1,1 + 1,3 + 1,5 + 1,5 + 1,3 + 1,7) = 1,4.

6 (1,1² + 1,3² + 1,5² + 1,5² + 1,3² + 1,7²) − 1,4² = 11

300.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu 2 là: 11 33 300 = 30 .

(14)

+) Mẫu 3:

6 (1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 7) = 4.

6(1² + 3² + 5² + 5² + 3² + 7²) − 4² = 11 3 . Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu 3 là: 11 33

3 = 3 .

Số trung bình của mẫu 1 nhỏ hơn mẫu 2 và số trung bình của mẫu 2 nhỏ hơn mẫu 3.

Phương sai của mẫu số 1 bằng mẫu số 2 và bằng 1

100 phương sai của mẫu số 3.

Độ lệch chuẩn của mẫu số 1 bằng mẫu số 2 và bằng 1

10 độ lệch chuẩn của mẫu số 3.

Sản lượng lúa các năm từ 2014 đến 2018 của hai tỉnh Thái Bình và Hậu Giang được cho ở bảng sau (đơn vị: nghìn tấn).

a) Hãy tính độ lệch chuẩn và khoảng biến thiên của sản lượng lúa từng tỉnh.

b) Tỉnh nào có sản lượng lúa ổn định hơn? Tại sao?

(15)

Lời giải:

a) +) Tỉnh Thái Bình:

Số trung bình về sản lượng lúa của tỉnh Thái Bình là:

1

5(1 061,9 + 1 061,9 + 1 053,6 + 942,6 + 1 030,4) = 1 030,08.

Phương sai của mẫu số liệu về sản lượng lúa của tỉnh Thái Bình là:

1

5(1 061,9² + 1 061,9² + 1 053,6² + 942,6² + 1 030,4²) − 1 030,08² ≈ 2 046,21.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về sản lượng lúa của tỉnh Thái Bình là:

2 046, 21 ≈ 45,24.

Khoảng biến thiên sản lượng lúa của tỉnh Thái Bình là: 1 061,9 − 942,6 = 119,3.

+) Tỉnh Hậu Giang:

Số trung bình về sản lượng lúa của tỉnh Hậu Giang là:

1

5(1 204,6 + 1 293,1 + 1 231,0 + 1 261,0 + 1 246,1) = 1 247,16.

Phương sai của mẫu số liệu về sản lượng lúa của tỉnh Hậu Giang là:

1

5(1 204,6² + 1 293,1² + 1 231,0² + 1 261,0² + 1 246,1²) − 1 247,16² ≈ 875,13.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về sản lượng lúa của tỉnh Hậu Giang là:

875,13 ≈ 29,58.

Khoảng biến thiên sản lượng lúa của tỉnh Hậu Giang là: 1 293,1 − 1 204,6 = 88,5.

(16)

b) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về sản lượng lúa của tỉnh Hậu Giang nhỏ hơn tỉnh Thái Bình nên tỉnh Hậu Giang có sản lượng lúa ổn định hơn.

Kết quả điều tra mức lương hàng tháng của một số công nhân của hai nhà máy A và B được cho ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

a) Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu lấy từ nhà máy A và nhà máy B.

b) Hãy tìm các giá trị ngoại lệ trong mỗi mẫu số liệu trên. Công nhân nhà máy nào có mức lương cao hơn? Tại sao?

Lời giải:

a) +) Nhà máy A:

Mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy A sau khi được sắp xếp theo thứ tự không giảm tạo thành mẫu:

4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 47.

Số trung bình mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy A là:

1

8(4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 47) = 10.

Giá trị 4 và 5 cùng xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu nên mốt của mẫu số liệu là 4 và 5.

(17)

Cỡ mẫu bằng 8 nên tứ phân vị thứ hai là Q2 = 1

2(5 + 5) = 5.

2(4 + 4) = 4.

2(5 + 6) = 5,5.

1

8(4² + 4² + 4² + 5² + 5² + 5² + 6² + 47²) − 10² = 196.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: 196 = 14.

+) Nhà máy B:

Mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy B sau khi được sắp xếp theo thứ tự không giảm tạo thành mẫu:

2; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 11.

Số trung bình mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy B là:

1

9(2 + 8 + 9 . 5 + 10 + 11) ≈ 8,4.

Giá trị 9 xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu nên mốt của mẫu số liệu là 9.

Cỡ mẫu bằng 9 nên tứ phân vị thứ hai là Q2 = 9.

2(8 + 9) = 8,5.

2(9 + 10) = 9,5.

(18)

1

9(2² + 8² + 5 . 9² + 10² + 11²) − 8,4² ≈ 6,55.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: 6,55 ≈ 2,56.

b) Tại nhà máy A ta có Q3 + 1,5_Q = 5,5 + 1,5 . (5,5 − 4) = 7,75; Q1 − 1,5_Q = 4 − 1,5 . (5,5 − 4) = 1,75.

Do đó giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy A là 47.

Tại nhà máy B ta có Q3 + 1,5_Q = 9,5 + 1,5 . (9,5 − 8,5) = 11; Q1 − 1,5_Q = 8,5 − 1,5 . (9,5 − 8,5) = 7.

Do đó giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu mức lương hàng tháng của công nhân nhà máy B là 2.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mức lương hàng thàng của công nhân nhà máy B nhỏ hơn nhà máy A nên công nhân nhà máy B có mức lương cao hơn.