Một số bài toán Bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10 năm 2021

MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10

Bài 1. Với x là số thực không âm. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:



¹



¹ _{3 3}¹ ₁

P x

x x

 

    

 

  .

Hướng dẫn:

Ta có:

 

1 1 1 1 1 1

1 . 3 1 2 1 3 1

3 1

x x

x x x x

x

 

   

     

   

     , 1 2 1 1 2

3 1 2 3 1 2 2 3 1

x x x

x x x

 

    

     suy ra

1 1 1 1 1 1 2 1 1 3

2 1 3 1 2 2 3 1 2 1 2

3 1

x x x

x x x x

x

       

         

   

       (*).

Tương tự: 1 1 2 1 1 2 1 1 1

. , .

2 3 2 2 3 3 1 3 2 1 3

3

x x x x x

x x x x x x x

x

 

   

         

      

    

Suy ra: 1 1 1 2 1 1 1 3

2 2 3 2 1 3 2 1 2

3

x x x x

x x x x

x

       

             

       (**). Từ (*),(**) ta suy ra:



¹



¹ _{3 3}¹ ₁ ¹₂ ¹₁ ³₂ ¹₂ ^x₁ ³₂ ²

P x

x x

x x

     

              

. Dấu đẳng thức xảy ra tại 1

x .

Bài 2. Cho các số thực dương x y, thỏa mãn: x²y² 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1

x y

P xy

 

 . Hướng dẫn:

Ta có

 

 

   

 

2 2 2 2

2

2 2

2 2 2 2

x y x y

x y P

x y xy x y xy

 

  

   

. Ta chứng minh: ² 8 P 9 hay



^{2 2}



^{2 2}

 

^{2 2}



²



^{2 2}



²



^{2 2}



^{2 2}

9 x 2xyy x y 8 x xyy  x y 2xy x y 8x y 



^x2y2



^{22xy x}



^y



^{2 0} .Bất đẳng thức này luôn đúng, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

x y 2 . Vậy GTNN của P là 2 2

3 tại ¹

x y 2 .

Bài 3. Với x y, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x y3,xy5. Tìm GTLN của biểu thức: ^{P x2}



^x1



^y2



^y1



^.

Hướng dẫn:

Ta sẽ chứng minh: x²x³y²y³ 2²2³3²3³ hay

2 2 3 3 2 2 3 3

3 y 3 y 2 x 2 x 0 hay



^{y2 3y 9 3}

 

^y

 

^{x2 2x 4 2}

 

^x

 

^{3 y}



^{3 y}

 

^{2 x}



^{2 x}



⁰

               . Sử dụng công

thức khai triển Abel : a b1 1a b2 2 



a1a b2



1a b2



1b2



Ta viết lại vế trái bất đẳng thức cần chứng minh thành:



^{2 3 2 2 5 3}

   

^{2 2 4 5}

   

¹



³

 

²



⁵



VT  y  yx  x y  x  x  x y  yx y  x  x y hay



^{2 2 3 2 5 3}

   

^{2 2 4 5}

   

¹



³

 

²



⁵



VT  y x  y x y  x  x  x y  yx y  x  x y

Chú ý rằng với điều kiện: 0x y3,xy5 thì VT 0 nên bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x2,y3 .

Bài 3. Cho các số thực x3,y 3 thỏa mãn ^xy2



^{x 3 y3}



. Chứng minh rằng:



^{2 2}



4 x y 15xy830. Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có

2 4

2( 3 3) ( ) 4( ) 8 3. 3 4( )

0 x y

x y x y x y x y x y x y

x y

 

                 

Mặt khác xy2( x 3 y3)2 2(xy)  xy 8 4x y8 Xét biểu thức P4(x²y²) 15 xy4(xy)²7xy. Từ điều kiện xác định ta có



^x3



^y3



^{0xy 3}



^{x y}



^9 . Dẫn đến

 

²

 

2 2 2

4( ) 15 4( ) 7 4 21 63

P x y  xy xy  xy xy  xy  .

Ta có: ⁴



xy



²²¹



xy



⁶³⁴



x y ⁴



²¹¹



xy



125 11.4 125   83 Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x y4 và



^x3



^y3



^0  x 7,y 3 . Vậy GTNN của P là -83 tại x7,y 3.

Bài 4 . Cho các số thực x y, thỏa mãn:



^{x 3x2}



^{y 3y2}



^9.Tìm GTNN của

2 2

Px xyy .

Hướng dẫn:

Giả sử



^{x y;}



là các số thực thỏa mãn



^{x 3x2}



^{y 3y2}



^9.

Ta có x²  3 x x² x x x0, tương tự y² 3 y0 Đặt: ax x²3 với a0 x²3ax

2

2 2 2 3

3 2

2

x a ax x x a

a

        . Tương

tự với by y²3 ta sẽ thu được

2 3

2 y b

b

  . Ta có

 

²

 

²

 

²

2 2 3 1 3

4 4 4

x xyy  xy  xy  x y

Nên ³

 

²

P4 xy . Xét Q x y ta có:

2 2

3 3

2 2

a b

Q a b

 

  với điều kiện a b, 0,ab9. Ta có:

2 2

3 3 3 3 3 3

2 . 2 3

2 2 2 2 2 2 3 3

a b a b a a

Q P

a b a b a a

 

            .

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a 3 x y1.

Bài 5: Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn: abc1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

3 3 3

1 1 1

a b c

P bc  ca  ab

   .

Hướng dẫn:

Ta có

 

3 2 2

1 1 1

a a a

bc a bc a

 

  

. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có:

 

²

1 1 1

a b c

P a b c

  

     . Ta chứng minh:

 

² 3 2

1 1 1 2

a b c

a b c

  

     hay

 

²

 

2 a b c 3 2 1a 1b 1c . Chú ý rằng:

 

2 2 1a 2 2 1a 2 1 aa3 dẫn đến

   

3 2 1a 1 b 1c 3 a  b c 9 . Cuối cùng ta chỉ cần chỉ ra

 

²

     

4 a b c 3 a b c 27 a  b c 3 4 a b c 90 nhưng điều này luôn đúng do a b c  3³abc 3 . Vậy GTNN của P là 3 3

2 tại abc1.

Bài 6. Cho 3 số thực không âm x y z, , . Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2

3 3 3

8 8

3 3 3

x y z

x y z

x y z

     

  

. Hướng dẫn:

Ta có ³



^{x2 y2z2}



^{ x yz .}

Nên

 

2 2 2

3

3 3 3 8

x y z

VT x y z

x y z

     

  

. Ta chứng minh:

 

2 2 2

3 3

8 8

3 3 3

x y z

x y z

x y z

     

  

. Mặt khác ta chứng minh được:

2

3 1

3 8

x x

x

 



(*) thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

    

²

 

2 2 2 4 3 2 2

64x 9x 6x 1 x 3 3x 2x 12x 6x 1 0 x 1 3x 8x 1 0

                , bất

đẳng thức cuối cùng đúng vậy (*) được chứng minh.

Tương tự ta cũng có:

2

3 1 3 8

y y

y

 



, 2

3 1

3 8

z z

z

 



. Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều ta có đpcm.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x yz1 .

Bài 7. Cho các số thực a b c, , không đồng thời bằng 0 và a b c  0. Biết

 

2 2 2

2

a b c  ab bc ca  . Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của a Pa b c

  . Hướng dẫn:

Từ ^{a2b2c22}



^{ab bc ca }



chia 2 vế cho



^{a b c }



² ta thu được:

     

2 2 2

2 2 2

a b c 2 ab bc ca

a b c a b c a b c a b c a b c a b c

 

     

      

             

             

đặt

, ,

a b c

x y z

a b c a b c a b c

  

      suy ra

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

1

1 1

2 2 2

x y z y z x

x y z

x y z xy yz zx x y z y z x

     

 

  

  

 

  

          

  

 

Vì



^{2 2}

  

^{2 1 2}

 

^{2 2}

   

2 2 1 3 2 0 3 2 0 3 3 2 0

y z y z 2 x  x x x x x x x

                

 

Suy ra 3 0 2

3 2 0 0 3

x x

x

 

  

  



suy ra 2

0P3.

Bài 8: Cho các số thực x y z, , thỏa mãn: x²y²z² 8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

3 3 3 3 3 3

P x y  y z  z x . Hướng dẫn:

Ta có P0 dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi _{2 2 2} ^{2 6} 8 3

x y z

x y z

x y z

 

     

   



. Do vai trò x y z, , như nhau nên ta có thể giả sử x yz thế thì ^P2



^x3z3



^{ta có}

   

2 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 4.

3

x xz z x xz z x xz z

P x xz z x xz z x xz z          

         

 

 

³

2 2 2

4

P x z

   mà



^x2z2

 

^{3  x2y2z2}



^{3 83 nên P32 2}. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2 2,yz0 hoặc x y0,z 2 2 .

Bài 9. Cho các số thực dương a b c, , . Chứng minh:

 

²

 

²

 

²

2 2 2

1

5 5 5

a b c

a b c b c a c a b

  

     

.

Hướng dẫn:

Đặt:

 

²

 

²

 

²

2 2 2

5 5 5

a b c

P

a b c b c a c a b

  

     

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

Ta có

     

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

3

5 5 5

a b c

P

a b c b c a c a b

 

    

       

 

Ta chứng minh:

     

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1

5 5 5 3

a b c

Q

a b c b c a c a b

   

      .

Chú ý rằng:

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

5 2 2 2

a a

a b bc c a b c a bc a bc

         .

Ta cũng có:

     

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

5 2 2 2 9 2 2

a a a

a b bc c a b c a bc a bc a b c a bc a bc

 

     

              

Từ đó suy ra

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

9 9 2 2 2 9 9

a b c a b c

Q S

a b c a b c a b c a bc b ca c ab

   

         

        

   

.

Ta có:

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1

1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

a b c bc ca ab

S a bc b ca c ab a bc b ca c ab

     

            

           

hay ^{3 1}

2 2

S   T với _{2 2 2}

2 2 2

bc ca ab

T  a bc b ca c ab

  

Ta viết lại

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

b c c a a b

T  a bc b c  b ca c a  c ab a b

   . Tiếp tục sử dụng BĐT Cauchy-

Schwarz ta có:

 

 

 

 

2 2

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

2 2 2 2

ab bc ca ab bc ca

b c c a a b

T a bc b c b ca c a c ab a b abc a b c a b b c c a ab bc ca

   

     

         

Vậy S1 dẫn đến ¹

Q3 nên P1 đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra tại abc.

Bài 10. Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn: a²b²c² 3. Tìm giá trị lớn nhất của

2 2 2

4 4 4

ab bc ca

P a  b  c

   .

Hướng dẫn:

Ta chứng minh: ^P1 hay _{2 2 2 2 2 2} 1

1 1 1

ab bc ca

b c  c a  a b 

      .

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:



^{a b c }



^{2 }



^{a2 1 1 1}



^b2c2



, tương tự ta có 2 bất đẳng thức nữa và suy ra

 

 

3 3 3

2

2 2 2 2 2 2

2

1 1 1

a b b c c a ab bc ca

ab bc ca

b c c a a b a b c

    

  

        . Cuối cùng ta sẽ chứng

minh:



^{a b c} 



² a b b c c a³  ³  ³ ²



ab bc ca 



a²b²c² a b b c³  ³ c a³

Hay chứng minh:



^a2^b2^c2



² ³



a b b c c a³  ³  ³



( Đây là một bất đẳng thức nổi tiếng ).

Sử dụng đánh giá:



^xyz



^{2 3}



^xyyzzx



^với

2 2 2

, ,

xa bc ab y b ca bc z c ab ca ta có:



^{a2 b2c2}



^{2 3}_



^{a2bc ab b}



^{2ca bc}

 

^{ b2ca bc c}



^{2ab ca}

 

^{ c2ab ca}



^{a2bc ab}



^_

Khai triển và thu gọn vế phải ta được:



^a2^b2^c2



² ³



a b b c c a³  ³  ³



đpcm.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc1.

Bài 11. Cho các số thực không âm a b c, , thỏa mãn: a²b²c² 3 . Tìm GTLN,GTNN của

1 1 1

4 4 4

P ab  bc  ca

   .

Hướng dẫn:

Ta có ^{1 1 1 1 1 1 3}

4 4 4 4

4 4 4

P

ab bc ca

      

   dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi



^{a b c, ,}



là hoán vị của bộ số



0; 0; 3 .



Chú ý rằng:

  

     

2 2

2 2 4

1 1 1

4 4 4 2 4 2

ab ab

ab ab

ab ab ab ab ab ab

 

 

     

     

Do ab bc ca  a²b²c²  3 ab bc ca, , 3 dẫn đến 4ab0 . Sử dụng bất đẳng thức

AM-GM ta có:

  

2

4 2

4 2 9

2

ab ab

ab ab     

    

 

nên

  

4 4

4 2 9

ab ab

ab ab

 



 

dẫn đến ² 1 ^{4 5 1 5}

9 9 9 18 18

4 4

ab ab ab

ab ab

       

  tương

tự ta cũng có 2 bất đẳng thức nữa và cộng lại thì thu được: 15 15 3

18 18 18 18 1

ab bc ca

P  

     .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 .

Bài 12. Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn: x y z, , 0;z1 và x  y z 3. Tìm GTLN,GTNN của Px²y²2z²2xyz .

Hướng dẫn:

GTLN.

Từ z  1 x y  3 z 2 . Ta có:

     

2 2 2 2 2 2 2 2 1 0

z  xyz xy yz zx z z x y  xy z  nên suy ra

   

²

2 2 2 2 2 2

2 2 2 9

Px y  z  xyzx y z  xyyzzx  xyz  . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x3;y z 0 hoặc y3,x z 0 .

GTNN.

Ta có:

         

     

2 2

2 2 2 2 2 2 3

2 2 1 3 2 1 3 2 1

2 2

x y z

P x y z xy z z z z  z z z 

              

Hay ¹



^{2 3}



^{9 9}

2 2 2

P z z  z   . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3

0, 2

z x y .

Bài 13. Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn: ab a b  3. Tìm giá trị lớn nhất của P



^{2 2}



3 3

1 1

a b ab

P a b

b a a b

    

   .

Giải:

Đặt t a b suy ra t0, ta có ab t  3 ab 3 t nên t3( do a b, 0).

Mặt khác ta có:



^ab



^{2 4ab suy ra t2 4 3}



^t



^{t24t120}



^t2



^t6



^{  0 t 2}

vậy 2 t 3

Đưa P về ^{f t}

 

^{. Ta có:}

   

        

 

2

2 2

3 1 3 1 3 3 6

2 2

1 1 1

a a b b ab a b a b ab ab

P a b ab a b ab

a b a b ab a b a b

      

         

      

Thay tab ab,  3 t ta có:

   

 

2

2 2

3 3 6 3 3 1 1 1 3

4 2 3 4 4 2

t t t t

P f t t t t t

t t

   

           .

Ta chứng minh:

   

^{2 122 12 1 3 3}

4 4 2 2 2

f t  f      

Tức là chứng minh:

   

2 2 3 2 2

1 1 1 3 3 12

2 6 4 12 0 2 6 0

4t 4t 2 2 t t t t t t t t

t t

                    

Bất này luôn đúng do t2. Vậy P max bằng ³

2 tại ab1.

Bài 14. Cho các số thực a b c, , thỏa mãn: a²b²c² 1. Tìm GTLN,GTNN của P   a b c ab bc ca  .

Hướng dẫn:

Ta chứng minh được: ³



^a2b2c2



^



^{a b c}



^{2a b  c 3}



^a2b2c2



^{ 3.}

Ta chứng minh: ab bc caa²b²c² 1. Suy ra P 3 1 . Tại ¹

3

abc thì P 3 1 nên GTLN của P là 3 1 . Cách khác:

 

²



^{2 2 2}

  

^{2 1}

2 2

a b c a b c a b c

P a b c      a b c   

        suy ra 2Pt²2t1. Với ta b c.

Ta có



^{a b c}



^{2 3}



^{a2b2 c2}



^{  3 3 t 3.}

Suy ra ^2P



^t1



^{2   2 2 P 1}, dấu = xảy ra khi và chỉ khi t  1…..

 

²

2P 3 1   2 2 2 3P 3 1 …..

Bài 15: Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn a b  c 1. Tìm GTLN,GTNN của

1 1 1

1 1 1

P ab bc ca

   .

Hướng dẫn:

Trước hết ta chứng minh: 27 P 8 .

Từ giả thiết a b  c 1 ta suy ra 1

abc27.Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

        

   

1 1 1 1 1 1 27

1 1 1 8

ab bc bc ca ca ab

ab bc ca

       

    hay

   

   

^{2 2 2}

3 2 27

1 8

ab bc ca abc a b c ab bc ca abc a b c a b c

     

       

   

^{2 2 2}

8 3 2 ab bc ca abc 27 1 ab bc ca abc a b c 

              Hay

 

^{2 2 2 2 2 2}

 

3 11 ab bc ca  19abc27a b c 04 3 19  abc27a b c 11.4 ab bc ca  Từ bất đẳng thức quen thuộc



a b c b c a c 



 



 a b



abc suy ra



^{1 2 a}



^{1 2 b}



^{1 2 c}



^{abc 11.4}



^{ab bc ca }



^{11 1 9}



^{ abc}



^.

Ta cần chứng minh ^{4 3 19}_ ^{ abc27a b c2 2 2}_^{11 1 9}



^{ abc}



^.

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với



^{1 27 abc}



^{1 4 abc}



^0. Bất đẳng thức cuối cùng đúng do 1

abc 27.Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1

ab c 3.

Tiếp theo ta chứng minh: P3.

Ta có 1ab,1bc,1ca1 nên P3, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi



^{a b c; ;}



là hoán vị của bộ số



^{0; 0;1 .}



Bài 16. Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn a b  c 1. Tìm GTLN,GTNN của

2 2 2

3

P a abc b abc c abc abc. Hướng dẫn:

Ta có ^{a2abca2}



^{a b c }



^{abca a b}



^



^{a c}



^.

Do đó ta được 2

     

1



2 2

a a b a c a a

a abc a a b a c    

     

Chứng minh tương tự ta được : 2



1



2



1



2 ; 2

b b c c

b abc  c abc 

   

Do đó ta được: 2 2 2



1

 

1

 

1



2 2 2

a a b b c c

a abc b abc c abc   

       

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có



¹



1 1

2 2 2 2

a a a b c a b c

abc a a a

         

      

   

Chứng minh tương tự ta được:



¹

 

¹



2 ; 2

b b c c

abc b abc c

 

   

Như vậy ta có: P a²abc b²abc c²abc3 abc  a b c

Mà ta có ^{a b c  3}



^{a b c}



^{ 3}. Nên ta suy ra P 3.Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ

khi 1

ab c 3.

Dễ thấy P a²  b²  c² a b c  1 dấu đẳng thức xảy ra khi



^{a b c, ,}



là hoán vị của bộ số



^{1;0; 0}



Bài 17. Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn: ab bc ca3. Tìm GTNN của biểu thức



^{3 5}



^{5 3 5}



^{7 5 5}



P a  a b b  c c  . Hướng dẫn:

Nhận xét: Với mọi số thực dương x thì x1,x²1;x³1,x⁵1 luôn cùng bằng 0 hoặc cùng dấu.

Ta có:



^a1

 

^a21



^



^a1

 

^{2 a1}



^{0a3a2  a 1 0a3  a 5 a24 .}



^b21



^b31



^



^b1

 

^{2 b1}

 

^{b2 b 1}



^{0b5b3 5 b24} , tương tự ta có



^c21



^c51



^{ 0 c7c5 5 c24}

Dẫn đến ^P



^{a3 a 5}



^b5b35



^c7c55

 

^{ a24}



^b24



^c24



^.

Trước hết ta chứng minh:



^a24



^b24



^c24



^5



^{a b c  2}



^2(*)

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có:

     

2 2

2 2 2 2

2 .2 4 1

2 4

b c b c

a b c a      a    

           

 

   

Ta quy bài toán về chứng minh:

       

2

2 2 2 2 2

5 4 1 4 4 4

4

a b c a b c

   

      

 

 

Hay

 

²



²



²



^{2 2}

  

^{2 2 2 2}



5 4  b c 2 4 b 4 c 4 40 5 b 5c 10bc20 bc 4 b c 4b 4c 16

 

Hay

   

²

 

²

 

²

 

²

2 2 2 2

4b c 10bc11b 11c 20 b c 240 2bc2  b c 10 b1 10 c1 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng (*) được chứng minh.

Bây giờ ta có:



^{a b c }



^{2 3}



^{ab bc ca }



^{    9 a b c 3 dẫn đến 5}



^{a b c  2}



^2125

vậy P125 dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc1 . Vậy GTNN của P là 125 tại abc1.

Bài 18.Với x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn: ⁵



^x2y2z2



^6



^xyyzzx



Chứng minh: ^{2 2}



^xyz



^2



^y2z2



^3.

Hướng dẫn:

Sử dụng bất đẳng thức:



^{A B}



^{2 2}



^A2B2



^{ta có:}

 

²

       

²

2 5 2 2 2 6

5 5 5 6 6 6

2 4

x  yz  x  y z  x yz  yz x yz  yz

Suy ra ^{5x26x y}



^z

 

^{ yz}



^{2 0}_^5x



^yz



^{ }_{ }^x



^yz



^_^0

 

5 2 y z

x y z x y z y z

          .

Suy ra ^{2 2}



^xyz



^2



^y2z2



^{2 4}



^yz

 

^{ yz}



^{2 đặt yz  t 0}. Ta chứng minh:

 

²

 

4 4 2

4tt  3 t 4t 3 0 t1 t 2t3 0 bất đẳng thức này luôn đúng. Dấu ‘=’ xảy

ra khi và chỉ khi 1

1, 2

1 x y z

y z x y z

y z

 



     



  



.

Bài 19. Cho các số thực dương x y z, , sao cho xyyzzx1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

2 2 2

2 x y z

P x y z

y z x

 

      

 

. Hướng dẫn:

Ta có

 

2 2 2 2 2 2

x y z x y z

xy yz zx

y z x y z x

 

       

 

3 3 3 3 3 3

2 2 2 3 3 3

1 2

x z y x y x z y z y x z

x z y x z y x y z

y z z x x y

     

              

     

 

.

Mặt khác ta có:

3 3 3 3 3 3

2 2 2

2 2 2

x z y x y x z y z y x z

x y y z z x

y z z x x y

     

       

     

     

.

Suy ra: ^{x2 y2 z2 x y2 y z2 z x2 x z2 y x2 z y2 x3 y3 z3}



^{x y z}

 

^{x2 y2 z2}



y  z  x               .

Hay

   

2 2 2

2 2

x y z

x y z x y z

y z x

 

       

 . Dẫn đến:

 

²

   

^{2 2}

P x yz  xyz  xyz  

 . Đặt txyz ta có P  t³ t²2t do



^xyz



^{2 3}



^xyyzzx



^{  3 t 3.}

Ta chứng minh:

   

3 2 3 2 2

2 3 3 2 3 3 0 3 3 1 1 3 0

t t t t t t t t t 

                 

  . Bất đẳng

thức cuối cùng luôn đúng do t 3. Vậy GTLN của P là 3 3 tại x yz1.

Bài 20. Cho các số thực không âm x y z, , thỏa mãn điều kiện: x  y z 1. Tìm GTLN,GTNN của

 

¹

 

¹

 

¹

P xy z yz x zx y. Hướng dẫn:

Sử dụng bất đẳng thức



^AxByCz



^{2 }



^A2B2C2



^x2y2z2



Ta có: ^{P2 }_



^xy



^1z



^yz



^1x



^zx



^1y_²



^{x y y z z x}

 

^{x y}



^{1 z}

 

^{y z}



^{1 x}

 

^{z x}



^{1 y}



^{4 1}



^{xy yz zx}



                  

Lại có ³

   

^{2 1 1}

xyyzzx  xyz   xyyzzx3 suy ra ⁴ 3

P3 dấu đẳng thức xảy ra

tại ¹

x yz3.

Ta cũng có: ^P



^xy



^1z



^yz



^1x



^zx



^{1y }



^xy

 

^{ yz}

 

^{ zx}



^{2 dấu}

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi



^{x y z; ;}



là hoán vị của bộ số



^{1;0; 0}



^.

Bài 21. Cho các số thực dương x y, thỏa mãn: 0 yx4,xy7 . Chứng minh:

2 2

25 x y  . Hướng dẫn:

Cách 1: Do x4 suy ra ^{x x}



^y



^4



^xy



^(tạo x² ). Ta có ^{y x}



^y



^7y

Cộng 2 bất đẳng thức suy ra

   

⁴

 

^{7 2 2 4 3 3}

 

^{3.7 4 25}

x xy y xy  xy  y x y  x y xy x  

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x4,xy 7 x4,y3 .

Cách 2: Ta chứng minh: ^{x2y24232 }



^4x



^4x

 

^{ 3y}



^3y



^0 . Sử dụng công thức khai triển Abel : a b1 1a b2 2 



a1a b2



1a b2



1b2



.

Ta có:



^4x



^4x

 

^{ 3y}



^3y

 

^{ 1 x y}



^4x

 

^{ 3y}



^{7 x y}



. Rõ rang với điều kiện đề bài thì



^{1 x y}



^4x

 

^{ 3y}



^{7 x y}



^{0 ddpcm.}

Bài 22. Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn a b  c 1. Tìm GTLN của

 

²

 

²

 

²

4 4 4

P a b c  b ac  c a b . Hướng dẫn:

Ta có

 

²

 

²

 

²

 

²

 

²

 

²

4 4 4 4 4 4

P a b c  b ac  c a b  a bc  b ac  c ab

Hay ^{P 4a}



^1a



^{2  4b}



^1b



^{2  4c}



^1c



^{2 a}     ^{1 b 1 c 1 4}. Dấu đẳng thức xảy ra khi



^{a b c; ;}



là hoán vị của bộ số



^{1;0; 0 .}



Bài 23. Cho các số thực x y z, , 0 thỏa mãn: x2y 1 x2z 1 4. Tìm GTLN,GTNN của Pxy z xyyzzx.

Hướng dẫn:

Tìm GTNN.

Cách 1: Từ giả thiết ta suy ra

 

²

    

16 x2y 1 x2z1  1 1 2 x2y2z2 4 xy z 1 suy ra xy z 3 Ta có Pxy z 3. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x3,yz0.

Cách 2:

Đặt a 2 x2y  1 0 x2z  1 2 a do x y z, , 0 nên  1 a1. Ta có: ²



^{x  y z 1}



^2



^a24



^{   x y z a23 và y z 4a.}

Do a² 0 nên xy z 3. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x3,yz0. Tìm GTLN:

Chú ý rằng: ⁴



^{x y z}



^23



^yz



^{2 12}



^xyyzzx

 

^{ 2x y z}



^{2 12}



^xyyzzx



Suy ra ¹

 

^{2 1}

 

²

3 4

xyyzzx x y z  yz .Dẫn đến ¹

 

^{2 1}

 

²

3 4

P   x y z xyz  yz

hay 2 1



2



² 2 ²



² 3



3 3 4 6 6

3 3

a a

P a a a 

        . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

x yz .

Bài 24. Cho a b c, , là 3 số thực dương thỏa mãn: (ac b c)(  )4 .c² Tìm GTLN của biểu thức:

3 3

a b ab

Ab ca cbc ca

   .

Bằng cách: axc b, yc. Giả thiết trở thành:



^{xc c}



^{yc c}



^4c2



^x1



^y1



^4