Bất phương trình mũ không chứa tham số - TOANMATH.com

GIẢI BPT MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ - ĐÁNH GIÁ (KHÔNG CHỨA THAM SỐ)

PHƯƠNG PHÁP Nhắc lại kiến thức cũ :

 Đạo hàm :

( )

^{au ′ =u a′. .lnu a}

 Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng D thì ∀x y D f x, ∈ :

( )

> f y

( )

⇔ >x y  Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng D thì ∀x y D f x, ∈ :

( )

> f y

( )

⇔ <x y

Bước 1 : Đặt điều kiện của bpt (nếu có) Bước 2 : Các phương pháp giải

 Phương pháp 1 : Dùng tính đơn điệu của hàm số

 Phương pháp 2 : Dùng phương pháp đồ thị hàm số

 Phương pháp 3 : Đánh giá

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình ^3x2−25+

(

^{x2−25 .4}

)

^x+2021≤1

A. 10. B. 11. C. 8. D. 9.

Lời giải Chọn B

Xét bất phương trình ^3x2−25+

(

^{x2−25 .4}

)

^{x+2021≤1 1}

( )

Ta có: 4^x+2021> ∀ ∈0, x 

TH1: Xét x²−25 0= ⇔ = ±x 5 ta có VT

( )

1 1 1= ≤ (Đúng) nên bpt

( )

1 có nghiệm x= ±5

TH2: Xét ² 5

25 0 5

x x

x

< −

− > ⇔  >

Ta có

( ) ( )

2 25 0

2 2021

3 3 1

25 .4 0 1 1

x

x VT

x

−

+

 > =

 ⇒ >

 − >

 nên bpt

( )

1 vô nghiệm.

TH3: Xét x²−25 0< ⇔ − < <5 x 5 Ta có

( ) ( )

2 25 0

2 2021

3 3 1

25 .4 0 1 1

x

x VT

x

−

+

 < =

 ⇒ <

 − <

 nên bpt

( )

1 có nghiệm − < <5 x 5 Vậy nghiệm của bpt đã cho là x∈ −

[

5;5

]

.

Vì x nguyên nên x∈ ± ± ± ± ±

{

5; 4; 3; 2; 1;0

}

có 11 giá trị Câu 2. Giải bất phương trình ^{6 3 1 10}

2 1

x

x x

− + >

− ta được tập nghiệm S =

( )

a b; . Tính giá trị của biểu thức 10 3

P= b− a

A. P=5. B. P=4. C. P=2. D. P=0.

Lời giải Chọn A

Điều kiện 0; ¹

( )

* x≠ x≠ 2

Với điều kiện

( )

* , ta có:

( ) ( )

1 1

1

1 1

0 0

10 2 6 1

6 3 3

6 3 10 2 1 2 1

2 1 0 0

10 2 6 2

6 3 3

2 1 2 1

x x

x

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x

x x

+ +

+

+ +

 >  >

 

  −

 − >  <

− > − ⇔ −< < −− ⇔ < > −−−

Gọi

( )

C và

( )

H theo thứ tự là đồ thị của hàm số y g x=

( )

=3^x+1 và

( )

^{2 6}

2 1 y f x x

x

= = −

−

Dựa vào đồ thị, ta có: hệ bpt

( )

1 có nghiệm 0 1 x 2

< < ; hệ bpt

( )

2 vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là 0;¹ S  2

=   suy ra 0; 1

a= b= 2 nên P=10b−3a=5. Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình ^{21 2} 1 0

2 1

x x

x

− − + ≥

− là

A.

[ ]

0;1 . B.

(

0;1

]

. C.

(

−1;0

]

. D.

(

0;2

]

. Lời giải

Chọn B

Điều kiện: 2 1 0^x− ≠ ⇔ ≠x 0.

Xét hàm số

( )

2¹ 2 1 2 1 ² 2

x

f x = ⁻ − x+ = − + +x x có

( )

2 ^{2.ln 2} 0 2^x

f x′ = − − < , ∀x. Do đó hàm số này nghịch biến trên .

Vậy 2^1−x−2x+ > ⇔1 0 f x

( )

> f

( )

1 ⇔ < ⇔ − >x 1 1 x 0 tức là f x

( )

cùng dấu với 1−x. Xét hàm số g x

( )

=2 1^x− có g x′

( )

=2 .ln 2 0^x > ,∀x. Do đó hàm số này đồng biến trên . Vậy 2 1 0^x− > ⇔g x

( )

> ⇔ >0 x 0 tức là g x

( )

cùng dấu với x.

Suy ra bất phương trình đã cho tương đương với 1 x 0 0 x 1 x

− ≥ ⇔ < ≤ . Vậy tập nghiệm của BPT là S =

(

0;1

]

.

Câu 4. Bất phương trình 2^sin2x+3^cos2x≥4.3^sin2x có bao nhiêu nghiệm nguyên trên

[

−2021 ;2022π π

]

.

A. 4043. B. 2021. C. 4044. D. 2022. Lời giải

Chọn C

Đặt t=sin 0²x

(

≤ ≤t 1

)

thay vào bất phương trình đã cho ta có 2 3^t+ 1^−t ≥4.3^t 2 3 4.3

3

t t

⇔ + t ≥ 6 3 4.9 2 3 1 4

3 9

t t

t t    

⇔ + ≥ ⇔   +    ≥ (1).

Xét hàm số

( )

² 3 ¹ , 0 1

3 9

t t

f t =   +    ≤ ≤t

    . Có

( )

² .ln² 3 ¹ ln¹ 0, t 0;1

[ ]

3 3 9 9

t t

f t′ =   +    < ∀ ∈

    .

Suy ra hàm số f t

( )

nghịch biến trên

[ ]

0;1 . Do đó luôn có f t

( )

≤ f

( )

0 hay 2 3 1 4

3 9

t t

  +   ≤

   

    (2).

Từ (1) và (2) suy ra: ² 3 ¹ 4 0 sin² 0

( )

3 9

t t

t x x k kπ

  +   = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈

   

    

Do −2021π ≤ ≤x 2022π ⇒ −2021π ≤kπ ≤2022π ⇔ −2021≤ ≤k 2022

(

k∈

)

Suy ra k∈ −

{

2021; 2020;...;2021;2022−

}

, có tất cả 4044giá trị k Vậy bất phương trình có tất cả 4044nghiệm nguyên.

Câu 5. Cho hàm số ^{f x}

( )

^{=2 x2+1}

(

^{2 2x− −x}

)

^{. Gọi S} là tổng các giá trị xnguyên dương thỏa mãn bất phương trình

(

22

)

²²⁸ 0

f x f 9 x

 

+ +  − ≤ . Tính S?

A. S =36. B. S =45. C. 30. D. 8.

Chọn A

Xét hàm số f x

( )

=2 ^{x2+ +1 x}−2 ^{x2+ −1 x} có tập xác định D= nên ∀ ∈ ⇒ − ∈x  x . Ta có : f

( )

− =x 2 ^{x2+ −1 x}−2 ^{x2+ +1 x} = −f x

( )

nên hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Mặt khác

( )

2 ^{2 1} .ln 2. ₂ 1 2 ^{2 1} .ln 2 ₂ 1

1 1

x x x x x x

f x x x

+ +   + −  

′ =  + −  − 

+ +

   

( )

2 ^{2 1 2} ₂¹ ln 2 2 ^{2 1 2} ₂¹ .ln 2 0

1 1

x x x x x x x x

f x x x

+ +  + +  + −  + − 

′ =  +  +  +  >

( Vì x²+ >1 x² = x ⇒ x²+ ± >1 x 0) Do đó hàm số f x

( )

đồng biến trên .

Từ đó suy ra

(

22

)

²²⁸ 0 f x f 9

x

 

+ +  − ≤

(

22

)

²²⁸

f x f 9

x

 

⇔ + ≤ −  − 

(

22

)

²²⁸

f x f 9 x

 

⇔ + ≤  − 

2 10

228 13 30

22 0

3 9

9 9

x x x

x x x x

 ≤ −

+ +

⇔ + ≤ − − ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ <

Vậy các số nguyên dương thỏa mãn bất phương trình là

{

1;2;3;4;5;6;7;8

}

1 2 ... 8 36

x∈ ⇒ = + + + =S .

Câu 6. Có bao nhiêu cặp số nguyên

(

x y;

)

thỏa mãn bất phương trình

(

2x y+

)

².2^{5x2+2xy+2y2−3}+ −

(

x y

)

² ≤3?

A. 0. B. 1. C. 2 . D. 3. Lời giải

Chọn D

Từ

(

2x y+

)

².2^{5x2+2xy+2y2−3}+ −

(

x y

)

² ≤3 ⇔

(

2x y+

)

².2^{(2x y+ ) (2+ −x y)2−3}+

(

x y−

)

²− ≤3 0

( )

∗

Đặt

( )

( )

2 2

2

3 3

a x y

b x y

 = +



= − − ≥ −

 .

Khi đó bất phương trình

( )

^∗ có dạng: .2 0 .2 0 .2

( )

.2 2

a b a a b

b

a ⁺ + ≤ ⇔b a + b ≤ ⇔a ≤ −b ⁻ . Vì a≥ ⇒ − ≥0 b 0 nên ta xét các trường hợp sau đây:

TH1: Nếu 0 ⁰ .2

( )

.2

2 2 0

a b

a b

a b

a b  > − ≥₋ a b ⁻

> − ≥ ⇒ ⇒ > −

> ≥

 không thoả mãn bất phương trình.

TH2: Nếu 0 ⁰ .2

( )

.2

0 2 2

a b

a b

a b

a b  ≤ ≤ − ₋ a b ⁻

≤ ≤ − ⇒ ⇒ ≤ −

< ≤

 thoả mãn bất phương trình.

Vậy bất phương trình a.2^a ≤ −

( )

b .2^−b ⇔ ≤ − ⇔ + ≤a b a b 0 Suy ra

(

2x y+

) (

²+ −x y

)

²− ≤ ⇔3 0

(

2x y+

) (

²+ −x y

)

² ≤3.

Với giả thiết x y Z, ∈ nên

(

2x y+

)

² và

(

x y−

)

² chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:

Vậy có tất cả 3 cặp

(

x y;

)

thoả mãn.

Câu 7. Có bao nhiêu số nguyên trong đoạn

[

0;2021

]

thỏa mãn bất phương trình : ^{x2−3x− ≤2}

(

^{3x−4 .2021}

)

^{x2− +6 2x +}

(

^{x2−6x+2 .2021}

)

^{3 4x−}

A. 2016. B. 2017. C. 2020. D. 2021.

Lời giải Chọn B

Đặt a x= ²−6x+2, b=3x−4. Bất phương trình có dạng :

.2021^a .2021^b

a b b+ ≤ +a ⇔a^{. 1 2021}

(

− ^b

) (

≤b. 2021 1 1^a−

) ( )

TH1: a=0 hoặc b=0 thì nghiệm đúng bất phương trình đã cho.

Bất phương trình đã cho tương với ² 6 2 0 3 7 3 4 0 4

3 x x x

x x

 = ±

 − + = ⇔

 − =  =

 

.

TH2: Nếu ^{0 2021 1 0} VT 1 0 ; VP 1 0

( ) ( )

0 1 2021 0

a b

a b

>  − >

 ⇒ ⇒ < >

 >  − <

  .

Khi đó bất phương trình luôn đúng.

Vậy bất phương trình tương đương với ²

3 7

6 2 0 3 7 3 7

3 4 0 4

3 x

x x x x

x x

 > +

 − + > ⇔ < − ⇔ > +

 

− >

 

 >

.

TH3: Nếu ^{0 2021 1 0} VT 1 0 ; VP 1 0

( ) ( )

0 1 2021 0

a b

a b

<  − <

 ⇒ ⇒ < >

 <  − >

 

Khi đó bất phương trình luôn đúng.

Vậy bất phương trình tương đương với

2 6 2 0 3 47 3 7 3 7 43

3 4 0

3

x x x x

x x

 − < < +

 − + < ⇔ ⇔ − < <

 

− < <

  .

TH4: Nếu ^{0 2021 1 0} VT 1 0 ; VP 1 0

( ) ( )

0 1 2021 0

a b

a b

>  − >

 ⇒ ⇒ > <

 <  − >

  .

Trường hợp này bất phương trình vô nghiệm.

TH5: Nếu ^{0 2021 1 0} VT 1 0 ; VP 1 0

( ) ( )

0 1 2021 0

a b

a b

<  − <

 ⇒ ⇒ > <

 >  − <

 

Trường hợp này bất phương trình vô nghiệm.

Từ các trường hợp trên, bất phương trình đã cho có tập nghiệm là ^S=_^{3− 7;4}₃^{ }_{ }^{∪ +3 7;+∞}

)

Các số nguyên thỏa mãn bất phương trình là x∈

{

1;6;7;...;2020;2021

}

. Vậy bất phương trình có 2017 nghiệm nguyên trong đoạn

[

0;2021

]

.

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶC TRƯNG (KHÔNG CHỨA THAM SỐ)

PHƯƠNG PHÁP Bước 1 : Biến đổi bất phương trình về dạng

( ) ( )

( ( ) ( ) ( )

^;

( ) ( )

^;

( ) )

¹

( )

f a < f b f a > f b f a ≤ f b f a ≥ f b .

Bước 2 : Xét hàm sốy f x=

( )

, chứng minh hàm số luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến Bước 3 : Do hàm sốy f x=

( )

luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến suy ra

( ) ( )

f a < f b ⇔ <a b hoặc f a

( )

< f b

( )

⇔ >a Câu 1. Số nghiệm nguyên của bất phương trình sau là:

2 2

2 15 100 10 50 2

2 ^{x − x+} −2^{x+ x−} +x −25 150 0x+ < là

A. 4. B. 6. C. 3. D. 5.

Lời giải Chọn A

Ta có 2^{2x2−15 100x+} −2^{x2+10 50x−} +x²−25 150 0x+ <

( )

2 2

2 15 100 10 50 2 2

2 ^{x − x+} 2^{x+ x−} 2x 15 100x x 10x 50 0

⇔ − + − + − + − < .

Đặt a=2x²−15 100x+ , b x= ²+10x−50.

Khi đó bất phương trình trở thành: 2 2^a− ^b+ − <a b 0 ⇔ − − > − −2^a a 2^b b

( )

1 . Xét hàm số f t

( )

= − −2^t t có f t′

( )

= −2 ln 2 1 0^t − < với ∀ ∈t .

Suy ra f t

( )

nghịch biến trên _.

Bất phương trình

( )

1 ⇔ f a

( )

> f b

( )

⇔ < ⇔a b 2x²−15x+100<x²+10x−50

2 25 150 0 10 15

x x x

⇔ − + < ⇔ < < . Mà x∈ nên x∈

{

11;12;13;14

}

.

Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên.

Câu 2. Cho bất phương trình 2 ^{2 8}

(

1 3

)

2

x x

x x x x

+ + ≤ − + + . Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình đã cho là

A. 0. B. 3 C. 1. D. 2.

Lời giải Chọn C

Tập xác định D= −∞ − ∪

(

; 1

] [

0;+ ∞

)

.

Ta có: 2 ^{2 8}

(

1 3

)

2 ² 2^{3 2} 3

2

x x x x x

x x x x x x x

+ + ≤ − + + ⇔ + + ≤ − − + +

( )

2 2 3

2 ^{x x+} x x 2 ^−x 3 x 1

⇔ + + ≤ + − .

Xét hàm số f t

( )

=2^t+t, có f t′

( )

=2 .ln 2 1 0, ^t + > ∀ ∈t .

Vậy hàm số f t

( )

đồng biến trên .

( )

^{1 ⇔ f}

(

^x2+x

)

^{≤ f}

(

^3−x

)

^{⇔ x2+ ≤ −x 3 x}

( )

²

2

3 3

0 0 1

1 1 0 9

9 7

3 7

x x

x x x

x x x

x x x x

 ≤  ≤

 ≥  ≥  ≤ −

  

⇔ + ≤ −≤ − ⇔ ≤≤ − ⇔ ≤ ≤



.

Do x nguyên dương, do đó x∈

{ }

1 .

Vậy bất phương trình đã cho có 1 nghiệm nguyên dương.

Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình ^{33x−53x+3 3 5}

(

^{x− x}

)

^{>0 là}

A.

(

−∞;0

)

. B.

(

−∞;0

]

. C.

(

0;+∞

)

. D.

[

0;+∞

)

. Lời giải

Chọn A

Bất phương trình đã cho tương đương với ^{33x+3.3x>53x+3.5x ⇔ f}

( ) ( )

^{3x > f 5x .}

Xét hàm số f t

( )

= +t³ 3t trên khoảng

(

0;+∞

)

, ta có: f t′

( )

=3t²+ > ∀ >3 0, t 0. Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng

(

0;+∞

)

.

Do đó từ ^f

( ) ( )

^{3x > f 5x ta có 3x >5x ⇔ }  ⁵₃ ^x< ⇔ <^{1 x 0}. (*) Thử các giá trị là chọn được đáp án.

Ta có: ^{VT =33x−53x+3 3 5}

(

^{x− x}

)

Thử với x=0 được VT =0 ⇒ =x 0 không thỏa mãn bất phương trình. Do đó loại B và D.

Thử với x=1 được VT = −104 ⇒ =x 1 không thỏa mãn bất phương trình. Do đó loại C.

Vậy còn lại đáp án đúng là A.

Câu 4. Có bao nhiêu số nguyên x∈ −

(

2021;2022

)

thỏa mãn bất phương trình

6 4 3 2 2

2 ^x−2 ^x−2 ^x+2 ^x−2^x+ − <3 0

A. 2021. B. 2020. C. 2022. D. 2019.

Lời giải Chọn A

Bất phương trình đã cho tương đương với

( ) ( ) ( ) ( )

^{3 2}

3 2 2 2 2 2

2 ^x+3.2 ^x+3.2 1 2^x+ − ^x+2.2 1 3. 2 1^x+ + ^x+ > 2 ^x − 2 ^x +3.2 ^x

⇔

(

^{2 1x+}

) (

^{3− 2 1x+}

)

^{2+3. 2 1}

(

^{x+ >}

) ( ) ( )

^{22x 3− 22x 2+3.22x ⇔ f}

(

^{2 1x+ >}

) ( )

^{f 22x .}

Xét hàm số f t

( )

= − +t t^{3 2} 3t trên khoảng

(

0;+∞

)

, ta có: f t′

( )

=3t²− + >2 3 0, 0t ∀ >t . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng

(

0;+∞

)

.

Do đó từ ^f

(

^{2 1x+ >}

) ( )

^{f 22x ⇔2 1 2x+ > 2x ⇔22x−2 1 0x− < ⇔1−}₂ ^{5 <2x <1+}₂ ⁵

2 1 5

log 0,69

x  +2 

⇔ <  ≈

  .

Mà x∈ −

(

2021;2022

)

và x∈ nên ta có x∈ −

{

2020; 2019;...;0−

}

. Vậy có 2021 số nguyên x thỏa mãn ycbt.

Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình 4₂ 5² 2 5 2 0

5 5

x x

x + − x − − > là A. 0< <x log 2₅ . B. 0≤ ≤x log 2₅ . C. log 2⁵

0 x x

 >

 <

 . D. log 2⁵

0 x x

 ≥

 ≤ . Lời giải

Chọn C

Bất phương trình đã cho tương đương với

2

( )

2 5 2 5 3 32 2 5 3

5 5 5

x x x

x x f x f

 +  − + > − ⇔  + >

     

      .

Xét hàm số f t

( )

= −t² t trên khoảng

(

^{2 2;+∞}

)

^{, ta có: f t′}

( )

= − > ∀ >^{2 1 0,t t 2 2} . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng

(

^{2 2;+∞}

)

^.

Do đó từ

( )

²

5

0

2 5 3 2 5 3 5 3.5 2 0 5 1

log 2

5 5 5 2

x

x x x x

x x x

f f x

x

 <  <

 + > ⇔ + > ⇔ − + > ⇔ ⇔

  >  >

    .

(*) Cách 2: Đề xuất bởi GVPB2

Bất phương trình đã cho tương đương với

2 5 2 2 5 6 0

5 5

x x

x x

 +  − + − >

   

   

2

5

0 2 5 3 5 3.5 2 0 5 1

log 2

5 5 2

x x x x

x x

x x

 <  <

⇔ + > ⇔ − + > ⇔ > ⇔ > ^.

Câu 6. Phương trình 2021 ^{2x2− +8 2}−2021^x+1 = −x 2x²− −8 1 có nghiệm duy nhất x a= + b với ,

a b∈. Tính b a− .

A. 9. B. −11. C. 11. D. −9.

Lời giải Chọn C

Điều kiện: ² 2

2 8 0

2 x x

x

 ≤ −

− ≥ ⇔  ≥ ^.

( )

2 2

2 8 2 1 2 2 8 2 2 1

2021 ^{x− +} −2021^x+ = −x 2x − − ⇔8 1 2021 ^{x − +} + 2x − + =8 2 2021^x+ + +x 1 1 Xét hàm số f t

( )

=2021^t+t. Có f t′

( )

=2021 ln 2021 1 0, ^t + > ∀ ⇒t hàm số đồng biến trên . Khi đó

( )

^{1 ⇔ f}

(

^{2x2− +8 2}

)

^{= f x}

(

⁺¹

)

2

2 2

2 8 2 1 1 1 10

2 8 2 1

x x x x

x x x

 ≥

⇔ − + = + ⇔ ⇔ = − +

− = − +

 .

Do đó a= −1, 10b= ⇒ − =b a 11.

Câu 7. Tìm số nghiệm của phương trình π^sin2x−π^cos2x =cos 2x trong khoảng

(

0;10 .π

)

A. 19. B. 15. C. 20. D. 17.

Lời giải Chọn C

2 2 2 2 2 2

sin ^x cos ^x cos 2x sin ^x cos ^x cos2x sin2 x sin ^x sin2 x cos ^x cos2x

π −π = ⇔π −π = − ⇔π + =π + .

Xét hàm số f t

( )

=π^t+t có f t′

( )

=π^tlnπ+ > ∀ ∈ ⇒1 0, t R hàm số đồng biến trên .

Khi đó

( )

^{1 ⇔ f}

(

^sin2x

) (

^{= f cos2x}

)

^{⇔sin2x=cos2 x⇒cos 2x= ⇒ = +0 x π}₄ ^k₂^π

Kết hợp với x∈

(

0;10π

)

suy ra 0 10 1 39

4 2 2 2

k k

π π π

< + < ⇔ − < < .

{

0;1;2;...;19

}

k∈ ⇒ ∈ k . Vậy phương trình có 20 nghiệm.

Câu 8. Có bao nhiêu cặp số nguyên

(

x y;

)

thỏa mãn 0≤ ≤y 2021 và 2021^x2+1+x² =2021^y+ −y 1.

A. 45. B. 89. C. 11. D. 20 .

Lời giải Chọn B

( )

2 1 2 2 1 2

2021^{x +} +x =2021^y+ − ⇔y 1 2021^x+ +x + =1 2021^y+y 1 .

Xét hàm số f t

( )

=2021^t+t.Có f t′

( )

=2021 ln 2021 1 0, ^t + > ∀ ⇒t hàm số đồng biến trên . Khi đó

( )

^{1 ⇔ f x}

(

^{2+ =1}

)

^{f y}

( )

^{⇔ =y x2+1}

Ta có với x nguyên thì y nguyên. Mà 0≤ ≤y 2021 0⇒ ≤x²+ ≤1 2021⇒ − ≤ ≤44 x 44.

Vậy có 89 bộ

(

x y;

)

nguyên thỏa mãn.

Câu 9. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 2^{x x2+} +2x≤2^3−x−x²+3.

A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.

Lời giải Chọn A

Ta có 2^{x x2+} +2x≤2^3−x−x²+ ⇔3 2^{x x2+} +x²+ ≤x 2^3−x+ −3 x

( )

1 . Xét hàm số f t

( )

=2^t +t t, ∈, có f t′

( )

=2 .ln 2 1 0,^t + > ∀ ∈t . Vậy hàm số f t

( )

đồng biến trên .

Ta có

( )

^{1 ⇔ f x}

(

^2+x

)

^{≤ f}

(

^3−x

)

^⇔x2+ ≤ − ⇔ − ≤ ≤^{x 3 x 3 x 1}. Vậy có 5 giá trị nguyên của x thỏa mãn ycbt.

Câu 10. Tổng tất cả các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 6 của bất phương trình:

27 8 3.4 2.3 5.2 3 0^x− −^{x x}+ ^x− ^x− ≥ là

A. 15. B. 12. C. 13. D. 19.

Lời giải Chọn A

Ta có 27 8 3.4 2.3 5.2 3 0^x− −^{x x}+ ^x− ^x− ≥ ⇔27^x+2.3^x≥

(

8 3.4 3.2 1 2 2 1^x+ ^x+ ^x+ +

) (

^x+

) ( )

^{3x 3 2.3x}

(

^{2 1x}

) (

^{3 2 2 1 1x}

) ( )

⇔ + ≥ + + + .

Xét hàm số f t

( )

= +t³ 2t trên  ta có

( )

3 ² 2 0,

f t′ = t + > ∀ ∈t . Vậy hàm số f t

( )

= +t³ 2t đồng biến trên . Mà

( )

1

( ) (

3 2 1

)

3 2 1 ^{2 1} 1 2

( )

3 3

x x

x x x x

f f    

⇔ ≥ + ⇔ ≥ + ⇔   +   ≤ . Xét hàm số

( )

^{2 1}

3 3

x x

g x =   +  

    có

( )

² .ln ^{2 1} .ln ¹ 0,

3 3 3 3

x x

g x′ =         +   < ∀ ∈x

        .

Vậy hàm số

( )

^{2 1}

3 3

x x

g x =   +  

    nghịch biến trên . Mà

( )

2 ⇔g x

( )

≤g

( )

1 ⇔ ≥x 1

Vậy tập hợp các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 6 của bất phương trình là

{

1, 2, 3, 4, 5

}

. Tổng tất cả các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 6 của bất phương trình: 1 2 3 4 5 15+ + + + = . Câu 11. Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình sau:

( )

^{3 1 1 2 2}

3 5 3 1 3 6

5

x

x x x x x

  −

−    + ≥ − .

A. 2022. B. 1. C. 2. D. 2021.

Lời giải Chọn C

Theo đề ra ta có x∈ và x>0.

Bất phương trình ^3x

( )

^{35 1x−3x  }_{ }¹₅ ^{2−x+ ≥1 3x2 −6x}

⇔

( )

^{35 1x−  }_{ }¹₅ ^{2−x≥3x2−}₃^{6 1}_x^{x− ⇔}

( )

^{35 1x −  }_{ }¹₅ ^{2−x ≥ − −x 2} ₃¹_x ^{⇔ 531x+}₃¹_x ^{≥5x−2+ −x 2}

( )

^{∗ .}

Xét hàm số g t

( )

= +5^t t có g t′

( )

=5 ln 5 1 0^t + > , t∈ nên hàm số g t

( )

đồng biến trên .

( )

^{∗ ⇔ 1}

(

2

)

g 3 g x

x

  ≥ −

 

 

1 2

3 x

⇔ x ≥ − ₃ ² _{6 1 0} ^{3 2 3 3 2 3}

3 3

x x − x +

⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤

Theo đề ra ta có x∈ và x>0 nên x∈

{ }

1;2 tức 2 nghiệm nguyên dương từ bpt trên Câu 12. Tìm số nghiệm nguyên thuộc

[

−2021;2022

]

của bất phương trình

32 1 2 3 3 2

2022 ^x− −2022 ^−x+ 2 1x− +x −6x +15 11 0x− ≤

A. 2024. B. 2023. C. 2021. D. 2022.

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết ta có bất phương trình tương đương với:

32 1 2 3 3 2

2022 ^x− −2022 ^−x+ 2 1x− +x −6x +15 11 0x− ≤

32 1 3 2 3 2

2022 ^x− 2 1x 2 1 2022x ^−x x 6x 13 10x

⇔ + − + − ≤ − + − +

( ) ( ) ( )

32 1 3 3 3 2 3

2022 ^x− 2 1x 2 1 2022x ^−x 2 x 2 x 1

⇔ + − + − ≤ + − + − .

Xét hàm số f t

( )

=2022^t+ + ⇒t³ t f t′

( )

=2022 .ln 2022 3^t + t²+ > ∀1 0, t ⇒f t

( )

là hàm đồng biến trên . Từ (1) ta có ^f

(

^{32 1x− ≤}

)

^f

(

^2−x

)

^{⇔3 2 1 2x− ≤ −x⇔2 1 8 12x− ≤ − x+6x2 −x3}

3 6 2 14 9 0

x x x

⇔ − + − ≤ ^⇔

(

^x−1

) (

^{x2−5x+ ≤ ⇔ ≤9}

)

^{0 x 1}

Vì x nguyên và x∈ −

[

2021;2022

]

⇒ −2021≤ ≤x 1 nên có 2023 giá trị nguyên của x. Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈ −

[

^2021;2021

]

để mọi

nghiệm của bất phương trình 5^{2x+ − + +x2 2 3x} −5^{4+ − + +x2 2 3x} +

(

x−2

)

³≤x x

(

−3

)

²−2 1

( )

đều là nghiệm của bất phương trình x²−

(

m−2

)

x−2m+ ≤4 0 2

( )

.

A. 2019. B. 2020. C. 2021. D. 2018.

Lời giải Chọn A

( ) ( ) ( )

2 2 3 2

2 2 3 4 2 3

5 ^{x+ − + +x x} −5 ^{+ − + +x x} + x−2 ≤x x−3 −2 1 . Điều kiện − ≤ ≤1 x 3.

( )

1 ⇔5^{2x+ − + +x2 2 3x} −5^{4+ − + +x2 2 3x} +3x− ≤6 0

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2 3 3 2 2 3 4 2 3 3 4 2 3

5 5 + *

2 2

x x x x x x x x x x

+ − + + + − + + + − + + + − + +

⇔ + ≤ .

Xét hàm số

( )

5 ³ , 5 .ln 5

( )

³ 0,

2 2

t t

f t = + t t∈ ⇒ f t′ = + > ∀ ∈t .

⇒ Hàm số đồng biến trên .

( )

^{* ⇔ f x}

(

^{2 + − +x2 2x+3}

) (

^{≤ f 4+ − +x2 2x+3}

)

2 2

2x x 2x 3 4 x 2x 3 1 x 2

⇔ + − + + ≤ + − + + ⇔ − ≤ ≤ .

Theo yêu cầu bài toán thì x²−

(

m−2

)

x−2m+ ≤ ∀ ∈ −4 0, x

[

1;2

]

[ ]

_{[ ]}

2 2

1;2

2 4, 1;2 max 2 4

2 ^x 2

x x x x

m x m

x ^{∈ −} x

 

+ + + +

⇔ ≥ + ∀ ∈ − ⇒ ≥  + .

Đặt

( )

^{2 2 4}

2

x x

g x x

+ +

= + . Ta có

( )

( )

[ ]

[ ]

2 2

0 1;2

4 0

4 1;2

2 x x x

g x x x

 = ∈ −

′ = + = ⇔ 

= − ∉ −

+  ^.

( )

1 3; 0

( )

2; 2

( )

3

g − = g = g = , suy ra _{[ ]} ²

1;2

2 4

max 3

2

x

x x

x

∈ −

 + + 

 + =

  .

3 m

⇒ ≥ , vì m∈ −

[

2021;2021

]

⇒ ≤ ≤3 m 2021. Vậy có 2019 giá trị nguyên của tham số m. Câu 14. Có bao nhiêu cặp nghiệm nguyên

(

x y;

)

thỏa mãn bất phương trình

(

3x y−

)

².3^{10x2−8xy+2y2−4} ≤ −4 x²+2xy y− ² ?

A. 8. B. 6. C. 5. D. 9.

Lời giải Chọn D

Từ

(

3x y−

)

².3^{10x2−8xy+2y2−4} ≤ −4 x²+2xy y− ² ⇔

(

3x y−

)

².3^{(3x y− ) (2+ −x y)2−4} ≤ − −4

(

x y

)

² (*).

Đặt

( )

( )

2 2

3 0

4 4

a x y

b x y

 = − ≥



= − − ≥ −

 khi đó (*) đưa về: a.3^{a b+} ≤ − ⇔b a.3^a ≤ −

( )

b .3^−b.

Vì a≥ ⇒ − ≥0 b 0.Xét hàm số f t

( )

=t.3 , ^t t∈

[

0;+∞

)

có f t′

( )

= +3^t t.3 .ln 3 0, 0;^t > ∀ ∈t

[

+∞

)

Suy ra f a

( )

≤ f b

( )

− ⇔ ≤ − ⇔ + ≤a b a b 0.

Suy ra

(

3x y−

) (

²+ −x y

)

²− ≤ ⇔4 0

(

3x y−

) (

²+ −x y

)

² ≤4.

Với giả thiết x y, là các số nguyên nên

(

3x y−

)

² và

(

x y−

)

² đều nguyên nên chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:

Vậy có tất cả 9 cặp nghiệm thỏa mãn.

Câu 15. Tính tổng các nghiệm nguyên dương của bất phương trình sau

2 1 2 2

5^{x +} +2x −4x− ≤6 25^x+

A. 6. B. 5. C. 3. D. 7.

Chọn A

Ta có ^{5x2+1+2x2 −4x− ≤6 25x+2 ⇔5x2+1+2}

(

^{x2+ ≤1 5}

)

^{2( 2)x+ +4}

(

^x+2

) ( )

^{* .}

Xét hàm số f t

( )

= +5 2^t t. TXĐ: D=.

( )

5 ln 5 2 0^t

f t′ = + > với ∀ ∈t  ⇒ f t

( )

là hàm số đồng biến trên

(

−∞ + ∞;

)

.

( )

^{* ⇔ f x}

(

^{2+ ≤1}

)

^f

(

²

(

^x+2

) )

⇔x²+ ≤1 2

(

x+2

)

⇔x²−2x− ≤3 0 ⇔ − ≤ ≤_{1 x 3}. Mà x∈ nên x∈ −{ 1;0;1;2;3}.

Vậy tổng các nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho bằng 6.

Câu 16. Hãy xác định số nghiệm nguyên âm của bất phương trình sau:

2 3 7 10 2

9.3^{x − −x} −3^x+ +2x −8x≤30

A. 2. B. 3. C. 6. D. 9.

Lời giải Chọn A

Ta có

( ) ( )

2 3 7 10 2 2 3 5 2 10

9.3^{x − −x} −3^x+ +2x −8x≤30⇔3^{x − −x} +2 x −3x− ≤5 3^x+ +2 x+10

( )

* . Xét hàm số f t

( )

= +3 2^t t.

TXĐ D=.

( )

3 ln 3 2 0,^t

f t′ = + > ∀ ∈t .⇒ f t

( )

là hàm số đồng biến trên .

( )

* ⇔ ^{f x}

(

^{2−3x− ≤5}

)

^{f x}

(

⁺¹⁰

)

^{⇒x2 −3x− ≤ +5 x 10⇔ −2 19≤ ≤ +x 2 19.}

{

2; 1;0;...;5;6

}

x

⇒ ∈ − − .

Số nghiệm nguyên âm của bất phương trình đã cho là 2.

Câu 17. Tích của nghiệm nguyên âm lớn nhất và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình

2 1 2 2

4^x+ +2x −4x− >6 16^x+ bằng bao nhiêu?

A. −8. B. −3. C. 3. D. 2.

Lời giải Chọn A

Ta có 4^x2+1+2x²−4x− >6 16^x+2 ⇔4^x2+1+2(x²+ >1) 4^{2 4x+} +2(2x+4) (1).

3x y− 0 0 1 0 −1 1 −1 −1 1 2 0 −2 0

x y− 0 1 0 −1 0 1 −1 1 −1 0 2 0 −2

x 0 ¹

−2 1 2

1 2

1

−2 0 0 −1 1 1 −1 −1 1

y 0 ³

−2 1 2

3 2

1

−2 −1 1 −2 2 1 −3 −₁ 3

Xét hàm số f t( ) 4 2= +^t t. TXĐ D=.

( )

4 .ln 4 2 0,^t

f t′ = + > ∀ ∈t ⇒ f t

( )

đồng biến trên .

(

²

) ( )

(1)⇔ f x + >1 f x2 +4 ⇔x²+ >1 2x+4⇔x²−2x− >3 0 1 3 x x

< −

⇔  > .

Do đó nghiệm nguyên âm lớn nhất là −2 và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất là 4. Tích của chúng bằng−8.

Câu 18. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình

2 5 2 5 2 2

2021^{x − +x} −2021^x+ + x −5x+ ≤2 5x+2. Tổng các phần tử của S bằng

A. 55. B. 5. C. 6. D. 25.

Lời giải Chọn A

Ta có

2 5 2 5 2 2

2021^{x − +x} −2021^x+ + x −5x+ ≤2 5x+2

2 5 2 2 5 2

2021^{x − +x} x 5x 2 2021^x+ 5x 2

⇔ + − + ≤ + + (1).

Xét hàm số f t

( )

=2021^t+ ⇒t f t′

( )

=2021.ln 2021 1 0, ^t + > ∀ ∈t .

( )

f t

⇒ là hàm đồng biến trên .

Từ (1) ta có ^{f x}

(

^2−5x+2

)

^{≤ f x}

(

^{5 +2}

)

^{⇔ x2−5x+ ≤2 5x+2}

2 2

5 2 0

5 2 5 2

5 2 5 2

x

x x x

x x x

 + ≥



⇔ − + ≤ +

 − + ≥ − −



2 2

2 5 10 0

4 0 x

x x

x

 ≥ −



⇔  − ≤

 + ≥



[

²5

] [

0;10

]

0;10

x x

x

 ≥ −

⇔ ⇔ ∈

 ∈

.

2 2

2 2

5 2 0 25 2

5 2 5 2 10 0 5 0 10

0 10

5 2 5 2 4 0

x x

x x x x x x x

x x x x x

 ≥ − + ≥ 

   ≥ −

  

⇔ − + ≤ + ⇔ − ≤ ⇔ ⇔ ≤ ≤

 − + ≥ − −  + ≥  ≤ ≤

 



.

Yêu cầu của bài toán x∈ ⇒ =S

{

0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10

}

.

Vậy tổng các phần tử của S bằng 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55+ + + + + + + + + + = .

Câu 19. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình

1 2 3 10 1 2

2^{+ x − −x} −2^x− +2 x −3 10 2x− < x−4. Số phần tử của S bằng

A. 9. B. 5. C. 4. D. 15.

Lời giải Chọn A

Ta có 2^{1+ x2− −3 10x} −2^x−1+2 x²−3 10 2x− < x−4

2 3 10 2 2

2 ^{x − −x} x 3 10 2x ^x− x 2

⇔ + − − < + − (1).

Xét hàm số f t

( )

=2^t+t có f t′

( )

=2 ln 2 1 0^t + < với ∀ ∈t .

Suy ra f t

( )

đồng biến trên .

Bất phương trình

( )

1 ^{⇔ f}

(

^{x2−3 10x−}

)

^{< f x}

(

⁻²

)

^{⇔ x2 −3 10x− < −x 2}

( )

2

2 2

3 10 0 2 0

3 10 2

x x

x

x x x

 − − ≥

⇔ − >

 − − < −



2 5 2 14 x x x x

 ≤ −

 ≥

⇔ >

 <



5 x 14

⇔ ≤ <

Mà x∈ nên S=

{

5;6;7;8;9;10;11;12;13

}

.Vậy số phần tử của S bằng 9. Câu 20. Biết rằng bất phương trình

3 2

3 2 6 4

4 3 2 24 32

x x

x − x ⋅ ^{− −}x < x+ có tập nghiệm là

(

^{; 3 3}

)

S = a b+ c+ d , với a b c d, , , ∈. Tính giá trị của biểu thức T =4abcd.

A. T =75. B. T =80. C. T =81. D. T =82.

Lời giải Chọn C

Ta có ⁴x³−³x² = x²

(

⁴x−³

)

.

Bất phương trình đã cho xác định với mọi 3 x≥ 4.

Với điều kiện xác định trên, bất phương trình đã cho tương đương với

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3

2 2

2 2 2

24 16

6 4 4 4 4 12

9 24 16 3 4

4 3 4 3

4