Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Huyện Tam Dương 2020-2021

(1)

ĐỀ CHÍNH THỨC

NĂM HỌC 2020 – 2021 ĐỀ THI MÔN TOÁN

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 1 trang

Câu 1. (3,0 điểm) Cho biểu thức 3

1 2

Q x x

 

  a) Tìm xđể Qxác định và rút gọn Q

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P Q x 

Câu 2. (2,0 điểm) Cho x 6 4cos 45 3   2 2 3  18 16sin 45  tan 60. Tính giá trị biểu thức T 20x¹⁹⁸² 11x¹¹2020

Câu 3.(2,0 điểm) Tìm các giá trị của mđể nghiệm của phương trình 1 1 1

m m

x

  

 (với m

là tham số) là số dương

Câu 4. (2,0 điểm) Giải phương trình 2 2x 1 x 3 5x11 0

Câu 5. (1,5 điểm) Tìm số tự nhiên nđể Alà số nguyên tố, biết A n ³ n²  n 2 Câu 6. (1,5 điểm) Tìm số tự nhiên có hai chữ số abthỏa mãn ab

a b  a b



Câu 7.(2,0 điểm) Cho tam giác ABC,biết AB c BC a CA b ,  ,  .Vẽ phân giác AD(D thuộc BC).Chứng minh rằng 2bc

ADb c



Câu 8. (3,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao ^AH^,^{ }^C ^{ }



^⁴⁵^



a) Tìm giá trị của để CH 3BH

b) Chứng minh rằng sin 2 2sin cos 

Câu 9. (1,5 điểm) Cho các số thực , ,x y zthay đổi sao cho 3x y z  12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 5x² 3y² z² 2xy2yz 6x6y14

Câu 10. (1,5 điểm) Cho 5 số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số trong chúng không có ước nguyên tố nào khác 2 và 3. Chứng mnh rằng trong năm số đó tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương.

(2)

Câu 1.

a) Qxác định 1 0 1 1

1 2 0 1 2 3

x x x

  

   

 

         Với x1,x 3ta có :

   

  

   

3 1 2

3

1 2 1 2 1 2

3 1 2

1 2

3

x x

Q x

x x x

x x

  

  

     

  

   



b) Với x1,x     3 P Q x x x 1 2

Với x1,x  3 x 1 0nên P x  x 1 2 1  2 Vậy Min P  1 2  x 1

Câu 2.Ta có :

 

²

6 4cos 45 3 2 2 3 18 16sin 45 tan 60

2 2

6 4 3 2 2 3 18 16 3

2 2

6 2 2. 3 2 2 3 18 8 2 3

6 2 2. 3 2 2 3 4 2 3

x         

      

 

2

6 2 2. 3 4 2 3 3 6 2 2 3 3 1 3

6 2 2. 2 3 3 6 2 4 2 3 3

6 2 3 1 3 4 2 3 3 3 1 3 1

         

       

          

1982 11

20.1 11.1 2020 2051

 T   

Vậy T  2051

(3)

ĐKXĐ: x1. Đưa phương trình về dạng



¹^^{m x}



^. ^²

Nếu m1thì phương trình vô nghiệm Nếu m1thì 2

x 1

 m



Để 2

x 1

 m

 là nghiệm của phương trình thì x  1 m 1 Vậy nghiệm của phương trình là 2

x 1

 m

 với m 1 Phương trình có nghiệm dương khi

1 1 1

2 0 1 1

1

m m m

m m

m

        

  

  

 

  

 



Vậy với m1;m 1thì phương trình có nghiệm dương Câu 4.Giải phương trình 2 2x 1 x 3 5x11 0

ĐKXĐ: 1

x 2

2 2

2 2 1 3 5 11 0

2 2 1 3 5 11

9 1 4 2 5 3 5 11

2 5 3 3

3 1( )

12( )

2 5 3 9 6

x x x

x x x x

x x x

x x tm

x ktm

x x x x

     

     

      

    

 

 

         Vậy ^S ^

 

¹

Câu 5.Ta có :

   

3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1

A n n   n n  n n  n n   n n  n Do n 2 n²  n 1,với mọi nℕ

Vậy Alà số nguyên tố khi và chỉ khi n 2 1và n² n 1là số nguyên tố.

3

 n và khi đó A13( )tm Vậy n3,thì Alà số nguyên tố Câu 6.Ta có :

(4)

Với a b, ℕ*_thì ^{a b}^{ } _{a b}_ ^



^{a b}^



^^ab^



^{a b}^



^

 

^ab ^nên^{a b}^ là số chính phương. Vì 1  a b 18nên ^{a b}^{ }



^1;4;9;16



1 1( )

4 8( )

9 27( )

16 64( )

a b ab ktm a b ab ktm

a b ab tm

a b ab ktm

   

    i

i i i

Vậy số tự nhiên cần tìm là 27 Câu 7.

Qua D kẻ DE/ /AB E AC,  . Chứng minh được EADcân tại E. Suy ra AE=ED Áp dụng hệ quả của định lý Ta-let vào ABCta có: ED EC

AB  AC Suy ra AE ED EC AE 1

AC  AB  AC  CA  hay 1 1

. 1 bc

AE AE

b c b c

    

  

 

Trong ADEcó 2

2 bc ( )

AD AE ED AD AE AD dfcm

      b c



E

D A

B C

(5)

a) Xét tam giác ABHvuông tại H, có BH  AH.cotB AH .tan Xét tam giác ACH vuông tại H, ta có CH  AH.cot

3 .cot 3 .tan 1 3tan

CH BH AH  AH  tan 

     

2 1 3

tan 30

3 3

 

     

Vậy  30thì CH 3BH

b) Kẻ trung tuyến AM, vì   C  45nên    C B AB AC Hnằm giữa B và C, theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ta

có: 1

AM MB MC 2BC AMCcân tại M

2 2

AMB C 

     (tính chất góc ngoài)

ABCvuông tại A, ta có : sin AB;cos AC

BC BC

   

AHM vuông tại H, ta có: ^{sin 2}^ ^ _AM^AH

 

¹

Ta có : ^{2sin cos} ^2. ^. ^2. ^. ₂ ^2.

 

²

2

AB AC AH BC AH AH

BC BC BC AM AM

     

H M A

B

C

(6)

Từ

   

^{1 , 2} ^^{sin 2}^ ^ ^{2sin cos}^ ^

Câu 9.Ta có :

   

       

 

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

4 4 2 9 2 6 6 5

2 3 2 2.3 2.3 5

2 3 2 3

5 5

1 1 1 1 1 1

3 3

3 5

M x xy y y yz z x y xy x y

x y y z x y xy x y

x y y z x y x y y z x y

x y z

            

          

         

     

 

  

 

Theo giả thiết, ta có:³^{x y z}^{  }¹²^



³^{x y z}^{  }³



² ^⁸¹

32.

M  Dấu " " xảy ra

2 3

3 3

3 3 9 0

x y y z x

y z x y y

x y z z

   

 

 

      

      

 

Vậy M_min 32  x y 3,z 0 Câu 10.

Gọi các số đã cho là a a a a a₁, , , ,₂ ₃ ₄ ₅, vì các số này không có ước số nguyên tố nào khác 2 và 3 nên các số này đều có dạng a_i 2 .3^xⁱ ^yⁱ với x y_i, _ilà các số tự nhiên

Xét 5 cặp số



x y_i; _i

 

; x y2; 2



;



x y3; 3

 

; x y4; 4



;



x y5; 5



, mỗi cặp số này nhận giá trị một trong bốn trường hợp sau: (số chẵn; số chẵn), (số chẵn; số lẻ), (số lẻ; số chẵn), (số lẻ; số lẻ)

Nên theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nhất hai cặp số trên cùng một dạng giá trị.

Không mất tính tổng quát khi giả sử



x y1; 1

 

; x y2; 2



cùng nhận giá trị dạng (số chẵn; số lẻ) Khi đó x₁ x y₂; ₁ y₂đều là số chẵn nên a a_{1 2} 2 .3 .2 .3^x¹ ^y¹ ^x² ^y² 2^{x x}¹^ ².3^{y y}¹^ ²là số chính

phương. Do đó ta có điều phải chứng minh.