Bài giảng hàm số mũ và hàm số lôgarit - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

TOANMATH.com Trang 1 BÀI 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững khái niệm và tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit.

+ Trình bày và áp dụng được công thức tìm đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit.

+ Nhận biết dạng đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit.

 Kĩ năng

+ Biết cách vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ và lôgarit.

+ Biết cách vẽ đồ thị các hàm số mũ, hàm số lôgarit.

+ Tìm được đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Hàm số mũ

Định nghĩa

Hàm số ^{y a ax}



^{0; a1}



được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Tập xác định

Hàm số ^{y a a x}



^{0; a1}



có tập xác định là . Đạo hàm

Hàm số ^{y a a x}



^{0; a1}



có đạo hàm tại mọi x.

 

^{ax 'axlna}

 

^{au 'auln . 'a u}

 

lim ^x 0, lim ^x 1 ;

x a x a a

     

 

lim ^x , lim ^x 0 0 1 .

x a x a a

      

Sự biến thiên

 Khi a1 hàm số luôn đồng biến.

 Khi 0 a 1 hàm số luôn nghịch biến.

Đồ thị

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các điểm

   

0;1 , 1;a và nằm phía trên trục hoành.

Đặc biệt:

 

^{ex ' e x.}

TOANMATH.com Trang 2 2. Hàm số lôgarit

Định nghĩa

Hàm số y^logax a



^0; a¹



được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

Tập xác định Tập xác định:



^0;



^.

Đạo hàm

Hàm số y^logax a



^0; a¹



có đạo hàm tại mọi x dương và



^log



^{' 1}

ax ln

 x a .

Giới hạn đặc biệt

 

lim log0 _a , lim log_a 1

x _ x x x a

       ;

 

lim log0 _a , lim log_a 0 1

x _ x x x a

        .

Sự biến thiên

 Khi a1 hàm số luôn đồng biến.

 Khi 0 a 1 hàm số luôn nghịch biến.

Đồ thị

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm

   

^{1;0 , ;1a} và nằm bên phải trục tung.

Nhận xét: Đồ thị của các hàm số y a ^x và ylog_ax



^{a0, a1}



đối xứng với nhau qua đường thẳng yx.

Ứng dụng

1. Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra.

Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n*) là: Sn A nArA



¹nr



2. Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.

Đặc biệt:

 

^{lnx ' 1}

 x.

¹ 

log _r Sⁿ ;

n ^ A

 

  

TOANMATH.com Trang 3 Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi

kép r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n*) là: Sn A



¹r



ⁿ .

3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào một thời gian cố định.

Công thức tính: Đầu mỗi tháng, khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r (% / tháng) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (n*) (nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là S_n.

Ta có n



¹



^{n 1 1}

 

S A r r

r  

      .

4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng

Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r (% / tháng). Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng.

Công thức tính:

 

 

1 1 1

n

n n

X A r S r

r

 

      .

Khi đó số tiền còn lại sau n tháng là



₁



ⁿ



¹



^{n 1}

n

S A r X r r

 

  

5. Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r (% / tháng). Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.

Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có



₁



ⁿ



¹



^{n 1}

n

S A r X r

r

 

   .

Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì S_n0 nên



₁



ⁿ



^{1 r}



^{n 1} ₀

A r X

r

 

   .

Suy ra mỗi lần hoàn nợ số tiền là

 

 

1 .

1 1

n n

A r r

X r

 

  .

6. Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là A (đồng/tháng). Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm

% ⁿ Sⁿ 1;

r  A 



^{1 n}



ⁿ

A S

 r



¹ 



^.



log 1 ;

1

n r

n S r

A r



 

    

¹ 



^.



log 1 ;

1

n r

n S r

A r



 

    

   

.

1 1 1

n n

A S r

r r

     

TOANMATH.com Trang 4 r (% / tháng). Hỏi sau kn tháng, người đó lĩnh được bao nhiêu tiền?

Công thức tính: Lương nhận được sau kn tháng là



¹



¹

.

k kn

S An r r

 

 .

7. Bài toán tăng trưởng dân số Công thức tính tăng trưởng dân số:



¹



^{m n, , ,}

m n

X  X r ^ m n^ m n

Trong đó: r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m;

Xm dân số năm , Xm _n dân số năm n.

Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là % ^{m n m} 1

n

r X

 X

 

8. Lãi kép liên tục

Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / năm) thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm (n*) là: Sn A



¹r



ⁿ.

Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là r %

m thì số tiền thu được sau n năm là:

.

1

m n n

S A r m

 

   

Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m , gọi là hình thức lãi kép liên tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là:

.

S  Aen r (công thức tăng trưởng mũ).

TOANMATH.com Trang 5 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

HÀM SỐ MŨ

HÀM SỐ LÔGARIT ' 0

y  với mọi x

' 0 y 

với mọi x

Luôn đồng biến Luôn nghịch biến

Hàm số

y a 

x

1 a 

Hàm số

y a 

x

0   a 1

Tập xác định

D  

Đạo hàm

'

^x

ln y  a a

Tiệm cận ngang Ox

Đồ thị

 Luôn đi qua điểm

 

^{0;1 và}

  a;1

 Nằm phía trên Ox

' 0 0

y    x y ' 0    x 0

Luôn đồng biến Luôn nghịch biến

Hàm số

log

_a

y  x

1 a 

Hàm số

log

_a

y  x 0   a 1

Tập xác định

 0; 

D  

Đạo hàm

' 1 , 0

y ln x

 x a 

Tiệm cận đứng Oy

Đồ thị

 Luôn đi qua điểm

 

^{1;0 và}

  a;1

 Nằm bên phải Oy

TOANMATH.com Trang 6 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Đạo hàm, sự biến thiên của hàm số

Bài toán 1: Tìm đạo hàm của các hàm số mũ – hàm số lôgarit Phương pháp giải

Sử dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ, lôgarit.

 

^{ax 'axln ; a}

 

^{au 'auln .u'a .}



^log



^{' 1 ; ln}

 

^{' 1}

ax ln x

x a x

  .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây sai?

A.

 

^{3 ' 3 ln3x  x B.}

 

^{lnx '1}_x

C.



3



log ' 1

x ln 3

x  D.

 

^{e2x 'e2x}

Hướng dẫn giải Ta có:

 

3 ' 3 .ln 3^x  ^x nên đáp án A đúng.

 

^{lnx ' 1}

 x nên đáp án B đúng.



3



log ' 1

x ln3

x  nên đáp án C đúng.

 

^{e2x '}

 

^{2 '.x e2x 2.e2x} nên đáp án D sai.

Chọn D.

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số y16^x22.

A. ^y'



^{x22 .16}



^{x21 B. y' 8 .16 x x22ln 4}

C. y' 16 ^x22.ln16 D. y' 8 .4 x ^2x24.ln 2 Hướng dẫn giải

Ta có: y^'



x²^{2 '.16}



^x22.ln16 2 .16 x ^x22.4ln 2 8 .4 x ^2x24.ln 2. Chọn D.

Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số ^{f x}

 

^ln



^x21



^.

A. ^{f x'}

 

^ln



^x21



^{B. f x'}

 

^{ln 2x}

C. ^'

 

₂¹

f x 1

 x

 D. ^'

 

₂²

1 f x x

 x



TOANMATH.com Trang 7 Hướng dẫn giải

Ta có:

  

²



2 2

1 ' 2

' 1 1

x x

f x x x

  

 

Chọn D.

Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của hàm số ^{yln 1}



^{ x1}



^.

A. ^{y' 2 x1 1}



^{1 x1}



^{B. y' 2 x1 1}



^{1 x1}



C. 1

' 1 1

y x

x

 

  D. 1

' 1 1

y  x

  Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức

 

^{lnu ' u'}

 u , ta có

 

  1 1 '

' ln 1 1 '

1 1

y x x

x

 

   

 

Mà



^{1 x1 '}



^ ₂ ¹_x1 ^{nên y' 2 x1 1}



^{1 x1}



^.

Chọn B.

Ví dụ 5: Cho hàm số ^{f x}

 

^ln



^{exxex}



^{. Giá trị f' 2}

 

^bằng

A. 1

3 B. 2

3 C. 1

3

 D. 2

3



Hướng dẫn giải

Ta có _'

   

^'

1

x x x x x

x x x x

e xe e e xe x

f x e xe e xe x

    

   

   

   

   .

Suy ra ^{' 2}

 

^{2 2}

1 2 3

f    

 .

Chọn D.

Ví dụ 6: Cho hàm số ^{ylog 22}



^x1



. Giá trị của ^{y' 1}

 

^bằng

A. 2

3ln 2 B. 2

3 C. 2ln 2

3 D. 1

3ln 2 Hướng dẫn giải

Ta có

 

^{log 22}



¹



^'

  

^{22 ln 21 ln 2}



^{' 1}

 

²³

x x

f x    f x  x  f 

 .

Chọn B.

TOANMATH.com Trang 8 Bài toán 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ và hàm số lôgarit

Phương pháp giải

Hàm số ^{y a a x}



^{0; a1}



đồng biến khi a1 và nghịch biến khi 0 a 1.

Ví dụ: Hàm số 1 2

x

y  

    nghịch biến trên  vì

0 1 1

 2 . Hàm số ylog_ax đồng biến khi a1 và nghịch

biến khi 0 a 1.

Ví dụ: Hàm số ylog_2a3x đồng biến trên



^0;



khi và chỉ khi 2a    3 1 a 1.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tìm a để hàm số ^y



^2a5



^x nghịch biến trên . A. 5

2  a 3 B. 5

2 a 3 C. a3 D. 5

a 2 Hướng dẫn giải

Hàm số ^y



^2a5



^x nghịch biến trên  khi và chỉ khi 5

0 2 5 1 3

a 2 a

      . Chọn A.

Ví dụ 2: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ? A. ylog₂x B.

2

x

y  

    C. 3 2

x

y  

   D. ₁

2

log

y x

Hướng dẫn giải

Ta có hàm số y a ^x luôn đồng biến trên  khi và chỉ khi a1. Ở phương án B, 1

a_2 _ thỏa mãn khẳng định trên.

Ta loại phương án A và D vì hàm số ylog_ax chỉ xác định trên



^0;



^.

Ta loại phương án C, vì 3

0 1

 2  nên hàm số 3 2

x

y  

   nghịch biến trên



^0;



^.

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho hàm số ^y



^x23



^ex. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng



^;1



^.

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^3;1



^.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^1;



^.

TOANMATH.com Trang 9 D. Hàm số đồng biến trên khoảng



^1;3



^.

Hướng dẫn giải

Ta có: ^{y' 2 . x ex }



^{x23 .}



^{ex ex.}



^x22x3



^.

' 0 1

3 y x

x

 

     . Bảng xét dấu:

x  -3 1 

y’ + 0 - 0 +

Chọn B.

Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho hàm số y e ^x.sinx. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 'y e^xcosx B. 'y  y y" C. ^{y" 2}



^{y' y}



^{D. "y}  ^{2 cosex x}

Câu 2: Cho hàm số y e ^{ax2 bx c} đạt cực trị tại x1 và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e. Giá trị của hàm số tại x2 là

A. ^y

 

^{2 1 B. y}

 

^{2 e C. y}

 

^{2 e2 D. y}

 

^{2 1}₂

e

Câu 3: Cho hàm số y lnx

 x , khẳng định nào sau đây đúng?

A. 1₂

2 ' xy"y

  x B. 1₂ ' xy"

y   x C. 1₂

' xy"

y   x D. 1₂

2 ' xy"y

  x

Câu 4: Cho hàm số ylog 33



^xx



, biết ^{' 1}

 

¹

4 ln 3 y a

 b với ,a b. Giá trị của a b bằng

A. 2 B. 7 C. 4 D. 1

Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số ^{y f x}

 

^{x.x tại điểm x1.}

A. f ' 1

 

 B. f' 1

 

²ln C. f' 1

 

² ln D. f' 1

 

1 Câu 6: Tìm đạo hàm của hàm số ylog 2x.

A. ' 1 y ln 2

 x B. ' 1

y ln10

 x C. ' 1

2 ln10

y  x D. y' ln10

 x Câu 7: Cho hàm số ^{f x}

 

^lnx. Tìm đạo hàm của hàm số ^{g x}

 

^log3



^{x f x2 '}

  

^.

A. ^{g x'}

 

¹

 x B. ^'

 

¹

g x ln3

 x C. ^{g x'}

 

^ln3

 x D. ^'

 

ln3 g x  x

TOANMATH.com Trang 10 Câu 8: Cho hàm số y e ^cosx. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 'cosy x y .sinx y " 0 B. 'siny x y .cosx y " 0 C. 'siny x y ".cosx y ' 0 D. 'cosy x y .sinx y " 0 Câu 9: Hàm số yx e. ^x đạt cực trị tại

A. x₀ e B. x₀ e² C. x₀1 D. x₀2

Câu 10: Cho hàm số

2

. 2 x

y x e^ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ^{xy }



^{1 x2}



^{. 'y B. xy' }



^{1 x2}



^{.y C. xy }



^{1 x2}



^{. 'y D. xy' }



^{1 x2}



^.y

Câu 11: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?

A. 3 ^x

y 

     B. 2 3 3

x

y   

   C. 3 2

x

y  

   D.

2 3

x

y   

   

Câu 12: Các giá trị thực của tham số a để hàm số ylog_M x M, a²4 nghịch biến trên tập xác định là

A. 2 a 5 B. a 5

C.  5  a 2; 2 a 5 D. a2

Câu 13: Với giá trị nào của tham số a thì hàm số ^y



^a23a3



^x đồng biến?

A. a1 B. a2 C. ^a

 

^{1;2 D. a }



^;1

 

^{ 2;}



Câu 14: Cho ,a b là hai số thực thỏa mãn

3 2

2 2 3 4

;log log

4 5

b b

a a  . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 0 a 1, 0 b 1 B. 0 a 1, b1 C. a1, 0 b 1 D. a1, b1 Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ^{f x}

 

^{ x2 1 xln}



^{x x21}



trên đoạn



^1;1



^là

A. 2 B. 2 1 C. ^{2 ln 1}



^{ 2}



^{D. 2 ln}



^{2 1}



Câu 16: Đối với hàm số ln 1 y 1

 x

 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. xy' 1  e^y B. xy' 1  e^y C. xy' 1 e^y D. xy' 1 e^y Câu 17: Đạo hàm của hàm số

x x

x x

e e y e e





 

 là

A.

 

2 2 2

' 3

1

x x

y e

 e

 B.

 

2 2 2

' 1

x x

y e

 e

 C.

 

2 2 2

' 2

1

x x

y e

 e

 D.

 

2 2 2

' 4

1

x x

y e

 e

 Câu 18: Cho hàm số y xsinx. Khẳng định nào sau đây đúng?

TOANMATH.com Trang 11 A. xy" 2 ' yxy 2sinx B. xy' yy"xy' 2sin x

C. xy' yy xy' ' 2sin x D. xy" y' xy2cosxsinx Câu 19: Hàm số ^{y }



^{3a210a2}



^x đồng biến trên



^{ ;}



^khi

A. 1

;3

a   B. ^{a  }



^3;



^C. ;¹

a  3 D. 1 3;3

a  

 

Câu 20: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến?

A. 3 5

x

y   

    B. y 2 ^x e

     C. 3

3 2

x

y  

    D. 3 1

3 2

x

y ^x  

Câu 21: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trong khoảng



^0;



^?

A. ylog₂x B. yx²log₂x C. y x log₂x D. ₂1 log

y x

Câu 22: Đạo hàm của hàm số ylog 43



x1



là

A. ^y'



^{4x11 ln 3}



^{B. y'}



^{4x41 ln 3}



^{C. y' 4ln3x1 D. y'44ln 3x1}

Câu 23: Tìm đạo hàm của hàm số ^{ylog ln 2}



^x



^.

A. 2

' ln 2 .ln10

y  x x B. 1

' ln 2 .ln10

y  x x C. 1

' 2 ln 2 .ln10

y  x x D. 1

' ln 2 y  x x

Câu 24: Cho hàm số ^{f x}

 

^{ln 4}



^{x x 2}



. Khẳng định nào sau đâ y đúng?

A. ^{f ' 3}

 

^{ 1,5 B. f' 2}

 

^{0 C. f' 5}

 

^{1 D. f' 1}

 

^{  1}

Câu 25: Tìm đạo hàm của hàm số ylog5



x² x 1



.

A. ^y'



^{x2 2xx1 ln 51}



^{B. y' x22 xx11 C. y'}



^{2x1 ln5}



^{D. y'}



^{x2 x1 1 ln 5}



Câu 26: Cho hàm số ^{f x}

 

^ln



^x41



^{. Đạo hàm f' 1}

 

^bằng

A. ln 2

2 B. 1 C. 1

2 D. 2

Câu 27: Tìm đạo hàm của hàm số ^yln



^{x x21}



A. 2

' 1

2 1

y  x

 B.

2

' 2

1 y x

x x

   C.

2

' 1 y 1

x x

   D.

2

' 1 y 1

 x

 Câu 28: Tìm đạo hàm của hàm số ^ylog



^x2x



^.

TOANMATH.com Trang 12 A. ^y



^x21x



^{ln10 B. y' 2x2x1x C. y'}



^x22xx



^{1loge D. y' 2x2x1x.loge}

Câu 29: Đạo hàm của hàm số ^{ylog 2sin}



^x1



trên tập xác định là

A. 2cos

' 2sin 1 y x

x

 

 B. 2cos ' 2sin 1 y x

 x

 C.



^2cos



' 2sin 1 ln10 y x

 x

 D.



^2cos



' 2sin 1 ln10 y x

x

 

 Câu 30: Nếu



^0,1a



^{3 }



^0,1a



^{2 và log 2 log 1}

3 2

b  b thì

A. a10 và b1 B. 0 a 10 và 0 b 1 C. 0 a 10 và b1 D. a10 và 0 b 1

Câu 31: Tìm đạo hàm của hàm số ^y



^{x22x e}



^x.

A. ^y'



^2x2



^ex B. ^y'



^x22



^{ex C. y'xex D. y'  }



^{x2 2}



^ex

Câu 32: Cho hàm số y ex e  ^x. Nghiệm của phương trình ' 0y  là

A. x0 B. x1 C. x 1 D. xln 2

Câu 33: Tìm đạo hàm của hàm số y3^2017x. A. y' 2017ln 3.3 ^2017x B.

32017

' ln3

y  C. y' 3 ²⁰¹⁷ D. y' ln 3.3 ^2017x Câu 34: Cho hàm số y e ^xe^x. Giá trị của ^{y" 1}

 

^là

A. 1

ee B. 1

ee C. 1

e e

  D. 1

e e

  Câu 35: Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn

4 3

5

a4 a và 1 2

log log

2 3

b  b . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a1,b1 B. a1,0 b a

C. 0 a 1,0 b 1 D. 0 a 1,b1 Bài tập nâng cao

Câu 36: Cho hàm số

 

ln 2017 ln x ¹

f x x

  

   . Tính tổng ^{S  f x'}

 

^{ f ' 2}

 

^{ ... f' 2017}

 

^{, ta được}

kết quả

A. 4035

S  2018 B. S 2017 C. 2016

S 2017 D. 2017

S  2018

Câu 37: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ^y



^{20x220x1283}



^e40x trên tập hợp các số tự nhiên là

TOANMATH.com Trang 13 A. 1283 B. 163.e²⁸⁰ C. 157.e³²⁰ D. 8.e³⁰⁰

Câu 38: Các giá trị của tham số m để hàm số ^yln



^{x2 1}



^2mx2 đồng biến trên  là A. Không tồn tại m B. 1

m2 C. 1

m 2 D. 1 1

2 m 2

  

Câu 39: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y4^x2^x2mx1 đồng biến trên khoảng



^1;1



là

A. 1

; ln 2 2

  

 

  B.



^;0



^C.



^{ ; 2ln 2}



^{D. ; 3ln 2}

2

  

 

 

TOANMATH.com Trang 14 Dạng 2: Tập xác định của hàm số chứa mũ – lôgarit

Bài toán 1. Tìm tập xác định của hàm số chứa mũ – lôgarit.

Phương pháp giải

Hàm số ^{y a a x}



^0;a1



có tập xác định là . Hàm số y^logax a



^0;a¹



có tập xác định là



^0;



^.

Ví dụ: Tìm tập xác định D của hàm số



²



log_x 1 6 9

y _ x  x . Hứớng dẫn giải

Hàm số xác định:

2 6 9 0

1 0 1 1

x x

x x

   

  

  



 

   

3 2 0 3

1 1 1; \ 2,3

2 2

x x

x x x

x x

    

 

      

   



.

Vậy ^D



^1;

  

^{\ 2,3 .}

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tập xác định D của hàm số 1

ln 2

y x

x

  

    là

A.

 

^{1;2 B.}



^;1

 

^{ 2;}



C. _^{\ 2}

 

^D. _^{\ 1,2}

 

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định 1 0 1 2

2

x x

x

     

 Chọn A.

Ví dụ 2: Điều kiện xác định D của hàm số

9

1

2 1

log 1 2

y x

x



 

là

A. x 3 B. x 1 C. 3   x 1 D. 0 x 3 Hướng dẫn giải

Hàm số xác định

1 9 2

2 1 2

log 1 2 1 9 2 3

2 0 2 0 1

1 1

x x

x x x

x x x

x x

   

   

        

3 0 3 1

1

x x

x

       

 Chọn C

TOANMATH.com Trang 15 Ví dụ 3: Tìm tập xác định D của hàm số y 3^x 2

A. D



log 3;2 



B. D



log 2;3 



C. D 



;log 32



D. D 



;log 23



Hướng dẫn giải

Hàm số xác định 3^x   2 0 3^x  2 x log 2₃ . Chọn B.

Bài toán 2. Tìm tham số m để hàm số xác định trên khoảng cho trước Phương pháp giải

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y^loga f x

 

xác định trên  trong đó ^{f x}

 

^{là một}

tam thức bậc hai.

Áp dụng tính chất

 Tam thức bậc hai ^{f x}

 

^{ax2bx c   0 x} _ khi và chỉ khi 0 0 a

 

 .

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y^loga f x

 

xác định trên khoảng D.

 Cô lập tham số m.

 Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số ^yln



^x22mx4



xác định với mọi x?

A. 5 B. 2 C. 4 D. 3

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định   x  x²2mx 4 0,  x .

2

0 1 0

2 2

0 4 16 0

a m

m

  

         .

Do m nên ^{m }



^1;0;1



Chọn D.

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y log2



m2



x²2



m2



x m 3 có tập xác định D.

A. m 2 B. m 2 C. m 2 D. m 2

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên _^



^m2



^x22



^m2



^{x m    3 0, x} _ ^(*).

TOANMATH.com Trang 16 Trường hợp 1: a0.

(*)

 

²

  

0 2 0 2

0 4 2 4 2 3 0 2 0 2

a m m

m m

m m m

  

  

  

              . Trường hợp 2: a 0 m 2, ta có

(*)   1 0, x  (đúng), nhận m 2 Vậy m 2.

Chọn D.

Ví dụ 3: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nằm trong khoảng



^10;10



để hàm số

 

log 42 ^x 2^x

y  m có tập xác định D?

A. 9 B. 10 C. 11 D. 8

Hướng dẫn giải

Hàm số có tập xác định D khi 4^x2^x   m 0 x  (1).

Đặt t2 ,^x t0.

Khi đó (1) trở thành ^{t2    t m 0 t}



^{0; }



^{m    t2 t t}



^0;



_0; 

 

¹

max 4

m f t

    với ^{f t}

 

^{  t2 t.}

Do m và ^{m }



^10;10



^nên m



1;2;3;...;8;9



. Chọn A.

Ví dụ 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nằm trong khoảng



^10;10



để hàm số

2

3 3

1

log 4log 3

y m x x m

   xác định trên khoảng



0;



?

A. 13 B. 11 C. 12 D. 10

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định  x



0; 



mlog²3x4log3x m    3 0, x



0;



(*).

Đặt tlog ,₃x t.

(*)mt²4t m  3 0 vô nghiệm.

Trường hợp 1: m0. Phương trình có nghiệm (loại m0).

Trường hợp 2: m0. Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi

 

' 0 4 m m 3 0 m 4

         hoặc m1.

Do m và ^{m }



^10;10



^nên m     



9; 8; 7; 6; 5;2;3;...8;9



. Vậy có 13 giá trị nguyên thỏa mãn.

Chọn A.

TOANMATH.com Trang 17 Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Tìm tập xác định D của hàm số ^y



^{3x x 2}



^{2 log2}



^x1



^4.

A. ^D^{\ 0;1;3}

 

B. ^D

 

^1;3

C. ^D

   

^{0;3 \ 1 D. D}

 

^1;3

Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số ^y



^x2



^{log100log2}



^x22x3



^.

A. ^D



^3;



^{B. D}

 

^2;3

C. ^{D   }



^{; 1}

 

^3;



^{D. D }



^1;3



Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số ^{y 2x 1 log}



^x2



^4.

A. ^D



^2;



^{B. D}



^0;



C. ^D



^0;

  

^{\ 2 D. D}



^0;

  

^{\ 2}

Câu 4: Tìm tập xác định D của hàm số y log₂x 1 x

  .

A. ^D



^1;



^{B. D }



^;0

 

^{ 1;}



C. ^D

 

^{0;1 D. D}^{\ 0}

 

Câu 5: Tìm tập xác định D của hàm số ^yln



^{x2  x 2 x}



^.

A. ^{D  }



^{; 2}



^{B. D   }



^{; 2}

 

^2;



C. ^D   



^{; 2}

 

^2;



D. ^D 



^2;2



Câu 6: Tìm tập xác định D của hàm số ^{y 5x125}



^x4



^2

A. ^{D }



^;3



^{B. D}



^4;



C. ^{D }



^;3



^{D. D}



^3;

  

^{\ 4}

Câu 7: Tìm tập xác định D của hàm số y2017 ^2x2.

A. ^{D }



^{2; 2}_ ^{B. D }



^{2; 2}



C. D  2; 2 D. ^{D  }



^{; 2}_

Câu 8: Cho hàm số

 

2 ²

 

²

1

log 2 2 1 4

y x m x m x m

 

     

. Các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho xác định với mọi ^{x }



^1;



^là

TOANMATH.com Trang 18 A. ^{m }



^;2



^{B. m }



^1;1



^{C. m }



^;1



^{D. m }



^;1



Câu 9: Điều kiện xác định của phương trình ^log4



^{x 1}



^log2



^x1



^{225 là}

A. x B. x1 C. x1 D. x1

Câu 10: Tập xác định D của hàm số _{3 2}10

log 3 2

y x

x x

 

  là

A. ^D



^2;10



^{B. D}



^1;



^{C. D }



^;10



^{D. D }



^;1

 

^{ 2;10}



Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ^yln



^x22mx4



có tập xác định D.

A. 2  m 2 B. m2 hoặc m 2

C. m 2 D. 2  m 2

Câu 12: Hàm số ^y



^x216



^{5ln 24 5}



^{ x x 2}



có tập xác định là

A.



^{  8; 4}

 

^3;



^B.



^{  ; 4}

 

^3;



^C.



^{8;3 \}

  

^{4 D.}



^4;3



Câu 13: Tập xác định của hàm số ^{ylog 52}



^x2125



^là

A.



^1;



^B.



^1;



^C.



^2;



^D.



^2;



Câu 14: Tập xác định của hàm số ^{y ln}



^{x 1}



^ln



^x1



^là

A.



^1;



^B.



^{; 2}



^{C.  D. }_ ^2;



Câu 15: Hàm số ^{ylog 42}



^{x 2xm}



có tập xác định D khi

A. 1

m 4 B. m0 C. 1

m 4 D. 1

m 4 Câu 16: Tập xác định D của hàm số ^ylog



^x26x5



^là

A. ^{D }



^;1

 

^{ 5;}



^{B. D}

 

^1;5

C. ^{D  }



^;1

 

^5;



^{D. D}

 

^1;5

Câu 17: Tập xác định của hàm số ₂

2 2

3 1

log 1 1

x

x x x x



     là.

A. 1 3;

 

 

  B. 1

3;

  

  C.  D. 1

\ 3

 

 

 

 Dạng 3: Đồ thị hàm số

Ví dụ mẫu

TOANMATH.com Trang 19 Ví dụ 1: Cho ba số thực dương , , a b c khác 1. Đồ thị các hàm số y a y b y c ^x,  ^x,  ^x được cho trong hình vẽ sau

Mệnh đề nào đúng?

A. a b c  B. a c b 

C. b c a  D. c a b 

Hướng dẫn giải

Ta có: y a ^x nghịch biến nên 0 a 1.

Mặt khác, y b y c ^x,  ^x đồng biến, đồng thời cho x    1 y b y c. Vậy a c b 

Chọn B.

Ví dụ 2: Từ các đồ thị ylog_ax, ylog_bx, y log_cx đã cho ở hình vẽ sau:

Khẳn định nào sau đây đúng?

A. 0   a b 1 c B. 0   c 1 a b C. 0   c a 1 b D. 0   c 1 b a Hướng dẫn giải

Ta có: ylog_cx nghịch biến nên 0 c 1.

Mặt khác, ylog_ax và ylog_bx đồng biến nên ,a b1 đồng thời cho y1 thì x a x b   . Vậy 0   c 1 a b.

TOANMATH.com Trang 20 Chọn B.

Ví dụ 3: Cho các hàm số y a ^x, ylog_bx, ylog_cx có đồ thị như hình vẽ.

Chọn mệnh đề đúng?

A. b c a  B. a c b  C. c b a  D. c a b  Hướng dẫn giải

Ta có ylog_cx nghịch biến nên 0 c 1 còn ylog_bx và y a ^x đồng biến nên b1 và a1. Xét y a ^x: Với x     1 y a 1 a 2.

Xét ylog_bx: Với y    1 x b b 2. Do đó a b

Vậy c  1 a b. Chọn D.

Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho hàm số ₁

5

log

y x. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số có tập xác định là ^D^{\ 0}

 

.

B. 1

' ln5 y x

 

C. Hàm số nghịch biến trên



^0;



D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy.

Câu 2: Tìm phát biểu sai.

A. Đồ thị hàm số ^{y a a x}



^0,a1



nằm hoàn toàn phía trên Ox.

B. Đồ thị hàm số ^{y a a x}



^0,a1



luôn đi qua điểm ^A

 

^{0;1 .}

TOANMATH.com Trang 21 C. Đồ thị hàm số ^{y a yx, 1 x, 0}



^{a 1}



a

       đối xứng nhau qua trục Ox.

D. Đồ thị hàm số ^{y a yx, 1 x, 0}



^{a 1}



a

       đối xứng nhau qua trục Oy.

Câu 3: Cho đồ thị của ba hàm số y a ^x, y b ^x, y c ^x như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. c b a  B. b a c  C. c a b  D. b c a 

Câu 4: Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ bên?

A. 1

3

x

y  

    B.

1 2

y  2

  

C. y3^x D. ^y

 

^{2 x}

Câu 5: Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số y a a ^x, 1?

(I) (II) (III) (IV)

A. (I) B. (II) C. (III) D. (IV)

Câu 6: Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số y a ^x,0 a 1?

(I) (II) (III) (IV)

A. (I) B. (II) C. (IV) D. (III)

TOANMATH.com Trang 22 Câu 7: Quan sát hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a1,b1 B. 1 a 0,b 1 C. a 1,0 b 1   D. 0 a 1,0 b 1   

Câu 8: Cho hai hàm số y log , _bx y a ^x có đồ thị lần lượt là

 

C1 và

 

C2 như hình vẽ bên. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. a1,b1 B. 0a b, 1 C. 0  a 1 b D. a1,b1

Câu 9: Cho các hàm số ylog_ax và ylog_bx có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng x7 cắt trục hoành, đồ thị hàm số ylog_ax và ylog_bx lần lượt tại H, M, N. Biết rằng HM MN. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. a7b B. a2b

C. a b ⁷ D. a b ²

Câu 10: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây?

A. ylog₂x B. ylog_0,5x

C. 1 1

3 3

y  x D. y  3x 1

Câu 11: Với giá thị nào của a để hàm số y^logax



⁰ a ¹



có đồ thị là hình bên ?

A. 1

a 2 B. a2

C. a 2 D. 1

a 2

TOANMATH.com Trang 23 Câu 12: Biết hàm số y2^x có đồ thị là hình bên. Khi đó,

hàm số y2^x có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn A, B, C, D dưới đây?

Hình 1 Hình 2

Hình 3 Hình 4

A. Hình 4 B. Hình 2 C. Hình 3 D. Hình 1

Câu 13: Giá trị lớn nhất của hàm số ^{f x}

 

^{x e2 x} trên đoạn



^1;1



^là

A. e B. 1

e C. 2e D. 0

Câu 14: Cho hàm số ylog 22

 

x . Khi đó, hàm số y log 22

 

x có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây?

TOANMATH.com Trang 24

Hình 1 Hình 2

Hình 3 Hình 4

A. Hình 3 B. Hình 2 C. Hình 1 D. Hình 4

Câu 15: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y2^x trên



^2;2



^?

A. 1

max 4;min

y y 4 B. 1

max 4;min

y y4

C. 1

max 1;min

y y 4 D. maxy4;miny1

Câu 16: Hình bên là đồ thị của ba hàm số ylog_ax, log_b

y x, y^{log 0}cx



a b c^{, ,} ¹



được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. a c b  B. a b c  C. b c a  D. b a c 

Câu 17: Cho hàm số

 

¹

2 3

x

y f x     . Tìm khẳng định sai.

A. Hàm số luôn nghịch biến trên .

B. Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1.

C. Hàm số không có cực trị.

D. ^{f x}

 

luôn nhỏ hơn 1 với mọi x dương.

TOANMATH.com Trang 25 Câu 18: Cho

 

⁹

9 3

x

f x  x

 . Nếu a b 1 thì ^{f a}

 

^{ f b}

 

^là

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 19: Cho hàm số

 

^{9 ,}

3 9

x

f x  x x

 . Nếu a b 3 thì ^{f a}

 

^{ f b}



^2



có giá trị bằng A. 1

4 B. 3

4 C. 1 D. 2

Câu 20: Hàm số ylog2



x³4x



có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0 B. 2 C. 1 D. 3

Câu 21: Cho ba số thực dương a,b,c khác 1. Đồ thị các hàm số ylog_ax, ylog_bx, ylog_cx được cho trong hình vẽ sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. b c a  B. a b c  C. c a b  D. a c b 

Câu 22: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây?

A. ^y

 

^{3 x B. y}  ^{ } ¹₂ ^x

C. 5

2 2

y x  D. 1

3

x

y  

   

Câu 23: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây?

A. y 2^x B. 1

2

x

y  

   

C. y2^x D. 1

2

x

y  

   

TOANMATH.com Trang 26 Câu 24: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào

trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây?

A. ylog₂x B. ylog2



x1



C. ylog₃x1 D. ylog3



x1



Câu 25: Cho hàm số ^y

 

^{2 x} có đồ thị Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

Hình 1 Hình 2

A. ^y

 

^{2 x B. y }

 

^{2 x C. y}

 

^{2 x D. y }

 

^{2 x}

Câu 26: Cho hàm số y5^x có đồ thị

 

^C . Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng với

 

^C qua đường thẳng yx?

A. y5^x B. ylog₅x C. y log₅x D. y 5^x Câu 27: Cho hàm số 3²

x

y có đồ thị

 

^C . Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng với

 

^C qua đường thẳng yx?

A. ylog ₃x B. ylog₃x² C. log₃ 2

y    x D. 1log₃ y 2 x

Câu 28: Cho hàm số y log₂x có đồ thị

 

^C . Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng với

 

^{C qua}

đường thẳng yx?

A. y2^x B.

1

2 ^x

y ^ C. y2^x D. 2²

x

y

Câu 29: Đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số ylog₂x là đồ thị nào trong các đồ thị có phương trình sau đây?

TOANMATH.com Trang 27

A. ₁

2

log

y x B. y2^x C. ylog₂