Bài Tập Toán 8 Bài Liên Hệ Giữa Thứ Tự Và Phép Nhân Có Lời Giải

(1)

2. LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Với ba số a, b, c mà c>0 ta có:

+ Nếu ^a^>^b thì ; nếu a³ b thì ac bc³ ⁱ;

+ Nếu ^a^<^b thì ^ac^<^bc ; Nếu a£b thì ac bc£ .

- Khi nhân (hay chia) cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

 Với ba số a, b, c mà c<0 ta có:

+ Nếu â^>^b thì âc^<^bc ; nếu â^³ ^b thì ac bc £ ; + Nếu â^<^b thì âc^<^bc `; Nếu a£bthì ac bc³ .

- Khi nhân (hay chia) cả hai vế bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

III. BÀI TẬP

Bài 1: Hãy xét xem các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a) ( 13).( 5) ( 13).2;    b)

2

2 0;

x 

c)

3 5

.3 3. ;

5 3

 

d) 7 ( 3).5 7 ( 5).( 3).+ - > + - - Bài 2: Cho ^a^>^b , hãy so sánh:

a) ^- ³^a⁺⁴ và ^- ³^b⁺⁴ b) ^{2 3}⁺ ^a và ^{2 3}⁺ ^b c) 2a- 3 và 2b- 3 d) 2a- 4 và ²^b⁺⁵ Bài 3: Số a là âm hay dương nếu:

a) - 8a>4 ;a b) 6a£ 12 ;a c) - 6a³ - 12 ;a d) ^- ⁵^a^>¹⁵^a Bài 4: So sánh a và b nếu:

a) 2a+2018<2b+2018

b)2018 – 2019 2018 – 2019a ³ b c^- ^{2018 – 5}^a^{> -} ^{2018 – 5}^b d)(m²+1)a- 9 (£ m²+1)b- 9

Bài 5: Cho a, b, c, d, e thuộc ¡ . Chứng minh rằng:

(2)

a) a² –a+ >1 0 b)

(

^a⁺¹

)(

^a⁺²

)(

^a⁺³

)(

^a⁺⁴

)

^{+ >}^{1 0}

c) (a b+ )²£ 2(a²+b²) d) ^a²⁺^b²⁺^c²^{+ ³}^{3 2}

(

^{a b c}^{+ +}

)

^.

Bài 6: Cho a, b, c  R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)

a b a b ab

2 2 2

2 2

   

  

  b)

a³ b³ a b ³

2 2

 

 

  

  ; với a, b  0 c) â⁴^^b⁴^^{a b ab}³ ^ ³ d) â⁴^{ }^{3 4}â

Bài 7: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu a b1

thì

a a c b b c

 

 (1). Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)

a b c

a b b c c a

1   2

   b)

a b c d

a b c b c d c d a d a b

1    2

       

Tự luyện

Bài 1: Số a là số âm hay dương nếu:

a)- 123 124 a<- a b)³⁴⁵^a^>³⁴⁶^a

c)

(

ⁿ^- ⁶⁷

)

^a^<

(

ⁿ^- ⁶⁸

)

^a _d)

(

ⁿ²⁺⁸⁷

)

^a^<

(

ⁿ²⁺⁸⁸

)

^a

Bài 2: Cho m bất kỳ, chứng minh :

a) b) c)

Bài 3: Cho chứng minh 1) 2) 3) Bài 4: Cho hãy so sánh :

a) và b) và c) và Bài 5: Cho chứng minh :

a) b) c) Bài 6: Cho a, b bất kỳ, chứng minh :

1) 2) 3) .

IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

3 4

m  m 2m 5 2m1 ^{7 3}^ ^m^^{3 3}



^^m



0

a b  a² ab ab b ² a² b² x y

2x1 2y1 2 3x 2 3 y 5 3

x 5

3 y 

a b

2a 3 2b3 2a 5 2b8 ^{7 3}^ ^a^^{3 3}



^^b



2 2 2 0

a b  ab

2 2

2 a b

 ab ₂ ₂

0 a b ab

(3)

Hãy chọn chỉ một chữ cái đứng trước câu trả lời đúng

Câu 1:Nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng 1 số dương ta được A. Một bất đẳng thức bằng với bất đẳng thức đã cho.

B. Ngược chiều với bất đẳng thức đã cho C. Lớn hơn bất đẳng thức đã cho

D. Cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Câu 2 : Điền dấu ( < , > , =) thích hợp vào ô trống:

a) 2005. 10

(

-

)

 ^{2006. 10}

(

^-

)

b) ^{9 . 9}²⁰⁰⁶

(

^- ²⁰⁰⁶

)

_{ 0}

Câu3 : Nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng 1 số âm ta được A. Ngược chiều với bất đẳng thức đã cho

B. Lớn hơn bất đẳng thức đã cho

C. Cùng chiều với bất đẳng thức đã cho

D. Một bất đẳng thức bằng với bất đẳng thức đã cho

Câu 4 : Chia cả hai vế của bất đẳng thức ^- ²â^{< -} ²^b cho - 2 ta được A. â^<^b B. â^>^b C. ^–a^{< -} ^b D. ^–a^{> -}^b Câu5 : Nhân cả hai vế của bất đẳng thức ^–â ^{£ -}^b với - 2 ta được

A. ^- ²^a^{³ -} ²^b B.²^a^³ ²^b C. -2a ≤-2b D. 2a<2b

Câu 6 : Nhiệt độ ở thành phố Sơ-un là - 3⁰C ; ở thành phố Thượng Hải là - 1C⁰ . nếu tăng nhiệt độ ở hai thành phố này gấp ba lần thì:

A. Nhiệt độ ở Sơ-un lạnh hơn B. Nhiệt độ ở Thượng Hải lạnh hơn C. Nhiệt độ ở Sơ - un bằng ở Thượng Hải

D. Nhiệt độ ở Thượng Hải lạnh hơn và bằng ở Thượng Hải.

Câu 7 : Cho m n, dương và n>m ,một học sinh chứng minh ⁿ^- ¹⁹⁹⁸^<^m^- ¹⁹⁹⁹ như sau:

(1) ⁿ^<^m^Û ⁿ^- ¹⁹⁹⁹^<^m^- ¹⁹⁹⁹ (2) mà ⁿ^- ¹⁹⁹⁹^{> -}ⁿ ¹⁹⁹⁸

(3) nên ^m⁺¹⁹⁹⁹^{> -}ⁿ ¹⁹⁹⁸. Bạn đó đã làm đúng chưa? Nếu sai thì

(4)

A. Sai từ bước 1 B. Sai từ bước 2

C. Sai từ bướcc 3 D. tất cả các bước đều sai.

Câu 8 : Cho ^- ²⁰¹⁹^a^{> -} ²⁰¹⁹^b , so sánh a và b ta được

A. â^<^b B. â^³ ^b C. â^£^b D. â^>^b

KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ

Bài 1: a) Khẳng định đúng vì ⁶⁵^{> -} ²⁶ b) Khẳng định đúng vì

2 0

x ³ " Î ¡x

c) Khẳng định đúng. vì 9 5 5<

d) Khẳng định sai vì ^- ^{8 22}^<

Bài 2: a) â^{> Û -}^b ³â^{< -} ³^b^{Û -} ³â^{+ < -}⁴ ³^b⁺⁴ b) â^{> Û}^b ³â^>³^b^Û ³â^{+ >}^{2 3}^b⁺²

c) â^{> Û}^b ²â^>²^b^Û ²â^- ^{3 2}^> ^b^- ³ d) ²â^- ^{4 2}^< ^b^- ^{4 2}^< ^b⁺⁵

Bài 3: HD:a) ^- ⁸^{< Þ -}⁴ ⁸^a^>⁴^a khi và chỉ khi a<0

b) a>0 c) a>0 d) a<0

Bài 4: a) â^<^b b)â^³ ^b c) â ^< ^b d) â^£^b

Bài 5: a)

12 3 3

( ) 0,

2 4 4

a- + ³ > "a

b)

(

^a⁺¹

)(

^a⁺²

)(

^a⁺³

)(

^a⁺⁴

)

⁺¹=(a²+5a+4).(a²+5a+5) 1+

Đặt a²+5a+ =4 t, ta được ^{t t}

(

^{+ + =}¹

)

¹ ^t²^{+ + = +}^t ^{1 (}^t ¹₂⁾²+ > "³₄ ^{0, .}^t c)(a b+ )²£ 2(a²+b²)

(5)

Áp dụng BĐT Bunhia ta có: (a b+ )²=(1.a+1. )b²£ (1²+1 )(² a²+b²)=2(a²+b²) Dấu “=” xảy ra khi a=b

d) ^a²⁺^b²⁺^c²^{+ ³}^{3 2}

(

^{a b c}^{+ +}

)

^.

Ta có : ^a²^- ²^a ⁺¹⁼

(

^a^{– 1}

)

²^³ ⁰^Þ ^a²⁺^{1 2}^³ ^a

Tương tự: b²+ ³1 2 ; b c²+ ³1 2c

Nên: ^a²⁺^b²⁺^c²^{+ ³}^{3 2}^a ⁺²^b ⁺²^c⁼²

(

^{a b c}^{+ +}

)

Dấu “=” xảy ra khi a= = =b c 1 Bài 6: HD:

a)

2 ( )2

2 4 0

a b a b

æ+ ö÷ ab -

ç ÷- = ³

ç ÷

çè ø ;

2 2 2 ( )2

2 2 4 0

a +b - æçççèa b+ ö÷÷÷ø = a b- ³

b) 

3( )( )2 0 8 a b a b+ - ³

c)  ⁽â³^- ^{b a b}³⁾⁽ ^- ⁾^³ ⁰ d)  ⁽â^- ^{1) (}²â²⁺²â⁺³⁾^³ ⁰

Bài 7: HD:

   a a b b 1



(

^{a b c}^–

)

⁰ ^{ac bc} ac ab bc ab a b c^.( ⁾ ba c⁽ ⁾ ^a ^{a c} b b c

< Þ < Þ + < + Þ + < + Þ < + +

a) Sử dụng (1), ta được:

a a a c

a b c a b a b c

  

     ;

b b b a

a b c b c a b c

  

     ;

c c c b

a b c c a a b c

  

     .

Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.

b) Sử dụng tính chất phân số, ta có:

a a a

a b c d a b c a c 

     

Tương tự:

b b b

a b c d b c d b d 

      ;

c c c

a b c d c d a a c 

      ;

(6)

d d d a b c d d a b d b 

     

Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.

IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

(7)