Bài 3
. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Phương trình bậc hai một ẩn (hay còn gọi là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: ax2bx c 0 (a0) trong đó a b c, , là những số thực cho trước được gọi là hệ số, x là ẩn số.
Chú ý: Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Nhận dạng và tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn
Đưa phương trình đã cho về dạng ax2+bx c+ =0, từ đó đưa ra kết luận về dạng phương trình và các hệ số.
Lưu ý: Phương trình bậc hai có hệ số a khác 0.
Ví dụ 1. Đưa các phương trình sau về dạng ax2bx c 0 và chỉ rõ các hệ số a b c, , .
a) 3x2 0. ĐS: x2 3 0, với a 1,b0,c3. . b) x2 x 3x1. ĐS: x24x 1 0, với a1,b 4,c 1.
c) 3x24x 2x2. ĐS: 3x2
4 2
x 2 0, với a3,b 4 2,c 2. d) (x1)2 3(x1). ĐS: x25x 2 0, với a1,b 5,c 2. Ví dụ 2. Đưa các phương trình sau về dạng ax2bx c 0 và chỉ rõ các hệ số a b c, , .a) 3x x 2 0. ĐS: x2 3x0, với a 1,b3,c0. b) x2 3x2x3. ĐS: x25x 3 0, với a1,b 5,c3.
c) 3x24x 2x2 2. ĐS:
3 2
x24x 2 0, với a 3 2,b 4,c2. d) (x1)2 2(x1). ĐS: x2 3 0, với a1,b0,c3. Ví dụ 3. Phương trình nào sau dây đưa được về phương trình bậc 2? Xác định hệ số a của phương trình đó (m là hằng số)a) 1mx x 2. ĐS: x2 mx 1 0;a1.
b) 1mx m 2. ĐS: Không đưa được về phương trình bậc 2.
c) m x2 24mx 2x21. ĐS:
m2 2
x24mx 1 0,a m 2 2.d) m x( 1)2 mx21. ĐS: Không đưa được về phương trình bậc 2.
Ví dụ 4. Phương trình nào sau dây đưa được về phương trình bậc 2? Xác định hệ số a của phương trình đó (m là hằng số)
a) x x 2m. ĐS: x2 x m 0,a1.
b) m m 2mx. ĐS: Không đưa được về phương trình bậc 2.
c) (m2 1)x2mx 3x2. ĐS: (m2 2)x2mx0,a m 22.
d) m x( 1)2 x(1mx). ĐS: Không đưa được về phương trình bậc 2.
Dạng 2: Sử dụng các phép biến đổi, giải phương trình bậc hai một ẩn cho trước
Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
Cách 2: Đưa phương trình đã cho về phương trình mà vế trái của phương trình đó là bình phương, còn vế phải là một hằng số.
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
a) x2 2x0. ĐS: x0;x2.
b) 3x2 2x. ĐS:
0; 2 x x 3
.
c) 3x212 0 . ĐS: x 2;x2.
d) x23x 2 0. ĐS: x1;x2.
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:
a) x23x0. ĐS: x0;x3.
b) x2 2x. ĐS: x0;x 2.
c) x2 2 0. ĐS: x 2;x 2.
d) x2 x 2 0. ĐS: x1;x 2. Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
a) (x1)2 4. ĐS: x1;x 3.
b) x22x3. ĐS: x1;x 3.
c) 2x24x 7 0. ĐS:
3 3
1; 1
2 2
x x .
d) 4x28x 5 0. ĐS:
1 5
2; 2 x x
. Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:
a) (x2)2 9. ĐS: x 1;x5.
b) x24x5. ĐS: x 1;x5.
c) 2x28x 5 0. ĐS:
3 3
2; 2
2 2
x x .
d) 4x216x 9 0. ĐS:
1 9
2; 2 x x
. Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:
a)
2 1
4 0 x x
. ĐS:
1 x 2
.
b) x2 x 2. ĐS: x 1; x2.
c) 2x22x 5 0. ĐS:
11 1 11 1
2 ; 2
x x .
d) x2 x 1 0. ĐS: PT vô nghiệm.
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau
a)
2 9
3 0
x x 4
. ĐS:
1 x2
.
b) x2 3x 4 0. ĐS: x 1; x2.
c) 2x26x 3 0. ĐS:
11 1 11 1
2 ; 2
x x .
d) x2 3x 3 0. ĐS: PT vô nghiệm.
Ví dụ 11. Giải các phương trình sau
a)
2 9
3 0
x x 4
. ĐS:
3 x2
.
b) x2 3x 4 0. ĐS: x 1; x4.
c) 2x26x 3 0. ĐS:
3 3 3 3
2 ; 2
x x .
d) x2 3x 3 0. ĐS: PT vô nghiệm.
Ví dụ 12. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm bằng 1
a) x2m2 4x. ĐS: m 3.
b) x2 (m3)x m 2 0. ĐS: m2,m 1. Ví dụ 13. Với giá nào của m thì phương trình sau có nghiệm bằng 1
a) x2 m2 4 0. ĐS: m 5.
b) m24mx 5 0 0. ĐS: m1,m 5. C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Đưa các phương trình sau về dạng ax2bx c 0 và tính tổng T a b c
a) 25 4 x2 0. ĐS: T 21.
b) x24x 5x 2. ĐS: T 0.
c) (x1)23x 4 0. ĐS: T 1.
d) x x( 3) 2x22x. ĐS: T 2.
Bài 2. Giải các phương trình sau
a) 4x2 9 0. ĐS:
3 x 2
.
b) x22 2x0. ĐS: x0;x2 2.
c) x22 2x2. ĐS: x 2.
d) x2 8x 5 0. ĐS: PT vô nghiệm.
Bài 3. Giải các phương trình sau
a) x2 2x0. ĐS: x0,x 2.
b) x2 5 0. ĐS: x 5.
c) x22x 8 0. ĐS: x2,x 4.
d) 2x24x 5 0. ĐS:
7 1 x 2
. Bài 4. Với giá nào của m thì phương trình sau có nghiệm là 1
a) 4x225m2 0. ĐS:
2 m 5
.
b) x23mx3m2 0. ĐS: Không tìm được m.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Ví dụ 1. Đưa các phương trình sau về dạng ax2bx c 0 và chỉ rõ các hệ số , ,
a b c.
a) 3x2 0. b) x2 x 3x1. c) 3x24x 2x2. d) (x1)2 3(x1). Lời giải.
a) Biến đổi PT 3x2 0 thành x2 3 0, với a 1,b0,c3.
b) Biến đổi PT x2 x 3x1 thành x24x 1 0, với a1,b 4,c 1.
c) Biến đổi PT 3x24x 2x2 thành 3x2
4 2
x 2 0, với3, 4 2, 2
a b c .
d) Biến đổi PT (x1)2 3(x1) thành x25x 2 0, với a1,b 5,c 2.
Ví dụ 2. Đưa các phương trình sau về dạng ax2bx c 0 và chỉ rõ các hệ số , ,
a b c.
a) 3x x 2 0. b) x23x2x3. c) 3x24x 2x22. d) (x1)2 2(x1). Lời giải.
a) Biến đổi PT 3x x 2 0 thành x2 3x0, với a 1,b3,c0. b) Biến đổi PT x23x2x3 thành x25x 3 0, với a1,b 5,c3.
c) Biến đổi PT 3x24x 2x2 2 thành
3 2
x24x 2 0, với3 2, 4, 2
a b c .
d) Biến đổi PT (x1)2 2(x1) thành x2 3 0, với a1,b0,c3.
Ví dụ 3. Phương trình nào sau dây đưa được về phương trình bậc 2? Xác định hệ số a của phương trình đó (m là hằng số)
a) 1mx x 2. b) 1mx m 2.
c) m x2 24mx 2x21. d) m x( 1)2 mx21. Lời giải.
a) Biến đổi 1mx x 2 thành x2mx 1 0;a1.
b) 1mx m 2 không đưa được về phương trình bậc 2.
c) Biến đổi m x2 24mx 2x2 1 thành
m2 2
x24mx 1 0,a m 2 2.d) m x( 1)2 mx21 không đưa được về phương trình bậc 2.
Ví dụ 4. Phương trình nào sau dây đưa được về phương trình bậc 2? Xác định hệ số a của phương trình đó (m là hằng số)
a) x x 2m. b) m m 2mx.
c) (m21)x2mx 3x2. d) m x( 1)2 x(1mx). Lời giải.
a) x x 2 m x2 x m 0,a1.
b) m m 2mx không đưa được về phương trình bậc 2. c) (m21)x2mx 3x2 (m22)x2mx0,a m 22.
d) m x( 1)2 x(1mx) không đưa được về phương trình bậc 2. Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
a) x22x0. b) 3x2 2x. c) 3x212 0 . d) x23x 2 0. Lời giải.
a) Biến đổi x22x0 thành x x( 2) 0 x 0 hoặc x 2 0, từ đó tìm được 0; 2
x x .
b) Biến đổi 3x2 2x thành x( 3x2) 0 x o hoặc 3x 2 0 , từ đó tìm
được 0; 2 x x 3
.
c) Biến đổi 3x212 0 . thành 3(x2)(x2) 0 hoặc đưa về x2 4, từ đó tìm được x 2;x2.
d) Biến đổi x23x 2 0 thành (x1)(x2) 0 x 1 0 hoặc x 2 0, từ đó tìm được 1;x2.
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:
a) x23x0. b) x2 2x. c) x2 2 0. d) x2 x 2 0. Lời giải.
a) Biến đổi x23x0 thành x x( 3) 0, từ đó tìm được x0;x3. b) Biến đổi x2 2x thành x x( 2) 0 , từ đó tìm được x0;x 2.
c) Biến đổi x2 2 0 thành (x 2)(x 2) 0 , từ đó tìm được x 2;x 2 . d) Biến đổi x2 x 2 0 thành (x1)(x2) 0 , từ đó tìm được x1;x 2. Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
a) (x1)2 4. b) x22x3. c) 2x24x 7 0. d) 4x28x 5 0. Lời giải.
a) Ta có PT (x1)2 4
1 2 1
3.
x x
x
b) Biến đổi x22x3 ta được
2 1
( 1) 4
3.
x x
x
Cách khác: đưa PT về dạng tích (x1)(x 3) 0.
c) Biến đổi 2x24x 7 0 ta được
2 2 9
2 4 7 0 ( 1)
x x x 2
, từ đó tìm được
3 3
1; 1
2 2
x x .
d) Biến đổi PT 4x28x 5 0 thành
2 5 2 9
2 ( 1)
4 4
x x x
, từ đó tìm được
1 5
2; 2 x x
.
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:
a) (x2)2 9. b) x24x5. c) 2x2 8x 5 0. d) 4x216x 9 0.
Lời giải.
a) Ta có PT (x2)2 9
2 3 1
5.
x x
x
b) Biến đổi x24x5 ta được
2 1
( 2) 9
5.
x x
x
Cách khác: đưa PT về dạng tích (x1)(x 5) 0.
c) Biến đổi 2x28x 5 0 ta được
2 2 3
2 8 5 0 ( 2)
x x x 2
, từ đó tìm được
3 3
2; 2
2 2
x x .
d) Biến đổi PT 4x216x 9 0 thành
2 9 2 25
4 ( 2)
4 4
x x x
, từ đó tìm được
1 9
2; 2 x x
.
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:
a)
2 1
4 0 x x
. b) x2 x 2.
c) 2x22x 5 0. d) x2 x 1 0. Lời giải.
a) Ta có PT
2 1
4 0 x x
2
2 1 1 1
2 0 0
2 4 2
x x x
, từ đó tìm được 1 x2
.
b) Biến đổi x2 x 2 thành
2
2 1 9 1 9
4 4 2 4
x x x
, từ đó tìm được 1; 2
x x .
Cách khác: chuyển vế đưa PT về dạng tích (x1)(x2) 0 .
c) Biến đổi PT đã cho 2x22x 5 0 thành
2
2 5 1 11
2 2 4
x x x , từ đó tìm
được
11 1 11 1
2 ; 2
x x .
d) Biến đổi PT đã cho x2 x 1 0 thành
1 2 3
2 4
x
PT vô nghiệm.
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau
a)
2 9
3 0
x x 4
. b) x23x 4 0.
c) 2x26x 3 0. d) x23x 3 0. Lời giải.
a) Ta có PT
2 9
3 0
x x 4
2
2 1 1 1
2 0 0
2 4 2
x x x
, từ đó tìm được 1 x2
.
b) Biến đổi x2 3x 4 0 thành
2
2 1 9 1 9
4 4 2 4
x x x , từ đó tìm được 1; 2
x x .
Cách khác: chuyển vế đưa PT về dạng tích (x1)(x2) 0 .
c) Biến đổi PT đã cho 2x26x 3 0 thành
2
2 5 1 11
2 2 4
x x x
, từ đó tìm
được
11 1 11 1
2 ; 2
x x .
d) Biến đổi PT đã cho x23x 3 0 thành
1 2 3
2 4
x
PT vô nghiệm.
Ví dụ 11. Giải các phương trình sau
a)
2 9
3 0
x x 4
. b) x23x 4 0.
c) 2x26x 3 0. d) x23x 3 0. Lời giải.
a) Ta có PT
2 9
3 0
x x 4
2
2 3 9 3
2 0 0
2 4 2
x x x
, từ đó tìm được 3 x2
.
b) Biến đổi x23x 4 0 thành
2
2 9 25 3 25
3 4 4 2 4
x x x , từ đó tìm được 1; 4
x x .
Cách khác: chuyển vế đưa PT về dạng tích (x1)(x4) 0 .
c) Biến đổi PT đã cho 2x26x 3 0 thành
2
2 3 3 3
3 2 2 4
x x x
, từ đó tìm
được
3 3 3 3
2 ; 2
x x .
d) Biến đổi PT đã cho x23x 3 0 thành
3 2 3
2 4
x
PT vô nghiệm.
Ví dụ 12. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm bằng 1 a) x2m2 4x. b) x2(m3)x m 2 0.
Lời giải.
a) PT có nghiệm là 1 1 m2 4 , từ đó tìm được m 3.
b) PT có nghiệm là 1 1 (m 3) m2 0, biến đổi thành (m2)(m 1) 0suyra
2, 1
m m .
Ví dụ 13. Với giá nào của m thì phương trình sau có nghiệm bằng 1 a) x2m2 4 0. b) m24mx 5 0 0.
Lời giải.
a) PT có nghiệm là 1 1 m2 4 0 , từ đó tìm được m 5.
b) PT có nghiệm là 1m24m 5 0 0, biến đổi thành (m1)(m 5) 0suyra 1, 5
m m .
Bài 1. Đưa các phương trình sau về dạng ax2bx c 0 và tính tổng T a b c a) 25 4 x2 0. b) x24x 5x 2.
c) (x1)23x 4 0. d) x x( 3) 2x22x. Lời giải.
a) Phương trình 25 4 x2 0 trở thành 4x225 0 a 4;b0;c25. Từ đó tìm được T 21.
b) Phương trình x2 4x 5x 2 trở thành x2 x 2 0 T 0 c) Phương trình (x1)23x 4 0 trở thành x25x 5 0 T 1.
d) Phương trình x x( 3) 2x22x trở thành
1 2
x2 x 0 T 2.Bài 2. Giải các phương trình sau
a) 4x2 9 0. b) x22 2x0. c) x22 2x2. d) x2 8x 5 0. Lời giải.
a) Biến đổi 4x2 9 0 thành
2 9 3
4 2
x x .
b) Biến đổi x22 2x0 thành x x( 2 2) 0 x 0;x2 2.
c) Biến đổi x22 2x2 thành
x 2
2 0 x 2.d) Biến đổi x2 8x 5 0 thành x2 2x 2 3
x 2
2 3 PT vô nghiệm.Bài 3. Giải các phương trình sau
a) x22x0. b) x2 5 0. c) x22x 8 0. d) 2x24x 5 0. Lời giải.
a) Biến đổi x22x0 thành x x( 2) 0 x 0,x 2. b) Biến đổi x2 5 0 thành x2 5 x 5.
c) Biến đổi x22x 8 0 thành (x2)(x4) 0 x 2,x 4. Cách khác: Biến đổi thành (x1)2 9 kết quả.
d) Biến đổi 2x24x 5 0 thành
2 2 7
2( 2 ) 5 ( 1) x x x 2
. Từ đó tìm được
7 7
1, 1
2 2
x x .
Bài 4. Với giá nào của m thì phương trình sau có nghiệm là 1 a) 4x225m2 0. b) x23mx3m2 0. Lời giải.
a) Điều kiện
2 2
4 25 0
m m 5
.
Biến đổi thành
1 2 1
2 12
m
PT vô nghiệm. Không tìm được m. --- HẾT ---