50 bài tập về diện tích hình chữ nhật (có đáp án 2022) – Toán 8

(1)

Diện tích hình chữ nhật

I. Lý thuyết

1. Khái niệm diện tích đa giác

- Số đo phần mặt phẳng bị giới hạn bởi đa giác gọi là diện tích đa gác.

- Mỗi đa giác chỉ có một số đo diện tích nhất định. Số đo đó là một số dương - Một số tính chất của diện tích đa giác:

+ Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.

+ Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của đa giác bằng tổng diện tích các đa giác đã chia.

+ Nếu chọn một hình vuông có độ dài cạnh là 1cm; 1dm; 1m làm đơn vị đo diện tích thì đơn vị diện tích của hình vuông đó tương ứng là 1cm²; 1dm²; 1m ² 2. Công thức tính diện tích hình chữ nhật

Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó (tích chiều dài và chiều rộng)

Cho hình chữ nhật ABCD có DC = a; BC = b Diện tích hình chữ nhật: S = a.b (đơn vị diện tích) 3. Diện tích hình vuông

Diện tích hình vuông bằng bình phương độ dài cạnh của nó.

(2)

Hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a Diện tích hình vuông: S = a²(đơn vị diện tích) 4. Diện tích tam giác vuông

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c; AC = b Diện tích tam giác vuông ABC: S = 1

2bc(đơn vị diện tích) II. Dạng bài tập

Dạng 1: Tính diện tích đa giác

Phương pháp giải: Sử dụng các khái niệm diện tích của đa giác và cách chia nhỏ một đa giác.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Tia AM cắt tia DC tại điểm E. Chứng minh: S_ABCD S_AED

(3)

Lời giải:

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC

Vì AB // CD nên AB // CE ABM ECM(hai góc so le trong) Xét hai tam giác ABM và tam giác ECM có:

BM = CM (chứng minh trên) ABMECM(chứng minh trên) AMBEMC(hai góc đối đỉnh) Do đó ABM ECM(g – c – g)

ABM ECM

S S

  (1)

Ta có:

ABCD ABM AMCD

S S S (2)

AED ECM AMCD

S S S (3)

Từ (1), (2) và (3) S_ABCD S_AED (điều phải chứng minh) Dạng 2: Bài toán liên quan đến diện tích hình chữ nhật

Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật S = a.b (đơn vị diện tích)

với a, b là chiều dài và chiều rộng Công thức tính chu vi hình chữ nhật C = (a + b). 2 (đơn vị độ dài)

(4)

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chu vi là 50cm và diện tích là 150 cm². Tính chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật.

Lời giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

50 : 225cm

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x ( 0 < x < 25) Khi đó chiều rộng của hình chữ nhật là 25 – x Chiều dài lớn hơn chiều rộng x > 25 – x

x > 12, 5

Vậy điều kiện của x là 12,5 < x < 25 Diện tích hình chữ nhật là x(25 – x) cm²

Mà diện tích hình chữ nhật là 150 cm² nên ta có:

 

x 25 x 150 25x x2 150

  

x2 25x 150 0

   

x2 15x 10x 150 0

    

   

x x 15 10 x 15 0

    



^{x 15 x 10}

 

⁰

   

x 15 0 x 10 0

 

   

x 15 (tm) x 10 (ktm)

 

  

Với chiều dài hình chữ nhật là 15cm chiều rộng hình chữ nhật là : 25 – 15 = 10cm

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 15cm; chiều rộng hình chữ nhật là 10cm

(5)

Ví dụ 2: Hình chữ nhật có diện tích là 6000 cm². Nếu chiều dài tăng thêm 20cm và chiều rộng giảm 5cm thì diện tích tăng 600 cm². Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu.

Lời giải:

Gọi chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là x, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là y (0 < y < x)

Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là xy

 

^cm²

Chiều dài hình chữ nhật sau khi tăng thêm 20cm là x + 20 (cm) Chiều rộng hình chữ nhật sau khi giảm 5cm là y – 5 (cm)

Diện tích hình chữ nhật mới là: (x + 20)(y – 5) = xy + 20y – 5x – 100

 

^cm²

Vì diện tích mới tăng thêm 600 cm²ta có:

xy + 20y – 5x – 100 – xy = 600

-5x + 20y – 100 = 600

20y – 5x = 600 + 100

20y – 5x = 700

4y – x = 140

x = 4y – 140

Mà xy = 6000 cm² nên ta có:

(4y – 140)y = 6000

(6)

4y2 140y 6000

  

y2 35y 1500 0

   

y2 60y 25y 1500 0

    

   

y y 60 25 y 60 0

    



^y ^{25 y 60}

 

⁰

   

y 25 0 y 60 0

 

   

y 25 (ktm) y 60 (tm)

  

  

Với y = 60 cm  x 6000 : 60 100 cm Chu vi hình chữ nhật ban đầu là:

C = (a + b). 2 = (100 + 60).2 = 320cm

Dạng 3: Bài toán liên quan đến diện tích hình vuông

Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính diện tích hình vuông

Hình vuông có cạnh bằng a: diện tích hình vuông: S = a²(đơn vị diện tích) Chu vi hình vuông có cạnh bằng a: c = 4.a (đơn vị độ dài)

Ví dụ 1: Một hình vuông có cạnh bằng a. Khi độ dài mỗi cạnh tăng 5% thì diện tích hình vuông tăng bao nhiêu %?

Lời giải:

Diện tích hình vuông có cạnh bằng a là: a²(đơn vị diện tích)

Khi độ dài mỗi cạnh 5% thì độ dài cạnh hình vuông mới là: a + a.5% = a + 0,05a = 1,05a (đơn vị độ dài)

Diện tích hình vuông mới có cạnh 1,05a là:



^1,05a



² ^^1,1025a²(đơn vị diện tích) Tỉ số % diện tích hình vuông mới so với hình vuông ban đầu là:

(7)

1,1025 a²: a².100% = 110,25%

% diện tích tăng thêm là:

110,25% - 100% = 10,25%

Vậy diện tích tăng thêm là 10,25%.

Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có diện tích là 192 cm². Biết tỉ lệ của chiều rộng và chiều dài là 1:3.

Tính diện tích hình vuông có cùng chu vi với diện tích hình chữ nhật trên.

Lời giải:

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là x (cm) thì chiều dài của hình chữ nhật là 3x (cm).

Diện tích hình chữ nhật là : 3x.x = 192 cm² 3x2 192

 

x2 192 : 3

  x2 64

  x 8

  (cm)

Chiều rộng của hình chữ nhật là 8cm

Chiều dài của hình chữ nhật là 3.8 = 24cm Chu vi hình chữ nhật là:

(8 + 24). 2 = 64cm

Cạnh hình vuông có cùng chu vi với hình chữ nhật là 64 : 4 = 16cm

Diện tích hình vuông có cùng chu vi với hình chữ nhật là:

S 16.16 256cm2

Vậy diện tích hình vuông là 256cm²

Dạng 4: Các bài toán có liên quan đến diện tích tam giác vuông

(8)

Phương pháp giải: Sử dụng định lý Py – ta – go và công thức thức tính diện tích tam giác vuông.

Tam giác ABC vuông tại A . Diện tích tam giác ABC: S = 1

AB.AC 2

2 2 2

AB AC BC

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm; BC = 5cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

2 2 2

AB AC BC (Định lý Py – ta – go)

2 2 2

3 AC 5

  

9 AC2 25

   AC2 25 9

  

AC2 16

 

AC 4cm

 

1 1 2

S AB.AC 3.4 6cm

2 2

  

Vậy diện tích tam giác ABC là 6cm².

(9)

Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác vuông có cạnh huyền bằng 13 và tổng hai cạnh góc vuông là 17.

Lời giải:

Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là x cm (0 < x < 17).

Vì tổng hai cạnh góc vuông là 17 nên cạnh góc vuông thứ hai là 17 – x cm Giả sử x là cạnh góc vuông lớn trong hai cạnh góc vuông

x 17 x

   2x 17

  x 17 : 2

  x 8,5

 

Áp dụng định lý Py – ta – go cho tam giác vuông ta có:

 

²

2 2

x  17x 13

2 2

x 289 34x x 169

    

2x2 34x 289 169 0

    

2x2 34x 120 0

   

2x2 24x 10x 120 0

    

   

2x x 12 10 x 12 0

    



^{x 12 2x 10}

 

⁰

   

x 12 0 2x 10 0

 

   

x 12 2x 10

 

  

x 12 (tm) x 5 (ktm)

 

  

Với x = 12 thì độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 12cm và 5cm

(10)

Diện tích tam giác vuông cần tính là:

1 2

S .12.5 30cm

 2  . III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Từ A và C kẻ AH và CK vuông góc với BD.

Chứng minh:

a) S_ABCH S_ADCK b) S_ABCK S_ADCH

Bài 2: Cho hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 40cm và các cạnh tỉ lệ với 3 và 4. Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật đó.

Bài 3: Một thửa ruộng hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài thêm 20m và chiều rộng giảm đi 5m thì diện tích tăng 600 m . Nếu giảm chiều dài đi 10m và tăng chiều ² rộng lên 10m thì diện tích tăng 300 m . Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu. ² Bài 4: Một hình chữ nhật ABCD có AD = 7cm, BD = 25cm. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của OA, OB, OC, OD. Tính diện tích tứ giác MNPQ.

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng phía ngoài tam giác hình vuông ABFG, ACKI, BCDE. Chứng minh:

a) S_FBC S_ABE

b) S_BCDE S_ABFG S_ACKI

Bài 6: Nếu tăng độ dài mỗi cạnh hình vuông lên 3 lần thì diện tích hình vuông tăng lên mấy lần?

Bài 7: Một hình thang cân có hai đường chéo vuông góc với nhau. Độ dài đường chéo là 6cm. Tính diện tích tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình thang cân đó.

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác góc A và C cắt đường chéo BD tại E và F. Chứng minh:

a) S_ABCFE S_ADCFE

(11)

b) S_ABCE S_ADCF

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A. Có AB = 6; BC = 10. Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 10: Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích là 100 cm²hình nào có chu vi nhỏ nhất.