Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay ABC quanh trục AB, biết BC2a

CHUYÊN ĐỀ NÓN-TRỤ-CẦU (16-10-2021) VẤN ĐỀ 1. MẶT NÓN

Câu 1. Cho hình nón có đường sinh bằng 4 ,a diện tích xung quanh bằng 8a². Tính chiều cao của hình nón đó theo a.

A. 2a 3. B. 2a. C. a 3. D. 2 3

3 a .

Câu 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc ABC 60 . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay ABC quanh trục AB, biết BC2a.

A. 3 ³

3 V  a

 . B. V 3a³. C. V a³. D. V a³.

Câu 3. Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hinh nón là

A. 1 ²

3 3a . B. 1 ²

3 2a . C. 1 ²

2 3a . D.  3a².

Câu 4. Cho khối nón có bán kính đáy r 3 và chiều cao h4. Tính thể tích V của khối nón đã cho.

A. V 16 3. B. V 12. C. V 4 . D. V 4.

Câu 5. Cắt một hình nón bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích toàn phần của hình nón đó.

A. 6a². B. 24a². C. 3a². D. 12a².

Câu 6. Cho hình nón tròn xoay có đường cao h30cm, bán kính đáy r40cm. Tính độ dài đường sinh l của hình nón.

A. l50cm. B. l50 2cm_. ^{C. l}^40cm. D. l52cm. Câu 7. Người thợ gia công của một cơ sở chất

lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn với bán kính 60 cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích V của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?

A. 16000 2 V  3 lít.

B. 16 2 V _ 3 

lít.

C. 16000 2 V _ 3 

lít.

D. 160 2

V _ 3  _lít.

Câu 8. Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một hình cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất?

O h

l

r

A. 4

 _{. B.}

3

 _{. C.} 2 6

3 . D.

2

 _.

Câu 9. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi V V₁, ₂ lần lượt là thể tích của khối cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón đã cho. Tính tỉ số ¹

2

V V .

A. 8 . B. 4. C. 2. D. 16 .

Câu 10. Một hình nón được gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên mặt cầu. Tìm chiều cao h của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính R3.

A. 9

2 . B. 4. C. 15

2 . D. 15

4 ^.

Câu 11. Cắt hình nón đỉnh I bới một mặt phẳng đi qua trục của hình nón ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2, BC là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng IBC tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 60. Tính theo a diện tích S của tam giác IBC.

A.

2 2

6

S  a . B.

2

3

S  a . C.

2 2

3

S  a . D.

2 2

3 S  a .

Câu 12. Cho hình nón đỉnh S , đáy là đường tròn tâm O, bán kính R5. Một thiết diện qua đỉnh S là tam giác đều SAB cạnh bằng 8 , khoảng cách từ O đến mặt phẳng



^SAB



^bằng

A. ^{d O SAB}



^,

  

^{ 13}₃ ^{. B. d O SAB}



^,

  

^{ 13.}

C. ^{d O SAB}



^,

  

^{ 4 13}₃ ^{. D. d O SAB}



^,

  

^{3 13}₄ ^.

Câu 13. Tại trung tâm một thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng cột trang trí hình nón có kích thước như sau: chiều dài đường sinh l10m, bán kính đáy R5m. Biết rằng tam giác SABlà thiết diện qua trục của hình nón và C là trung điểm SB. Trang trí một hệ thống đèn điện tử chạy từ

A đến C trên mặt nón. Xác định giá trị ngắn nhất của chiều dài dây đèn điện tử.

A. 10 m . B. 15m . C. 5 5 m . D. 5 3 m .

Câu 14. Một bình đựng đầy nước hình nón (không có nắp đáy) có chiều cao gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào bình một khối trụ và đo được lượng nước trào ra là

6 (  dm

²

)

. Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy nón và chiều cao khối trụ bằng đường kính của đáy hình nón. Tính thể tích khối nón.

A.

V  27 (  dm

³

)

. B.

V  64 (  dm

³

)

. C.

V  8 (  dm

³

)

. D.

V  125 (  dm

³

)

Câu 15. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh

S

và đáy là đường tròn

C O R ( ; )

có thể tích V, với

( 0)

R a a  

,SO3 , 'a O SO thỏa mãn

OO   x (0   x 3 ) a

. Mặt phẳng

( ) 

vuông góc với

SO

tại

O '

cắt hình nón tròn xoay theo giao tuyến là đường tròn

( ') C

. Khi khối nón đỉnh

O

, đáy là đường tròn

( ') C

đạt giá trị lớn nhất là

V

₁, tính tỉ số giữa thể tích khối nón đỉnh

O

và khối nón đỉnh

S

. A. ¹

23

27 V

V 

. B. ¹

4 27 V

V 

. C. ¹

4 23 V

V 

. D. ¹

1 3 V V 

Câu 16. Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế tạo ra một hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2 60 bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của hình nón (xem hình vẽ). Biết rằng chiều cao của hình nón là 9 cm. Bỏ qua bề dày của các lớp vỏ thủy tinh, tổng thể tích của hai khối cầu bằng

A. ³⁸₃^

 

^{cm3 . B. 40}₃^

 

^{cm3 .}

C. ¹⁰⁰₃^

 

^{cm3 . D. 112}₃^

 

^{cm3 .}

Câu 17. Cho nửa hình cầu bán kính R không đổi. Một hình nón có chiều cao h, bán kính đáy là r tiếp xúc với nửa hình cầu như hình vẽ (hai đường tròn đáy là đồng tâm và cùng thuộc một mặt phẳng). Khi diện tích xung quanh của hình nón là nhỏ nhất, khẳng định nào sau đây đúng ?

A. hr. B. h 2r^{. C.} h 3r^{. D.} h2 3r^. VẤN ĐỀ 2. MẶT TRỤ

Câu 18. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ này.

A. . B. . C. . D. .

Câu 19. Cho khối trụ có bán kính đáy r 3 và chiều cao h4. Tính thể tích V của khối trụ đã cho.

A. V 16



3. B. V 12. C. V 8



3. D. V 4 .

Câu 20. Một hình trụ có bán kính đáy bằng và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ đó là

A. B. C. D.

Câu 21. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có cạnh bằng 2a. Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lập phương ABCD A B C D.     bằng

A.

3

2

a

. B. 8a³. C. 4a³. D. 2a³.

Câu 22. Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích 81m2 người ta đào một cái ao nuôi cá hình trụ (như hình vẽ) sao cho tâm của hình tròn đáy trùng với tâm của mảnh đất. Ở giữa mép ao và mép mảnh đất người ta để lại một khoảng đất trống để đi lại, biết khoảng cách nhỏ nhất giữa mép ao và mép mảnh đất là ^x

 

^m . Giả sử chiều sâu của ao cũng là ^x

 

^m . Tính thể tích lớn nhất V_max của ao.

A. ^{Vmax 13,5}

 

^{m3 .}

B. Vmax 27

 

m³ . C. Vmax 36

 

m³ . D. Vmax 72

 

m³ .

Câu 23. Người ta thả một quả bóng hình cầu vào một cái thùng hình trụ sao cho quả bóng chạm đến đáy thùng thì mực nước dâng lên tại vị trí cao nhất của quả bóng. Biết rằng bán kính đáy thùng bằng 10cm và chiều cao mực nước ban đầu là 5cm. Bán kính quả bóng xấp xỉ là

A. 3,14 cm . B. 5,34 cm . C. 149,98cm . D. 2, 62 cm .

 

²

24 cm ^22

 

^{cm2 26}

 

^{cm2 20}

 

^cm2

r

6r2. 2r². 8r². 4r².

Câu 24. Cho hình lập phương có cạnh bằng 40cm và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S₁, S₂ lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính S S ₁ S₂

 

^{cm . 2}

A. ^{S4 2400}



^



^{. B. S2400 4}



^



^{. C. S2400 4 3}



^{ }



^{. D. S4 2400 3}



^{ }



^.

Câu 25. Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với

2

AB BC  ADa . Quay hình thang và miền trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành

A. 4 ³

3

V _ a _{. B.} 7 ³ 3

a _{. C.} V a3. D. 5 ³ 3 V _ a _.

Câu 26. Ông A dự định sử dụng hết 6 m² tôn để làm một bồn đựng thóc hình trụ có đáy và nắp đậy. Giả sử các mép gò có kích thước không đáng kể. Hỏi thể tích lớn nhất của bồn có thể làm được là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ?

A. 1,02 m³. B. 1,13 m³. C. 1,51 m³. D. 1,35 m³.

Câu 27. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a. Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng

 

^P song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng

2

a ta được thiết diện là một hình vuông.

Tính thể tích khối trụ.

A. 3a³. B. a³ 3. C.

3 3

4

a

. D.



a³.

Câu 28. Cho hình chữ nhât ABCD có AB a AD a ;  3. Tính thể tích V của khối trụ được tạo thành khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh cạnh AD.

A. V 3a³ 3. B. V a³ 3. C.

3 3

 a3 V 

. D. V 3a³.

Câu 29. Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

A. a². B. 2a². C. 3a². D. 4a².

Câu 30. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB1 và AD2. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần S_tp của hình trụ đó.

A. S_tp 6 . B. S_tp 2. C. S_tp 4 . D. S_tp 10 . Câu 31. Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy a và đường cao

3 a .

A. ^2a2



^{3 1}



^.

B. a² 3. C. ^a2



^{1 3}



^.

D. ^2a2



^{1 3}



^.

Câu 32. Một khối trụ (T) có thể tích bằng ^81



^cm2



và có đường sinh gấp ba lần bán kính đáy. Độ dài đường sinh của (T) là:

A. 12cm B. 3cm C. 6cm D. 9cm

Câu 33. Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

A.

a3

 . B. a³. C.

3

2 a

. D. 2a³.

a 3

a

Câu 34. Ông Bình muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng ^{3 m}

 

. Ông muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M, N thuộc cạnh BC; P, Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng

MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà Ông Bình có thể làm được là

A. 500000 3



(cm )3 . B. ^{600000 3}_

 

^{cm3 .}

C. ^{700000 3}_

 

^{cm3 . D.800000 3}_

 

^{cm3 .}

Câu 35. Cho lăng trụ đứng ABC A B C.    có độ dài cạnh bên bằng 3a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, góc giữa AC và mặt phẳng



^{BCC B }



^bằng

30 (tham khảo hình vẽ). Diện tích toàn phần của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC A B C.    bằng:

A.9 ( 2 1)  a². B. 9 ( 2 2)  a². C. 9 2a². D. 9a².

Câu 36. Người ta cần sản xuất một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ không có nắp với đáy cốc và thành cốc làm bằng thủy tinh đặc, phần đáy cốc dày đều 1,5cm và thành xung quanh cốc dày đều 0, 2 cm (hình vẽ). Biết rằng chiều cao của chiếc cốc là 15cm và khi ta đổ 180 ml nước vào cốc thì đầy cốc. Nếu giá thủy tinh thành phẩm được tính là 500 đ /1 cm³ thì giá tiền thủy tinh để sản xuất chiếc cốc đó gần nhất với số nào sau đây?

A. 25 nghìn đồng. B. 20 nghìn đồng.

C. 40 nghìn đồng. D. 30 nghìn đồng.

Câu 37. Một công ty dự kiến làm một đường ống thoát nước thải hình trụ dài ^{1 km}

 

, đường kính trong của ống (không kể lớp bê tông) bằng ^{1 m}

 

, độ dày của lớp bê tông bằng ^{10 cm}

 

. Biết rằng cứ một mét khối bê tông phải dùng 8 bao xi măng. Số bao xi măng công ty phải dùng để xây dựng đường ống thoát nước là

A. 2765 bao. B. 2262 bao. C. 5278 bao. D. 3000 bao.

Câu 38. Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn

 

^{O và}

 

^O . Trên hai đường tròn

 

^{O và}

 

^O lần lượt lấy hai điểm A, B sao cho góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng chứa đường tròn đáy bằng

45o, khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục OO' bằng 2 2

a . Biết bán kính đáy bằng a, tính thể tích của khối trụ theo a.

A. ³ 2

6

V _a _{. B.} V a3 2. C. ³ 2 2

V _a _{. D.} ³ 2 3 V _a _. VẤN ĐỀ 3. MẶT CẦU

Câu 39. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.

B. Bất kì một hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.

C. Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.

D. Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.

Câu 40. Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật có các kích thước a, 2a, 3a. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a2 3R. B. 3 3

a R. C. a2R. D. 14 7 a R. A

B M N C

Q P

B C

A

B C

A

Câu 41. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a 2. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD theo a.

A. 8 ³ 2 3

a _{. B.} 4



a3. C. 4 ³

3a . D. 8



a³.

Câu 42. Cho hình chóp tứ giác đều có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60. Biết rằng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó có bán kính R a 3. Tính độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều nói trên.

A. 12

5 a. B. 2a. C. 3

2a. D. 9

4a.

Câu 43. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành, các cạnh bên của hình chóp bằng 6 cm, AB4cm. Khi thể tích khối chóp S ABCD. đạt giá trị lớn nhất, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S ABCD. .

A. 12 cm². B. 4 cm². C. 9 cm². D. 36 cm². Câu 44. Mặt cầu

 

^S có diện tích bằng 20 , thể tích khối cầu

 

^{S bằng}

A.20 5. B.20 3

 _{. C.}20 5

3

 _{. D.}4 5

3

 _.

Câu 45. Cho mặt cầu

 

S1 có bán kính R₁, mặt cầu

 

S2 có bán kính R₂2 .R₁ Tính tỉ số diện tích của mặt cầu

 

S2 và

 

S1 .

A.4. B.2. C.1

2. D.3 .

Câu 46. Cho hình cầu đường kính 2a 3. Mặt phẳng

 

^P cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có bán kính bằng a 2. Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng

 

^{P .}

A.a. B.

2

a. C.a 10. D. 10

2 a .

Câu 47. Người ta xếp bảy viên bi là các khối cầu có cùng bán kính R vào một cái lọ hình trụ. Biết rằng các viên bi đều tiếp xúc với hai đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với sáu viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Tính theo R thể tích lượng nước cần dùng để đổ đầy vào lọ sau khi đã xếp bi.

A. 6R³. B.

26 3

3

R _{. C. 3}

18R . D.

28 3

3

R _.

Câu 48. Cho khối cầu

 

^{S tâm ,I bán kính R} không đổi. Một khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất.

A. h R 2. B. 3

3

h R . C. 2

2

h R . D. 2 3 3 h R .

Câu 49. Cho tứ diện ABCD có AB BC AC BD 2a, ADa 3; hai mặt phẳng



^ACD



^và



^BCD



vuông góc với nhau. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng A. 64 ²

27

a

. B. 4 ²

27

a

. C. 16 ²

9

a

. D.64 ²

9

a .

Câu 50. Cho tứ diện ABCD có ABCD3, AD BC5, AC BD6. Tính thê tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

A. 35  ( đvtt). B. 35 ( đvtt). C. 35 35

6 ( đvtt). D. 35 35  ( đvtt).

Câu 51. Cho tứ diện đều ABCD có một đường cao AA₁. Gọi I là trung điểm AA₁. Mặt phẳng



^DCI



chia tứ diện ABCD thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó.

A. 43

51^{. B.}

1

2. C. 1

4. D. 48

153^.

Câu 52. Cho mặt cầu

 

^{S tâm O} có các điểm A, B, C nằm trên mặt cầu

 

^S sao cho AB3, 4

AC , BC5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng



^ABC



^{bằng 1}. Thể tích của khối cầu

 

^S bằng A. 7 21

2

 _{. B.} 20 5 3

 _{. C.} 29 29

6

 _{. D.} 29 29

3

 _. Câu 53. Mặt cầu

 

^S có diện tích bằng 20 , thể tích khối cầu

 

^S bằng

A. 20 5 . B. 20 3

_{. C.} 20 5 3

 _{. D.} 4 5

3

 _.

Câu 54. Cho mặt cầu

 

S1 có bán kính R1, mặt cầu

 

S2 có bán kính R2 2 .R1 Tính tỉ số diện tích của mặt cầu

 

S2 và

 

S1 .

A. 4. B.2 . C.1

2 . D.3 .

Câu 55. Cho hình cầu đường kính 2a 3. Mặt phẳng

 

^P cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có bán kính bằng a 2. Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng

 

^{P .}

A. a. B.

2

a . C.a 10 . D. 10

2 a .

Câu 56. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng

 

^{ qua A} và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M , N, P. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.

A. 32 V _ 3

. B. 64 2

V _ 3 

. C. 108

V _ 3

. D. 125

V _ 6 .

Câu 57. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCDlà hình thoi cạnh a, ABC120, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC.

A. 41

6 a B. 37

6 a C. 39

6 a D. 35

6 a BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.C 3.A 4.C 5.C 6.A 7.B 8.C 9.A 10.B

11.C 12.D 13.C 14.A 15.B 16.D 17.B 18.A 19.B 20.A

21.C 22.A 23.D 24.B 25.D 26.B 27.B 28.B 29.D 30.C

31.D 32.B 33.A 34.A 35.A 36.D 37.A 38.B 39.A 40.D

41.C 42.A 43.D 44.C 45.A 46.A 47.B 48.D 49.D 50.C

51.A 52.C 53.C 54.A 55.A 56.A 57.C

LỜI GIẢI

Câu 1. Cho hình nón có đường sinh bằng 4 ,a diện tích xung quanh bằng 8a². Tính chiều cao của hình nón đó theo a.

A. 2a 3. B. 2a. C. a 3. D. 2 3

3 a .

Lời giải

Tác giả: Vũ Văn Tuấn ; Fb:Vũ Văn Tuấn Chọn A

Ta có:

2 2

2 8 8

8 2

xq 4

a a

S rl a r a

l a

 

      .

Ta có: h l²r²  16a² 4a² 2a 3.

Câu 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc ABC 60 . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay ABC quanh trục AB, biết BC2a.

A. 3 ³

3 V  a

 . B. V 3a³. C. V a³. D. V a³. Lời giải

Tác giả: Vũ Văn Tuấn ; Fb:Vũ Văn Tuấn Chọn C

.

Khối tròn xoay tạo thành khi quay ABC quanh trục AB là khối nón có trục là AB và đường sinh là BC.

Trong ABC có AC BC sinABC a .  3, AB BC cos ABC a .  . Vậy thể tích khối nón là 1 ^{2 3}

. .

V 3 AC ABa .

Câu 3. Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hinh nón là

A. 1 ²

3 3a . B. 1 ²

3 2a . C. 1 ²

2 3a . D.  3a². Lời giải

Tác giả: Vũ Văn Tuấn ; Fb:Vũ Văn Tuấn

Chọn A

Ta có: 3

3 ;

r BH a l SA a  ² 3

xq 3

S rl a

   .

Câu 4. Cho khối nón có bán kính đáy r 3 và chiều cao h4. Tính thể tích V của khối nón đã cho.

A. V 16 3. B. V 12. C. V 4 . D. V 4. Lời giải

Tác giả: Đinh Thị Duy Phương; Fb: Đinh Thị Duy Phương Chọn C

1. . .2 4 V 3 r h  .

Câu 5. Cắt một hình nón bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích toàn phần của hình nón đó.

A. 6a². B. 24a². C. 3a². D. 12a². Lời giải

Tác giả: Đinh Thị Duy Phương; Fb: Đinh Thị Duy Phương Chọn C

Ta có 2 3 2 3

h a a ,l2a, r a.

Diện tích toàn phần của hình nón là S_tprlr². .2a a.a²3a².

Câu 6. Cho hình nón tròn xoay có đường cao h30cm, bán kính đáy r40cm. Tính độ dài đường sinh l của hình nón.

A. l50cm. B. l50 2cm_. ^{C. l}^40cm. D. l52cm. Lời giải

Tác giả: Đinh Thị Duy Phương; Fb: Đinh Thị Duy Phương Chọn A

Ta có: l h² r² 30²40² 50cm

Câu 7. Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn với bán kính 60 cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích V của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?

A. 16000 2

V  3 lít. B. 16 2

V _ 3  _{lít. C.} 16000 2

V _ 3  _{lít. D.} 160 2 V _ 3  _lít.

Lời giải

Tác giả:Bích Phượng; Fb: Bích Phượng Chọn B

Đổi 60 cm 6 dm .

Đường sinh của hình nón tạo thành là l6 dm. Chu vi đường tròn ban đầu là C2R12.

Gọi r là bán kính đường tròn đáy của hình nón tạo thành.

Chu vi đường tròn đáy của hình nón tạo thành là 2 .6

2 . 4 dm

r 3

    4

2 2dm r 

    . Đường cao của khối nón tạo thành là h l²r²  6²2² 4 2.

Thể tích của mỗi cái phễu là 1 ² 1 .2 .4 2² 16 2 dm³ 16 2

3 3 3 3

V  r h      lít.

Câu 8. Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một hình cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất?

O h

l

r

A. 4

 _{. B.}

3

 _{. C.} 2 6

3 . D.

2

 _.

Lời giải

Tác giả:Bích Phượng; Fb: Bích Phượng Chọn C

Dựa vào hình vẽ, độ dài cung AB lớn bằng Rx, bán kính hình nón 2 r Rx

  Đường cao của hình nón h R²r^{2 2 2 2}₂

4 R R x

   4 ^{2 2}

2

R  x

  

Thể tích khối nón (phễu) 1 ²

V 3r h 1 . ^{2 2}₂ . 4 ^{2 2}

3 4 2

R x R x

 

 

  ³2 ⁴



4 ^{2 2}



24

R x  x

  

Theo Cauchy ta có ^{x x}_{2 2}^{2. 2. 4}



^2x2

  

^{ 4}₂₇^{2 3  V 2 3}₂₇^{R3 .}

Dấu bằng xảy ra khi

2 4 2 2

2

x   x 2 6 x 3 

  . Vậy thể tích phễu lớn nhất khi 2 6 x 3  . Câu 9. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi V V₁, ₂ lần lượt là thể tích của khối cầu

ngoại tiếp và nội tiếp hình nón đã cho. Tính tỉ số ¹

2

V V .

A. 8 . B. 4. C. 2. D. 16 .

Lời giải

Tác giả: Trần Tuấn Anh ; Fb:Trần Tuấn Anh Chọn A

Xét tam giác đều SABlà thiết diện qua trục của hình nón như hình vẽ.

Giả sử cạnh của tam giác đều SAB bằng 1.

Gọi I là trọng tâm tam giác đều SAB, khi đó I vừa là tâm mặt cầu nội tiếp vừa là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón đã cho.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón: ₁ 3 R SI 3 . Bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón: ₂ 3

R IO 6 . Khi đó R₁2R₂.

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón: ₁ 4 ₁³ 3 . V   R . Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón: ₂ 4 ₂³

3 . V   R .

Vậy

3

1 1

2 2

V R 8

V R

  

   .

Câu 10. Một hình nón được gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên mặt cầu. Tìm chiều cao h của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính R3.

A. 9

2 . B. 4. C. 15

2 . D. 15

4 ^. Lời giải

Tác giả: Trần Tuấn Anh ; Fb:Trần Tuấn Anh Chọn B

Gọi chiều cao của hình nón là ^x



^{0 x 2R}



^.

Gọi bán kính đáy của hình nón là r.

Ta có ^{r2OM2OH2 R2}



^xR



^{22Rx x 2 x}



^2Rx



^x



^6x



. Thể tích của hình nón là ^{1. . .2 1 . 2}



⁶



3 r x 3 x x

V      . Xét hàm số ^{f x}

 

^x2



^6x



trên khoảng

 

^{0;6 .}

Ta có ^{f x}

 

^{12x3 ,x2 f x}

 

^0x4



^x0



^.

Bảng biến thiên:

Theo bảng biến thiên ta có

 _0;6

   

max f x  f 4 32.

Vậy 32

maxV _ 3 đạt được khi chiều cao h4.

Câu 11. Cắt hình nón đỉnh I bới một mặt phẳng đi qua trục của hình nón ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2, BC là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng IBC tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 60. Tính theo a diện tích S của tam giác IBC.

A.

2 2

6

S  a . B.

2

3

S  a . C.

2 2

3

S  a . D.

2 2

3 S  a . Lời giải

Tác giả: Trần Quốc Đại; Fb: Trần Quốc Đại.

Chọn C

Tam giác IDC vuông cân có DC a 2 ² 2 IH HC a

   và IC a Gọi E là trung điểm cạnh BC,



^{ }IBC , BCD



IEH 60

Trong tam giác IHE có 2

sin 60 3 IH a IE 



Tam giác IEC có EC IC²IE^{2 2} 2 ² 3

3 3

a a a

   .

.

S IE EC 2 2 ²

. 3

3 3

a a a

  .

Câu 12. Cho hình nón đỉnh S , đáy là đường tròn tâm O, bán kính R5. Một thiết diện qua đỉnh S là tam giác đều SAB cạnh bằng 8 , khoảng cách từ O đến mặt phẳng



^SAB



bằng

A. ^{d O SAB}



^,

  

^{ 13}₃ ^{. B. d O SAB}



^,

  

^{ 13.}

C. ^{d O SAB}



^,

  

^{ 4 13}₃ ^{. D. d O SAB}



^,

  

^{3 13}₄ ^.

Lời giải

Tác giả: Trần Quốc Đại; Fb: Trần Quốc Đại.

Chọn D

H O A

S

A'

B K

Gọi H là trung điểm AB

 OH AB SH AB

 

 

 ^AB



^SOH



^



^SAB

 

^{ SOH}



^,



^SAB

 

^{ SOH}



^SH.

Trong mặt phẳng



^SOH



^{, kẻ OK SH ,}



^{K SH}



^{OK }



^SAB



^{d O SAB}



^,

  

^OK.

Tam giác SAB đều cạnh bằng 8 , có SH là đường cao  ^{8 3}

SH  2 4 3. Tam giác OAB cân tại O, có AB8 , OA OB R  5.

2 2

OH OA AH

   ^{2 2}

2 OA  AB

   

2 2

5 4 3

   . Tam giác SOH vuông tại O, có OK là đường cao

2 2

SO SH OH ^

 

^{4 3 232  39.}

2 2 2

1 1 1

OK  SO OH 1 1

39 9 16

117  117

OK  16 ^{3 13}

 4 . Vậy ^{d O SAB}



^,

  

^{OK 3 13}₄ ^.

Câu 13. Tại trung tâm một thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng cột trang trí hình nón có kích thước như sau: chiều dài đường sinh l10m, bán kính đáy R5m. Biết rằng tam giác SABlà thiết diện qua trục của hình nón và C là trung điểm SB. Trang trí một hệ thống đèn điện tử chạy từ

A đến C trên mặt nón. Xác định giá trị ngắn nhất của chiều dài dây đèn điện tử.

A. 10 m . B. 15m . C. 5 5 m . D. 5 3 m .

Lời giải.

Chọn C

Khi cắt mặt xung quanh hình nón bởi mặt phẳng



SAB



, rồi trải phẳng phần mặt xung quanh có chứa hệ thống đèn trang trí ta được một hình quạt như trên.

C

A B

S

Ta có độ dài cung quạt chính là nửa chu vi của đường tròn đáy hình nón: l₁R5 m . Khi đó  ¹

2 ASB l

l

  . Nên khi trải phẳng ta được tam giác SAB vuông tại S.

Chiều dài ngắn nhất của dây đèn trang trí chính là độ dài đoạn thẳng AC. Do đó giá trị ngắn nhất của dây đèn là AC SA²SC²  10²5² 5 5 m.

Câu 14. Một bình đựng đầy nước hình nón (không có nắp đáy) có chiều cao gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào bình một khối trụ và đo được lượng nước trào ra là

6 (  dm

²

)

. Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy nón và chiều cao khối trụ bằng đường kính của đáy hình nón. Tính thể tích khối nón.

A.

V  27 (  dm

³

)

. B.

V  64 (  dm

³

)

. C.

V  8 (  dm

³

)

. D.

V  125 (  dm

³

)

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Thùy Dung; Fb: Dung Nguyễn Chọn. A.

Gọi bán kính đáy nón là R thì chiều cao của nón là

3R

, chiều cao của hình trụ là 2R.

Từ đó suy ra

1

3

tru N

R AC

R  AB  1

tru

3

R R

 

Thể tích khối trụ là:

2

2

3

3 .2 9

tru

V         R R   R

Mà

V

_tru

 6    R 3

Vậy thể tích nón là:

1

^{2 3}

27 ( ) V  3  R h   dm

.

Câu 15. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh

S

và đáy là đường tròn

C O R ( ; )

có thể tích V, với

( 0)

R a a  

,SO3 , 'a O SO thỏa mãn

OO   x (0   x 3 ) a

. Mặt phẳng

( ) 

vuông góc với

SO

tại

O '

cắt hình nón tròn xoay theo giao tuyến là đường tròn

( ') C

. Khi khối nón đỉnh

O

, đáy là đường tròn

( ') C

đạt giá trị lớn nhất là

V

₁, tính tỉ số giữa thể tích khối nón đỉnh

O

và khối nón đỉnh

S

.

A. ¹

23 27 V

V 

. B. ¹

4 27 V

V 

. C. ¹

4 23 V

V 

. D. ¹

1 3 V V 

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Thùy Dung; Fb: Dung Nguyễn Chọn. B.

Theo Định lý Ta-lét 3 3 . R a x

R a

  Suy ra (3 ).

3

R R a x

  a 

Khi đó thể tích khối nón đỉnh O đáy là đường tròn

 

^{C là:}

2 2

2 2

1 (3 ) (3 )

3 3 27

R R

V x a x x a x

a a

 ^{ } 

      .

Xét f x( )x a x(3  )² trên



^0;3a



^{ta có}

f x '( ) 3  x

^{212ax9a2.}

'( ) 0 x 3 a

f x x a

 

    

^.

BBT:

x

0 a 3a

'( )

f x

 0  0 ( )

f x

max ( ) f x

Vậy

f x ( )

đạt GTLN tại

x a 

. Khi đó thể tích khối nón đỉnh

O

là:

2

3 1

1 2 4

3 3 . 27

V      a    a   a

^.

Mà thể tích khối nón đỉnh

S

là:

1

^{2 3}

3 .3

V   a a   a

.

Vậy ¹

4

27 V

V 

.

Câu 16. Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế tạo ra một hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2 60 bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của hình nón (xem hình vẽ). Biết rằng chiều cao của hình nón là 9 cm. Bỏ qua bề dày của các lớp vỏ thủy tinh, tổng thể tích của hai khối cầu bằng

A. ³⁸₃^

 

^{cm3 . B. 40}₃^

 

^{cm3 .}

C. ¹⁰⁰₃^

 

^{cm3 . D. 112}₃^

 

^{cm3 .}

Lời giải

Tác giả:Phùng Văn Thân; Fb: Thân Phùng Chọn D

Xét phần thiết diện qua trục và kí hiệu như hình vẽ trên.

Ta có SAB đều có chiều cao h9 cm nên bán kính đường tròn nội tiếp 3cm 3

r h . Tương tự SEF đều có chiều cao h  9 2r 3cm nên có bán kính đường tròn nội tiếp

3 1.

r h

  

Tổng thể tích hai khối cầu bằng: ⁴₃^r34₃^{r3112}₃^

 

^{cm .3}

Câu 17. Cho nửa hình cầu bán kính R không đổi. Một hình nón có chiều cao h, bán kính đáy là r tiếp xúc với nửa hình cầu như hình vẽ (hai đường tròn đáy là đồng tâm và cùng thuộc một mặt phẳng). Khi diện tích xung quanh của hình nón là nhỏ nhất, khẳng định nào sau đây đúng ?

A. hr. B. h 2r^{. C.} h 3r^{. D.} h2 3r^.

Lời giải

Tác giả:Phùng Văn Thân; Fb: Thân Phùng Chọn B

Xét phần mặt cắt như hình vẽ.

Ta có

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 h R r

R   r h h  R   r r R . Gọi  là đường sinh

2 2

2 2 2 2

2 2

h r R r r

r R

    

  .

Diện tích xung quanh:

2 2 3

2

2 2 2 2

2 2 . R r 2 r

S r r r

r R r R

        .

Xét hàm ^{f r}

 

₂^r3 ₂

r R

  ^trên



^R;



^{. Ta có}

 

 

4 2 2

2 2 2 2

2r 3r R

f r r R r R

  

  . Bảng biến thiên

Từ BBT tìm được ^{f r}

 

đạt GTNN trên khoảng



^R;



^{tại r 3}₂^R.

Khi đó

2 2 2 2

2R r 2 3 3

h R h R

r R

     . Suy ra h 2

r ^hay h 2r^.

Câu 18. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ này.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Tác giả: Chu Minh; Fb: Minhchu Chọn A

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh, ta có:

Câu 19. Cho khối trụ có bán kính đáy r 3 và chiều cao h4. Tính thể tích V của khối trụ đã cho.

 

²

24 cm ^22

 

^{cm2 26}

 

^{cm2 20}

 

^cm2

 

²

2 . 2 .3.4 24 cm

Sxq  R l   

A. V 16



3. B. V 12. C. V 8



3. D. V 4. Lời giải

Tác giả: Chu Minh; Fb: Minhchu Chọn B

Thể tích khối trụ là: ^{V r h2 }

 

^{3 .4 122  .}

Câu 20. Một hình trụ có bán kính đáy bằng và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ đó là

A. B. C. D.

Lời giải

Tác giả: Chu Minh; Fb: Minhchu Chọn A

Do thiết diện qua trục là hình vuông nên .

Ta có .

Câu 21. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có cạnh bằng 2a. Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lập phương ABCD A B C D.     bằng

A.

3

2

a

. B. 8a³. C. 4a³. D. 2a³.

Lời giải

Tác giả: Chu Minh; Fb: Minhchu Chọn C

Hình trụ ngoại tiếp hình lập phương ABCD A B C D.     có chiều cao h2a và bán kính đáy 2 2

R AC a .

Vậy thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương là: ^{VR h2 }

 

^{a 2 .22 a4a3.}

r

6r2. 2r². 8r². 4r².

r

2r

2 h l  r

tp xq 2 d

S S  S 2 .2r r2r² 6r²

Câu 22. Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích 81m² người ta đào một cái ao nuôi cá hình trụ (như hình vẽ) sao cho tâm của hình tròn đáy trùng với tâm của mảnh đất. Ở giữa mép ao và mép mảnh đất người ta để lại một khoảng đất trống để đi lại, biết khoảng cách nhỏ nhất giữa mép ao và mép mảnh đất là ^x

 

^m . Giả sử chiều sâu của ao cũng là ^x

 

^m . Tính thể tích lớn nhất V_max của ao.

A. Vmax 13,5

 

m³ . B. Vmax 27

 

m³ . C. Vmax 36

 

m³ . D. Vmax 72

 

m³ . Lời giải

Tác giả: Phạm Hải Dương; Fb: DuongPham Chọn A

Ta có bán kính đáy hình trụ là 9 2 2 R  x.

Thể tích ao là ^{2 9 2 2}



^{9 2}



²

2 4

V R h^ ^ x^ x  x x^.

Xét hàm số ^{f x}

  

^{ 9 2 x x}



^{2 4x336x281x với 0 9}

x 2

  . Ta có ^{f x}

 

^{12x272x81.}

Khi đó

   

 

2

3

0 12 72 81 0 2

9 2

x n

f x x x

x l

 

       

 

.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: ₉

 

0;2

max 54 3

f x x 2

 

 

 

   .

Vậy thể tích lớn nhất của ao là max

 

³

54 27

13,5 m

4 2

V       .

Câu 23. Người ta thả một quả bóng hình cầu vào một cái thùng hình trụ sao cho quả bóng chạm đến đáy thùng thì mực nước dâng lên tại vị trí cao nhất của quả bóng. Biết rằng bán kính đáy thùng bằng 10cm và chiều cao mực nước ban đầu là 5cm. Bán kính quả bóng xấp xỉ là

A. 3,14 cm . B. 5,34 cm . C. 149,98cm . D. 2, 62 cm . Lời giải

Tác giả: Phạm Hải Dương; Fb: DuongPham Chọn D

Gọi x, r lần lượt là bán kính quả bóng và bán kính đáy thùng; h₁, h₂ là chiều cao mực nước ban đầu và sau khi thả bóng



^{0 x 10}



^.

Khi thả bóng chạm đến đáy thùng hình trụ thì mực nước dâng lên tại vị trí cao nhất của quả bóng. Vậy độ cao của mực nước khi đó bằng đường kính quả bóng và thể tích nước trong thùng lúc đó cũng chính bằng thể tích quả bóng với thể tích nước ban đầu trong thùng.

Ta có phương trình sau:

2 3 2

1 2

4

r h 3 x r h

    ² 4 ^{3 2}

.10 .5 . .10 .2

3 x x

  

  

13,35 10,73

2,62 x x x

  

 

 

.

So với điều kiện ta được x2, 62 cm.

Câu 24. Cho hình lập phương có cạnh bằng 40cm và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S₁, S₂ lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính S S ₁ S₂

 

^{cm . 2}

A. ^{S4 2400}



^



^{. B. S2400 4}



^



^{. C. S2400 4 3}



^{ }



^{. D. S4 2400 3}



^{ }



^.

Lời giải

Tác giả: Chu Minh; Fb: Minhchu Chọn B

Ta có: S₁6.40² 9600.

Bán kính đường tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương là: r20 cm; hình trụ có chiều cao h40 cm

Diện tích toàn phần của hình trụ là: S₂ 2. .20 ²2 .20.40 2400  . Vậy: S S 1 S2 9600 2400  2400 4







.

Câu 25. Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với

2

AB BC  ADa . Quay hình thang và miền trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành

A. 4 ³

3

V _ a _{. B.} 7 ³ 3

a _{. C.} V a3. D. 5 ³ 3 V _ a _. Lời giải

Tác giả:Chu Minh ; Fb:Minhchu Chọn D

Gọi V₁là thể tích khối nón có đường sinh là CD , bán kính R AB a , chiều cao h a

3

2 2

1

1 1

3 3 . 3

V  R h a aa .

Gọi V₂ là thể tích khối trụ có đường sinh là AD2a , bán kính RAB a , chiều cao h 2a .

O D' C'

A B A' B'

D C

O'

A B

C

D

2 2 3

2 . .2 2

V R h a a a .

Thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành là :

3 3

3

2 1

2 5

3 3

a a

V V V   a    .

Câu 26. Ông A dự định sử dụng hết 6 m² tôn để làm một bồn đựng thóc hình trụ có đáy và nắp đậy. Giả sử các mép gò có kích thước không đáng kể. Hỏi thể tích lớn nhất của bồn có thể làm được là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ?

A. 1,02 m³. B. 1,13 m³. C. 1,51 m³. D. 1,35 m³. Lời giải

Tác giả: Ngô Văn Hiếu, Fb: Ngo hieu Chọn B

Gọi chiều cao của khối trụ là h, bán kính đáy là R. Điều kiện h R, 0. Đơn vị là m Diện tích toàn phần (hai đáy và mặt xung quanh) của hình trụ là S_TP 2Rh2R².

Theo giả thiết ta có ^{2 2} 3 ²

6 2 2 6  3  



         

TP

S Rh R Rh R h R

R .

Thể tích khối trụ là ^{2 2} 3 ^{2 3}

.  3

  



   R  

V R h R R R

R .

Ta có ^{V R}

 

^{ 3 3R2; V R}

 

^{  0 1 R2   0 R 1}_ ^{, vì R0.}

Bảng biến thiên của hàm số V 3RR³ trên khoảng



^0;



^.

Vậy thể tích lớn nhất của bồn đựng thóc hình trụ là 2 ³ 1,13

 ^{ m .}

Câu 27. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a. Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng

 

P song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng

2

a ta được thiết diện là một hình vuông.

Tính thể tích khối trụ.

A. 3a³. B. a³ 3. C.

3 3

4

a

. D.



a³. Lời giải

Chọn B

Giải sử hình vuông ABCD là thiết diện của hình trụ cắt bởi

 

P như hình vẽ.

Gọi ,H K lần lượt là trung điểm AD,BC.

Ta có ^{OH ADOH }

 

^{P d O P}



^;

  

^{OH OH }₂^a.

Do đó: ^{2 2} 3

2 2 2. 3

    a2 

AD AH OA OH a . Suy ra: OO'AB ADa 3. Vậy thể tích khối trụ là V R h² a a² 3a³ 3(đvtt).

Câu 28. Cho hình chữ nhât ABCD có AB a AD a ;  3. Tính thể tích V của khối trụ được tạo thành khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh cạnh AD.

A. V 3a³ 3. B. V a³ 3. C.

3 3

 a3 V 

. D. V 3a³. Lời giải

Tác giả: Trần Thanh Tâm ; Fb: Trần Thanh Tâm

Chọn B

Khối trụ tạo thành có bán kính R AB a và đường cao h AD a  3. Thể tích khối trụ là: V R h² . .a a² 3a³ 3 (đvtt)

Câu 29. Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

A. a². B. 2a². C. 3a². D. 4a². Lời giải

Tác giả: Trần Thanh Tâm ; Fb: Trần Thanh Tâm Chọn D

D B A

C

Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục là một hình vuông nên chiều cao hình trụ bằng 2a. Do đó diện tích xung quanh hình trụ là

2 2 . .2 4 2

Sxq  Rh  a a a (đvdt).

Câu 30. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB1 và AD2. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần S_tp của hình trụ đó.

A. S_tp 6 . B. S_tp 2. C. S_tp 4 . D. S_tp 10 . Lời giải

Tác giả: Trần Thanh Tâm ; Fb: Trần Thanh Tâm Chọn C

Ta có: S_tp S_xqS_2day 2Rh2R² 2R h R(  ). 1

h MN  , 1 2 1 R AD Do đó: S_tp 4.

Câu 31. Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a 3.

A. ^2a2



^{3 1}



^{. B. a2 3. C. a2}



^{1 3}



^{. D. 2a2}



^{1 3}



^.

Lời giải

Tác giả: Trần Thanh Tâm ; Fb: Trần Thanh Tâm Chọn D

Ta có: S_xq 2a a. 32a² 3; S_day a². Do đó S_tp 2a² 3 2 a² 2a²(1 3).

2a

a

a 3

a B

1 1

1

N C

M D

A

Câu 32. Một khối trụ (T) có thể tích bằng ^81



^cm2



và có đường sinh gấp ba lần bán kính đáy. Độ dài đường sinh của (T) là:

A. 12cm B. 3cm C. 6cm D. 9cm

Lời giải

Tác giả: Trần Thanh Tâm ; Fb: Trần Thanh Tâm Chọn B

Thể tích khối trụ có bán kính Rvà chiều dài đường sinh l là: V R l² . Theo bài ra: l3R nên ta có: V R l² R².3R3R³.

Do đó ta có: 3R³81 R³27 R 3.

Câu 33. Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

A.

a3

 . B. a³. C.

3

2 a

. D. 2a³. Lời giải

Tác giả: Trần Thanh Tâm ; Fb: Trần Thanh Tâm Chọn A

Hình trụ tạo thành có chu vi đáy là 2a nên bán kính đáy Rcủa hình trụ thỏa mãn:

2 2 a

R a R

 ^{  } . Đường cao là a.

Thể tích khối trụ là:

2 3

2 a a

V R h  a

 

       .

Câu 34. Ông Bình muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng ^{3 m}

 

. Ông muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC; P, Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà Ông Bình có thể làm được là

A. 500000 3



(cm )3 . B. ^{600000 3}_

 

^{cm3 .}

A

B M N C

Q P

a

2a