• Không có kết quả nào được tìm thấy

Bài 1 (5,0 điểm). Cho biểu thức:

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "Bài 1 (5,0 điểm). Cho biểu thức: "

Copied!
6
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

PHÒNG GD&ĐT THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2017 – 2018

Môn: Toán 8

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (5,0 điểm). Cho biểu thức:

2 2 2 2

x 2 x 6 x 2 2x 7

A :

x 2x x 4 x 2x x 4x 4

   

 

   

    

 

với

x 0; x 2; x 2; x 7

     2

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x để

A 1

c) Tìm x nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên.

Bài 2 (4,0 điểm).

a) Giải phương trình x2 3x 1 x  2 3x 1 3

b) Tìm x, y, z biết: x2 6x 11 y  2 2y4 z2 4z2

Bài 3 (4,0 điểm).

a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn

x3y3 6 x

2 y2

13 x

y

200

.

Tính giá trị của biểu thức:

Px3 y3 12xy

b) Đa thức f(x) chia cho

x2

dư 3, chia cho

x2 1

3x 1

. Tìm dư khi chia f(x) cho 

x2 x

  2 1 .

Bài 4 (6,0 điểm). Cho hình vuông ABCD cạnh 6cm, trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc AE cắt DC tại F. Gọi I là trung điểm của EF, AI cắt DC tại K. Qua E kẻ đường thẳng song song AB cắt AK tại G.

a) Chứng minh tứ giác EKFG là hình thoi.

b) Chứng minh:

AF2 KF.CF

c) Chứng minh B, I, D thẳng hàng.

d) Tính chu vi tam giác CKE.

Bài 5 (1,0 điểm). Cho x, y, z dương, thỏa mãn x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P= 1 1 1 16x  4yz ---HẾT---

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh: …………..……

(2)

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8– NĂM HỌC 2017-2018

Bài Nội dung Điểm

1 (5,0đ)

Cho biểu thức:

2 2 2 2

x 2 x 6 x 2 2x 7

A :

x 2x x 4 x 2x x 4x 4

   

 

   

    

 

với

x 0; x 2; x 2; x 7

     2

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x để

A 1

c) Tìm x nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên.

1a

2 2 2 2

x 2 x 6 x 2 2x 7

A :

x 2x x 4 x 2x x 4x 4

   

 

   

    

 

2

x 2 x 6 x 2 2x 7

x(x 2) (x 2)(x 2) x(x 2) :(x 2)

     

        

0,5

2 2 2

(x 2) x(x 6) (x 2) (x 2) x(x 2)(x 2) . 2x 7

     

    0,5

2 2 2 2

x 4x 4 x 6x x 4x 4 (x 2)

x(x 2)(x 2) . 2x 7

       

    0,5

2 2

x 2x (x 2)

x(x 2)(x 2) 2x. 7

 

    0,5

x(x 2) (x 2)2 x 2 x(x 2)(x 2) 2x. 7 2x 7

  

 

    0,5

1b

ĐK:

x 0; x 2; x 2; x 7

     2

Ta có: A 1

A 1

A 1

 

    

0,25

TH1: A = 1 hay x 2

1 2x 7 x 2 x 5

2x 7

       

 (tmđk) 0,25

TH2: A = -1 hay x 2

1 x 2 2x 7 3x 9 x 3

2x 7

           

 (tmđk) 0,25

Vậy x = 5 hoặc x = 3 0,25

1c

2x 7

3

x 2 2x 4 3

A 2A 1

2x 7 2x 7 2x 7 2x 7

 

 

     

    0,25

A Z 2A Z 3 Z

2x 7

    

x  2x  7

0,25

(3)

Do đó

3 Z 2x 7

 2x 7 U(3)

 

2x 7 1; 1;3; 3

    

   

2x 8;6;10; 4 x 4;3;5; 2

    0,25

x 0; x 2; x 7

    2 x

4;3;5

0,25

Kiểm tra với x để 2A nguyên thì A có nguyên không

 

x 3; 4;5 A 1; A2; A1

nguyên

0,25

Vậy

x

3;4;5

 thì A có giá trị nguyên.

0,25

2 (4,0đ)

a) Giải phương trình x2 3x 1 x  2 3x 1 3

b) Tìm x, y, z biết: x2 6x 11 y  2 2y4 z2 4z2

2a

x2 3x 1 x



2 3x 1

3 (1)

Đặt t x2 3x, phương trình (1) trở thành:

t 1 t 1



3

0,25

t2 1 3

  

2 t 2

t 4

t 2

 

     

0,5

+) Với t = - 2 ta được x2 3x= - 2x2 3x20

Giải phương trình tìm được nghiệm x = 1 hoặc x = 2 0,5 +) Với t = 2 ta được x2 3x=2 x2 3x 2 0

Giải phương trình được nghiệm: 3 17

x 2

  hoặc 3 17

x 2

  0,5

Vậy 3 17 3 17

x 1; 2; ;

2 2

   

 

  

 

 

0,25

2b

 

2

2 2

x 6x 11 x 6x 9 2 x3  2 2 x 0,5

 

2

2 2

y 2y4y 2y 1 3   y 1  3 3 y 0,5

   2

2 2

z 4z 2 z 4z 4 6 z 2 6 6 z

              0,5

Suy ra: VT ≥ 6, VP  6 0,25

Dấu “=” xảy ra khi x = 3; y = -1; z =2 0,25

3 (4,0đ)

a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x3 y3 6 x

2 y2

13 x

y

200.

Tính giá trị của biểu thức: Px3 y312xy

(4)

b) Đa thức f(x) chia cho x2dư 3, chia cho x2 1 dư 3x 1 . Tìm dư khi chia f(x) cho

x2 x

  2 1.

3a

Đặt s = x + y; p = xy

Ta có x2 y2

xy

2 2xys2 2p; 0,25

 

3

 

3 3 3

x y  xy 3xy xy s 3sp 0,25

Ta được:

 

3 2

s 3sp 6 s 2p 13s200

3 2

s 3sp 6s 12p 13s 20 0

      

3 2 2

s 4s 2s 8s-3sp 12p 5s 20 0

       

       

s2 s 4 2s s 4 3p s 4 5 s 4 0

        

s 4 s

  2 2s 3p 5 0

     

0,5

To có:

   

     

2

2

2 2

2 2 2

s 2s 3p 5

x y 2 x y 3xy 5

x y xy 2x 2y 5

1 1 1

x y x 2 y 2 1 0

2 2 2

  

     

     

       

0,5

Do đó s = 4

Vậy As3 3sp 12p 43 12p 12p 64

0,25 0,25

3b

f(x) chia cho x3 2x2 x2 dư có dạng ax2 bxc 0,25

   2   

2

f (x) x2 x 1 .Q x ax bxc 0,25

f(x) chia cho x2dư 3 f ( 2)  3 4a2b c 3 (*) 0,25 Dư f(x) cho x2 1 là dư của ax2 bxc cho x2 1

Ta có: ax2 bx c a x

2 1

bx

c a

0,25

mà f(x) chia cho x2 1 dư 3x 1  f(x) chia cho x2 1 dư bx

c a

0,25 do đó ta có: b3; c a     1 c a 1 0,25 thay vào (*) ta được: 4a2.3 a 1   3 a 2c1 0,25 Vậy f(x) cho x3 2x2 x2 dư 2x2 3x 1 0,25

4 (6,0đ)

Cho hình vuông ABCD cạnh 6cm, trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc AE cắt DC tại F.Gọi I là trung điểm của EF, AI cắt DC tại K. Qua E kẻ đường thẳng song song AB cắt AK tại G.

a) Chứng minh tứ giác EKFG là hình thoi.

b) Chứng minh:

AF2 KF.CF

c) Chứng minh B, I, D thẳng hàng.

d) Tính chu vi tam giác CKE.

HS vẽ hình và ghi GT, KL

(5)

I

A B

D C

E

F K

G

H

0,25

0,25

4a

Chứng minh ∆ABE = ∆ADF (g-c-g)  AE = AF 0,5

∆AEF vuông cân tại A, AI là trung tuyến đồng thời là đường cao AK  EF 0,5

Chưng minh ∆GIE = ∆KIF (g-c-g)  GE = KF 0,5

Chứng minh tứ giác EKFG là hình bình hành vì có 01 cặp cạnh đối song song và

bằng nhau. 0,25

Hình bình hành EKFG có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi (đpcm) 0,25

4b

Chứng minh: AKFFAC45o KAC 0,5

Chứng minh: AFK CFA (g-g)

 AF KF 2

AF KF.CF

CF AF  (đpcm)

0,25 0,25

4c

Dựa vào tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền

chứng minh: 1

IA IC EF

  2 0,5

Mà BA = BC; DA = DC 0,25

 B, I, D cùng cách đều 2 điểm A, C hay B, I, D cùng thuộc trung trực AC

0,25 0,25

Suy ra B, I, D thẳng hàng. 0,25

4d

Kẻ AH vuông góc EK 0,25

Chứng minh BE = EH; DK = KH 0,5

CCEK BCDC 12cm 0,25

5 (1,0đ)

Cho x, y, z dương, thỏa mãn x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P= 1 1 1 16x 4yz
(6)

 

1 1 1 1 1 1

P= x y z

16x 4y z 16x 4y z

y x z x z y 21

16x 4y 16x z 4y z 16

 

        

 

     

      

 

   

0,25

Theo BĐT Cô Si ta có: y x 1

16x 4y  4 dấu “=” khi y=2x;

Tương tự: z x 1

16x  z 2 dấu “=” khi z=4x;

z y

4y z 1 dấu “=” khi z=2y;

0,25

=> 49

P16. Dấu “=” xảy ra khi 1 2 4 x ; y ; z

7 7 7

   (tmđk) 0,25

Vậy: min 49

P 16 với 1 2 4

x ; y ; z

7 7 7

   0,25

Lưu ý :

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản của một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.

- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.

- HS làm đến đâu cho điểm tới đó và cho điểm lẻ đến 0,25. Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

c) Qua A kẻ đường thẳng d song song với BC. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE, DF với đường thẳng d.. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi K là giao điểm của

Bài 1: Điền thêm vào chỗ trống để có định lý, sau đó gạch 1 đường dưới phần kết luận. d) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì

Vẽ dây cung AD của (O) vuông góc với đường kính BC tại H. Gọi M là trung điểm cạnh OC và I trung điểm cạnh AC. Từ M vẽ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng

Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao

Trên đường chéo AC của hình vuông ta lấy một điểm E (E ≠ A,C). Đường thẳng qua E và song song với AB cắt AD và BC theo thứ tự tại các điểm Q, N. Đường thẳng qua E và

Từ điểm (0; 7) trên trục tung ta kẻ đường thẳng song song với Ox cắt đồ thị tại điểm F. Từ điểm F trên đồ thị kẻ đường thẳng song song với Oy ta xác định được hoành

Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3) Chứng minh tam giác ABC đều. Đường tròn đường kính AC cắt cạnh DC tại E. Gọi F là trung điểm của cạnh OB. Chứng minh ba

Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Đường thẳng DI cắt HK tại N. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng HM và DC. Hoàn toàn tương tự ta được CH vuông góc với KD tại