PHÒNG GD&ĐT THÁI THỤY
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2017 – 2018
Môn: Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (5,0 điểm). Cho biểu thức:
2 2 2 2
x 2 x 6 x 2 2x 7
A :
x 2x x 4 x 2x x 4x 4
với
x 0; x 2; x 2; x 7 2
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để
A 1c) Tìm x nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 2 (4,0 điểm).
a) Giải phương trình x2 3x 1 x 2 3x 1 3
b) Tìm x, y, z biết: x2 6x 11 y 2 2y4 z2 4z2
Bài 3 (4,0 điểm).
a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn
x3y3 6 x
2 y2
13 x
y
200.
Tính giá trị của biểu thức:
Px3 y3 12xyb) Đa thức f(x) chia cho
x2dư 3, chia cho
x2 1dư
3x 1. Tìm dư khi chia f(x) cho
x2 x 2 1 .
Bài 4 (6,0 điểm). Cho hình vuông ABCD cạnh 6cm, trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc AE cắt DC tại F. Gọi I là trung điểm của EF, AI cắt DC tại K. Qua E kẻ đường thẳng song song AB cắt AK tại G.
a) Chứng minh tứ giác EKFG là hình thoi.
b) Chứng minh:
AF2 KF.CFc) Chứng minh B, I, D thẳng hàng.
d) Tính chu vi tam giác CKE.
Bài 5 (1,0 điểm). Cho x, y, z dương, thỏa mãn x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P= 1 1 1 16x 4yz ---HẾT---Họ và tên thí sinh:………Số báo danh: …………..……
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8– NĂM HỌC 2017-2018
Bài Nội dung Điểm
1 (5,0đ)
Cho biểu thức:
2 2 2 2
x 2 x 6 x 2 2x 7
A :
x 2x x 4 x 2x x 4x 4
với
x 0; x 2; x 2; x 7 2
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để
A 1c) Tìm x nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
1a
2 2 2 2
x 2 x 6 x 2 2x 7
A :
x 2x x 4 x 2x x 4x 4
2
x 2 x 6 x 2 2x 7
x(x 2) (x 2)(x 2) x(x 2) :(x 2)
0,5
2 2 2
(x 2) x(x 6) (x 2) (x 2) x(x 2)(x 2) . 2x 7
0,5
2 2 2 2
x 4x 4 x 6x x 4x 4 (x 2)
x(x 2)(x 2) . 2x 7
0,5
2 2
x 2x (x 2)
x(x 2)(x 2) 2x. 7
0,5
x(x 2) (x 2)2 x 2 x(x 2)(x 2) 2x. 7 2x 7
0,5
1b
ĐK:
x 0; x 2; x 2; x 7 2
Ta có: A 1
A 1
A 1
0,25
TH1: A = 1 hay x 2
1 2x 7 x 2 x 5
2x 7
(tmđk) 0,25
TH2: A = -1 hay x 2
1 x 2 2x 7 3x 9 x 3
2x 7
(tmđk) 0,25
Vậy x = 5 hoặc x = 3 0,25
1c
2x 7
3x 2 2x 4 3
A 2A 1
2x 7 2x 7 2x 7 2x 7
0,25
A Z 2A Z 3 Z
2x 7
Vì
x 2x 70,25
Do đó
3 Z 2x 7 2x 7 U(3)
2x 7 1; 1;3; 3
2x 8;6;10; 4 x 4;3;5; 2
0,25
Mà
x 0; x 2; x 7 2 x
4;3;5
0,25Kiểm tra với x để 2A nguyên thì A có nguyên không
x 3; 4;5 A 1; A2; A1
nguyên
0,25Vậy
x
3;4;5 thì A có giá trị nguyên.
0,252 (4,0đ)
a) Giải phương trình x2 3x 1 x 2 3x 1 3
b) Tìm x, y, z biết: x2 6x 11 y 2 2y4 z2 4z2
2a
x2 3x 1 x
2 3x 1
3 (1)Đặt t x2 3x, phương trình (1) trở thành:
t 1 t 1
30,25
t2 1 3
2 t 2
t 4
t 2
0,5
+) Với t = - 2 ta được x2 3x= - 2x2 3x20
Giải phương trình tìm được nghiệm x = 1 hoặc x = 2 0,5 +) Với t = 2 ta được x2 3x=2 x2 3x 2 0
Giải phương trình được nghiệm: 3 17
x 2
hoặc 3 17
x 2
0,5
Vậy 3 17 3 17
x 1; 2; ;
2 2
0,25
2b
22 2
x 6x 11 x 6x 9 2 x3 2 2 x 0,5
22 2
y 2y4y 2y 1 3 y 1 3 3 y 0,5
2
2 2
z 4z 2 z 4z 4 6 z 2 6 6 z
0,5
Suy ra: VT ≥ 6, VP 6 0,25
Dấu “=” xảy ra khi x = 3; y = -1; z =2 0,25
3 (4,0đ)
a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x3 y3 6 x
2 y2
13 x
y
200.Tính giá trị của biểu thức: Px3 y312xy
b) Đa thức f(x) chia cho x2dư 3, chia cho x2 1 dư 3x 1 . Tìm dư khi chia f(x) cho
x2 x 2 1.
3a
Đặt s = x + y; p = xy
Ta có x2 y2
xy
2 2xys2 2p; 0,25
3
3 3 3
x y xy 3xy xy s 3sp 0,25
Ta được:
3 2
s 3sp 6 s 2p 13s200
3 2
s 3sp 6s 12p 13s 20 0
3 2 2
s 4s 2s 8s-3sp 12p 5s 20 0
s2 s 4 2s s 4 3p s 4 5 s 4 0
s 4 s 2 2s 3p 5 0
0,5
To có:
2
2
2 2
2 2 2
s 2s 3p 5
x y 2 x y 3xy 5
x y xy 2x 2y 5
1 1 1
x y x 2 y 2 1 0
2 2 2
0,5
Do đó s = 4
Vậy As3 3sp 12p 43 12p 12p 64
0,25 0,25
3b
f(x) chia cho x3 2x2 x2 dư có dạng ax2 bxc 0,25
2
2f (x) x2 x 1 .Q x ax bxc 0,25
f(x) chia cho x2dư 3 f ( 2) 3 4a2b c 3 (*) 0,25 Dư f(x) cho x2 1 là dư của ax2 bxc cho x2 1
Ta có: ax2 bx c a x
2 1
bx
c a
0,25mà f(x) chia cho x2 1 dư 3x 1 f(x) chia cho x2 1 dư bx
c a
0,25 do đó ta có: b3; c a 1 c a 1 0,25 thay vào (*) ta được: 4a2.3 a 1 3 a 2c1 0,25 Vậy f(x) cho x3 2x2 x2 dư 2x2 3x 1 0,254 (6,0đ)
Cho hình vuông ABCD cạnh 6cm, trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc AE cắt DC tại F.Gọi I là trung điểm của EF, AI cắt DC tại K. Qua E kẻ đường thẳng song song AB cắt AK tại G.
a) Chứng minh tứ giác EKFG là hình thoi.
b) Chứng minh:
AF2 KF.CFc) Chứng minh B, I, D thẳng hàng.
d) Tính chu vi tam giác CKE.
HS vẽ hình và ghi GT, KL
I
A B
D C
E
F K
G
H
0,25
0,25
4a
Chứng minh ∆ABE = ∆ADF (g-c-g) AE = AF 0,5
∆AEF vuông cân tại A, AI là trung tuyến đồng thời là đường cao AK EF 0,5
Chưng minh ∆GIE = ∆KIF (g-c-g) GE = KF 0,5
Chứng minh tứ giác EKFG là hình bình hành vì có 01 cặp cạnh đối song song và
bằng nhau. 0,25
Hình bình hành EKFG có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi (đpcm) 0,25
4b
Chứng minh: AKFFAC45o KAC 0,5
Chứng minh: AFK CFA (g-g)
AF KF 2
AF KF.CF
CF AF (đpcm)
0,25 0,25
4c
Dựa vào tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền
chứng minh: 1
IA IC EF
2 0,5
Mà BA = BC; DA = DC 0,25
B, I, D cùng cách đều 2 điểm A, C hay B, I, D cùng thuộc trung trực AC
0,25 0,25
Suy ra B, I, D thẳng hàng. 0,25
4d
Kẻ AH vuông góc EK 0,25
Chứng minh BE = EH; DK = KH 0,5
CCEK BCDC 12cm 0,25
5 (1,0đ)
Cho x, y, z dương, thỏa mãn x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P= 1 1 1 16x 4yz
1 1 1 1 1 1
P= x y z
16x 4y z 16x 4y z
y x z x z y 21
16x 4y 16x z 4y z 16
0,25
Theo BĐT Cô Si ta có: y x 1
16x 4y 4 dấu “=” khi y=2x;
Tương tự: z x 1
16x z 2 dấu “=” khi z=4x;
z y
4y z 1 dấu “=” khi z=2y;
0,25
=> 49
P16. Dấu “=” xảy ra khi 1 2 4 x ; y ; z
7 7 7
(tmđk) 0,25
Vậy: min 49
P 16 với 1 2 4
x ; y ; z
7 7 7
0,25
Lưu ý :
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản của một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.
- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- HS làm đến đâu cho điểm tới đó và cho điểm lẻ đến 0,25. Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.