Giải Toán 10 Bài 1: Phương trình đường thẳng | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 10

(1)

Bài 1: Phương trình đường thẳng

Hoạt động 1 trang 70 Toán lớp 10 Hình học: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  là đồ thị của hàm số 1

y x

=2 .

a) Tìm tung độ của hai điểm M0 và M nằm trên , có hoành độ lần lượt là 2 và 6.

b) Cho vector ^u⁼

( )

^2;1 . Hãy chứng tỏ M M₀ cùng phương với u.

Lời giải:

a) Thay tọa độ các điểm vào công thức hàm số, ta được:

+ Tại x = 2 suy ra 1 1

y x .2 1

2 2

= = = suy ra M0(2; 1).

+ Tại x = 6 suy ra 1 1

y x .6 3

2 2

= = = suy ra M(6; 3).

b) Có: M M0 =

( ) ( )

4;2 =2 2;1 =2u. Vậy M M₀ cùng phương với u.

Hoạt động 2 trang 71 Toán lớp 10 Hình học: Hãy tìm một điểm có toạ độ xác định và một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình tham số

(2)

x 5 6t y 2 8t

 = −

 = +

 Lời giải:

+) Cho t = 1, ta có: ^x ^{5 6t} ^{5 6.1} ¹ y 2 8t 2 8.1 10

= − = − = −

 = + = + =



Vậy điểm M(–1;10) là một điểm thuộc đường thẳng.

+) Một vector chỉ phương của đường thẳng là ^u^{= −}

(

^6;8

)

^.

Hoạt động 3 trang 72 Toán lớp 10 Hình học: Tính hệ số góc của đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ^u^{= −}

(

^{1; 3}

)

^.

Lời giải:

Hệ số góc của đường thẳng d có vectơ chỉ phương ^u^{= −}

(

^{1; 3}

)

^là

2 1

u 3

k 3

u 1

= = = −

− .

Vậy hệ số góc của đường thẳng d là k= − 3.

Hoạt động 4 trang 73 Toán lớp 10 Hình học: Cho đường thẳng  có phương trình ^x ⁵ ^2t

y 4 3t

= − +

 = +

 và vectơ ⁿ ⁼

(

^{3; 2}⁻

)

. Hãy chứng tỏ n vuông góc với vectơ chỉ phương của .

Lời giải:

+) Vectơ chỉ phương của  là ^u⁼

( )

^2;3 ^.

+) Xét ^n.u⁼^3.2^{+ −}

( )

^{2 .3}^{= − =}^{6 6} ⁰^.

Vậy n vuông góc với vectơ chỉ phương của .

Hoạt động 5 trang 74 Toán lớp 10 Hình học: Hãy chứng minh nhận xét trên.

(3)

Lời giải:

*) Nhận xét: Nếu đường thẳng  có phương trình là ax + by + c = 0 thì  có vectơ pháp tuyến là ⁿ ⁼

( )

^a;b và có vectơ chỉ phương là ^u ^{= −}

(

^b;a

)

^.

*) Chứng minh:

+) Chọn

N 0; c b M c;0

a

  − 

  

 − 

  

  



suy ra MN ^c; ^c a b

 − 

=  .

+) Ta thấy: n.MN a.^c b. ^c c c 0

a b

 

= + − = − =

Vậy ⁿ ⁼

( )

^a;b là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  Mà n.u=a.b−b.a=0

Suy ra ^u ^{= −}

(

^b;a

)

là vectơ chỉ phương.

Hoạt động 6 trang 74 Toán lớp 10 Hình học: Hãy tìm toạ độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình: 3x + 4y + 5 = 0.

Lời giải:

Ta thấy vectơ pháp tuyến của đường thẳng là ⁿ⁼

( )

^3;4

Suy ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng là ^u ^{= −}

(

^4;3

)

^.

Hoạt động 7 trang 76 Toán lớp 10 Hình học: Trong mặt phẳng Oxy, hãy vẽ các đường thẳng có phương trình sau đây:

d1: x – 2y = 0;

d2: x = 2;

d3: y + 1 = 0;

(4)

4

x y

d : 1

8+ =4 . Lời giải:

*) Vẽ d1: x – 2y = 0

Tại x = 0 thì y = 0; x = 2 thì y = 1

Suy ra d1 đi qua hai điểm (0; 0) và (2; 1).

*) Vẽ d2: x = 2: là đường thẳng song song với trục Oy đi qua điểm (2; 0).

*) Vẽ d3: y + 1 = 0: là đường thẳng song song với trục Ox đi qua điểm (0;–1)

*) Vẽ ₄ x y

d : 1

8 + =4

Tại x = 0 thì y = 4, y = 0 thì x = 8

Suy ra d4 đi qua hai điểm (0; 4) và (8; 0).

(5)

Hoạt động 8 trang 77 Toán lớp 10 Hình học: Xét vị trí tương đối của đường thẳng : x−2y 1 0+ = với mỗi đường thẳng sau:

d1: –3x + 6y – 3 = 0;

d2: y = –2x;

d3: 2x + 5 = 4y.

Lời giải:

+) Xét  và d1, có hệ phương trình:

( )

x 2y 1 0 x 2y 1 0

3 x 2y 1 0

3x 6y 3 0

− + =



− + =

 

− + − = − − + =

 

Suy ra phương trình trên có có vô số nghiệm (do các hệ số của chúng tỉ lệ) nên d1

  .

x 2y 1 0 2x y

− + =

− =



Hệ có nghiệm duy nhất là x 1

5 y 2

5

 = −



 =

.

Hay  cắt d2 tại M ^{1 2}; 5 5

− 

 

 .

x 2y 1 0 2x 5 4y

− + =

 + =



Hệ vô nghiệm nên suy ra  song song với d3.

(6)

Hoạt động 9 trang 78 Toán lớp 10 Hình học: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I và các cạnh AB = 1, AD = 3 . Tính số đo các góc AID và DIC .

Lời giải:

+) Xét tam giác ABD vuông tại A có:

2 2

BD= AB +AD =2

Do ABCD là hình chữ nhật tâm I nên: AI = IC = ID = ¹

2BD = 1 +) Tam giác ICD có AI = IC = ID = 1

Suy ra ICD đều Suy ra DIC=IDC= 60 +) Ta có: DIC+DIA 180= 

Suy ra AID 180=  −DIC 180=  −  =60 120. Vậy AID 120=  và DIC= 60 .

Hoạt động 10 trang 80 Toán lớp 10 Hình học: Tính khoảng cách từ các điểm M(–2; 1) và O(0; 0) đến đường thẳng  có phương trình 3x – 2y – 1 = 0.

Lời giải:

Khoảng cách từ điểm M (–2; 1) đến đường thẳng Δ là:

(7)

( )

M, 2 2

3. 2 2.1 1 9

d ^ 3 2 13

− − −

= =

+ .

Khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng Δ là:

(M, ) 2 2

3.0 2.0 1 1

d ^ 3 2 13

− −

= =

+ .

Bài tập

Bài 1 trang 80 Toán lớp 10 Hình học: Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(2; 1) và có vectơ chỉ phương ^u⁼

( )

^3;4 ^;

b) d đi qua điểm M(–2; 3) và có vectơ pháp tuyến là ⁿ⁼

( )

^5;1 ^.

Lời giải:

a) Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(2; 1) và có vectơ chỉ phương ^u⁼

( )

^3;4 ^là:

x 2 3t y 1 4t

 = +

 = +

 .

b) Vì ⁿ⁼

( )

^5;1 nên ta chọn vectơ a⊥n có tọa độ ^a ^{= −}

(

^1;5

)

^{làm VTCP.}

Phương trình tham số của d: ^x ² ^t y 3 5t

= − −

 = +

 .

Bài 2 trang 80 Toán lớp 10 Hình học: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau:

a)  đi qua M(–5; –8) và có hệ số góc k = –3;

b)  đi qua hai điểm A(2; 1) và B(–4; 5).

Lời giải:

(8)

a)  đi qua M(–5; –8) và có hệ số góc k = –3 nên ta có phương trình là:

: y = –3(x + 5) – 8 hay y = –3x – 23 hay 3x + y + 23 = 0

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng  là 3x + y + 23 = 0.

b) Đường thẳng  đi qua A(2; 1) và B(−4; 5) nên nhận ^AB^{= −}

(

^6;4

)

^{làm VTCP}

Suy ra ⁿ ⁼

( )

^4;6 là một VTPT của .

 đi qua A(2; 1) và có VTPT là ⁿ ⁼

( )

^4;6 nên có phương trình tổng quát:

4(x − 2) + 6(y − 1) = 0

4x + 6y – 14 = 0

2x + 3y − 7=0

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng  là 2x + 3y − 7=0.

Bài 3 trang 80 Toán lớp 10 Hình học: Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3; –1) và C(6; 2).

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC, CA.

b) Lập phương trình tổng quát của đường cao AH và trung tuyến AM.

Lời giải:

a)

*) Phương trình đường AB +) Ta có: ^AB⁼

(

^{2; 5}⁻

)

Đường thẳng AB nhận ^AB⁼

(

^{2; 5}⁻

)

làm VTCP nên nhận n1=

( )

5;2 làm VTPT +) Đường thẳng AB đi qua A(1; 4) nên ta có phương trình tổng quát:

5(x − 1) + 2(y − 4) = 0 hay 5x + 2y – 13 = 0.

*) Phương trình đường AC +) Ta có: ^AC⁼

(

^{5; 2}⁻

)

(9)

Đường thẳng AC nhận ^AC⁼

(

^{5; 2}⁻

)

làm VTCP nên nhận n2 =

( )

2;5 làm VTPT +) Đường thẳng AC đi qua A(1;4) nên ta có phương trình tổng quát:

2(x − 1) + 5(y − 4) = 0 hay 2x + 5y – 22 = 0.

*) Phương trình đường BC +) Ta có: ^BC⁼

( )

^3;3

Đường thẳng BC nhận ^BC⁼

( )

^3;3 làm VTCP nên nhận n3 = −

(

3;3

)

hay

( )

n4 = −1; 1 làm VTPT

+) Đường thẳng BC đi qua B(3; –1) nên ta có phương trình tổng quát:

1(x − 3) − 1(y + 1) = 0 hay x – y – 4 = 0.

b)

+) Đường cao AH là đường thẳng đi qua A(1; 4) và vuông góc với BC.

Nên AH nhận ⁿ⁼^BC⁼

( )

^3;3 làm vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát:

AH: 3(x − 1) + 3(y − 4) = 0 Suy ra 3x + 3y – 15 = 0 Hay x + y – 5 = 0.

+) Gọi M là trung điểm BC ta có

B C

M

B C

M

x x 3 6 9

x 2 2 2

y y 1 2 1

y 2 2 2

+ +

 = = =

 + − +

 = = =



Do đó M ^{9 1}; 2 2

 

=  

( )

7 7 7

AM ; 1; 1

2 2 2

 

 = − = −

 

(10)

Trung tuyến AM là đường thẳng đi qua điểm A(1;4) và nhận ^u ²^AM

(

^{1; 1}

)

= 7 = − làm VTCP nên nhận ⁿ ⁼

( )

^1;1 ^{làm VTPT}

PTTQ của AM: 1(x − 1) + 1(y − 4) = 0 hay x + y – 5 = 0.

Bài 4 trang 80 Toán lớp 10 Hình học: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(4; 0) và điểm N(0; –1).

Lời giải:

Đường thẳng MN nhận ^MN^{= − −}

(

^{4; 1}

)

làm VTCP nên nhận ⁿ⁼

(

^{1; 4}⁻

)

làm VTPT.

Mà đường thẳng MN đi qua N(0;−1)

nên PTTQ: 1(x – 0) − 4(y + 1) = 0 hay x − 4y – 4 = 0.

Bài 5 trang 80 Toán lớp 10 Hình học: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d1 và d2 sau đây:

a) d1: 4x – 10y + 1 = 0 và d2: x + y + 2 =0;

b) d1: 12x – 6y + 10 = 0 và d2: ^x ⁵ ^t y 3 2t

 = +

 = +

 ;

c) d1: 8x + 10y – 12 = 0 và d2: ^x ⁶ ^5t y 6 4t

= − +

 = −

 .

Lời giải:

a) Xét hệ: ^{4x 10y 1 0} x y 2 0

− + =

 + + =

 , ta thấy:⁴ ¹⁰

1 1

 −

Vậy d1 cắt d2. b)

+ Ta có: d2: ^x ⁵ ^t y 3 2t

 = +

 = +



(11)

2x 10 2t y 3 2t

= +

  = +

Suy ra d2: 2x – y = 7 hay 2x – y –7 = 0.

+ Ta thấy: 12 6 10

2 1 7

= − 

− − Suy ra d1 song song với d2. c)

+ Ta có: d2: ^x ⁶ ^5t y 6 4t

= − +

 = −



4x 24 20t 5y 30 20t

= − +

  = −

Suy ra 4x + 5y = 6 Hay d2: 4x + 5y – 6 = 0.

+ Ta thấy: ⁸ ¹⁰ ¹²

( )

²

4 5 6

= =− =

− Vậy d1 trùng d2.

Bài 6 trang 80 Toán lớp 10 Hình học: Cho đường thẳng d có phương trình tham số ^x ² ^2t

y 3 t

 = +

 = +

 .

Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.

Lời giải:

+ Ta có: M thuộc d nên M = (2 + 2t; 3 + t) + Độ dài đoạn MA là:

(

M A

) (

² M A

)

²

MA= x −x + y −y

(

² ^2t ⁰

) (

² ³ ^{t 1}

)

²

= + − + + −

(12)

(

² ^2t

) (

² ^t ²

)

²

= + + +

Mà MA = 5 nên

(

²⁺^2t

) (

² ^{+ +}^t ²

)

² ⁼⁵

4(1 + t)² + (2 + t)² = 25

4t² + 8t + 4 + t² + 4t + 4 = 25

5t² + 12t – 17 = 0

 t = 1 hoặc 17 t= − 5 + Tại t = 1 thì M = (4; 4) + Tại 17

t = − 5 thì M ²⁴; ² 5 5

− − 

 

 

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là M (4; 4) và M ²⁴; ² 5 5

− − 

 

 .

Bài 7 trang 81 Toán lớp 10 Hình học: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d1

và d2 lần lượt có phương trình

d1: 4x – 2y + 6 = 0 và d2: x – 3y + 1 = 0.

Lời giải:

Áp dụng công thức: ¹ ² ¹ ²

2 2 2 2

1 1 2 2

a .a b .b cos

a b . a b

 = +

+ +

d1 có VTPT n1 =

(

4; 2−

)

d2 có VTPT n2 =

(

1; 3−

)

Ta có:

( ) ( ) ( )

²

( )

²

2 2

4.1 2 . 3 10

cos 4 2 . 1 3 20. 10

+ − −

 = =

+ − + −

(13)

Suy ra 1 cos = 2 Hay  =45.

Bài 8 trang 81 Toán lớp 10 Hình học: Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) A(3;5), : 4x + 3y + 1 = 0;

b) B(1; –2), d: 3x – 4y – 26 = 0;

c) C(1;2), m: 3x + 4y – 11 = 0.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức tính khoảng cách:

( )

^{4.3 3.5 1}₂ ₂ ²⁸

d A, 4 3 5

+ +

 = =

+

Vậy khoảng cách từ A đến đường thẳng  là 28 5 . b) Áp dụng công thức tính khoảng cách:

( ) ( )

( )

²

2

3.1 4. 2 26 15

d B,d 3

3 4 5

− − − −

= = =

+ −

Vậy khoảng cách từ B đến đường thẳng d là 3.

c) Áp dụng công thức tính khoảng cách:

( )

^{3.1 4.2 11}₂ ₂ ⁰

d C, m 0

3 4 5

− −

= = =

+

Vậy khoảng cách từ C đến đường thẳng m là 0 hay C nằm trên m.

Bài 9 trang 81 Toán lớp 10 Hình học: Tìm bán kính của đường tròn tâm C(–2;–

2) tiếp xúc với đường thẳng : 5x + 12y – 10 = 0.

(14)

Lời giải:

Bán kính R của đường tròn tâm C(–2;–2) và tiếp xúc với đường thẳng : 5x + 12y – 10 = 0 bằng khoảng cách từ C đến 

Suy ra

( ) ( ) ( )

2 2

5. 2 12. 2 10 44 R C,

5 12 169

− + − − −

=  = =

+ Suy ra 44

R =13 .

Vậy bán kính của đường tròn là 44 R =13 .