Chuyên đề tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau - THCS.TOANMATH.com

(1)

CHUYÊN ĐỀ:

TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU

A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức a) Định nghĩa:

Tỉ lệ thức l| đẳng thức của hai tỉ số

Tỷ lệ thức còn được viết: a : b = c : d Trong đó: - a, b, c, d l| c{c số hạng của tỷ lệ thức;

- a v| d l| c{c số hạng ngo|i hay ngoại tỉ;

- b v| d l| c{c số hạng trong hay trung tỉ;

b) Tính chất

- Tính chất 1 (tính chất cơ bản) Nếu thì ad = bc

- Tính chất 2 (tính chất ho{n vị)

Nếu ad = bc v| a, b, c, d kh{c 0 thì ta có c{c tỉ lệ thức:

2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

+ Từ tỉ lệ thức ta suy ra + Mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra

(giả thiết c{c tỉ số đều có nghĩa) 3.Chú ý:

+ Khi có dãy tỉ số ta nói c{c số a, b, c tỉ lệ với c{c số 2; 3; 5 ta cũng viết a:b:c = 2:3:5.

d c b a 

a c b  d

a b c d a c b d d b c a d c b

a  ;  ;  ; 

d c b

a 



b d



d b

c a d b

c a d c b

a 



 



 



f e d c b a  

....







 



 



 b d f

e c a f d b

e c a f e d c b a

5 3 2

c b a  

(2)

+ Vì tỉ lệ thức l| một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức suy ra:

từ suy ra

B/ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

PHẦN 1: TÌM SỐ HẠNG CHƯA BIẾT

1.Tìm một số hạng chưa biết

a) Phương pháp: {p dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức Nếu

Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.

b) Ví dụ minh họa:

Thí dụ 1. Tìm x biết:

3 5 2 4

) 0,52 : 9,36 :16,38 ) ) .

5 7 1 7

  

    

  

x x x

a x b c

x x x

Hướng dẫn giải a) Ta có:

-0,52 : x = -9,36 : 16,38 ^{. 9,36}

 

^0,52.16,38 ^0,52.16,38 ^0,91

9,36

     

x x 

b)

Cách 1: Ta có:

   

3 5

5 7

3 .7 5 .5 7 21 25 5 12 46

35 6

 

   

   

 

  x

x x x

x x

Cách 2: Từ

Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

3 5 3 5 2 1

5 7 5 7 12 6

        



x x x x

d c b a 

 

2 2

1 2

. ; . . 0 ;k a k c( , 0)

a c a c a c

k k k k k

b d b d b d k b k d

        

   

   

f e d c b a  

3 3 3 2

a c e a c e; a c e

b d f b d f b d f

             

     

       

. . .

. . ; ;

a c b c a d a d

a d b c a b c

b  d    d  c  b

3 5 3 5

5 7 5 7

x x x

x

  

  



(3)

Do đó: ³ ¹ ⁶



³



⁵ ³ ⁵ ³⁵

5 6 6 6

         

x x x x

c)

Cách 1: Ta có:

     

2 2

2 4

1 7

2 7 1 4

7 2 14 4 4

5 14 3 4

5 3 4 14

2 10 5

  

 

     

       

   

    

 

x x

x x x x

x x x x x x

x x

x x x x

Cách 2: Từ ² ⁴ ² ⁴

1 7 1 7

      

   

x x x x

Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

   

2 4

2 4 6 3

1 7 1 7 8 4

  

 

   

    

x x

x x x x

Do đó:

   

2 3

4 2 3 1 8 4 3 3

1 4

4 3 8 3 5

         



     

x x x x x

x

x x x

2.Tìm nhiều số hạng chưa biết

Dạng 1 : Tìm c{c số x, y, z thoả mãn : x y z a  b c (1) và x +y + z =d (2) (trong đó a, b, c, a+b+c ≠ 0 v| a, b, c, d l| c{c số cho trước)

Cách giải:

-Cách 1: Đặt x     y z ,  . ,  k x ka y k b z kc

a b c

Thay x = ka, y = kb, z = kc vào (2) ta có: k.a + k.b + k.c = d Từ đó tìm được

- Cách 2: {p dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

; ; z

         

         

x y z x y z d ad bd cd

x y

a b c a b c a b c a b c a b c a b c

c)Ví dụ minh họa:

 

^d

k a b c d k

a b c

     

 

. ; ;

a d bd cd

x y z

a b c a b c a b c

  

     

(4)

Thí dụ 1. Tìm x , y biết rằng:

a) 2x  5y

và 2x – y = 3 b)

2x  5y

và xy = 10.

Hướng dẫn giải

a) Từ tỉ số ² ² ³ 3

2 5 4 5 4 5 1

 

      

  

x y x y x y

Do đó: x = (-3).2 = -6 và y = 5.(-3) = -15.

b) Đặt 2 , 5

2   5  x y

k x k y k. Khi đó: xy = (2k).(5k) = 10k²= 10   x 1 Với k = 1 ta có: x = 2, y = 5.

Với k = -1 ta có x = -2, y = -5.

Thí dụ 2. Tìm x , y, z biết rằng:

a) 2x  3y 4z

và x +y + z = 27 _b)

2 3 4

  

x y z

và x + y - z = 9

Hướng dẫn giải a) Cách 1.

Đặt

Từ x + y + z = 27 ta suy ra

Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12 Vậy x = 6; y = 9; z = 12.

- Cách 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

27 3 2.3 6; 3.3 9; 4.3 12

2 3 4 2 3 4 9

             

 

x y z x y z

x y z .

b) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

   

9 1 2.1 2; 3.1 3; 4 .1 4

2 3 4 2 3 4 9

  

             

 

x y z x y z

x y z

2 , 3 , 4

2 3 4

x y z

k x k y k z k

      

2k3k4k279k27 k 3

(5)

Dạng 2 : Cho x, y, z thoả mãn : (1) và x +y + z =d (2)

Bằng c{ch biến đổi c{c điều kiện (1) v| (2) ta được c{c b|i to{n phức tạp hơn.

C{c c{ch điến đổi thường gặp:

+ Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:

*

* x.y.z = g

+ Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:

-

- - - -

+Thay đổi cả hai điều kiện.

a) 2x  3y 4z

và 2x + 3y – 5z = -21 b) 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = 14

Hướng dẫn giải a)Cách 1: Đặt = k suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 4k.

Do đó: 2x + 3y – 5z = 2.(2k) + 3.(3k) – 5.(4k) = -21

4 9 20 21 7 21 3

 k k k    k   k Vì thế: x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 14

x y z a  b c

1 2 3

k x k y k ze

2 2 2

1 2 3

k x k y k z  f

1 2 3 4

x y ; y z a a a a

2 1 ; 4 3

a xa y a ya z

1 2 3

b xb yb z

1 3 2 1 3 2

b x b z b y b x b z b y

a b c

  

 

3 3

1 2 2

1 2 3

z b

x b y b

a a a

    

2 3 4

x y z

 

(6)

Cách 2: Từ suy ra

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 3 5 2 3 5 21

3 6; 9; 12

4 9 20 4 9 20 7

  

        

  

x y z x y z

x y z

b) Từ 6x = 4y = 3z

2 3 5 2 3 5 14

2 4; 6; 8

4 9 20 4 9 20 7

 

            

  

x y z x y z

x y z

a) 2a  3b 4c

và a² b² 2c² 108 b) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 2x²2y² 3z²  100

2 2 2

2   3 4 4  9 16

a b c a b c

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 2 2 2 2 2

2 108

4 9 16 4 9 32 27 4

 

    

 

a b c a b c

Do đó:

2

4 16 4

4

4 36 6

9

4 64 8

16

     

a a a

b b b

c c c

Vậy a = 4, b = 6, c = 8 hoặc a = -4, b = -6, c = -8.

b) Ta có: x : y : z = 3: 4: 5 nên

2 2 2

3x  4y 5z x9 16y  25z Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 3 4

x y z

  2 3 5

4 9 20

x y z

 

6 4 3

12 12 12 2 3 4

x y z x y z

     

(7)

Do đó:

2

4 36 6

9

4 64 8

16

4 100 10

25

     

x x x

y y y

z z z

Vậy x = 6, x = 8, z = 10 hoặc x = -6, y = -8, z = -10.

Thí dụ 3. Tìm x , y, z biết rằng:

a) 2a  3b 4c

và x.y.z = 648 b) 40 20 28 30  15 21

  

x y z và x.y.z = 22400

a)Cách 1: Đặt = k suy ra: suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 4k.

Do đó: xyz= (2k).(3k).(4k) = 648

3 3 648

24 648 27 3

 k  k  24   k Vì thế: x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 14 Cách 2: Từ

Từ đó tìm được y = 9; z = 12.

b, Từ giả thiết suy ra : 30 15 21 3 3 3

40 20 28 40 4 20 4 28 4 40 20 28

  

          

x y z x y z x y z

Đặt :

40x 20y  28z  k

40 20 28

 

 

 

x k

y k

z k

Mà: ^{x y z}^{. .} ^²²⁴⁰⁰^



⁴⁰^k

 

^{. 20}^k

 

^{. 28}^k



^²²⁴⁰⁰^²²⁴⁰⁰^k ^²²⁴⁰⁰^{ }^k ¹

2 3 4

x y z

 

2 3 4

x  y z

3

648 27

2 2 3 4 24 24

27 216 6

8

x x y z xyz

x x x

         

     

(8)

Do đó:

40 40

20 20 40, 20, 28

28 28

 

      

  



x k

y k x y z

z k

a) ;

6x  9y  2z

x và x +y + z = 27 b) 3x = 2y; 4x = 2z và x + y + z = 27

a) Do ;

6x   9y 2x 3y   2z 2x 4z

x . Suy ra

27 3 2.3 6; 3.3 9; 4.3 12

2 3 4 2 3 4 9

             

 

x y z x y z

x y z .

b)

Từ

;

. Suy ra

27 3 2.3 6; 3.3 9; 4.3 12

2 3 4 2 3 4 9

             

 

x y z x y z

x y z .

a) 3 25 2 169 144

144 25 169

    

x y z

và 3x2y z 169

b) 6 3 4 6 3 4

5 7 9

    

x z y x z y

và 2x + 3y - 5z = 14

Hướng dẫn giải a)Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:



³ ²

 

^{25 169 144}



3 25 2 169 144 169 1

144 25 169 338 338 2

x y z

x  y  z        

Do đó:

2 3 4

x y z

 

3 2

2 3 x y

x y  4 2

2 4 x z x z 

2 3 4

x y z

 

(9)

3 25 1 47

3 25 72 3 47 .

144 2 3

2 169 1 25 363

2 169

25 2 2 4

144 1 169 119

169 2 144 2 2

        

      

       

x x x x

y y y

z z z

b)Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

Từ 6x = 4y = 3z

2 3 5 2 3 5 14

2 4; 6; 8

4 9 20 4 9 20 7

 

            

  

x y z x y z

x y z

Nhận xét: Các dạng toán vận dụng tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau luôn rất phong phú và đa dạng, ở trên mình chỉ trình bày một số dạng thông thường được giao, ở nhiều bì toán chúng ta cần vận dụng kiến thức một cách linh hoạt để giải tốt các bài toán. Sau đâu sẽ là một số bài toán hay và khó:

PHẦN 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

Bài toán: Cho tỷ lệ thức a  c

b d . Cần chứng minh tỷ lệ thức x m

y  n , ta thường làm các phương pháp sau:

Phương pháp 1.

Chứng tỏ rằng : ad = bc .

Phương pháp 2: Đặt k l| gi{ trị chung của c{c tỷ số a c;

b d . Tính c{c tỷ số x m,

y n theo k.

Phương pháp 3: Dùng biến đổi đại số v| tính chất của dãy tỷ số bằng nhau để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần th|nh tỷ lệ thức phải chứng minh.

Phương pháp 1.

Chứng tỏ rằng : ad = bc .

6 3 4 3 3 6 6 3 4 3 3 6

5 7 9 5 7 9 0

6 3 ; 4 3 ;3 6

x z y z z x x z y z z x

x z y z z x

           

 

   

6 4 3

12 12 12 2 3 4

x y z x y z

     

(10)

Thí dụ 1. Cho a, b, c, d kh{c 0 từ tỷ lệ thức: hãy suy ra tỷ lệ thức: .

Hướng dẫn giải Xét tích:



^{a b c}^



^^{ac bc}^

 

^{1 ;} ^{a c d}



^



^^{ac ad}^

 

²

Từ

Từ (1), (2), (3) suy ra (a - b)c = a(c - d) suy ra

Thí dụ 2. Cho a, b, c thỏa mãn a² = bc:

a) Chứng minh: ^ ^ ^



^ ^, ^



 

a b c a

a b a c

a b c a b) Chứng minh: 2² ²2 



0





a c c

b a b b



^{a b c a}^



^



^^{ac bc}^ ^



^a²^^ab



^;



^{c a a b}^



^{ }



^{ac a}^ ²^



^{ab bc}^



Do đó:



^{a b c a}^



^{  }

 

^{c a a b}



^{ }



^{ac bc}^ ^



^a²^^ab



^^{ac a}^ ²^



^{ab bc}^



^²



^{bc a}^ ²



Mặt khác theo giả thiết: a² = bc suy ra:



^



^

 

^ ^



^{ }



^ ^ ^ ^(dpcm)

 

a b c a a b c a c a a b

a b c a

b) Ta có: ^{b a}



²^^c²

 

^^{c b}²^^a²

 

^^{b a}²^^bc

 

^^{c bc a}^ ²

 

^ ^a²^^{bc b c}

 

^{ }



⁰

Ta có:



² ²

 

² ²



2² ²2



0



     



a c c

b a c c b a b

b a b

Phương pháp 2.Đặt k l| gi{ trị chung của c{c tỷ số a c;

b d . Tính c{c tỷ số x m,

y n theo k.

Thí dụ 1. _Cho^a ^c



^c ^{0 .}



^CMR^:

b  d 

a, ^_ _^ ^{ }_²



^, ^^0, ^



 

a b ab

d c c d

c d cd ^b,

3 3 3

3 3

a b a b

c d c d

 

  

   

 

a c

b  d a b c d

a c

 



a c (3)

ad bc b  d 

a b c d

a c

 



(11)

Hướng dẫn giải a) Đặt a    c , 

k a bk c dk b d

Ta có:

 

²

 

2 2 2 2

2 2

1 1

1

  

      

       

      

b k

a b bk b b

c d dk d d k d

   

^. ^. ²₂ ²

 

²

. .

       ab bk b k b b cd dk d k d d

Từ (1) và (2) ta có ^_ ^ ^{ }_²



^, ^^0, ^



   a b ab

d c c d c d cd

b) Đặt a    c ,  k a bk c dk b d

Ta có:

 

³

 

3 3 3 3

3 3

1 1

1

a b bk b b k b

c d dk d d k d

  

      

       

      

 

   

3 3 3 3 3

3 3 3

3

3 3 3 3 3 3

1 2

1 b k bk b

a b b b

c d dk d d k d d

 

       

    

Từ (1) và (2) ta có

3 3 3

3 3

a b a b

c d c d

 

  

   

 

Thí dụ 2. Cho a  c

b d , Chứng minh rằng: 2 5 2 5

3 4 3 4

a b c d

  

 

Hướng dẫn giải Đặt a    c , 

k a bk c dk b d

Ta có:

 



² ⁵

  

2 5 2 5 2 5

3 4 3 4 3 4 3 4 1

b k

a b bk b k

a b bk b b k k

      

   

 



² ⁵

  

2 5 2 5 2 5

3 4 3 4 3 4 3 4 2

d k

c d dk d k

c d dk d d k k

      

   

Từ (1) và (2) ta có 2 5 2 5

3 4 3 4

a b c d

  

 

(12)

Phương pháp 3. Dùng biến đổi đại số v| tính chất của dãy tỷ số bằng nhau để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần th|nh tỷ lệ thức phải chứng minh.

Thí dụ 1. Cho tỉ lệ thức

a c

b  d

_{. với}

a b c d , , ,  0

. Chứng minh:

2 2

ac a c bd b d

 



Phân tích ngược tìm hướng giải:

2 2

2 2 2 2

                 

    

a c ac a c ac a c ac a c

b d bd b d bd b d bd b d

(giả thiết bài

toán)

Từ:

2 2 2 2

2 2

a c a c . a c ac a c

b d b d b d bd b d

   

               (1)

Mà theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau:

2 2 2 2

a c a c

b d b d

  

 (2) Từ (1) và (2)

2 2

ac a c bd b d

  

 (đpcm)

Thí dụ 2. Cho tỉ lệ thức

a c

b  d

_{. với}

a b c d , , ,  0

và

c  d

. Chứng minh:

 

2 2

a b ab c d cd

 



Phân tích ngược tìm hướng giải:

 

2 2

2

.

                  



a b ab a b a b a b a b a c

cd c d c d c d c d b d

c d

Từ: a c a b a b

b d c d c d

    



 

2 2

. a c

2

a b a c ab

c d b d cd b d

 

 

         

(13)

Hay  

 

2 2

a b ab c d cd

 

 (đpcm)

Thí dụ 3. Biết . Chứng minh rằng

Hướng dẫn giải Ta có

Từ (1) v| (2) suy ra:

Thí dụ 4. Cho .Chứng minh rằng (với v| c{c mẫu đều kh{c 0)

Hướng dẫn giải Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

Từ (1),(2),(3) suy ra Suy ra

bz cy cx az ay bx

a b c

     x y z

a  b c

2 2 2

bz cy cx az ay bx abz acy bcx baz cay cbx

a b c a b c

     

    

2 2 2 0

abz acy bcx bay cay cbx

a b c

    

 

 

2 0 (1)

abz acy y z

abz acy bz cy

a b c

        

2 0 (2)

bcx baz z x

bcx baz cx az

b c a

       

x y z a  b c

c b a

z c

b a

y c

b a

x



 



 



2 2 4 4

z y x

c z

y x

b z

y x

a



 



 



2 2 4 4 abc0

) 1 9 ( 2 2

2 4 4

4 2

2 2

2 4

4 2

2 a

z y x c b a c b a c b a

z y x c

b a

y c

b a

z c

b a

y c

b a

x   









 



 



 



 



) 2 9 (

2 ) 4 4 ( 2

4 2

2 4

2 2 4

4 2

2 b

z y x c b a c b a c b a

b y x c

b a

x c

b a

z c

b a

y c

b a

x   













 



 



 



 



) 3 9 (

4 4 4

4 ) 4 4 8 ( 4 8 4

4 4

4 4 8

4 4

8 4

4 4

4 2

2

c z y x c b a c b a c b a

z y x

c b a

y c

b a

x c

b a

z c

b a

y c

b a

x



 















 



 



 



 



 



c b y x b

z y x a

z y x

9 4 4 9

2 9

2       



z y x

c z

y x

b z

y x

a



 



 



2 2 4 4

(14)

Thí dụ 5. Cho 4 số kh{c 0 l| thoả mãn Chứng tỏa:

Hướng dẫn giải Từ

Từ (1) v| (2) suy ra

{p dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Từ (3) v| (4) suy ra:

PHẦN 3: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

Thí dụ 1. Cho c{c số a, b, c thỏa mãn: a b c^{ } a c b^{ }  b c a^{ }

c b a

Tính _



a b b c c a^



^



^



A abc

Hướng dẫn giải Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:



^{  }

 

^{ }

 

^ ^{ }



         

 

      

 

      

      

 

a b c a c b b c a a b c a c b b c a

c b a a b c 1

a b c c a b 2c a c b b a c 2b b c a a b c 2a

1, 2, 3, 4

a a a a a₂² a a a_{1 3}; ₃³ a a₂ ₄

3 3 3

1 2 3 1

3 3 3

2 3 4 4

a a a a

 

  

2 1 2

2 1 3

2 3

3 2 3

3 2 4

3 4

(1) (2)

a a

a a a

a a

a a a a a

a a

  

3

3 3

3 3 3

1 2 1 2 1 2 1

3 3 3

2 3 4 2 3 4 2 3 4 4

a a a (3)

a a a a a a a

a  a  a a a a  a a a a

3 3 3 3

3 3

3 1 2 3

1 2

3 3 3 3 3 3

2 3 4 2 3 4

a a a a (4)

a a

a a a a a a

 

  

 

3 3 3

1 2 3 1

3 3 3

2 3 4 4

a a a a

 

  

(15)



^



^



^



  a b b c c a  2c.2a.2b

A 8

abc abc

Thí dụ 2.

Cho ^ y x

3 4 và y z

5 6. Tính M =  

  2x 3y 4z 3x 4y 5z

Hướng dẫn giải Ta có:

Thí dụ 3. Cho a, b, c l| ba số thực kh{c 0, thoả mãn điều kiện: a b c b c a c a b

c a b

     

  .

Hãy tính gi{ trị của biểu thức 1 b 1 a 1 c

B a c b

   

      

   

Hướng dẫn giải +Nếu a + b + c 0

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:

mà

B =

 

y y y y y

x x z z x z

; 1

3  4 15  20 5  6 20  24 15  20  24

 

¹ ^2x ^3y ^4z ^{2x 3y 4z}

30 60 96 30 60 96

 

   

 

 

¹ ^3x ^4y ^5z ^{3x 4y 5z}

45 80 120 45 80 120

 

   

 

2x 3y 4z 3x 4y 5z 2x 3x

: :

30 60 96 45 80 120 30 45

   

 

   

2x 3y 4z 245 2x 3y 4z 186

. 1 M

186 3x 4y 5z 3x 4y 5z 245

   

    

   



a b c b c a c a b a b c b c a c a b

c a b a b c 1

             

   

 

1 1 1 2

           

a b c b c a c a b

c a b

   2

 a b  b c  c a 

c a b

1 1 1    8

          

       

       

b a c b a c a b c

a c b a c b

(16)

Nếu : a b c      0 a b c b c,   a a c,   b

1 b 1 a 1 c a b a c b c c. b. a 1

B a c b a c b a c b

     

       

            

       

Thí dụ 4. Chox y

3 5. Tính gi{ trị biểu thức: 

 

2 2

5x 3y C 10x 3y

Đặt = k . Khi đó:

C = = = 8

PHẦN 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Thí dụ 1. a) Nếu b > 0, d > 0 thì từ a  c

b d suy ra được:   

 a a c c b b d d b) Nếu b > 0, d > 0 thì từ a  c

b d suy ra được:   



2 2

a ab cd c b b d d

a) Ta có: ^ ^^{  }

 

   a c

ad bc 1 b d

b 0; d 0

Thêm vào hai vế của (1) với ab ta có: ad + ab < bc +ab

   

^

 

     

 a a c

a b d b c a 2

b b d

Thêm vào hai vế của (1) với dc ta có: ad + dc < bc + dc

   

^

 

     

 a c c

d a c c b d 3

b d d

Từ (1) v| (2) suy ra từ a  c b d

   

 a a c c b b d d b) Ta có :

x y

3  5 x 3k

y 5k

 

  

2 2

5x 3y 10x 3y





2 2 2 2 2

5(3k) 3(5k) 45k 75k 120k 10(3k) 3(5k) 90k 75k 15k

 

 

 

(17)

     

   ² ²

a c

a.b c.d ab cd b d

b. b d.d b d b 0; d 0

Theo câu a) ta có: ^ 2 ^_ 2 ^

 

a ab cd c b b d d dpcm

Thí dụ 2. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:

    

       

a b c d

1 2

a b c b c d c d a d a b

+) Do a, b, c, d > 0 nên : ^{a a b c}



^{  }



^{ad a a b c}^



^{  }



_{ }^a ^ _{  }^a ^;

a b c a b c d

Tương tự ta có:   

              

b b c c d d

; ;

b c d a b c d a d a a b c d d a b a b c d

Cộng theo vế c{c bất đẳng thức trên ta được :

 

       

                   

a b c d a b c d

1 1 a b c b c d a d a d a b a b c d a b c d a b c d a b c d

+) Mặt kh{c cũng do a, b, c, d > 0 nên :

 

     

    

  

 

         

       

  

     ad ad d b c

ad a a b c ad d b c a a b c a a b c d a b c a d

a a d

a b c a b c d Tương tự:

  

  

             

b a b c b c d d c

; ;

b c d a b c d c d a c b c d a b a b c d Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ra được:

   

 

       

                  

a b c d a d b c c b d c

a b c b c d c d a d a b a b c a b c d a b c d a b c d 2 2

Từ (1) v| (2) ta có :     

       

a b c d

1 2

a b c b c d c d a d a b

(18)

PHẦN 5: BÀI TOÁN VỀ TỶ LỆ THỨC VÀ CHIA TỶ LỆ

Phương pháp giải

Bước 1:Dùng c{c chữ c{i để biểu diễn c{c đại lượng chưa biết Bước 2:Th|nh lập dãy tỉ số bằng nhau v| c{c điều kiện

Bước 3:Tìm c{c số hạng chưa biết Bước 4:Kết luận.

Ví dụ minh họa:

Thí dụ 1. Cho tam gi{c ABC có c{c góc A, B, C tỉ lệ với 7: 5: 3. C{c góc ngo|i tương ứng tỉ lệ với c{c số n|o.

Phân tích đề bài:

Nếu gọi ba góc của tam gi{c ABC lần lượt l|: A B C, , . Vì ba góc A B C, , tỉ lệ với 7: 5: 3 nên ta có

7 5 3

A B C

Tổng ba góc của một tam gi{c bằng

180

⁰ nên ta có: A B C  180⁰ Từ đó ta tìm được số đo c{c góc của tam gi{c,

M| tổng của góc ngo|i v| góc trong tại một đỉnh của tam gi{c bù nhau.

Gọi ba góc trong v| góc ngo|i của tam gi{c ABC lần lượt l|: A B C, , và

1; 1; 1

A B C



⁰⁰^ ^{A B C}^{, ,} ^¹⁸⁰⁰



Theo bài ra ta có:

7 5 3

A  B C _và A B C  180⁰. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

0

180 0

7 5 3 7 5 3 15 12 A B C A B C 

    

 

0 0

7.12 84

 A  A₁ 180⁰84⁰ 96⁰

0 0

5.12 60

B 

 B

₁

 180

⁰

 60

⁰

 120

⁰

0 0

3.12 36

C 

 C

₁

 180

⁰

 36

⁰

 144

⁰

(19)

Vậy c{c góc ngo|i tương ứng tỉ lệ với:

4 : 5 : 6

.

Thí dụ 2. Ba đội công nh}n I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg h|ng từ kho theo thứ tự đến ba địa điểm c{ch kho 1500m, 2000m, 3000m. Hãy ph}n chia số h|ng cho mỗi đội sao cho khối lượng h|ng tỉ lệ nghịch với khoảng c{ch cần chuyển.

Phân tích đề bài:

Vì ph}n chia số h|ng cho mỗi đội sao cho khối lượng h|ng tỉ lệ nghịch với khoảng c{ch cần chuyển nên ta có: 1500a2000b3000c

Tổng số h|ng cần chuyển đến ba kho l| 1530 nên ta có:

a b c    1530

. Hướng dẫn giải

Gọi số lượng h|ng chuyển tới ba kho lần lượt l| a, b, c

 a b c , ,  0 

. Theo bài ra ta có: 1500a2000b3000c và

a b c    1530

Từ:

1500 2000 3000

4 3 2 a b c a  b  c   

1530 170

4 3 2 4 3 2 9

a b c a b c  

    

  4.170 680

  a 

_; 3.170 510

b  ; 2.170 340

c 

Vậy số h|ng cần chuyển tới ba kho A, B, C lần lượt l|: 680 tạ, 510 tạ, 340 tạ.

Thí dụ 3. Chu vi của hình chữ nhật bằng 28 dm. Tính độ d|i mỗi cạnh, biết rằng chúng tỉ lệ với 3; 4.

Phân tích đề bài:

Nếu gọi hai cạnh của hình chữ nhật l| a v| b

 0   a b 

. Vì hai cạnh hình chữ nhật ti lệ với 3 v| 4 nên ta có:

3 4 a  b

_.

Chu vi hình chữ nhật l| ²



^{a b}^



nên ta có: ²



^{a b}^



^²⁸^{  }^{a b} ¹⁴

(20)

Như vậy ta đã đưa b|i to{n về dạng b|i {p dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Hướng dẫn giải Gọi hai cạnh của hình chữ nhật l| a v| b

 0   a b 

3 4

a  b

_và²



^{a b}^



^²⁸

Từ ²



^{a b}^



^²⁸^{  }^{a b} ²⁴

14 3 4 3 4 7 2 a   b a b   



3.2 6

 a  ;  b 4.28

Vậy độ d|i hai cạnh hình chữ nhật l| 6cm v| 8cm.

Thí dụ 4. Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng v| 10000 đồng, trị gi{ mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ.

Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng v| 10000 đồng lần lượt l| a, b, c Vì gi{ trị mỗi loại tiền đều bằng nhau nên ta có:

2000 a  5000 b  10000 c

Có 16 tờ giấy bạc c{c loại nên:

a b c    16

Gọi số tờ tiền của loại 2000 đồng, 5000 đồng v| 10000 đồng lần lượt l| a, b, c Theo bài ra ta có:

2000 a  5000 b  10000 c

và

a b c    16

Từ:

2000 5000 10000

5 2 1 a b c a  b  c   

16 2 5 2 1 5 2 1 8 a   b c a b c   

 

5.2 10

  a 

;

b  2.2  4 c  1.2  2

Vậy số tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng lần lượt l| 10 tờ, 4 tờ v| 2 tờ.

Thí dụ 5. Cho tam gi{c ABC có số đo c{c góc A B C, , lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3. tính số đo c{c góc của tam gi{c ABC.

(21)

Ở b|i n|y cho c{c góc A B C, , lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3.

Vậy ta lấy luôn A B C, , l| số đo ba góc cần tìm.

Vì số đo c{c góc A B C, , lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3 nên ta có:

1 2 3

A B  C

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam ta có: A B C  180⁰ Hướng dẫn giải

Gọi ba góc trong v| góc ngo|i của tam gi{c ABC lần lượt l|: A B C, ,



⁰⁰ ^ ^{A B C}^{, ,} ^¹⁸⁰⁰



1 2 3

A B C _và A B C  180⁰ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

0

180 0

1 2 3 1 2 3 6 30 A B C  A B C   

 

 A 1.30⁰ 30⁰; B2.30⁰ 60⁰; C3.30⁰ 90⁰

Vậy số đo ba góc A B C, , của tam gi{c ABC lần lượt l|: 30 ;60 ;90⁰ ⁰ ⁰

PHẦN 6: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU.

Sai lầm thường gặp 1:

Áp dụng: x y xy

a  b ab _hay x y z xyz a   b c abc

Thí dụ 1. Tìm 2 số x,y biết rằng 2 5

x  y và x.y =10

Sai lầm thường gặp:

Ta có:

suy ra x = 2,y = 5 Lời giải đúng:

. 10 2 5 2.5 10 1 x  y x y  

(22)

Từ từ đó suy ra vậy x = 2,y = 5 hoặc x =-2, y = -5

Thí dụ 2. Tìm c{c số x,y,z biết rằng :

2 3 4

x y z

  và x.y.z = 648

Sai lầm thường gặp:

Ta có:

Suy ra a = 54, b = 81, c = 108 Lời giải đúng:

Ta có:

3 3 3

648 27 6, 9, 12

2 3 4 2 3 4 2.3.4 24

x y z x y z xyz

x y z

     

                 

Sai lầm thường gặp 2: Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0

Thí dụ 1. Cho 3 tỉ số bằng nhau l| a b c . b c  c a  a b

  

Tìm gi{ trị của mỗi tỷ số đó

Ta có

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

     

²

 

¹²

a b c a b c a b c

b c c a a b b c c a a b a b c

   

    

         

Lời giải đúng:

Ta có

+ Nếu a + b + c ≠ 0. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

= ¹ 2

2

. . 10 2

4 2

2 5 2 5 2 5

x y x x x y x

x x

          y 5

. . 648 2 3 4 2.3.4 24 27 x y z x y z

    

a b c

b c  c a  a b

  

a b c

b c  c a  a b

  

     

²

 

a b c a b c a b c

b c c a a b b c c a a b a b c

   

   

         

(23)

nên mỗi tỉ số đều bằng -1

Thí dụ 2. Cho a, b, c l| ba số thực kh{c 0, thoả mãn điều kiện: a b c b c a c a b

c a b

        _.

Hãy tính gi{ trị của biểu thức 1 b 1 a 1 c

B a c b

   

      

mà

B =

+Nếu a + b + c 0

mà

B =

Nếu : a b c      0 a b c b c,   a a c,   b

1 b 1 a 1 c a b a c b c c. b. a 1

B a c b a c b a c b

     

       

            

       

Thí dụ 3. Tìm x.y biết: 2 1 3 2 2 3 1

5 7 6

x y x y

x

   

 

; ;

a b c

b c c a a b

c a b a b c 1

                 

 

1 1 1 2

           

a b c b c a c a b

c a b

   2

 a b  b c  c a 

c a b

1 1 1    8

          

       

       

b a c b a c a b c

a c b a c b



c a b a b c 1

             

   

 

1 1 1 2

           

a b c b c a c a b

c a b

   2

 a b  b c  c a 

c a b

1 1 1    8

          

       

       

b a c b a c a b c

a c b a c b

(24)

Ta có: (1)

Từ hai tỷ số đầu ta có: (2)

Từ (1) v| (2) ta suy ra (3)

6x = 12 x = 2

Thay x = 2 v|o 2 tỷ số đầu ta được y = 3

Thử lại thấy thoả mãn . Vậy x = 2 v| y = 3 l| c{c gi{ trị cần tìm Lời giải đúng:

Ta có: (1)

Từ hai tỷ số đầu ta có: (2)

Từ (1) v| (2) ta suy ra (3)

TH 1 : 2x + 3y - 1 .Khi đó ta mới suy ra 6x = 12 nên x = 2.

Thay x = 2 v|o 2 tỷ số đầu ta được y = 3

Thử lại thấy thoả mãn . Vậy x = 2 v| y = 3 l| c{c gi{ trị cần tìm TH2: 2x + 3y -1= 0 .Suy ra 2x =1- 3y,thay v|o hai tỉ số đầu, ta có

Suy ra 2 - 3y = 3y-2 =0 . Từ đó tìm tiếp

Sai lầm thường gặp 3: Sai lầm khi xét lũy thừa bậc chẵn.

Thí dụ 1. Tìm x biết 1 60

15 1

x

 

  

nên x – 1 = 30 do đó x = 31.

2 1 3 2 2 3 1

5 7 6

x y x y

x

   

 

2 1 3 2 2 3 1

5 7 12

x y x y

 

2 3 1

6 x y

x

  2 3 1 12 x y



 

2 1 3 2 2 3 1

5 7 6

x y x y

x

     

2 1 3 2 2 3 1

5 7 12

x y x y

 

2 3 1

6 x y

x

  2 3 1 12 x y



0

1 3 1 1 3 1 3 2

5 5 7 0

y y y

       



2 y 3

  1

x 2

1 60

15 1

x

  

  ^



^x^¹

 

² ^{ }^{15 .}

 

^⁶⁰

 

^ ^x^¹



² ^⁹⁰⁰

(25)

hoặc x – 1 = - 31, do đó x = 31 hoặc x = 29.

Thí dụ 2. Tìm c{c số x,y,z biết rằng

2 3 4

x y z

  biết rằng 2x²3y²5z²  405

Đặt = k suy ra x = 2k, y = k, z = 4k

Từ suy ra

Học sinh thường mắc sai lầm suy ra k = 3, m| phải suy ra

C/ BÀI TẬP LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Cho ¹ ² ¹

2 3 1

... ⁿ ⁿ.

n

a a

a a a a

     Và a₁  a₂ ... a_n 0;a₁  5 Tính a a₂; ;...₃ a_n ?

Câu 2. Cho 1 1 1 1

( ; ; 0; )

2 a b c b c

c a b

 

      Chứng minh: ^a ^{a c}

b c b

 



Câu 3. Cho 4 số dương a b c d; ; ; . Biết rằng Và ; ² 2

a c bd

b c

b d

  



Chứng minh rằng 4 số này lập thành 1 tỉ lệ thức.

Câu 4. Tìm c{c số x; y; z biết rằng: ^y ^z ¹ ^x ^z ² ^y ^x ³ ¹

x y z x y z

        

  Câu 5. Tìm các số x, y, z biết rằng: 3x = 4y, 5y = 6z và xyz = 30.

Câu 6. Cho a c

c b chứng minh rằng:

a)

2 2

a c a

b c b

 

 b)

2 2

b a b a

a c a

 

 

2 3 4

x  y z

2 2 2

2x 3y 5z  405 ^{2. 2}

 

^k ²^{3 3}

 

^k ²^{5 4}

 

^k ²  ⁴⁰⁵

2 2 2

2 2

8 27 80 405

45 405

9

k k k

k k

   

  



3 k 

(26)

Câu 7. Cho tỉ lệ thức d c b

a  . Chứng minh rằng ta có c{c tỉ lệ thức sau ( giả thiết c{c tỉ lệ thức đều có nghĩa).

a, c

d c a

b

a 3 4 3

4   

b, ₂ ₂

2 2 2 2

2 3

2 3 ) (

) (

d c

b a d

c b a



 



Câu 8. a) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: x y z

3  4  5 và 2x²2y²3z²  100

b) Cho ^a ^b ^c ^d

2b  2c  2d  2a (a, b, c, d > 0)

Tính A = 2011a 2010b 2011b 2010c 2011c 2010d 2011d 2010a

c d a d a b b c

      

   

Câu 9. Cho dãy tỷ số bằng nhau:

2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d

a b c d

              

Tính

c b

a d b a

d c a d

c b d c

b M a

