Câu 1: Cho hàm số y x 4 2x21. Gọi A là một điểm trên đồ thị
C củahàm số đã cho. Tiếp tuyến tại A với
C cắt
C tại hai điểm phân biệt M x y
1, 1
,N x y2, 2
. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN?A. 3 5
4 B. 83 15
200 C. 64 10
125 D. 23 2 20
☺ PHÂN TÍCH Về lý thuyết một đường thẳng cắt đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương tại tối đa 4 điểm phân biệt. Do đó nếu như chỉ có 3 giao điểm đó là các điểm A M N, , thì ta hiểu rằng nguyên nhân ở đây là vì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A. Như vậy nếu ta gọi đường thẳng đó là y px q thì chắc chắn phương trình hoành độ giao điểm phải có dạng sau:
2
4 2 2 1 A M N
x x px q x x x x x x
Tuy nhiên việc tìm ra x xM, N khả năng cao là phức tạp và tính toán dễ nhầm, do đó chúng ta định hướng cách giải như sau:
Bước 1: Gọi tiếp tuyến tại A có dạng y px q .
Bước 2: Xét phương trình hoành độ giao điểm và tách nhân tử chắc chắn xuất hiện là
x x A
2 ra. Bước 3: Sau khi tách bên trong sẽ là một đa thức bậc 2 và ta sử dụng định lý Viet cho 2 giá trị x xM, N.
Bước 4: Gọi tọa độ các điểm M x
M,pxM q N x px
, N, N q
và chú ý sử dụng công thức 1 1 2 2 1S 2 x y x y .
☺ LỜI GIẢI
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2
4 2 2 1 4 3 4 4 2 2 1 2
x x a a x a a a x a x mx n Tới bước này chắc chắn có nhân tử
x a
2. Bạn đọc có thể tự phân tích nhân tử bằng tay hoặc sử dụng “mẹo nhỏ bằng máy tính CASIO” đặt a100, xétphép chia đa thức:
4 2 3 4 2
2
2 1 4.100 400 100 100 2.100 1 100
x x x
x
.
Bấm CALC thay x1000 ta được kết quả 1229998 1000000 200000 30000 2
2 2
1000 2.100.1000 3.100 2
2 2 3 2 2
x ax a
Vậy ta có:
x a
2
x22ax3a22
0 có 3 nghiệm x a x x x x , 1, 2. Dễ dàng có được điều kiện có 3 nghiệm phân biệt là 2 1, 2 1a a 3.
Mặt khác chú ý rằng tiếp tuyến viết lại thành:
4 3 4
3 4 2 2 1p q
y a a x a a .
Khi đó ta có: 1 2 2 1 1
2
2
1
1 1
2 2
SOMN x y x y x px q x px q .
21 2 1 2 1 2
1 1 4
2 2
SOMN q x x q x x x x
2 4 2 2
1 8 8 3 2 1 2 2 max 64 10
2 125
SOMN q a a a a S
.
Chú ý: Lựa chọn phân tích bằng máy tính CASIO chỉ là một công cụ tham khảo. Hãy tập luyện phân tích nhân tử bằng tay, nắm vững các kiến thức cơ bản, chỉ sử dụng CASIO khi bạn quá bí ý tưởng và không đủ thời gian giải bài. Không nên sử dụng thay thế hoàn toàn các công cụ giải tay.
Câu 2: Cho hàm số bậc ba y f x
có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi phương trình
f f x x có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt?
A. 6. B. 5.
C. 4. D. 7.
☺ LỜI GIẢI Cách 1: Sử dụng tư duy về đảo trục:
Đặt y f x
, khi đó số nghiệm của phương trình f f x
x bằng với số nghiệm của hệ phương trình
f y x y f x .
Ta chú ý rằng đồ thị hàm số x f y
chínhlà đồ thị hàm số y f x
nhưng đảo chiềucủa 2 trục Ox và Oy. Và ta mô phỏng như hình vẽ bên. Chọn B.
Cách 2: Sử dụng tư duy về ghép trục:
Đầu tiên sử dụng kỹ thuật ghép trục ta có bảng biến thiên của hàm số
y f f x được mô phỏng như dưới đây:
Tới đây ta đã có được bảng biến thiên của hàm số y f f x
. Tuy nhiên số
y x và đồ thị hàm số y f f x
. Vì vậy ta cần quan tâm xem rằng làm thế nào để có thể vẽ được đường thẳng này.Ta chú ý rằng đường thẳng y x sẽ đi qua 2 điểm đặc biệt đó là
0;0 và
1;1 . Tuy nhiên 2 điểm đó nằm ở đâu?Đầu tiên ta quan sát ta thấy điểm có hoành độ x 0 chắc chắn sẽ nằm giữa
1
x và x 1 trên bảng biến thiên.
Kế tiếp đó ta thấy thế này, y
0 f f
0
f
2 4. Như vậy là trên đồ thị hàm số y f f x
ta có điểm
0;4 . Vì vậy chắc chắn rằng điểm này sẽ nằm trên đường nối từ điểm
1;
đến
c;0 trên bảng biến thiên và từ đó ta xác định được vị trí của điểm
0;0 (quan sát hình vẽ phía dưới).Trong khi đó điểm
1;1 sẽ dễ dàng xác định hơn rất nhiều bởi vì ta đã có sẵn điểm
1;2 trên bảng biến thiên. Tới đây ta kẻ đường thẳng đi qua 2 điểm này và ta quan sát thấy có tất cả 5 giao điểm (chú ý ở dưới điểm
b;0 ). Chọn B.Chú ý: Cách giải số 2 chắc chắn là cần nhiều bước tính toán và lâu hơn so với cách giải số 1. Tuy nhiên việc biết thêm 1 cách giải sẽ giúp bạn đọc có thêm 1 định hướng cho bài toán của mình.
Cách 3: Sử dụng máy tính CASIO:
Ta nhận thấy f x
x33x2. Xét TABLE với START 5, END 5, STEP0,5 của F x
x33x2
33 x33x2
2 x ta được:Ta thấy các vùng giá trị khả nghi nằm trong vùng từ
2.5,2
do đó ta quan sát kỹ hơn ở vùng này. Ta chọn lại START 2,5, END 0, STEP 0,1Như vậy trong vùng này ta có duy nhất 1 nghiệm x 2,25 và có vẻ như sẽ chuẩn bị có tiếp 1 nghiệm nằm ngay gần giá trị x 0. Ta tiếp tục khảo sát với START 0, END 2, STEP 0,1
Như vậy trong vùng này ta có thêm 4 nghiệm nữa đó là x 0,25 x 0,55
1,25
x x 1,65 . Chọn B.
Chú ý: Cách giải bằng máy tính CASIO chỉ mang tính chất tham khảo và sử dụng khi bạn không có lựa chọn khả thi hơn hoặc có thể sử dụng như một công cụ để kiểm tra đáp số mà bạn đã đưa ra nhằm củng cố niềm tin.
Câu 3: Cho hàm số bậc bốn y f x
có đồthị như hình vẽ bên. Biết rằng
1 2f . Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x
2 2x3 ?A. 5 B. 7
C. 9 D. 3
☺ LỜI GIẢI
Số điểm cực trị của hàm số y f x
2 2x3 là số nghiệm đơn của phương trình
2 2 3 2 2 3 0
g x g x
f x x x f x x
. Do đó ta có các bước giải sau:
Bước 1: Giải phương trình g x
0 tìm ra các nghiệm đơn. Bước 2: Từ đó lập Bảng biến thiên của y g x
và kết luận.Cách 1: Sử dụng tương giao của đồ thị:
Xét g x
0 ta có x 0,f x
2 3x. Xét
2 3 0
3 3 0
f t t x t f x x
f t t x t
.
Ta thấy chỉ có các nghiệm x1,x a .
Vậy g x
0 sẽ có các nghiệm đơn x0;x1;x a . Do đó:Do vậy g x
0 có thêm 2 nghiệm đơn nữa. Có tất cả 5 điểm cực trị. Chọn C.Cách 2: Sử dụng phương pháp chọn hàm:
Gọi f x
ax4bx3cx2dx e .Dựa vào các điểm đặc biệt của đồ thị ta có:
1 3
2 16 8 4 2 3
3 81 27 9 3 3
4 256 64 16 4 0
4 256 48 8 0
f a b c d e
f a b c d e
f a b c d e
f a b c d e
f a b c d
Do đó ta có f x
1112x4 293 x342112 x21543 x28.
2 3 1112 8 293 6 42112 4 1543 2 3 28 0 x 1 2,2f x x x x x x x
x a
Ta chú ý tìm nghiệm bằng SOLVE và TABLE. Từ đó ta có bảng biến thiên:
Do vậy g x
0 có thêm 2 nghiệm đơn nữa. Có tất cả 5 điểm cực trị. Chọn C.Chú ý: Cách sử dụng phương pháp chọn hàm chỉ sử dụng khi ta đã quá bí về mặt ý tưởng và có khả năng chọn ra được hàm số phù hợp yêu cầu bài toán đưa ra.
Câu 4: Cho hàm số f x
x22x m với m 10,10. Biết
1
2
1
f f x f x x có 4 nghiệm phân biệt, khi đó có bao nhiêu giá trị nguyên của m thỏa mãn?
A. 7 B. 4 C. 8 D. 6
☺ LỜI GIẢI
Cách 1: Đưa bài toán về dạng cô lập theo tham số và vẽ đồ thị biện luận:
Ta có: PT f f x
12f x
1f x
2 . 1x
Vì hàm đặc trưng không đơn điệu do đó ta không thể dùng hàm đặc trưng trong trường hợp này mà phải chuyển sang phân tích đa thức thành nhân tử. làm như sau:
Đặt a f x
1 ta có f a
2a f x
2x2 4 2 4
4 0 a a m x x m a x
a x
2 2
1 0 2 1 0
1 4 0 2 1 4 0
f x x x x m x
f x x x x m x
2 2
1 3 5 m x x
m x x
.
Để có 4 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là đường thẳng y m cắ cả 2 đồ thị hàm số y x2 x 1 và y x2 3x5 tại 4 điểm phân biệt.
Dựa vào đồ thị của 2 hàm số ta suy ra m
10; 9;...; 5; 4
. Chọn A.Cách 2: Sử dụng tư duy về đảo trục (Hoàng Thế Việt – Học sinh trường THPT Chuyên Sư Phạm):
Đặt f x
1 y ta có hệ mới
2
1 2
2
2 1
1 3 1
2 2 2
y x x m P
x y y m P
.
Ta nhận xét rằng
P1 có trục đối xứng x 1 và
P2 có trục đối xứng 3y 2, cả hai parabol sẽ lần lượt di chuyển dọc theo 2 trục đối xứng này.
Để có thể định hướng rõ hơn, ta xét tình huống m 2 và có hình vẽ:
Ta thấy như hình vẽ thì hiện tại mới chỉ có thể có 2 giao điểm. Ngoài ra để có thể có 4 giao điểm ta phải đẩy lùi các parabol xuống dưới và sang trái hơn nữa. Ta chú ý thêm rằng ở đây m và cứ tịnh tiến
P1 xuống 2 đơn vị thì tương ứng
P2 tịnh tiến sang trái 1 đơn vị. Do vậy ta phải hạ tối thiểu thêm 2 đơn vị nữa tức là m 4 mới có thể tồn tại được 4 giao điểm phân biệt (nếu cẩn thận có thể thấy m 3 sẽ có sự tiếp xúc và bị loại trường hợp này) và ta thấy khi càng tiếp tục hạ giá trị của m thì càng có đủ 4 giao điểm phân biệt.Vậy các giá trị nguyên cần tìm đó chính là m 4. Chọn A.
Câu 5: Cho hàm số y f x
33x2
có đồthị như hình vẽ bên dưới. Số điểm
cực trị của hàm số
2 3 4
y f x x là:
A. 1 B. 3
C. 5 D. 7
Cách 1: Sử dụng biến đổi đồ thị:
Ta để ý rằng x2
x 3
4 x33x24. Bên cạnh đó ta xét thử mối quan hệ của y1 x33x2 và y2 x33x24. Ta dự đoán rằng ở đây tồn tại một phép biến đổi đồ thị. Tuy nhiên làm thế nào để nhìn ra nó một cách nhanh chóng đây nhỉ? Khi đó ta xét thử:2 1
2 2
3 6 0 0 / 2
3 6 0 0 / 2
y x x x x
y x x x x
.
Như vậy ta nhận thấy rằng y2 có khả năng được sinh ra từ y1 bằng cách tịnh tiến sang trái 2 đơn vị (để biến x 0 x 2 /x 2 x 0).
Thật vậy ta có: y x1
2
x2
3 3
x2
2 x33x2 4 y x2
.Do vậy bằng phép tịnh tiến sang trái 2 đơn vị, ta có được y f x
33x2
trởthành y f x
33x24
h x
và cuối cùng ta có y f x
2
x 3
4
bảnchất chính là đồ thị hàm số y h x
. Do đó Chọn B.Cách 2: Sử dụng ghép trục ngược (Trương Minh Phước – Học sinh trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội):
Ta xây dựng bảng biến thiên như sau:
Ta thấy rằng ở đây ta đang thể hiện bảng biến thiên của hàm hợp y f u
với u x 33x2 (trong đó u 0 x 0 /x2).
Vì vậy dựa vào đồ thị ta chắc chắn rằng a5 và tương ứng khi thay vào biểu thức u x 33x2 ta được b50. Như vậy đồ thị hàm số y f x
sẽ đi qua các điểm
0;c0,8 , 4;
e 0,5 , 50;
f 3,2
và ta dựng bảng biến thiên:Ta dễ dàng có nốt bảng biến thiên hàm hợp y f u
với u x 2
x 3
4: