Tính xác suất để điểm thi môn Toán của học sinh đó lớn hơn 6 điểm nhưng không vượt quá 8 điểm( làm tròn đến hàng phần nghìn)

(1)

TRƯỜNG THPT MINH CHÂU

TỔ TỰ NHIÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: TOÁN - Lớp 11 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1: (2 điểm)

a) Giải phương trình: sin 3x 3 cos3x2sin 2x.

b) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình ^{cos 2}^x^^7cos^x^ ^{3 sin 2}



^x^^7sin^x



^⁸ trên đoạn



^^{2 ;2}

  

Câu 2: (2 điểm)

a) Tìm số hạng chứa x³ trong khai triển 1 9

2 . x x

  

 

 

b) Đề thi THPT môn Toán gồm 50 câu trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có 4 phương án trả lời và chỉ có 1 phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được cộng 0, 2điểm, điểm tối đa là 10 điểm. Một học sinh có năng lực trung bình đã làm đúng được 25 câu( từ câu 1 đến câu 25), các câu còn lại học sinh đó không biết cách giải nên chọn phương án ngẫu nhiên cả 25 câu còn lại. Tính xác suất để điểm thi môn Toán của học sinh đó lớn hơn 6 điểm nhưng không vượt quá 8 điểm( làm tròn đến hàng phần nghìn).

Câu 3:(1 điểm) Tìm tất cả các số thực x để ba số , 2 , 4x  x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Câu 4: (2 điểm) Tính các giới hạn sau:

a) ^I ^^lim



¹⁶ⁿ^¹^⁴ⁿ ^ ¹⁶ⁿ^¹^³ⁿ



b)

 

2 3

1

2 7 1

lim^x 2 1

x x x

J ^ x

   

 

Câu 5: (1,5 điểm)

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A, 3

SA a , SB2a. Điểm M nằm trên đoạn AD sao cho AM 2MD. Gọi

 

^P là mặt phẳng qua M và song song với



^SAB



^.

a) Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CD.

b) Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng

 

^P ^.

Câu 6: (1,5 điểm) a) Giải hệ phương trình

2 2

4 8 17 1

21 1 2 4 3

x x x y y

x y y y x

       



     

 .

b) Cho dãy số

  u

n được xác định như sau ¹ ^*

1

4 , .

9

_n _n

4 4 1 2

_n

u n

u

_

u u

  

    





Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số

  u

n và tính

lim u

_n

--- Hết --- (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh:...

Số báo danh:……….. Phòng thi số:………

Chữ ký của giám thị:………

(2)

Câu 1:

a) Giải phương trình sau sin 3x 3 cos 3x2sin 2x.

Ta có : sin 3 3 cos 3 2sin 2 1sin 3 3cos 3 sin 2

2 2

x x x x x x (0.25)

3 2 2

sin 3 sin 2 3

3 3 2 2

3

x x k

x x

x x k

 



  

   

  

         



 

3 2

2 2

15 5

x k

k k x

 

   

 

  





(0.5)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 2 2 3 2 ; 15 5

S  ^



k

 

k



k ^

 ^{. (0.25)}

b) Ta có:

^{cos 2}^x^^{7 cos}^x^ ^{3 sin 2}



^x^^{7 sin}^x



^{ }⁸ ^{cos 2}^x^ ^{3 sin 2}^x^^{7 cos}



^x^ ^{3 sin}^x



^{ }^{8 0}

cos 2 7 sin 4 0 2sin² 7 sin 3 0

3 6 6 6

x  x  x  x 

       

                

        (0.25)

sin 1

6 2

sin 3( )

6 x

x VN



   

  



   

  



(0.25)

Ta có:

2

1 6 6 2

sin 2

5

6 2 2

2 3

6 6

x k

x x k

x k

   

     

     

    

    

      

(0.25)

Vì



^{2 ; 2}



^{2 ;} ⁴ ^;0;² ^{; 2}

3 3

x      x ^     ^

 . (0.25) Câu 2:

Câu 030. Tìm số hạng chứa x³ trong khai triển 1 9

2 . x x

  

 

 

B1.X.T0

Lời giải

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

9 9

9 9 0

9 9 2

9 0

1 1

. . 0.25

2 2

. 1 . . 0.25 2

k

k k

k

k k

k

x C x

x x

C x









     

   

   

    



Hệ số của x³ ứng với 9 2 k  3 k 3 0.25 Vậy số hạng cần tìm 1 ₉^{3 3}.

8C x 0.25 b) Gọi x là số câu học sinh đó trả lời đúng trong 25 câu còn lại.

Số điểm học sinh đó đạt được là 5 0,2x . (0.25) TRƯỜNG THPT MINH CHÂU

TỔ TỰ NHIÊN

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn: TOÁN – Khối 11

(3)

Theo yêu cầu đề bài 6 5 0,2  x   8 5 x 15,x^.

Như vậy, để điểm của học sinh đó lớn hơn 6 điểm nhưng không vượt quá 8 điểm thì học sinh đó phải trả lời đúng từ 6 đến 15 câu và làm sai các câu còn lại.

Xác suất trả lời đúng 1 câu là 0,25; xác suất trả lời sai 1 câu là 0,75.

Xác suất trong mỗi trường hợp là C25^x



0.25 . 0.75

 

^x



²⁵^^x với x và 6 x 15 (0.25) Suy ra xác suất cần tính là ¹⁵ 25

   

²⁵

6

0.25 . 0.75^x ^x 0,622

x x

C ^





 ^. ^(0.25)

0,622 (0.25) Câu 3:

Ta có

 

²^x ² ^^x^.4^⁴^x²^⁴^x_{  }⁰ ^^x_x^_₁⁰

 ^. ^(0.25)

Với x0 ta có 0; 0; 4  không là cấp số nhân. (0.25) Với x1 ta có 1; 2; 4  là cấp số nhân có công bội q2. (0.25)

Vậy x1. (0.25)

Câu 4:

a) Ta có ^T ^^lim



¹⁶ⁿ^¹^⁴ⁿ ^ ¹⁶ⁿ^¹^³ⁿ



1 1

4 3

lim 16 4 16 3

n n

n n n n

  

  

  

  (0.5)

1 3 lim 4

1 3

16 16

4 16

n

n n

   

    

   

  

   

      

     

 

1

8. (0.5)

b) Lời giải Ta có

   

2 3 2 3

1 1

2 7 1 2 2 2 7 1

lim lim

2 1 2 1

x x

x x x x x x

x x

 

          

  (0.25)

   

2 3

1 1

2 2 2 7 1

lim lim

2 1 2 1

x x

x x x

x x I J

 

    

   

  ^.

Tính

     

2 2

1 1 2

2 2 2 4

lim lim

2 1 2 1 2 2

x x

x x x x

I ^ x ^ x x x

     

 

    

  

     

1 2 1 2

1 2 2 3

lim lim

2 1 2 2 2 2 2 4 2

x x

x x x

x x x x x

 

  

  

       . (0.25)

và

     

3

1 1 3 3 2

2 7 1 8 7 1

lim lim

2 1 2 1 4 2 7 1 7 1

x x

J ^ x ^ x x x

   

 

 

       

(0.25)

 

²

1 3 3

7 7

lim 2 4 2 7 1 7 1 12 2

x^ x x

 

 

     

 

 

.

Do đó

 

2 3

1

2 7 1 2

lim^x 2 1 12

x x x

x I J



      

 ^(0.25)

Câu 5:

(4)

a) Ta có : AB//CD nên (SB,CD)=(SB,AB) (0.25) Do tam giác SAB vuông tại A theo gt nên



^{SB CD}^,



^^SBA^ ^(0.25)

Có :  3 3

sin 2 2

SA a

SBA SB a  Suy ra:



^{SB CD}^,



^⁶⁰⁰ (0.25) b)

   

 

//

,

P SAB

M AD M P

  



   

P ABCD MN

P SCD PQ

 

    và MN PQ AB// // (1)



   

 

//

,

P SAB

M AD M P

  



   

P SAD MQ

P SBC NP

 

    và //

//

MQ SA NP SB





Mà tam giác SAB vuông tại A nên SAAB MN MQ (2)

Từ (1) và (2) suy ra thiết diện là hình thang vuông tại M và Q. (0.25) MQ SA// MQ DM DQ

SA DA DS

   1

MQ 3SA

  và 1

3 DQ

DS  .

PQ CD// PQ SQ CD SD

  2

PQ 3AB

  , với AB SB²SA² a (0.25)

Khi đó ¹ .

 

MNPQ 2

S  MQ PQ MN 1 . 2

2 3 3

MNPQ

SA AB

S  AB

    

5 2 3

MNPQ 18 S a

  . (0.25)

6. a)

 

2 2

4 8 17 1 1

21 1 2 4 3 2

x x x y y

x y y y x

       



     



Điều kiện: y0, 4y3x0.

  

¹  ^{x y}  ⁴



^x²⁸^x¹⁷ ^y² ^{1 0}

   

² ²

2 2

4 4 0

8 17 1

x y

x y x x y

 

    

   

    

2 2

4 4

4 0

8 17 1

x y x y

x y x x y

   

    

   

   

2 2

4 1 4 0

8 17 1

x y

x y x x y

   

 

    

     

  (0.25)

4

  y x .

(5)

(Vì:

   

²

 

²

2 2 2 2

4 1 4 1

1 4 0 ,

8 17 1 8 17 1

x x y y

x y

x x y x x y x y

      

     

        ) (0.25)

Thay y x 4 vào (2) ta được:

 

² ^{ }^x ^x^{ }⁴ ^x^^{25 1 2}^{ } ^x^¹⁶



^x ^{4 2}

 

^x ^{25 5}

 

^x ^{8 2} ^x ¹⁶



⁰

          

1 1 12 0

4 2 25 5 8 2 16

x x

x x x x



 

           

 

0 4 ( t/m)

1 1 12

4 2 25 5 8 2 16 0 3

x y

x

x x x x

  



    

       



. (0.25) Do x        4 y 0 x 4 x 8 0 nên (3) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

   

^{x y}^; ^ ^{0; 4} . (0.25) Chú ý: Ta có thể giải (1) như sau:

 

¹ ^{  }^x ⁴



^x^⁴



^{  }¹ ^y ^y²^¹

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ }^t ^t²^¹^có

 

¹ ₂ ²₂¹ ^0,

1 1

t t t

f t t

t t

        

  .

Do đó ^{f t}

 

đồng biến trên _ nên

 

¹ ^ ^{f x}



^⁴



^ ^{f y}

 

^{  }^x ⁴ ^y^.

6. b) (0.75đ)

Ta có

u

_n

   0, n

^*^và

9 u

_n_1

 u

_n

  4 4 1 2  u

_n

18 u

_n_1

2 u

_n

8 8 1 2 u

_n

    



¹

  

²

9 1 2 u

_n_

1 2 u

_n

4

    

^0,25

3 1 2 u

_n_1

1 2 u

_n

4

    



¹



3 1 2 u

_n_

2 1 2 u

_n

2

     

^0,25

Đặt

v

_n

 1 2  u

_n

   2, n

^* Ta có

1

* 1

1 1 ,

n

3

n

v

_

v n

 

  

 





0,25



dãy số

  v

n là một cấp số nhân có công bội

1

q  3

, số hạng đầu

v

₁

 1.

1

3

n

v

n

 



     

 

²

2 2 1

2 1 1 1 4

2 2 3 3 3 .

n

n n n

u v   

_ _



        

Kết luận

1

₂

1

₂

4

₁ ^*

3 , .

2 3 3

n n n

u    

_



_

      n

 ^Khi ^đó

2 2 1

1 1 4 3

lim lim 3 .

2 3 3 2

n n n

u    

_



_

    

0,25

Hết