Chuyên đề: Tính giá trị của biểu thức
I/ Lý thuyết
1. Tính chất của phép cộng
+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi a + b = b + a
+ Tính chất kết hợp: Khi cộng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) 2. Tính chất của phép trừ
+ Trừ một số cho một tổng: Muốn trừ một số cho một tổng ta có thể lấy số đó trừ đi một số được kết quả trừ tiếp số còn lại
a – (b + c) = (a – b) – c
+ Trừ một tổng cho một số: Muốn trừ một tổng cho một số, ta lấy một số hạng của tổng trừ đi số đó rồi cộng với số hạng còn lại
(a + b) – c = (a – c) + b = (b – c) + a 3. Tính chất của phép nhân
+ Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.
a × b = b × a
+ Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
+ Nhân với số 1: Số tự nhiên nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. Số 1 nhân với một số tự nhiên nào đó đều bằng chính số đó.
a × 1 = 1 × a = a
+ Nhân một số với một tổng: Muốn nhân một số với một tổng, ta nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại với nhau.
a × (b + c) = a × b + a × c
+ Nhân một số với một hiệu: Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ, rồi trừ hai kết quả cho nhau
a × (b – c) = a × b – a × c
4. Tính chất của phép chia
+ Chia một tổng cho một số: Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được lại với nhau.
(a + b) : c = a : c + b : c
+ Chia một hiệu cho một số: Muốn chia một hiệu cho một số, ta có thể lần lượt chia số bị trừ và số trừ cho số đó rồi trừ hai kết quả lại với nhau
(a – b) : c = a : c – b : c
+ Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.
a : (b × c) = a : b : c = a : c : b
+ Chia một tích cho một số: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.
(a × b) : c = a : c × b = b : c × a
+ Chia cho số 1: Bất kì số tự nhiên nào chia cho 1 cũng bằng chính nó a : 1 = a
II/ Các dạng bài tập
II.1/ Dạng 1: Nhóm các số hạng trong biểu thức thành từng nhóm có tổng (hoặc hiệu) là các số tròn chục , tròn trăm, tròn nghìn,….rồi cộng (trừ) các kết quả lại.
1. Phương pháp giải
Sử dụng tính chất của phép cộng và phép trừ để nhóm các số hạng trong biểu thức thành từng nhóm có tổng (hoặc hiệu) là các số tròn chục , tròn trăm, tròn nghìn,….rồi cộng (trừ) các kết quả lại.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính nhanh: 349 + 602 + 651 + 398 Lời giải:
349 + 602 + 651 + 398
= (346 + 651 ) + (602 + 398)
= 1000 + 1000
= 2000
Ví dụ 2: Tính: 3145 - 246 + 2347 - 145 + 4246 - 347 Lời giải:
3145 - 246 + 2347 - 145 + 4246 - 347
= (3145 - 145) + (4246 - 246) + (2347 - 347)
= 3000 + 4000 + 2000
= 7000 + 2000
= 9000
II.2/ Dạng 2: Vận dụng tính chất: một số nhân với một tổng, một số nhân với một hiệu, một tổng chia cho một số….
1. Phương pháp giải
Vận dụng tính chất: một số nhân với một tổng, một số nhân với một hiệu, một tổng chia cho một số….
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính: 19 × 82 + 18 × 19 Lời giải:
19 × 82 + 18 × 19
= 19 × ( 82 + 18)
= 19 × 100
= 1900
Ví dụ 2: Tính: 35 × 18 - 9 × 70 + 100 Lời giải:
35 × 18 - 9 × 70 + 100
= 35 × 2 × 9 - 9 × 70 + 100
= 70 × 9 - 9 × 70 + 100
= 0 + 100
= 100
Ví dụ 3: Tính: 326 × 78 + 327 × 22 Lời giải:
326 × 78 + 327 × 22
= 326 × 78 + (326 + 1) × 22
= 326 × 78 + 326 × 22 + 1 × 22
= 326 × (78 + 22) + 22
= 326 x 100 + 22
= 32600 + 22
= 32622
II.3/ Dạng 3: Vận dụng một số kiến thức về dãy số để tính giá trị của biểu thức theo cách thuận tiện nhất
1. Phương pháp giải
Số các số hạng = (Số hạng cuối - số hạng đầu) : khoảng cách + 1
Sau khi học sinh tìm được số hạng của một dãy số cách đều, học sinh thực hiện tính nhanh tổng dãy số cách đều theo các bước:
Bước 1: Tìm số số hạng của dãy số đó
Bước 2: Tính số cặp có thể tạo được từ số các số hạng đó (Lấy số các số hạng chia 2)
Bước 3: Nhóm các số hạng thành từng cặp, thông thường nhóm số hạng đầu tiên với số cuối cùng của dãy số, cứ lần lượt làm như vậy đến hết
Bước 4: Tính giá trị của một cặp ( các giá trị của từng cặp là bằng nhau)
Bước 5: Ta tính tổng của dãy số bằng cách lấy số cặp nhân với giá trị của một cặp 2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính tổng của các số tự nhiên từ 1 đến 100.
Lời giải:
Dãy số tự nhiên từ 1 đến 100 có số các số hạng là: (100 - 1 ) : 1 + 1 = 100 (số) 100 số tạo thành số cặp là: 100 : 2 = 50 (cặp)
Ta có: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +... + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + (4 + 97) + (5 + 96) +...
= 101 + 101 + 101 + 101 +101 +... 101
= 101 × 50 = 5050
Ví dụ 2: Tính nhanh tổng các số chẵn có hai chữ số.
Lời giải:
Các số chẵn có hai chữ số lập thành một dãy số bắt đầu từ 10, kết thúc là 98, cách đều nhau 2 đơn vị
Ta có tổng các số chẵn có hai chữ số là:
10 + 12 + 14 + 16 + ... +92 + 94 + 96 + 98 Dãy số trên có số các số hạng là:
(98 - 10) : 2 + 1 = 45 (số) 45 số tạo thành số cặp là:
45 : 2 = 22 cặp (dư 1 số)
(Trong các số của dãy, ta chọn để riêng 10 và ghép cặp các số còn lại là phù hợp nhất) Ta có : 10 + 12 + 14 + 16 +... +92 + 94 + 96 + 98
= 10 + (12 + 98) + (14 + 96) + (16 + 94) + ...
= 10 + 110 × 22
= 2430
III. Bài tập vận dụng Bài 1: Tính nhanh:
a, 237 + 357 + 763 b, 2345 + 4257 – 345
c, 4276 + 2357 + 5724 + 7643
d, 3145 + 2496 + 5347 + 7504 + 4653 e, 2376 + 3425 - 376 – 425
g, 3145 - 246 + 2347 - 145 + 4246 - 347 Bài 2: Tính nhanh:
a, 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 b, 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 c, 45 + 45 + 45 + 45 + 15 + 15 + 15 + 15 d, 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 e, 125 + 125 + 125 + 125 - 25 - 25 - 25 - 25
Bài 3: Tính nhanh:
a, 425 × 3475 + 425 × 6525 b, 234 × 1257 - 234 × 257 c, 3876 × 375 + 375 × 6124 d, 1327 × 524 - 524 × 327
e, 257 × 432 + 257 × 354 + 257 × 214 f, 325 × 1574 - 325 × 325 - 325 × 249 g, 312 × 425 + 312 × 574 + 312
h, 174 × 1274 - 175 × 273 - 175 Bài 4: Tính nhanh:
a, 4 × 125 × 25 × 8 b, 2 × 8 × 50 × 25 × 125 c, 2 × 3 × 4 × 5 × 50 × 25
d, 25 × 20 × 125 × 8 - 8 × 20 × 5 × 125 Bài 5: Tính nhanh:
a, 8 × 427 × 3 + 6 × 573 × 4 b, 6 × 1235 × 20 - 5 × 235 × 24
c, (145 × 99 + 145) - 143 × 101 – 143 d, 54 × 47 - 47 × 53 - 20 - 27
Bài 6: Tính nhanh:
a, 10000 - 47 × 74 - 47 × 26
b, 3457 - 27 × 48 - 48 × 73 + 6543
Bài 7: Cho A = 2009 × 425 và B = 575 × 2009. Không tính A và B, em hãy tính nhanh kết quả của A + B?
Bài 8: Tính nhanh
(145 × 99 + 145 ) – ( 143 × 102 – 143 × 2 ) + 54 × 47 – 47 × 53 – 20 – 27 Bài 9: Tính nhanh:
399 45 55 399 1995 1996 1991 1995
+
−
Bài 10: Tính
a, 54 × 113 + 45 × 113 + 113 b, 54 × 47 - 47 × 53 - 20 - 27 c, 10000 - 47 × 72 - 47 × 28
d, (145 × 99 + 145) - (143 × 101 - 143) e, 1002 × 9 - 18
f, 8 × 427 × 3 + 6 × 573 × 4 g, 2008 × 867 + 2009 × 133
