• Không có kết quả nào được tìm thấy

các bài tập vecto theo chủ đề

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "các bài tập vecto theo chủ đề"

Copied!
7
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

CÁC BÀI TẬP VECTOR THEO CHỦ ĐỀ

Gia sư THÀNH ĐƯỢC www.daythem.edu.vn

(2)

Chủ đề 1. Chứng minh các đẳng thức Vectơ

VD1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : (bằng nhiều cách khác nhau) a) ABCDADCB

   

b) ABCDACDB

   

c) ADBECFAEBFCD

     

VD2. Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng : a) ANBP CM O 

b) ANAMAP

c) AMBNCPO 

VD3. (Hệ thức về trung điểm) Cho hai điểm A, B.

a) Cho M là trung điểm A, B. Chứng minh rằng với điểm I bất kì ta có : IAIB2IM

  

. b) Với điểm N sao cho NA 2NB

. CMR với I bất kì : IA2IB3IN

c) Vơi điểm P sao cho PA3PB

 

. CMR với I bất ki : IA3IB 2IP

  

. d) Tổng quát tính chất trên.

VD3. (Hệ thức về trọng tâm) Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng AGBGCGO 

. Với I bất kì ta có : IAIBIC3IG

. b) M thuộc đoạn AG và 1

MG 4GA. CMR : 2MAMBMCO 

. Với I bki

2IAIBIC4IM

. c) Tổng quát tính chất trên.

d) Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G1. Chứng minh rằng : + ADBECE3GG1

   

+ Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.

(3)

VD4. (Hệ thức về hình bình hành) Chohình bình hành ABCD tâm O.

a) CMR : AOBO CO DO  O

    

, Với I bất kì IAIBICID4IO

    

b) M là điểm thoả mãn:

VD5. (Tứ giác bất kì) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N của AB và CD . CMR : a) ADBC2MN

b) ACBD2MN

c) Tìm vị trí điểm I sao cho IAIBICIDO 

d) Với M bất kì, CMR : MAMBMCMD4MI 

VD6. (Khái niệm trọng tâm của hệ n điểm và tâm tỉ cự của hệ n điểm) Cho n điểm A A1, 2, ...,An. a) Gọi G là điểm thoả mãn GA1GA2...GAn O

   

. CMR vơi bki M :

1 2 ... n

MA MA MA nMG

   

.

b) Gọi I là điểm thoả mãn

   

1 1 2 2 ... n n

n IA n IA n IA O. CMR với M bất kì :      

1 1 2 2 ... n n ( 1 .. n)

n MA n MA n MA n n MI

VD7.

a) Cho lục giác đều ABCDEF. CMR hai tam giác ACE và BDF cùng trọng tâm.

b) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF, BC, DE, FA. CMR hai tam giác MNP và QRS cùng trọng tâm.

c) Cho hai tam giác ABC và ABC là các điểm thuộc BC, CA, AB sao cho : A B' k A C B C' , ' k B A C A' , ' kC B'

     

k1. CMR hai tam giác ABC và ABC cùng trọng tâm.

Gia sư THÀNH ĐƯỢC www.daythem.edu.vn

(4)

d) Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N , P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA. CMR hai tam giác ANP và CMQ cùng trọng tâm.

VD8. (Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp)

Cho tam giác ABC, G, H, O, I là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp.

a) 3OGOA OB OC

b) OHOA OB OC

c) 2HOHAHBHC

d) aIA bIB cICO

   

e) Tan HAA TanBHBtanCHCO

   

f) Gọi M là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. CMR : SBCMIASACMIBSABMICO

   

(M nằm ngoài thì không còn đúng).

VD9. (Nhấn mạnh bài toán và mở rộng ra nhiều trường hợp). Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN.

a) CMR : 1 1

4 6

AK AB AC

  

. b) D là trung điểm BC. CMR : 1 1

4 3

KD AB AC

  

Chủ đề 2. Biểu diễn véc tơ ĐVĐề : Dẫn dắt từ trung điểm

VD1. Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. B1 đối xứng với B qua G. M là trung điểm BC. Hãy biểu diễn các véc tơ AM

, AG BC CB AB MB, , 1, 1, 1

    

qua hai véc tơ AB AC , .

VD2. Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.

(5)

a) Tính AI AJ,

 

theo hai véc tơ AB AC,

 

. Từ đó biểu diễn AB AC,

 

theo AI AJ,

 

. (Nhấn mạnh cách tìm biểu diễn)

b) Gọi G là trọng tâm tam giác. Tính AG



theo AI AJ,

 

.

Chủ đề 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng Phương pháp : A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi ABk AC

. Lưu ý : ABm xny , ACkm xkny

thì ABk AC

VD1. (Dễ, sử dụng VD1 để dẫn dắt sang các VD phức tạp hơn). Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.

a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.

b) Gọi E, F thoả mãn : 1 ME3MN

 

, 1

BF3BC

 

. CMR : A, E, F thẳng hàng.

VD2. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC.

a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng hàng.

b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N thẳng hàng.

c) Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng.

VD3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mãn : MB3MCO

, AN3NC

, PBPAO

  

. CMR : M, N, P thẳng hàng. ( 1 , 1 1

2 2 4

MPCB CA MN CB CA

     

).

Gia sư THÀNH ĐƯỢC www.daythem.edu.vn

(6)

VD4. Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn LB2LC, 1 MC 2 MA

 

, NBNAO

. CM : L, M, N

thẳng hàng.

VD5. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. I, J thoả mãn : 2IA3ICO

, 2JA5JB3JCO 

. a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC.

b) CMR J là trung điểm BI.

c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn AEk AB

. Xác định k để C, E, J thẳng hàng.

VD6. Cho tam giác ABC. I, J thoả mãn : IA2IB, 3JA2JC O=  

. CMR : Đường thẳng IJ đi qua G.

Chủ đề 4. Xác định vị trí một điểm thoả mãn một đẳng thức Vectơ Đặt Vấn đề : Cho hai điểm A, B, C cố định.

a) Nếu PBPAO

  

thì P là trung điểm của AB.

b) Nếu PBPAPCO 

thị P là trọng tâm tam giác ABC.

c) Nếu P là một điểm thoã mãn một đẳng thức véc tơ khác thì có xác định được vị trí của P hay không ?

VD1(Cho hai điểm). Xác định vị trí điểm I thoả mãn : IA2IBO

.

NX : Với hai điểm A, B cho trước luôn xác định được điểm I thoả mãn : mIA nIB O

  

. Với điểm O bất kì ta có : OI m OA n OB

m n m n

  

.

VD2 (Bài toán 3 điểm) Cho 3 điểm A, B, C. Tìm vị trí điểm M sao cho :

          

(7)

d) MAMB2MCO

   

e) MAMBMCO

   

f) MA2MBMCO

   

NX : Mở rộng với n điểm bất kì

Chủ đề 5. Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn một đẳng thức véc tơ Một số quĩ tích cơ bản :

a) MA MB

 

thì M nẵm trên đường trung trực của AB.

b) MC k AB

 

, với A, B, C cố định thì M nẵm trên đường tròn tâm C bán kính k.AB.

c) AMk BC

với A, B, C cho trước.

+ k > 0 thì M nẵm trên nửa đường thẳng qua A và song song với BC và theo hướng BC



. + k< 0

+ k bất kì

Dạng 1. (Bài toán hai điểm)

VD1. Cho hai điểm A,B cố định. Tìm quĩ tích điểm M sao cho : a) MAMB 2 AB

  

b) MAMB AB

  

c) MAMB 2 MA

  

d) MAMB MA

e) 2MAMB MAMB

Dạng 2. (Bài toán 3 điểm)

VD2. Cho tam giác ABC. Tìm quĩ tích điểm M sao cho :

a) 3

MAMBMC 2 MBMC

    

b) MAAC MAMB

c) MA2MBMC MBMC

    

Gia sư THÀNH ĐƯỢC www.daythem.edu.vn

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

Bài 19: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi G và H là trọng tâm và trực tâm của tam giac ABC.. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC,

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC. Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định và điểm C di chuyển trên nửa đường tròn. Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ

Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AC và BN. Điểm D thuộc đoạn thẳng AM sao cho AM = 4AD. a) Tính diện tích tam giác DMN. b) Chứng

Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF  AC.. Qua D và E kẻ các đường thẳng song song với BC cắt AC theo thứ tự tại M và N. Bên ngoài tam giác ABC, dựng tam

Gọi AD là phản giác của tam giác ABC (D thuộc cạnh BC). Tính độ dài của BI và KM. c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm P sao cho A là trung điểm của IP. Chứng minh tam

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các điểm E, F lần lượt thay đổi trên các cạnh AB, AC sao cho EF k BC. Gọi D là giao điểm của BF và CE, H là hình chiếu của D lên

A. AB AC , không cùng phương.. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Cho tam giác ABC. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC và BI.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, D là trung điểm của AM. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD.. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB