CÁC BÀI TẬP VECTOR THEO CHỦ ĐỀ
Gia sư THÀNH ĐƯỢC www.daythem.edu.vn
Chủ đề 1. Chứng minh các đẳng thức Vectơ
VD1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : (bằng nhiều cách khác nhau) a) ABCDADCB
b) ABCDACDB
c) ADBECFAEBFCD
VD2. Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng : a) ANBP CM O
b) ANAMAP
c) AMBNCPO
VD3. (Hệ thức về trung điểm) Cho hai điểm A, B.
a) Cho M là trung điểm A, B. Chứng minh rằng với điểm I bất kì ta có : IAIB2IM
. b) Với điểm N sao cho NA 2NB
. CMR với I bất kì : IA2IB3IN
c) Vơi điểm P sao cho PA3PB
. CMR với I bất ki : IA3IB 2IP
. d) Tổng quát tính chất trên.
VD3. (Hệ thức về trọng tâm) Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác.
a) Chứng minh rằng AGBGCGO
. Với I bất kì ta có : IAIBIC3IG
. b) M thuộc đoạn AG và 1
MG 4GA. CMR : 2MAMBMCO
. Với I bki
2IAIBIC4IM
. c) Tổng quát tính chất trên.
d) Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G1. Chứng minh rằng : + ADBECE3GG1
+ Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.
VD4. (Hệ thức về hình bình hành) Chohình bình hành ABCD tâm O.
a) CMR : AOBO CO DO O
, Với I bất kì IAIBICID4IO
b) M là điểm thoả mãn:
VD5. (Tứ giác bất kì) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N của AB và CD . CMR : a) ADBC2MN
b) ACBD2MN
c) Tìm vị trí điểm I sao cho IAIBICIDO
d) Với M bất kì, CMR : MAMBMCMD4MI
VD6. (Khái niệm trọng tâm của hệ n điểm và tâm tỉ cự của hệ n điểm) Cho n điểm A A1, 2, ...,An. a) Gọi G là điểm thoả mãn GA1GA2...GAn O
. CMR vơi bki M :
1 2 ... n
MA MA MA nMG
.
b) Gọi I là điểm thoả mãn
1 1 2 2 ... n n
n IA n IA n IA O. CMR với M bất kì :
1 1 2 2 ... n n ( 1 .. n)
n MA n MA n MA n n MI
VD7.
a) Cho lục giác đều ABCDEF. CMR hai tam giác ACE và BDF cùng trọng tâm.
b) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF, BC, DE, FA. CMR hai tam giác MNP và QRS cùng trọng tâm.
c) Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ là các điểm thuộc BC, CA, AB sao cho : A B' k A C B C' , ' k B A C A' , ' kC B'
và k1. CMR hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng trọng tâm.
Gia sư THÀNH ĐƯỢC www.daythem.edu.vn
d) Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N , P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA. CMR hai tam giác ANP và CMQ cùng trọng tâm.
VD8. (Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp)
Cho tam giác ABC, G, H, O, I là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp.
a) 3OGOA OB OC
b) OHOA OB OC
c) 2HOHAHBHC
d) aIA bIB cICO
e) Tan HAA TanBHBtanCHCO
f) Gọi M là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. CMR : SBCMIASACMIBSABMICO
(M nằm ngoài thì không còn đúng).
VD9. (Nhấn mạnh bài toán và mở rộng ra nhiều trường hợp). Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN.
a) CMR : 1 1
4 6
AK AB AC
. b) D là trung điểm BC. CMR : 1 1
4 3
KD AB AC
Chủ đề 2. Biểu diễn véc tơ ĐVĐề : Dẫn dắt từ trung điểm
VD1. Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. B1 đối xứng với B qua G. M là trung điểm BC. Hãy biểu diễn các véc tơ AM
, AG BC CB AB MB, , 1, 1, 1
qua hai véc tơ AB AC , .
VD2. Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.
a) Tính AI AJ,
theo hai véc tơ AB AC,
. Từ đó biểu diễn AB AC,
theo AI AJ,
. (Nhấn mạnh cách tìm biểu diễn)
b) Gọi G là trọng tâm tam giác. Tính AG
theo AI AJ,
.
Chủ đề 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng Phương pháp : A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi ABk AC
. Lưu ý : ABm xny , ACkm xkny
thì ABk AC
VD1. (Dễ, sử dụng VD1 để dẫn dắt sang các VD phức tạp hơn). Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.
a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.
b) Gọi E, F thoả mãn : 1 ME3MN
, 1
BF3BC
. CMR : A, E, F thẳng hàng.
VD2. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC.
a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng hàng.
b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N thẳng hàng.
c) Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng.
VD3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mãn : MB3MCO
, AN3NC
, PBPAO
. CMR : M, N, P thẳng hàng. ( 1 , 1 1
2 2 4
MPCB CA MN CB CA
).
Gia sư THÀNH ĐƯỢC www.daythem.edu.vn
VD4. Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn LB2LC, 1 MC 2 MA
, NBNAO
. CM : L, M, N
thẳng hàng.
VD5. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. I, J thoả mãn : 2IA3ICO
, 2JA5JB3JCO
. a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC.
b) CMR J là trung điểm BI.
c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn AEk AB
. Xác định k để C, E, J thẳng hàng.
VD6. Cho tam giác ABC. I, J thoả mãn : IA2IB, 3JA2JC O=
. CMR : Đường thẳng IJ đi qua G.
Chủ đề 4. Xác định vị trí một điểm thoả mãn một đẳng thức Vectơ Đặt Vấn đề : Cho hai điểm A, B, C cố định.
a) Nếu PBPAO
thì P là trung điểm của AB.
b) Nếu PBPAPCO
thị P là trọng tâm tam giác ABC.
c) Nếu P là một điểm thoã mãn một đẳng thức véc tơ khác thì có xác định được vị trí của P hay không ?
VD1(Cho hai điểm). Xác định vị trí điểm I thoả mãn : IA2IBO
.
NX : Với hai điểm A, B cho trước luôn xác định được điểm I thoả mãn : mIA nIB O
. Với điểm O bất kì ta có : OI m OA n OB
m n m n
.
VD2 (Bài toán 3 điểm) Cho 3 điểm A, B, C. Tìm vị trí điểm M sao cho :
d) MAMB2MCO
e) MAMBMCO
f) MA2MBMCO
NX : Mở rộng với n điểm bất kì
Chủ đề 5. Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn một đẳng thức véc tơ Một số quĩ tích cơ bản :
a) MA MB
thì M nẵm trên đường trung trực của AB.
b) MC k AB
, với A, B, C cố định thì M nẵm trên đường tròn tâm C bán kính k.AB.
c) AMk BC
với A, B, C cho trước.
+ k > 0 thì M nẵm trên nửa đường thẳng qua A và song song với BC và theo hướng BC
. + k< 0
+ k bất kì
Dạng 1. (Bài toán hai điểm)
VD1. Cho hai điểm A,B cố định. Tìm quĩ tích điểm M sao cho : a) MAMB 2 AB
b) MAMB AB
c) MAMB 2 MA
d) MAMB MA
e) 2MAMB MAMB
Dạng 2. (Bài toán 3 điểm)
VD2. Cho tam giác ABC. Tìm quĩ tích điểm M sao cho :
a) 3
MAMBMC 2 MBMC
b) MAAC MAMB
c) MA2MBMC MBMC