• Không có kết quả nào được tìm thấy

Bài tập tính đơn điệu và cực trị của hàm số

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "Bài tập tính đơn điệu và cực trị của hàm số"

Copied!
9
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

1

BÀI TẬP TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A/- KIẾN THỨC CƠ BẢN.

I. Tính đơn điệu của hàm số.

1). Định nghĩa: Cho hàm số y = ( )f x xác định trên K

 Hàm số y= f x( ) đồng biến trên Knếu "x x1, 2Î K x: 1< x2Þ f x( )1 < f x( 2)

 Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên K nếu "x x1, 2Î K x: 1< x2Þ f x( )1 > f x( 2) Chú ý: K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng

2). Định lý: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên K

a) Nếu f¢( )x > 0, " Îx K thì hàm số ( )f x đồng biến trên K b) Nếu f¢( )x < 0, " Îx K thì hàm số ( )f x nghịch biến trên K Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K

a) Nếu f¢( )x ³ 0, " Îx Kf¢( )x = 0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K b) Nếu f¢( )x £ 0, " Îx Kf¢( )x = 0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K c) Nếu f¢( )x = 0," Îx K thì ( )f x không đổi trên K

3). Hai dạng toán cơ bản.

Dạng 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số Quy tắc tìm:

 Tìm tập xác định của hàm số

 Tính đạo hàm f¢ . Tìm các điểm (( )x x ii = 1, 2,..., )n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

 Lập bảng biến thiên

 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Dạng 2. Tìm các giá trị m để hàm số đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) trên khoảng cho trước

Phương pháp: Xét hàm số y= f x( ) trên K

 Tìm tập xác định của hàm số (nếu cần). Tính f¢ ( )x

 Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số đồng biến trên K Û f¢( )x ³ 0," Îx K + Hàm số nghịch biến trên K Û f¢( )x £ 0," Îx K

 Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm m

Chú ý: Cho hàm số f x( )ax2bx c

a0

( ) 0, 0 0

f x x a

      ( ) 0, 0

0

f x x a

      II. Cực trị của hàm số.

1). Định lí 1. Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục trên khoảng K (x0h x; 0h) và có đạo hàm trên K hoặc K\

{ }

x0 (h> 0).

a) f¢( )x > 0 trên (x0h x; 0)f¢( )x < 0 trên ( ;x x0 0h) thì x0 là một điểm CĐ của ( )f x . b) f¢( )x < 0 trên (x0h x; 0)f¢( )x > 0 trên ( ;x x0 0h) thì x0 là một điểm CT của ( )f x . Nhận xét: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.

Qui tắc 1 tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 1).

 Tìm tập xác định.

 Tính f¢ . Tìm các điểm tại đó ( ) 0( )x f¢x = hoặc f ¢ không xác định. ( )x

(2)

2

 Từ bảng biến thiên dựa vào định lý 1 suy ra các điểm cực trị.

2). Định lí 2. Giả sử y= f x( ) có đạo hàm cấp 2 trong (x0h x; 0h)

(

h> 0

)

.

a) Nếu f¢(x0)= 0, f ¢¢(x0)> 0 thì x0 là điểm cực tiểu.

b) Nếu f¢(x0)= 0, f¢¢(x0)< 0 thì x0 là điểm cực đại.

Qui tắc 2 tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 2).

 Tìm tập xác định.

 Tính f¢ . Giải phương trình ( ) 0( )x f¢x = và kí hiệu xi là nghiệm

 Tìm f¢¢( )x và tính f¢¢( )xi .

 Dựa vào dấu của f¢¢( )xi suy ra tính chất cực trị của xi. 3). Các dạng toán thường gặp

Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số cho trước.

Phương pháp: Dựa vào quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 Dạng 2. Điều kiện để hàm số đạt cực trị

Phương pháp:

 Tìm tập xác định D của hàm số

 Tính f¢ ( )x

 Hàm số đạt cực trị tại x0Î DÛ f x¢( ) đổi dấu khi qua x0 Một số chú ý:

 Hàm số y= ax3+ bx2+ cx= d a, ¹ 0 có cực trị (cực đại và cực tiểu)Û y¢= có hai 0 nghiệm phân biệt

 Xét hàm số trùng phương y= ax4+ bx+ c a, ¹ 0

3 2

2

4 2 2 (2 ), 0 0

2 0 (1) y ax bx x ax b y x

ax b é =ê

¢= + = + ¢= Û êêë + =

+ Hàm số có ba cực trị Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Û ab< 0

+ Hàm số có một cực trịÛ (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm x= 0 0

0 ab b é >

Û ê

ê =ë

B/-MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA.

VD1. Cho hàm số y  x3 3x21. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số GIẢI

 TXĐ: D= ¡ .

y¢= - 3x2+ 6x; 2 0

0 3 6 0

2

y x x x

x é =ê

¢= Û - + = Û

ê =ë

 Giới hạn: lim , lim

x y x y

     

 Bảng biến thiên:

CT

2 0 -1

0 0

3 y

y' x

(3)

3

Hàm số đồng biến trên (0; 2); hàm số nghịch biến trên (;0) và (2;). Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = - 1.

VD2. Cho hàm số y  x4 3x21. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.

GIẢI

 TXĐ: D= ¡ .

y¢= - 4x3+ 6x; 3

0

0 4 6 0 6

2 x

y x x

x é =ê

¢= Û - + = Û ê

ê = ± êë

 Giới hạn: lim , lim

x y x y

     

 Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên 6

; 2

 

  

  và 6

0; 2

 

 

 ; nghịch biến trên 6 2 ;0

 

 

  và 6 2 ;

 

 

 . Hàm số đạt cực đại tại 6

x  2 , , Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 1 VD3. Cho hàm số

1 y x

x

 . Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.

GIẢI

 Tập xác định D \ 1

 

.

( )

2

1 0,

1

y x D

x

¢= - < " Î -

.

 Giới hạn: lim lim 1

x y x y

® - ¥ = ® + ¥ = ;

1 1

lim ; lim

x x

y y

- +

® ®

= - ¥ = + ¥ .

 BBT

Hàm số nghịch biến trên các khoảng

;1

1;

.

Hàm số không có cực trị

VD4. Cho hàm số y=

(

m2- 1

)

x33 +

(

m+1

)

x2+ 3x+ 5. Tìm m để hàm số đồng biến trên ¡ . GIẢI

CT

0 0

1 y

y' x

0 0

13 y  4

y y' x

1

1

1

(4)

4

Đạo hỏm: yđ=

(

m2- 1

)

x2+ 2

(

m+1

)

x+ 3

 Nếu m= thớ 1 yđ= 4x+ 3

Hỏm số đồng biến khi vỏ chỉ khi yđỂ 0í xỂ 3

4 ( loại so với yởu cầu bỏi toõn)

 Nếu m= - 1 thớ yđ= > 3 0 " ẽ âx . Hỏm số đồng biến trởn â (nhận so với ycbt) (1)

 Nếu mỈ Ẹ thớ hỏm số đồng biến trởn â khi vỏ chỉ khi 1 yđỂ 0 " ẽ â x

( ) ( )

2

2 2

1 0

1 3 1 0

a m

m m

ợủ = - >

í ớủủ

ủ D = + - - ê

ủủù í 2

1 1

2 0

m m

m m

ợ < - ĩ >

ủủớ

ủ - - Ể

ủù í 1 1

1 2

m m

m m

ợ < - ĩ >

ủủớ

ủ ê - ĩ Ể

ủù

1 2 m m ờ < - í ở

ở Ểỡ (2) Từ (1) vỏ (2) suy ra hỏm số đồng biến trởn â 1

2 m m ờ ê - í ở

ở Ểỡ

VD5. Cho hỏm số y= - x3- 3 2

(

m+1

)

x2-

(

12m+ 5

)

x- 2. Định mọi giõ trị của tham số m để hỏm số luừn luừn nghịch biến.

GIẢI TXĐ: D= â

Đạo hỏm: yđ= - 3x2- 6 2

(

m+1

)

x-

(

12m+ 5

)

Biệt số D =đ 9 2

(

m+1

)

2- 3 12

(

m+ 5

)

= 36m2- 6

Vớ hệ số a của yđ lỏ 3 0,- < "m nởn hỏm số luừn luừn nghịch biến í yđê 0, " ẽ â x

2 6 6

0 36 6 0

6 6

m m

í D êđ í - ê í - ê ê

Vậy cõc giõ trị m cần tớm lỏ: 6 6

6 m 6

- ê ê

VD6. Định a để hỏm số 1 3

(

1

)

2

(

3

)

4

y= - 3x + a- x + a+ x- . Đồng biến trởn khoảng

(

0;3

)

GIẢI TXĐ: D= â

Đạo hỏm: yđ= - x2+ 2

(

a- 1

)

x+ a+ 3

Hỏm số đồng biến trởn khoảng

(

0;3

)

í yđỂ 0, " ẽx

(

0;3

)

( ) ( )

2 2 1 3 0, 0;3

x a x a x

í - + - + + Ể " ẽ (1)

Xờt bất phương trớnh (1)

( )

(1)í x2+ 2x- 3ê a 2x+1

(

0;3

)

2 1 0

xẽ Þ x+ > nởn

( )

2 2 3

(1) 2 1

x x

a g x

x

+ -

í Ể =

+

Xờt hỏm số g x

( )

trởn khoảng

(

0;3

)

(5)

5

Cụ

( )

( ) ( )

2

2

2 2 8

0, 0;3

2 1

x x

g x x

x

+ +

đ = > " ẽ

+

BBT:

Từ BBT suy ra ( ),

(

0;3

)

12

ag x " ẽx í aỂ 7 Vậy, hỏm số đồng biến trởn khoảng

(

0;3

)

12

a 7

í Ể

VD7. Định m để hỏm số y= x3+ 3x2+

(

m+1

)

x+ 4m. Nghịch biến trởn khoảng

(

- 1;1

)

GIẢI TXĐ: D= â

Đạo hỏm: yđ= 3x2+ 6x+ m+ 1

Hỏm số nghịch biến trởn khoảng

(

- 1;1

)

í yđê 0," ẽ -x

(

1;1

)

í 3x2+ 6x+ m+ ê1 0," ẽ -x

(

1;1

)

(1)

Xờt BPT (1): (1)í mê - 3x2- 6x- =1 g x( ) Xờt hỏm số g x( ), xẽ -

(

1;1

)

Cụ: g xđ( )= - 6x- 6ê 0, " ẽ -x

(

1;1

)

BBT:

Từ BBT suy ra mê g x( ), " ẽ -x

(

1;1

)

í mê - 10

Vậy, hỏm số đồng biến trởn khoảng

(

- 1;1

)

í mê - 10

VD8. Tớm điều kiện của m để hỏm số y= 2x3- 3

(

m+ 2

)

x2+ 6

(

m+1

)

x- 3m+ 6 đồng biến trởn khoảng

(

5;ơ

)

.

GIẢI TXĐ: D= â

Đạo hỏm: yđ= 6x2- 6

(

m+ 2

)

x+ 6

(

m+1

)

Hỏm số đồng biến trởn khoảng

(

5;ơ í

)

yđỂ 0, " ẽx

(

5;+ ơ

)

( ) ( ) ( )

6x2 6 m 2 x 6 m 1 0, x 5;

í - + + + Ể " ẽ + ơ (1)

Xờt BPT (1): (1)í 6x2- 12x+ Ể6 6m x

(

- 1

)

12 7 0

- 3

3

g(x) g'(x)

x

1

0 - 1

g(x) g'(x)

x

- 10

(6)

6

( ) ( ) ( )

2 2 1

(1) , 5; 1 , 5;

1

x x

m x m x g x x

x

- +

Û £ " Î + ¥ Û £ - = " Î + ¥

-

Xét hàm số g x x

( )

, Î

(

5;0

)

ta có: g x¢

( )

= >1 0, " Îx

(

5;+ ¥

)

BBT:

Từ BBT suy ra m£ g x( ), " Îx

(

5;+ ¥ Û

)

m£ 4

Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng

(

5;+ ¥ Û

)

m£ 4

VD9. Cho hàm số: y=

(

m- 2

)

x3- mx- 2. Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu.

GIẢI TXĐ: D= ¡

Đạo hàm: y¢= 3

(

m- 2

)

x2- m

Hàm số không có cực trị thì phương trình y¢= vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0 Û D £ 0 Û 0+ 4.3m m

(

- 2

)

£ 0 Û 0£ m£ 2

VD10. Cho hàm số: y= 13x3- mx2+

(

m2- m+ 1

)

x+ . Tìm m để hàm số 1 a) Có cực đại và cực tiểu. b) Đạt cực đại tại điểm x= 1 GIẢI

TXĐ: D= ¡

Đạo hàm: y¢= x2- 2mx+ m2- m+ 1 a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.

Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y¢= có 2 nghiệm phân biệt. 0

( )

2

(

2

)

1 0

0

1 0 1

1 0

0

y y

a

m m

m m m

¢

¢

í ¹ í ¹ï

ï ï

ïï ï

Û ìïïïîD¢ > Û ìïïïî - - - + > Û - > Û >

b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= 1

2 2

2 1

y¢= x - mx+ m - m+ và y¢¢= 2x- 2m Hàm số đạt cực đại tại

( )

( )

1 0 2 3 2 0 1 2

1 2

1 0 2 2 0 1

y m m m m

x m

y m m

í ¢ = í

ï ï - + = íï = Ú =

ï ï ï

= Û ìïïî ¢¢ < Û ìïïî - < Û ìïïî > Û = Vậy khi m= 2 hàm số đạt cực đại tại x= 1

VD11. Cho hàm số 1 3

(

1

)

2 3

(

2

)

1

3 3

y= mx - m- x + m- x+ . Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 thỏa mãn x1+ 2x2= 1

GIẢI TXĐ: D= ¡

x g'(x)

g(x)

5

4

(7)

7

Đạo hàm: y¢= mx2- 2

(

m- 1

)

x+ 3

(

m- 2

)

Hàm số có 2 cực trị

( )

2

( )

0 0

0 1 3 2 0

y y

a m

m m m

¢

¢

í ¹ í ¹

ï ï

ï ï

ï ï

Û ìïïïîD¢ > Û ìïïïîD =¢ - - - >

2

0

2 4 1 0

m

m m

í ¹ Û ìïï

ï - + + >

ïî

0

6 6

1 1

2 2

m

m í ¹

ïïïï

Û ìï -ïïïî < < +

(*)

x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình y¢= nên: 0 x1+ 2x2= (1) 1

( )

( )

1 2

1 2

2 1

(2)

3 2

. (3)

b m x x

a m

c m

x x a m

í -

ïï + = - =

ïïïì

ï -

ïï = =

ïïî

Từ (1) và (2) 1 4 3

x m

Þ = - , 2 2

1 x = - + m

Thay vào (3) 2 4 3

(

2

)

2 2 ( )

1 3 3 5 4 0 2

3 ( )

m N

m m m

m m m m N

æ öæ÷ ö÷ - é =ê

ç ç

Þ - +ççè ÷÷øèçç - ÷÷ø= Û - + = Û êê = êë

Vậy: 2

2, 3

m= m= thỏa yêu cầu bài toán C/-BÀI TẬP ÁP DỤNG.

 BÀI TẬP CƠ BẢN.

Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu và cự trị của các hàm số:

a). y= x3- 6x2+ 9x- 4 b). y= x3- 3x2+ 3x+ 5 c). y= x3+ x2+ 2x- 3 d). y= - x3+ 3x2+ 2 e). 1 3 2

3 4

y= - x + x - x+ f). y= - x3+ 2x2- x+ 2 Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu và cự trị của các hàm số:

a). y= x4- 2x2+ 5 b). y= x4+3x2- 4 c). y= - x4+ 4x2+ 3

d). 1 4 2

2 1

y= 4x - x + e). 2 1 4

y= x - 4x f). y= - x4- 5x2+ 1 Bài 3. Tìm các khoảng đơn điệu và cự trị (nếu có) của các hàm số:

a). 2

1 y x

x

= -

+ b). 2 1 3 y x

x

= +

- e).

2

1 8 y x

x

= +

+ f).

2 2 2

1

x x

y x

- +

= - Bài 4. Tìm các khoảng đơn điệu và cự trị của các hàm số:

a). y= 2x- x2 b). y= x2- 4x+ 3 c).

2

1 1 y x

x x

= +

- +

d).

2 2 1 y x

x

=

-

e). y= 5- x+ x- 1 f). y= x x2- 9

 BÀI TẬP NÂNG CAO.

Loại 1. Tính đơn điệu của hàm số.
(8)

8

Bài 1. Tìm m để hàm sốy= - x +

(

m+ 2

)

x -

(

2m- 1

)

x+ 2 nghịch biến trên ¡ . Bài 2. Tìm m để hàm số 1 3 2

4 10

y= 3x + mx + x- đồng biến trên ¡ . Bài 3. Cho hàm số

3 2

2 4 2

3

y= x - mx + mx+ . Xác định m để:

a) Hàm số đồng biến trên miền xác định b) Hàm số đồng biến trên khoảng

(

- ¥ ;0

)

Bài 4. Cho hàm số

3 2

2 1

3

y= - x + x - mx+ . Xác định m để : a) Hàm số nghịch biến trên trên tập xác định của nó b) Hàm số nghịch biến với mọi x> 1

Bài 5. Tìm m để hàm số 1 3 2

2(2 ) 2(2 ) 5

3

y - mx m x m x

= - - + - + nghịch biến trên ¡

Bài 6. Tìm m để hàm số

3 2

( 1) ( 1) 1

3

y= x + m+ x - m+ x+ đồng biến trên

(

1;+ ¥

)

.

Bài 7. Tìm m để hàm số y= x3- 3(2m+1)x2+(12m+ 5)x+ 2 đồng biến trên

(

2;+ ¥

)

Bài 8. Tìm m để hàm số 2 2 y mx

x

= -

+ luôn đồng biến trên từng khoảng xác định Bài 9. Tìm m để hàm số x m

y x m

= +

- đồng biến trên (–1; +).

Bài 10. Tìm m để hàm sốy= x3+ 3x2+ mx+ m nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1

Loại 2. Cự trị của hàm số.

Bài 1. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu:

a) y= x3+ 3x2+ mx- 10 b)y= x3- 3mx2- 3(m2- 2)x+1 c) y= x3- (2m+1)x2+ (m2- 3m+ 2)x+ 4 d)y=

(

m+ 2

)

x3+ 3x2+ mx+ m

Bài 2. Tìm để hàm số 1 3 2 2 2

( 2) (3 1)

y= 3x + m - m+ x + m + x+ m đạt cực tiểu tại x= - 2 Bài 3. Tìm m để hàm số y= mx3+ (m2- 2)x2- 8x+ đạt cực đại tại 1 x= 2

Bài 4. Cho hàm số y= x4- mx2+ n . Tìm m, n để hàm số đạt cực trị bằng 2 tại x= 1 Bài 5. Cho hàm số

3 ( 1) 2 (6 2 ) 3

y= x + m+ x + - m x+ m .Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Oy

Bài 6. Cho hàm số y= x3- 3(m+1)x2+ 3 (m m+ 2)+ . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai 1 điểm có hoành độ dương

Bài 7. Cho hàm số y= x3- 3x2- 3 (m m+ 2)x- 1 . Tìm m để hàm số có hai cực trị cùng dấu

Bài 8. Cho hàm số 3 2 1

( 1) 3( 2)

3 3

y= mx - m- x + m- x+ . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị là x x1, 2:x1+ 2x2= 1

(9)

9

Bài 9. Cho hàm số y= x3+ 2(m- 1)x2+ (m2- 4m+1)x- 2(m2+1). Tìm m để hàm số có cực

trị tại 1 2

(

1 2

)

1 2

1 1 1

; :

x x 2 x x

x + x = +

Bài 10. Cho hàm số y= 2x3+ mx2- 12x- 13 . Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung

Bài 11. Cho hàm số y= x3+3mx2+ 3(m2- 1)x+ m2- 3m . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu với hoành độ x x1; 2 thỏa mãn: x12+ x22= 10

Bài 12. Tìm m để đồ thị hàm số y= 2x3- 3(2m+1)x2+ 6 (m m+1)x+ có hai điểm cực trị đối 1 xứng nhau qua đường thẳng :D y= x+ 4

“Trên đỉnh cao của vinh quang không có vết chân của những kẻ lười biếng”

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

A. Chọn câu trả lời đúng.. Hàm số luôn giảm trên tập xác định. Cho hàm số xác định trên và có đồ thị hàm số là đường cong trong hình bên. Hàm số đồng biến trên khoảng.

Hàm số đạt cực đại tại điểm thuộc khoảng nào dưới

Các nghiệm đều phân biệt nhau.. Mệnh đề nào dưới

m Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành một tam giác đều.. Vì đồ thị hàm số trùng phƣơng nhận trục

Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác 1.. Các dạng

Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số...

Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng thì tập tất cả các giá trị của m:?. Cho

- Lưu ý: Trong một vài bài toán tính đạo hàm cấp 2 phức tạp ta có thể thay giá trị của m tìm được vào hàm số và sử dụng công cụ da. dx của MTCT