1
BÀI TẬP TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A/- KIẾN THỨC CƠ BẢN.
I. Tính đơn điệu của hàm số.
1). Định nghĩa: Cho hàm số y = ( )f x xác định trên K
Hàm số y= f x( ) đồng biến trên Knếu "x x1, 2Î K x: 1< x2Þ f x( )1 < f x( 2)
Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên K nếu "x x1, 2Î K x: 1< x2Þ f x( )1 > f x( 2) Chú ý: K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng
2). Định lý: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên K
a) Nếu f¢( )x > 0, " Îx K thì hàm số ( )f x đồng biến trên K b) Nếu f¢( )x < 0, " Îx K thì hàm số ( )f x nghịch biến trên K Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K
a) Nếu f¢( )x ³ 0, " Îx K và f¢( )x = 0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K b) Nếu f¢( )x £ 0, " Îx K và f¢( )x = 0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K c) Nếu f¢( )x = 0," Îx K thì ( )f x không đổi trên K
3). Hai dạng toán cơ bản.
Dạng 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số Quy tắc tìm:
Tìm tập xác định của hàm số
Tính đạo hàm f¢ . Tìm các điểm (( )x x ii = 1, 2,..., )n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
Lập bảng biến thiên
Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Dạng 2. Tìm các giá trị m để hàm số đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) trên khoảng cho trước
Phương pháp: Xét hàm số y= f x( ) trên K
Tìm tập xác định của hàm số (nếu cần). Tính f¢ ( )x
Nêu điều kiện của bài toán:
+ Hàm số đồng biến trên K Û f¢( )x ³ 0," Îx K + Hàm số nghịch biến trên K Û f¢( )x £ 0," Îx K
Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm m
Chú ý: Cho hàm số f x( )ax2bx c
a0
( ) 0, 0 0
f x x a
( ) 0, 0
0
f x x a
II. Cực trị của hàm số.
1). Định lí 1. Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục trên khoảng K (x0h x; 0h) và có đạo hàm trên K hoặc K\
{ }
x0 (h> 0).a) f¢( )x > 0 trên (x0h x; 0) và f¢( )x < 0 trên ( ;x x0 0h) thì x0 là một điểm CĐ của ( )f x . b) f¢( )x < 0 trên (x0h x; 0) và f¢( )x > 0 trên ( ;x x0 0h) thì x0 là một điểm CT của ( )f x . Nhận xét: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.
Qui tắc 1 tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 1).
Tìm tập xác định.
Tính f¢ . Tìm các điểm tại đó ( ) 0( )x f¢x = hoặc f ¢ không xác định. ( )x
2
Từ bảng biến thiên dựa vào định lý 1 suy ra các điểm cực trị.
2). Định lí 2. Giả sử y= f x( ) có đạo hàm cấp 2 trong (x0h x; 0h)
(
h> 0)
.a) Nếu f¢(x0)= 0, f ¢¢(x0)> 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
b) Nếu f¢(x0)= 0, f¢¢(x0)< 0 thì x0 là điểm cực đại.
Qui tắc 2 tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 2).
Tìm tập xác định.
Tính f¢ . Giải phương trình ( ) 0( )x f¢x = và kí hiệu xi là nghiệm
Tìm f¢¢( )x và tính f¢¢( )xi .
Dựa vào dấu của f¢¢( )xi suy ra tính chất cực trị của xi. 3). Các dạng toán thường gặp
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số cho trước.
Phương pháp: Dựa vào quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 Dạng 2. Điều kiện để hàm số đạt cực trị
Phương pháp:
Tìm tập xác định D của hàm số
Tính f¢ ( )x
Hàm số đạt cực trị tại x0Î DÛ f x¢( ) đổi dấu khi qua x0 Một số chú ý:
Hàm số y= ax3+ bx2+ cx= d a, ¹ 0 có cực trị (cực đại và cực tiểu)Û y¢= có hai 0 nghiệm phân biệt
Xét hàm số trùng phương y= ax4+ bx+ c a, ¹ 0
3 2
2
4 2 2 (2 ), 0 0
2 0 (1) y ax bx x ax b y x
ax b é =ê
¢= + = + ¢= Û êêë + =
+ Hàm số có ba cực trị Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Û ab< 0
+ Hàm số có một cực trịÛ (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm x= 0 0
0 ab b é >
Û ê
ê =ë
B/-MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA.
VD1. Cho hàm số y x3 3x21. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số GIẢI
TXĐ: D= ¡ .
y¢= - 3x2+ 6x; 2 0
0 3 6 0
2
y x x x
x é =ê
¢= Û - + = Û
ê =ë
Giới hạn: lim , lim
x y x y
Bảng biến thiên:
CĐ CT
2 0 -1
0 0
3 y
y' x
3
Hàm số đồng biến trên (0; 2); hàm số nghịch biến trên (;0) và (2;). Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = - 1.
VD2. Cho hàm số y x4 3x21. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
GIẢI
TXĐ: D= ¡ .
y¢= - 4x3+ 6x; 3
0
0 4 6 0 6
2 x
y x x
x é =ê
¢= Û - + = Û ê
ê = ± êë
Giới hạn: lim , lim
x y x y
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên 6
; 2
và 6
0; 2
; nghịch biến trên 6 2 ;0
và 6 2 ;
. Hàm số đạt cực đại tại 6
x 2 , , Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 1 VD3. Cho hàm số
1 y x
x
. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
GIẢI
Tập xác định D \ 1
.
( )
21 0,
1
y x D
x
¢= - < " Î -
.
Giới hạn: lim lim 1
x y x y
® - ¥ = ® + ¥ = ;
1 1
lim ; lim
x x
y y
- +
® ®
= - ¥ = + ¥ .
BBT
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
;1
và
1;
.Hàm số không có cực trị
VD4. Cho hàm số y=
(
m2- 1)
x33 +(
m+1)
x2+ 3x+ 5. Tìm m để hàm số đồng biến trên ¡ . GIẢICĐ CT
0 0
CĐ
1 y
y' x
0 0
CĐ 13 y 4
y y' x
1
1
1
4
Đạo hỏm: yđ=(
m2- 1)
x2+ 2(
m+1)
x+ 3 Nếu m= thớ 1 yđ= 4x+ 3
Hỏm số đồng biến khi vỏ chỉ khi yđỂ 0í xỂ 3
4 ( loại so với yởu cầu bỏi toõn)
Nếu m= - 1 thớ yđ= > 3 0 " ẽ âx . Hỏm số đồng biến trởn â (nhận so với ycbt) (1)
Nếu mỈ Ẹ thớ hỏm số đồng biến trởn â khi vỏ chỉ khi 1 yđỂ 0 " ẽ â x
( ) ( )
2
2 2
1 0
1 3 1 0
a m
m m
ợủ = - >
í ớủủ
ủ D = + - - ê
ủủù í 2
1 1
2 0
m m
m m
ợ < - ĩ >
ủủớ
ủ - - Ể
ủù í 1 1
1 2
m m
m m
ợ < - ĩ >
ủủớ
ủ ê - ĩ Ể
ủù
1 2 m m ờ < - í ở
ở Ểỡ (2) Từ (1) vỏ (2) suy ra hỏm số đồng biến trởn â 1
2 m m ờ ê - í ở
ở Ểỡ
VD5. Cho hỏm số y= - x3- 3 2
(
m+1)
x2-(
12m+ 5)
x- 2. Định mọi giõ trị của tham số m để hỏm số luừn luừn nghịch biến.GIẢI TXĐ: D= â
Đạo hỏm: yđ= - 3x2- 6 2
(
m+1)
x-(
12m+ 5)
Biệt số D =đ 9 2
(
m+1)
2- 3 12(
m+ 5)
= 36m2- 6Vớ hệ số a của yđ lỏ 3 0,- < "m nởn hỏm số luừn luừn nghịch biến í yđê 0, " ẽ â x
2 6 6
0 36 6 0
6 6
m m
í D êđ í - ê í - ê ê
Vậy cõc giõ trị m cần tớm lỏ: 6 6
6 m 6
- ê ê
VD6. Định a để hỏm số 1 3
(
1)
2(
3)
4y= - 3x + a- x + a+ x- . Đồng biến trởn khoảng
(
0;3)
GIẢI TXĐ: D= â
Đạo hỏm: yđ= - x2+ 2
(
a- 1)
x+ a+ 3Hỏm số đồng biến trởn khoảng
(
0;3)
í yđỂ 0, " ẽx(
0;3)
( ) ( )
2 2 1 3 0, 0;3
x a x a x
í - + - + + Ể " ẽ (1)
Xờt bất phương trớnh (1)
( )
(1)í x2+ 2x- 3ê a 2x+1
(
0;3)
2 1 0xẽ Þ x+ > nởn
( )
2 2 3
(1) 2 1
x x
a g x
x
+ -
í Ể =
+
Xờt hỏm số g x
( )
trởn khoảng(
0;3)
5
Cụ( )
( ) ( )
2
2
2 2 8
0, 0;3
2 1
x x
g x x
x
+ +
đ = > " ẽ
+
BBT:
Từ BBT suy ra ( ),
(
0;3)
12aỂ g x " ẽx í aỂ 7 Vậy, hỏm số đồng biến trởn khoảng
(
0;3)
12a 7
í Ể
VD7. Định m để hỏm số y= x3+ 3x2+
(
m+1)
x+ 4m. Nghịch biến trởn khoảng(
- 1;1)
GIẢI TXĐ: D= â
Đạo hỏm: yđ= 3x2+ 6x+ m+ 1
Hỏm số nghịch biến trởn khoảng
(
- 1;1)
í yđê 0," ẽ -x(
1;1)
í 3x2+ 6x+ m+ ê1 0," ẽ -x(
1;1)
(1)Xờt BPT (1): (1)í mê - 3x2- 6x- =1 g x( ) Xờt hỏm số g x( ), xẽ -
(
1;1)
Cụ: g xđ( )= - 6x- 6ê 0, " ẽ -x
(
1;1)
BBT:Từ BBT suy ra mê g x( ), " ẽ -x
(
1;1)
í mê - 10Vậy, hỏm số đồng biến trởn khoảng
(
- 1;1)
í mê - 10VD8. Tớm điều kiện của m để hỏm số y= 2x3- 3
(
m+ 2)
x2+ 6(
m+1)
x- 3m+ 6 đồng biến trởn khoảng(
5;ơ)
.GIẢI TXĐ: D= â
Đạo hỏm: yđ= 6x2- 6
(
m+ 2)
x+ 6(
m+1)
Hỏm số đồng biến trởn khoảng
(
5;ơ í)
yđỂ 0, " ẽx(
5;+ ơ)
( ) ( ) ( )
6x2 6 m 2 x 6 m 1 0, x 5;
í - + + + Ể " ẽ + ơ (1)
Xờt BPT (1): (1)í 6x2- 12x+ Ể6 6m x
(
- 1)
12 7 0
- 3
3
g(x) g'(x)
x
1
0 - 1
g(x) g'(x)
x
- 10
6
( ) ( ) ( )
2 2 1
(1) , 5; 1 , 5;
1
x x
m x m x g x x
x
- +
Û £ " Î + ¥ Û £ - = " Î + ¥
-
Xét hàm số g x x
( )
, Î(
5;0)
ta có: g x¢( )
= >1 0, " Îx(
5;+ ¥)
BBT:
Từ BBT suy ra m£ g x( ), " Îx
(
5;+ ¥ Û)
m£ 4Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng
(
5;+ ¥ Û)
m£ 4VD9. Cho hàm số: y=
(
m- 2)
x3- mx- 2. Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu.GIẢI TXĐ: D= ¡
Đạo hàm: y¢= 3
(
m- 2)
x2- mHàm số không có cực trị thì phương trình y¢= vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0 Û D £ 0 Û 0+ 4.3m m
(
- 2)
£ 0 Û 0£ m£ 2VD10. Cho hàm số: y= 13x3- mx2+
(
m2- m+ 1)
x+ . Tìm m để hàm số 1 a) Có cực đại và cực tiểu. b) Đạt cực đại tại điểm x= 1 GIẢITXĐ: D= ¡
Đạo hàm: y¢= x2- 2mx+ m2- m+ 1 a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y¢= có 2 nghiệm phân biệt. 0
( )
2(
2)
1 0
0
1 0 1
1 0
0
y y
a
m m
m m m
¢
¢
í ¹ í ¹ï
ï ï
ïï ï
Û ìïïïîD¢ > Û ìïïïî - - - + > Û - > Û >
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= 1
2 2
2 1
y¢= x - mx+ m - m+ và y¢¢= 2x- 2m Hàm số đạt cực đại tại
( )
( )
1 0 2 3 2 0 1 2
1 2
1 0 2 2 0 1
y m m m m
x m
y m m
í ¢ = í
ï ï - + = íï = Ú =
ï ï ï
= Û ìïïî ¢¢ < Û ìïïî - < Û ìïïî > Û = Vậy khi m= 2 hàm số đạt cực đại tại x= 1
VD11. Cho hàm số 1 3
(
1)
2 3(
2)
13 3
y= mx - m- x + m- x+ . Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 thỏa mãn x1+ 2x2= 1
GIẢI TXĐ: D= ¡
x g'(x)
g(x)
5
4
7
Đạo hàm: y¢= mx2- 2(
m- 1)
x+ 3(
m- 2)
Hàm số có 2 cực trị
( )
2( )
0 0
0 1 3 2 0
y y
a m
m m m
¢
¢
í ¹ í ¹
ï ï
ï ï
ï ï
Û ìïïïîD¢ > Û ìïïïîD =¢ - - - >
2
0
2 4 1 0
m
m m
í ¹ Û ìïï
ï - + + >
ïî
0
6 6
1 1
2 2
m
m í ¹
ïïïï
Û ìï -ïïïî < < +
(*)
Vì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình y¢= nên: 0 x1+ 2x2= (1) 1
và
( )
( )
1 2
1 2
2 1
(2)
3 2
. (3)
b m x x
a m
c m
x x a m
í -
ïï + = - =
ïïïì
ï -
ïï = =
ïïî
và
Từ (1) và (2) 1 4 3
x m
Þ = - , 2 2
1 x = - + m
Thay vào (3) 2 4 3
(
2)
2 2 ( )1 3 3 5 4 0 2
3 ( )
m N
m m m
m m m m N
æ öæ÷ ö÷ - é =ê
ç ç
Þ - +ççè ÷÷øèçç - ÷÷ø= Û - + = Û êê = êë
Vậy: 2
2, 3
m= m= thỏa yêu cầu bài toán C/-BÀI TẬP ÁP DỤNG.
BÀI TẬP CƠ BẢN.
Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu và cự trị của các hàm số:
a). y= x3- 6x2+ 9x- 4 b). y= x3- 3x2+ 3x+ 5 c). y= x3+ x2+ 2x- 3 d). y= - x3+ 3x2+ 2 e). 1 3 2
3 4
y= - x + x - x+ f). y= - x3+ 2x2- x+ 2 Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu và cự trị của các hàm số:
a). y= x4- 2x2+ 5 b). y= x4+3x2- 4 c). y= - x4+ 4x2+ 3
d). 1 4 2
2 1
y= 4x - x + e). 2 1 4
y= x - 4x f). y= - x4- 5x2+ 1 Bài 3. Tìm các khoảng đơn điệu và cự trị (nếu có) của các hàm số:
a). 2
1 y x
x
= -
+ b). 2 1 3 y x
x
= +
- e).
2
1 8 y x
x
= +
+ f).
2 2 2
1
x x
y x
- +
= - Bài 4. Tìm các khoảng đơn điệu và cự trị của các hàm số:
a). y= 2x- x2 b). y= x2- 4x+ 3 c).
2
1 1 y x
x x
= +
- +
d).
2 2 1 y x
x
=
-
e). y= 5- x+ x- 1 f). y= x x2- 9
BÀI TẬP NÂNG CAO.
Loại 1. Tính đơn điệu của hàm số.8
Bài 1. Tìm m để hàm sốy= - x +
(
m+ 2)
x -(
2m- 1)
x+ 2 nghịch biến trên ¡ . Bài 2. Tìm m để hàm số 1 3 24 10
y= 3x + mx + x- đồng biến trên ¡ . Bài 3. Cho hàm số
3 2
2 4 2
3
y= x - mx + mx+ . Xác định m để:
a) Hàm số đồng biến trên miền xác định b) Hàm số đồng biến trên khoảng
(
- ¥ ;0)
Bài 4. Cho hàm số
3 2
2 1
3
y= - x + x - mx+ . Xác định m để : a) Hàm số nghịch biến trên trên tập xác định của nó b) Hàm số nghịch biến với mọi x> 1
Bài 5. Tìm m để hàm số 1 3 2
2(2 ) 2(2 ) 5
3
y - mx m x m x
= - - + - + nghịch biến trên ¡
Bài 6. Tìm m để hàm số
3 2
( 1) ( 1) 1
3
y= x + m+ x - m+ x+ đồng biến trên
(
1;+ ¥)
.Bài 7. Tìm m để hàm số y= x3- 3(2m+1)x2+(12m+ 5)x+ 2 đồng biến trên
(
2;+ ¥)
Bài 8. Tìm m để hàm số 2 2 y mx
x
= -
+ luôn đồng biến trên từng khoảng xác định Bài 9. Tìm m để hàm số x m
y x m
= +
- đồng biến trên (–1; +).
Bài 10. Tìm m để hàm sốy= x3+ 3x2+ mx+ m nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1
Loại 2. Cự trị của hàm số.Bài 1. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu:
a) y= x3+ 3x2+ mx- 10 b)y= x3- 3mx2- 3(m2- 2)x+1 c) y= x3- (2m+1)x2+ (m2- 3m+ 2)x+ 4 d)y=
(
m+ 2)
x3+ 3x2+ mx+ mBài 2. Tìm để hàm số 1 3 2 2 2
( 2) (3 1)
y= 3x + m - m+ x + m + x+ m đạt cực tiểu tại x= - 2 Bài 3. Tìm m để hàm số y= mx3+ (m2- 2)x2- 8x+ đạt cực đại tại 1 x= 2
Bài 4. Cho hàm số y= x4- mx2+ n . Tìm m, n để hàm số đạt cực trị bằng 2 tại x= 1 Bài 5. Cho hàm số
3 ( 1) 2 (6 2 ) 3
y= x + m+ x + - m x+ m .Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Oy
Bài 6. Cho hàm số y= x3- 3(m+1)x2+ 3 (m m+ 2)+ . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai 1 điểm có hoành độ dương
Bài 7. Cho hàm số y= x3- 3x2- 3 (m m+ 2)x- 1 . Tìm m để hàm số có hai cực trị cùng dấu
Bài 8. Cho hàm số 3 2 1
( 1) 3( 2)
3 3
y= mx - m- x + m- x+ . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị là x x1, 2:x1+ 2x2= 1
9
Bài 9. Cho hàm số y= x3+ 2(m- 1)x2+ (m2- 4m+1)x- 2(m2+1). Tìm m để hàm số có cực
trị tại 1 2
(
1 2)
1 2
1 1 1
; :
x x 2 x x
x + x = +
Bài 10. Cho hàm số y= 2x3+ mx2- 12x- 13 . Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung
Bài 11. Cho hàm số y= x3+3mx2+ 3(m2- 1)x+ m2- 3m . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu với hoành độ x x1; 2 thỏa mãn: x12+ x22= 10
Bài 12. Tìm m để đồ thị hàm số y= 2x3- 3(2m+1)x2+ 6 (m m+1)x+ có hai điểm cực trị đối 1 xứng nhau qua đường thẳng :D y= x+ 4