Các phương pháp tính tích phân và cách giải A. LÝ THUYẾT
1. Phương pháp đổi biến số.
Định lý 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn
a;b . Giả sử hàm số x = ( )
t có đạo hàm liên tục trên đoạn
; sao cho = ( )
a;( )
b =b và a ( )
t b với mọi t
; .Khi đó:
( ) ( ( ) ) ( )
b
a
f x dx f t ' t dt
=
Từ định lý 1 ta rút ra các bước đổi biến số
1. Đặt x=
( )
t , ta xác định đoạn
; sao cho = =( )
a,( )
b và a ( )
t b, t
; ;2. Biến đổi f x dx
( )
= f( ( )
t)
' t dt( )
=g t dt( )
3. Tìm một nguyên hàm G t
( )
của g t( )
4. Tính g t dt
( )
G( )
G( )
= −
5. Kết luận b
( ) ( ) ( )
a
f x dx=G −G
.Định lý 2
Cho hàm số f x
( )
liên tục trên đoạn
a;b . Nếu hàm số u=u x( )
có đạo hàm liên tục trên đoạn
a;b và u x( )
với mọi x
a; b sao cho( ) ( ( ) ) ( ) ( )
f x =g u x u ' x ,g u liên tục trên đoạn
; thì( ) ( )
( ) ( )
b u b
a u a
f x dx= g u du
Từ định lý 2 ta rút ra các bước đổi biến số 1. Đặt u=u x
( )
,2. Biến đổi f x dx
( )
=g u du( )
.3. Tìm một nguyên hàm G u
( )
của g u( )
.4. Tính
( )
( )
( )
( ( ) ) ( ( ) )
u b
u a
g u du=G u b −G u a
.5. Kết luận b
( ) ( ( ) ) ( ( ) )
a
f x dx=G u b −G u a
2. Phương pháp tích phân từng phần.
Tương tự tính nguyên hàm từng phần, ta có định lý sau:
Nếu u=u x
( )
và v=v x( )
là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn
a;b thì( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )
b b
b a
a a
u x v ' x dx = u x v x − u ' x v x dx
hay b ba ba a
udv=uv − vdu
Hay
b b
b a
a a
udv=uv − vdu
.Một số cách đặt tích phân từng phần thường gặp với
b
a
p(x)q(x)dx
:Hàm dưới dấu tích phân Cách đặt
( )
p x là đa thức, q x
( )
là hàm lượng giác( ) ( )
u p x dv q x dx
=
=
( )
p x là đa thức, q x
( )
=f ' e .e( )
x x( )
( )
u p x dv q x dx
=
=
( )
p x là đa thức, q x
( ) (
=f ln x)
( )
( )
u q x dv p x dx
=
=
( )
p x là hàm lượng giác, q x
( )
=f e( )
x( )
( )
u q x dv p x dx
=
=
( )
p x là đa thức, q x
( )
f ' ln x( )
1= x
( )
( )
u p x dv q x dx
=
=
( )
p x là đa thức, q x
( )
=f ' u x . u x '( ( ) ) ( ( ) )
, u x( )
là cáchàm lượng giác
(
sin x,cos x, tan x,cot x)
( ) ( )
u p x dv q x dx
=
=
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ 1. Phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước ở lý thuyết.
Chú ý:
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t.
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t.
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng t.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
a)
4
0
I dx .
3 2x 1
=
+ + b)ln 3 x 0
I dx .
e 1
=
+ Lời giảiChú ý: Đổi biến nhớ phải đổi cận.
a) Đặt t = 2x 1+ =t2 2x 1+ dx=tdt.
Đổi cận x 0 t 1 x 4 t 3.
= =
= =
Khi đó 3 3
( )
31
1 1
t 3
I dt 1 dt t 3ln t 3
3 t t 3
=
+ =
− + = − + 3 3.ln 6 1 3.ln 4 2 3.ln .2= − − + = + 3
b) Đặt t ex 1 t2 ex 1 2tdt e dxx dx 22t dt.
t 1
= + = + = =
− Đổi cận x 0 t 2,
x ln 3 t 2
= =
= =
khi đó 2 2 2
( )
2 2
dt t 1
I 2 ln ln 3 3 2 2 .
t 1 t 1
= = − = − −
− +
Dạng 2: Tích phân đổi biến số với hàm ẩn
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước ở lý thuyết.
Chú ý tính chất: b
( )
b( )
b( )
a a a
f x dx = f t dt = f u du
(tích phân không phụ thuộc vào biến).Ví dụ minh họa:
Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên thỏa mãn 6
( )
0
f x dx=12.
Tính tích phân 2
( )
0
I=
f 3x dx.A. I = 6 B. I = 36 C. I = 2 D. I = 4
Lời giải
Ta có: 2
( )
2( ) ( )
0 0
I f 3x dx 1 f 3x d 3x
=
=3
Đổi biến: Đặt t = 3x dt = 3dx
Đổi cận: x = 0 thì t = 0; x = 2 thì t = 3 . 2 = 6
( ) ( )
6 6
0 0
1 1 12
I f t dt f x dx 4.
3 3 3
=
=
= = (tích phân không phụ thuộc vào biến) Chọn DDạng 3: Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ
Bài toán tổng quát: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:
a) a
( )
a( )
a 0
f x dx 2 f x dx
−
=
nếu f(x) là hàm số chẵn.b) a
( )
a
f x dx 0
−
= nếu f(x) là hàm số lẻ.Phương pháp giải
a) Hàm số f(x) là hàm chẵn thì f
( ) ( )
− =x f xTa có: 0
( )
0( ) ( )
a a
f x dx f x d x
− −
= − − −
( ) ( ) ( )
0 0 a
t x
a a 0
f t dt f x dx f x dx.
⎯⎯⎯=− →−
= −
=
Do đó a
( )
0( )
a( )
a( )
a a 0 0
f x dx f x dx f x dx 2 f x dx.
− −
= + =
b) Hàm số f(x) là hàm lẻ thì f
( )
− = −x f x( )
Ta có: a
( )
a( )
a( ) ( )
a a a
f x dx f x dx f x d x
− − −
= − − = − −
( ) ( )
a a
t x
a a
f t dt f x dx
−
⎯⎯⎯=− →
= −
Do đó a
( )
a( )
a a
2 f x dx 0 f x dx 0.
− −
= =
Ví dụ minh họa
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn
( ) ( )
f x +2f 1 x− =3x, x . Tính tích phân 1
( )
0
I=
f x dx.A. 3
I .
= 2 B. I = 1. C. 1
I .
= 2 D. I = 2.
Lời giải
Cách 1: Ta có
( ) ( )
f x +2f 1 x− =3x
( ) ( )
1 1
0 0
f x dx 2 f 1 x dx
+
− 1 2 10 0
3 3
3 xdx x .
2 2
=
= =Đặt x 0, t 1
t 1 x dt dx
x 1, t 0
= =
= − = − = =
( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1 1
0 1 0 0
f 1 x dx f t dt f t dt f x dx
− = −
=
=
Suy ra 1
( )
1( )
1( )
0 0 0
f x dx 2 f 1 x dx 3 f x dx 3
+ − = = 2
1
( )
0
1 1
f x dx I .
2 2
= =Chọn C.
Cách 2: Ta có f x
( )
+2f 1 x(
−)
=3x( ) ( ) ( )
f 1 x 2f x 3 1 x 3 3x
− + = − = −
Khi đó
( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x 2f 1 x 3x (1) f 1 x 2f x 3 3x 2
+ − =
− + = −
Lấy 2. 2
( ) ( )
− 1 , ta được 3f x( ) (
=2 3 3x−)
−3x f x( )
= −2 3x.Vậy 1
( )
1( )
2 10
0 0
3x 1
I f x dx 2 3x dx 2x .
2 2
= = − = − =
Chọn C.
Dạng 4. Tích phân hàm phân thức hữu tỉ
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước ở lý thuyết.
Chú ý: Cách phân tích hàm phân thức hữu tỉ (giống phần nguyên hàm): Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số để phân tích.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 4. Tính tích phân
( )
3 2
3 0
I x dx
1 x
=
+ ?A.I ln 4 33
= +32 B. I ln 4 4121
= −4000 C.I ln 4 1= − D. I ln 4 33
= −32 Lời giải
Đặt 1 x+ = u dx=du.
Đổi cận x 0= =u 1;x= =3 u 4 Khi đó 4
( )
2 4 23 3
1 1
u 1 u 2u 1
I du du
u u
− − +
=
=
4 4
2 3 2
1 1
1 2 1 2 1
du ln u
u u u u 2u
= − + = + −
2 2
2 1 2 1
ln 4 ln 1
4 2.4 1 2.1
= + − − + −
15 3
(ln 4 ) (0 )
32 2
ln 4 33 32
= + − +
= −
Chọn D.
2. Phương pháp tích phân từng phần
Phương pháp giải: Sử dụng công thức tích phân từng phần
b b
b a
a a
udv=uv − vdu
Chú ý: Cách chọn u, v (theo bảng đã cho ở phần lý thuyết)
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tích phân 2
0
I x cos xdx
=
và u=x ; dv2 =cos xdx. Khẳng định nào sau đây đúng?A. 2
0 0
I x sin x x sin xdx
= −
. B. 2 00
I x sin x x sin xdx
= +
.C. 2
0 0
I x sin x 2 x sin xdx
= +
. D. 2 00
I x sin x 2 x sin xdx
= −
.Lời giải Ta có
2 du 2xdx
u x
v sin x dv cos xdx
= =
= =
Theo công thức tích phân từng phần 2
0 0
I x sin x 2 x sin xdx
= −
.Chọn D.
Ví dụ 2: Cho tích phân 3
(
2)
2
I=
3x +1 ln xdx=a ln 3 b ln 2+ +c với a,b,c . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?A. a = 3b. B. a = – 3b.
C. a + b = 40. D. a – b = 20.
Lời giải
Đặt
(
2)
3u ln x du dx
dv 3x 1 dx x
v x x
=
=
= +
= +
Theo công thức tích phân từng phần
(
3)
32 3(
2)
2
I x x ln x x 1 dx
= + −
+3 3
2
30ln 3 10ln 2 x x 3
= − − +
30ln 3 10ln 2 22
= − − 3
a 30;b 10;c 3b
= = − = − . Chọn B.
Ví dụ 3. Cho
2 1
x x b
1
I 1 x 1 e dx ae c
x
−
=
+ + = − với a;b;c ; a0. Lúc này S= + +a b c có giá trị bằngA. 1
S= −2 B. 3
S= −2 C. S 1
= 3 D. 9 S= 2 Lời giải
Ta có
2 1 2 1 2 1
x x x
x x x
1 1 1
1 1
I 1 x e dx e dx x e dx
x x
− − −
=
+ + =
+
+ (1)Đặt
2 1
x x 1
1
I =
e − dx.Đặt
1 1
x x
x x
2
u e du 1 1 e dx
x dv dx v x
− −
= = +
= =
Theo công thức tích phân từng phần ta có
2 2
1 1
x x
x x
1
1 1
I xe x 1 e dx
x
− −
= −
+ (2) Từ (1); (2) ta có2 2 2
1 1 1
x x x
x x x
1 1
1
1 1
I x.e x e dx x e dx
x x
− − −
= −
+ +
+ 1 2 1 1 3
x 2 1
x 2 1 2
1
x.e − 2.e − 1.e− 2.e 1
= = − = −
3 9
a 2;b ;c 1 a b c
2 2
= = = + + = . Chọn D.
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Câu 1. Cho hàm số f liên tục trên và hai số thực a < b. Nếu
b
a
f (x)dx =
thì tíchphân
b 2
a 2
f (2x)dx
có giá trị bằng A. 2. B. 2. C. . D. 4.
Câu 2. Bài toán tính tích phân
e
1
ln x 1ln x
I dx
x
=
+ được một học sinh giải theo ba bước sau:I. Đặt ẩn phụ t ln x 1= + , suy ra 1
dt dx
= x và
x 1 e
t 1 2
II. e 2 ( )
1 1
ln x 1ln x
I dx t t 1 dt
x
=
+ =
−III. ( )
2 2
5
1 1
I t t 1 dt t 2 1 3 2
t
=
− = − = + .Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Bài giải đúng. B. Sai từ Bước II.
C. Sai từ Bước I. D. Sai ở Bước III.
Câu 3. Bài toán tính tích phân
1
2 2
I (x 1) dx
−
=
+ được một học sinh giải theo ba bước sau:I. Đặt ẩn phụ t =(x+1)2, suy ra dt=2(x 1)dx+ ,
II. Từ đây suy ra dt dx dt dx 2(x 1) = 2 t =
+ . Đổi cận
x −2 1
t 1 4
III. Vậy
1 4 4
2 3
2 1 1
t 1 7
I (x 1) dx dt t
3 3
− 2 t
=
+ =
= = .Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Sai từ Bước I. B. Sai ở Bước III.
C. Sai từ Bước II. D. Bài giải đúng.
Câu 4. Cho tích phân:
e
1
1 ln x
I dx
2x
=
− .Đặt u= 1 ln x− .Khi đó I bằngA.
0 2 1
I=
u du. B. 0 21
I= −
u du. C.0 2
1
I u du
=
2 . D. 1 20
I= −
u du. Câu 5. Tích phân1 7
2 5 0
x dx
(1 x )+
bằngA.
2 3
5 1
1 (t 1) 2 t dt
− . B. 3 5 31
(t 1) t dt
− .C.
2 3
4 1
1 (t 1) 2 t dt
− . D. 4 4 31
3 (t 1) 2 t dt
− .Câu 6. Tích phân
e
1
(2x−5)ln xdx
bằngA.
e e 2
1 1
(x 5x)ln x (x 5)dx
− − −
− . B. 2 1e e1
(x −5x) ln x +
(x−5)dx. C.e e 2
1 1
(x −5x) ln x −
(x −5)dx. D. 1e e 21
(x−5) ln x −
(x −5x)dx.Câu 7. Tìm m để
2
4 m
(3 2x) dx 122
− = 5
?A. 0. B. 9. C. 7. D. 2.
Câu 8. Tích phân
1 2 0
I=
x x +1dx có giá trị là A. 3 2 13
− . B. 2 2 1
3
− . C. 2 2 1 2
− . D. 3 2 1 2
− .
Câu 9. Giá trị của tích phân
1 2 0
4x 2 x x 1dx
+
+ + làA. ln2. B. ln3. C. 2ln2. D. 2ln3.
Câu 10. Giá trị của tích phân
3
0
x 3 3. x 1 x 3dx
− + + +
làA. 3
3 3ln
+ 2. B. 3
3 6ln + 2.
C. 3
3 6ln
− + 2. D. 3
3 3ln
− + 2. Câu 11. Giá trị của tích phân
1 x 0
I dx
= 1 e
+ là A. ln 2ee 1
+
. B. ln e
e 1
+
. C. 2 ln e
e 1
+
. D. 2 ln 2e
e 1
+
. Câu 12. Giá trị của tích phân
( )
ln 3 x
x 3 0
I e dx
e 1
=
+ làA. 2 2 1− . B. 2 1− . C. 2−2. D. 2 2−2. Câu 13. Giá trị của tích phân
e2
e
I dx
x ln x
=
làA. 2ln3. B. ln3. C. ln2. D. 2ln2.
Câu 14. Giá trị của tích phân
3
8
I dx dx
x 1 x
−
−
=
− làA.ln2
3. B. 2. C. –ln2. D. 2ln2.
Câu 15. Biết
a 3
2 1
x 2ln x 1
I dx ln 2
x 2
=
− = + . Giá trị của a làA. 2. B. ln2. C. . D. 3.
Câu 16. Kết quả phép tính tích phân
5
1
I dx
x 3x 1
=
+ có dạng I=a ln 3 bln 5+ (a, b ). Khi đó a2 +ab+3b2 có giá trị làA. 1. B. 5. C. 0. D. 4.
Câu 17. Biết rằng
b
0
6dx=6
và a x0
xe dx=a
. Khi đó biểu thức b2 +a3+3a2 +2a có giá trị bằngA. 5. B. 4. C. 7. D. 3.
Câu 18. Giả sử 2
( )
1
2x 1 ln xdx− =a ln 2+b
,(
a; b)
. Tính a + b.A. 5
2 . B. 2. C. 2. D. 3
2 . Câu 19. Biết rằng
ln 2
a c
x 0
1 dx= ln 2 b ln 3 ln 5
2e 1 + +
+ . Trong đó a, b, c là các sốnguyên. Khi đó S = a + b – c bằng bao nhiêu.
A. S = 4. B. S = 3. C. S = 5. D. S = 2.
Câu 20. Cho hàm số y = f(x) là hàm lẻ và liên tục trên [-4;4], biết
0
2
f ( x)dx 2
−
− =
và2
1
f ( 2x)dx− =4
. Tính 40
I=
f (x)dx =?A. -10. B. -6. C. 6. D. 10.
Đáp án
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D C B A C A B D C
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B C A A B C D B B