• Không có kết quả nào được tìm thấy

Bài tập tích phân vận dụng cao có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "Bài tập tích phân vận dụng cao có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247"

Copied!
35
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO – PHẦN I Nội dung live – trợ giúp kì thi THPT Quốc Gia 2018.

Bài tập có sưu tập từ nguồn đề của các trường trên toàn Quốc và của các quý thầy cô trong nhóm Vận Dụng Cao.

File giải chỉ trình bày theo cách tự luận để các em hiểu bản chất. Kỹ thuật tính nhanh và Casio các em xem ở bài live.

Câu 1: Cho hàm sốy f x

 

xác định trên đoạn 0;

2

  

 

 

thỏa mãn

   

2 2 0

2 2 sin d 2

4 2

     

  

  

 

 

f x f x x x . Tích phân 2

 

0

d

f x x bằng

A. 4

. B. 0 . C. 1 . D.

2

. Lời giải

Chọn B

+) Đặt I2 2

   

0

2 2 sin d

4

   

 

  

 

 

f x f x x x. Ta có

I2 2

   

2

0

2 2 sin 2 sin d

4 4

      

   

    

   

 

f x f x x x x

2 2 0

2 sin d

4

  

   

 

x x

I

 

2 2

0

2 sin d

4

   

 

  

 

 

f x x x

2 2 0

2 sin d

4

  

   

 

x x

+) Có

2 2 0

2 sin d

4

  

 

 

 

x x

2

0

1 os 2 d

2

   

 

  

 

 

c x x 2

 

0

1 sin 2 d

x x 21cos2

|

02

 

  

x x 2

2

 

+) Mà I 2 2

  suy ra

 

2 2

0

2 sin d 0

4

   

  

  

 

 

f x x x (1).

+) Áp dụng kết quả: Nếuf x

 

liên tục và không âm trên đoạn a b;  thì

  

d 0

b

a

f x x . Dấu " " xảy ra khi f x

 

0 với mọi x a b; .

Từ (1) suy ra

 

2 sin 0

4

  

   

 

f x x hay

 

2 sin

4

  

   

 

f x x .

+) Do đó 2

 

0

d

f x x

2

0

2 sin d

4

  

 

 

 

x x 2cos 4

|

02

  

   

x  0. Chọn B.

Câu 2. (Đề tham khảo của BGD năm 2018) Cho hàm số f x

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1  thỏa mãn f

 

1 0,

 

1 2

0

d 7

   

 

f x x

 

1 2 0

d 1

 3

x f x x . Tích phân

 

1

0

f x dx bằng

A. 7

5. B. 1 . C. 7

4. D. 4 .

(2)

Lời giải Chọn A

+) Đặt

 

d 3 2d

 

 



u f x

v x x

 

3

d d

  

 

 

u f x x

v x , khi đó

     

1 1

2 3 1 3

0 0 0

3 d  .   d

x f x x x f x

x f x x

+) Ta có

   

1 3 0

1 f 1 

x f x dx suy ra

 

1 3 0

d 1

  

x f x x .

+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân

       

2

2 2

d d . d

 

  

 

 

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x . Dấu

" " xảy ra khi f x

 

kg x

 

với k là hằng số.

Ta có

 

2

1  3 d 

   

b

a

x f x x

6d .

 

2d

b b

a a

x x f x x

7 1

0

7 7

x 1. Dấu " " xảy ra khi

 

3

 

f x kx với k là hằng số. Mà 1 3

 

0

d 1

  

x f x x hay

1 6 0

d  1

kx x suy ra k 7.

+) Vậy f x

 

 7x3 nên

 

7 4

 4 

f x x cf

 

1 0 nên f x

 

74

1x4

suy ra

 

1

0

d 7

5

f x x . Chọn A.

Câu 3. Cho hàm số f x

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f

 

0 1

       

1 1

2

0 0

2 d 3 1 d

9

 

     

 

f x f x x

f x f x x . Tích phân

 

1 3 0

f x dx bằng

A. 5

4. B. 3

2. C. 8

5. D. 7

6. Lời giải

Chọn D

+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân

       

2

2 2

d . d  d 

  

 

  

b b b

a a a

f x x g x x f x g x x . Dấu

" " xảy ra khi f x

 

kg x

 

với k là hằng số.

+) Ta có

       

1 1 1 2

2

0 0 0

d . d  d 

    

 

x f x f

x x

f x f x x (1) nên từ giả thiết suy ra

       

1 1

2

0 0

2 d 3 d 1

3

 

     

f x f x x

f x f x x

   

1 2

0

3 d 1

3

 

 

 

 

f x f x x
(3)

hay

   

1 2

0

3 d 1 0

3

 

  

 

 

f x f x x

   

1

0

d 1

 3

f x f x x và dấu " " ở (1) xảy ra, tức là

ta có

   

   

1

0

d 1 3

  



  



f x f x x

f x f x k

1

k3. Từ đó tính được

 

3 3

3

x

f x suy

ra

 

1 3 0

d 7

 6

f x x . Chọn D.

Câu 4: Cho hàm số f x

 

liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn

 

6 2

 

3 6

3 1

 

f x x f x

x . Tính

 

1

0

f x x d

A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 6 .

Lời giải Chọn B

Ta có tính chất 1

 

1

       

0 0

f x dx

f f x d f x . Theo bài ta có :

 

6 2

 

3 6

3 1

 

f x x f x

x . Lấy tích phân 2 vế ta được :

   

1 1 1

2 3

0 0 0

d 6 d 6d

3 1

 

f x x

x f x x

xx1

 

1 2

   

3 3 1

0 0 0

d 2 d 6d

3 1

  

f x x

x f x x

xx

 

1 1

0 0

d 6d 4

3 1

  

f x x

xx.

Câu 5: Cho hàm số f x( ) và g x( ) liên tục có đạo hàm trên  và thỏa mãn f

   

0 .f 2 0

( ). ( )  ( 2) x

g x f x x x e . Tính giá trị của tích phân

 

2

0

. ( )d

I f x g x x .

A. 4. B. e2. C. 4 . D. 2e. Lời giải

Chọn C.

Theo đề cho f

   

0 .f 2 0 suy ra

 

 

0 0

2 0

  



 

 f

f .

Ta có ( ). ( )g x f x x x( 2)ex nên g(0). (0) 0f  g(0) 0.

(2). (2) 0   (2) 0.

g f g

Đặt ( ) ( )

( ) ( )

    

 

  

 

u f x du f x dx

dv g x dx v g x .

     

2 2 2

2 2

0 0

0 0 0

. ( )d . ( ) ( ). ( )d . ( ) ( 2) d

 

 

x

I f x g x x f x g x g x f x x f x g x x x e x

 

2 . (2)

 

0 . (0) 4 4.

f gf g  

(4)

Câu 6: Cho hàm số yf x( ) liên tục trên  và có đồ thị của f x( ) như hình vẽ.

Đặt Sf(0) f(6) f a( ) f a( 2). Tập giá trị của S chứa tối đa bao nhiêu số nguyên?

A. 22 . B. 23 . C. 24 . D. 25 .

Lời giải Đáp án C.

Ta có hàm số f liên tục trên và căn cứ vào đồ thị ta có '( ) 2 0

, 0; 6

4 '( ) 0

  

   

    

f x x

f x .

Suy ra

6

0 2

6

0 2

'( ) 2 4 '( ) 0

4 '( ) '( ) 2 0

        

    



        



 

 

a

a a

a

f x dx f x dx

f x dx f x dx

Do đó ( ) (0) 2 4(4 ) (6) ( 2) 0

4 ( ) (0) (6) ( 2) 2(4 ) 0

        

        

f a f a a f f a

a f a f f f a a

16 2 0

2 8 0

   

     a S

S a

Hay 2 a 8 S16 2 . a

Tuy nhiên các dấu “=” không xảy xa. Do vậy D 

2a8;16 2 . a

Độ dài khoảng D bằng 24. Do đó khoảng D chứa tối da 24 số nguyên.

Câu 7. Cho hàm số yf x( )liên tục trên đoạn

0;a

, biết rằng với mọi x

0;a

, ta có f x

 

0f x f a

  

.x

k2(vớik là hằng số, k0). Giá trị của tích phân

0

 

a dx

kf x

bằng:

A. a

k . B.

2 a

k . C.

2

ak . D. ak

Lời giải Chọn B.

   

 

 

   

0

2

0 0 0

a a a

a

f t dt

dx dt dt

I k f x k f a t k k k f t

k f t

    

   

   

 

   

 

0 0 0

 

2

a f t dt a kdt a f t dt a

kI kI kI a I

k f t k f t k f t k

        

  

  

Câu 8. Cho hàm số yf x( )liên tục trên đoạn

0;a

, biết rằng với mọi x

0;a

, ta

f x

 

0f x f a

  

. x

1.Giá trị của tích phân

 

01

a dx

f x

bằng:

A. a. B.

2

a. C. 2a. D. aln(a1).

Lời giải

(5)

Chọn B.

   

 

 

   

0

01 1 01 1 0 1

a a a

a

f t dt

dx dt dt

I

f x f a t f t

f t

    

    

   

 

   

 

 

0 01 01 2

a f t dt a dt a f t dt a

I I I a I

k f t f t f t

        

  

  

.

Câu 9: Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;3] và

1

0

( ) 2

f x dx ;

3

0

( ) 8

f x dx . Giá trị của tích phân

 

1

1

|2 1|

f xdx là:

A. 6. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải Chọn D.

Ta có:

2 1, 1 2 1 2

2 1, 1 2

   



  

   



x x

x

x x

nên

 

1

1

|2 1|

f xdx =

 

0 ,5 1

1 0,5

2 1 (2 1)

     

f x dx

f x dx E F

0,5 3

1 0

( 2 1)dx 1 ( )

2

  

E f x f t dt ta đổi biến t 2x1,

1 1

0,5 0

1 (2 1) ( ) ,

 2

 

F f x dx f t dt ta đổi biến t2x1,

Vậy

 

1 3 1

1 0 0

1 1

|2 1| ( ) ( ) 1 4 5

2 2

     

f x dx

f x dx

f x dx

Câu 10: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f

 

1 3,

1

2 0

[ '( )] d 4

11

f x x

 

1 4 0

d 7

11

x f x x . Giá trị của

 

1

0

f x dx là A. 35

11. B. 65

21. C. 23

7 . D. 9

4. Lời giải

Chọn C.

Cách1: Xét

1 4 0

( )d

A x f x x, Đặt 4 5

'( )dx

( ) 1

d 5

 

  

 

 

 

du f x u f x

dv x x v x

1 1 1

5 5 5 5

0 0 0

1 1 1 7 3 1 7 2

( ) '( )d '( )d '( )d

0

5 5 11 5 5 11 11

 

  

 

 

A x f x x f x x x f x x x f x x

Lại có

1 10 0

d 1

11

x x nên:
(6)

1 1 1

2 5 10

0 0 0

'( ) d 4 '( )d 4 d 0

    

 

f x x

x f x x

x x

 

1 2

5 5

0

'( ) 2 d 0 '( ) 2

f xx x  f x   x

6 10

( ) ( (1) 0)

3 3

  x    

f x C C do f

1 6

0

10 23

3 3 7

 

     

 

x

I dx

Cách 2: Trắc nghiệm

Từ

1 2

1

5 0

1

0 5

0

'( ) 4

11 '( ) '( ) 2 0.

'( ) 2

11

   

  

     

  

 



f x dx

f x f x x dx x f x dx

Chọn

6

5 10 23

'( ) 2 ( ) .

3 3 7

   x   

f x x f x I

Câu 11: Xét hàm số f x( ) liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn 2 ( ) 3 (1f xfx) 1x. Tích phân

1

0

f x x bằng ( )d A. 2

3. B. 1

6 . C. 2

15. D. 3

5. Lời giải

Chọn C.

Ta có: 2 ( ) 3 (1f xfx) 1x (1).

Đặt t 1 x, thay vào (1), ta được: 2 (1ft) 3 ( ) f tt hay 2 (1fx) 3 ( ) f xx (2). Từ (1) & (2), ta được: 3 2

( ) 1

5 5

  

f x x x.

Do đó, ta có:

1

0

f x( )dx

1 1

0 0

3 2

d 1 d

5 5

x x

x x 25 15 4 152 .

Câu 12. Cho hàm số f x

 

có đạo hàm trên  thỏa mãn f x( ) 2018 ( ) 2018. f xx2017.e2018x với mọi x và f(0) 2018 . Tính giá trị f(1).

A. f(1) 2019 e2018. B. f(1) 2019 e2018. C. f(1) 2018 e2018. D. f(1) 2017. e2018 Lời giải

Chọn A

Ta có f x( ) 2018 ( ) 2018. f xx2017.e2018x ( ) 2018 ( )2018 2017 2018.

 

 

x

f x f x

e x

1 1

2017 2018

0 0

( ) 2018 ( )

d 2018. d

 

f x e x f x x

x x (1).

Xét

1 1 1

2018 2018

2018

0 0 0

( ) 2018 ( )

d ( ). d 2018. ( ). d

 

f x x f x

x

x

I x f x e x f x e x

e Xét

1

2018 1

0

2018. ( ). d

x

I f x e x. Đặt ( ) 2018 d 2018( )d

d 2018. d

    

 

 

  

 

xx

u f x u f x x

v e x v e

(7)

Do đó

1 1

2018 2018 2018

1 0

0

( ).( ) ( ). d (1). 2018.

  x

x   

I f x e f x e x I f e

Khi đó từ (1) suy ra 2018 20181 2018

(1). 2018 0 (1) 2019.

    

I f e x f e .

Câu 13. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f(0) 1

       

1 1

2

0 0

3 1 d 2 d

9

 

 

   

   

 

f x f x x

f x f x x . Tính tích phân

 

1 3

0

  d

 

f x x .

A. 3

2. B. 5

4. C. 5

6. D. 7

6. Lời giải

Chọn D.

Áp dụng BĐT Holder ta có:

2 2

1 1 1

2 2

0 0 0

9 ( ) ( ) 1 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( )

9

     

         

       

f x f x dx 

f x f x dx

f x f x dx

1 2 1

2 2

0 0

9 ( ) ( ) 1 4 ( ) ( ) 0

9

   

 

       

 

f x f x dx

f x f x dx

1 2

2 2

0

1 1

9 ( ) ( ) 0 ( ) ( )

9 9

 

 

      

f x f x dxf x f x

3( ) 1

3 9

f x   x Cf(0) 1 nên 1.

3

C Khi đó 3 1

( ) 1.

 3 

f x x

Vậy

1 1

3

0 0

1 7

( ) 1 .

3 6

 

      

 

 

f x dx

x dx

Câu 14: Cho hàm số y f x

 

liên tục trên  và thỏa mãn f

 

x 2018f x

 

xsin .x Tính

2

 

2

?

I f x dx

A. 1

1009 B. 2

2019 C. 1

2019 D. 1

2018 Lời giải.

Chọn B

Theo giả thiết f

 

x 2018f x

 

xsin .x f x

 

2018f

 

x xsin .x

suy ra

20182 1

( ) 2017 sin

 

1 .sin

f xx xf x 2019x x.

Do đó 2 2

 

2 2

1 1

.sin . . cos

2019 2019

 

I x x dx x d x

2

2 2

2 2

2

1 1 2

cos cos . sin

2019 2019 2019

 

 

     

 

 

x x

x dx x .

Câu 15: Cho hàm số y f x

 

f x

 

liên tục trên nửa khoảng 0;

thỏa mãn
(8)

   

2

3f xf x  1e x. Khi đó:

A. 3

 

1

 

0 21 1

1 2

   

e f f

e

B. 3

 

1

 

0 12 1

2 1 4

   

e f f

e C. 3

    

2 1

2 1 8

1 0

3

  

  e e

e f f D. e f3

 

1 f

 

0

e21

e2 1 8.

Lời giải Chọn C.

Ta có

   

2

3f xf x  1e x 3e f x3x

 

e f x3x

 

e2x e2x3 e f x3x

 

e2x e2x3.

Lấy Tích phân từ 0 đến 1 hai vễ ta được

1 1

3 2 2

0 0

( )  3

   

 

e f xx dx

e x e x dx 3 10

2

31

0

( ) 1 3

  3

   

x x

e f x e

    

2

2

3 1 1 8

1 0

3

  

   e e

e f f

Câu 16. Cho hàm số f x

 

có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiệnf'

 

0  1f x'

 

 2 f

 

x . Đặt T f

 

1 f

 

0 , hãy chọn khẳng định đúng?

A. 2 T 1. B. 1 T0. C. 0T1. D. 1T 2. Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết ta có

 

 

 

   

'

2 2 '

' '

dx 1.dx dx 1.dx 1

 

         

   

   

f x

 

d f x

f x x c

f x f x

f'

 

0  1 nên

 

1 '

0

1 1

1 1 ln 2

1

  

     

   

 

c

T x

f x x

Câu 17. [2D3-4] Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f

 

1 1,

 

2

1

0

d 9

'  5

 

 

f x x 1

 

0

d 2

 5

f x x . Tính tích phân

 

1

0

d

I f x x . A. 3

 5

I . B. 1

 4

I . C. 3

4

I . D. 343

48

. Lời giải

Chọn B.

Đặt txx t2dx2tdt. Đổi cận: x0 t 0; x  1 t 1. Ta có

 

1

0

2 2 .

5 

t f t dt 2

 

10 2

 

1

0

. ' .

t f t

t f t dt

 

2

 

1

0

1 . '

f

t f t dt 2

 

1

0

1 . '

 

t f t dt

 

1

0

2 3

. ' 5

t f t dt, hay

 

0 2

1 3

. '  5

x f x dx (1).

Hơn nữa ta có

 

2

1

0

d 9

'  5

 

 

f x x (2) theo giả thiết và

1 4 0

1

 5

x dx (3).
(9)

Xét tích phân

  

2

2

 

2 2

 

4

1 1 1 1

0 0 0 0

' 3   '  6 . ' 9

f x x dx

f x dx

x f x dx

x dx

(1);( 2);( 3)9 3 1

6. 9. 0

5 5 5

    .

f x'

 

3x2

2 0 với mọi x 0;1. Vậy f x'

 

3x2.

Do đó f x

 

x3C. Lại có f

 

1  1 C0. Vậy f x

 

x3.

Vậy

 

1

3 1

0 0

1.

 4

I f x dx x dx

Câu 18. Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] đồng thời f(0) 0 ; (1) 1f  và

 

1 2 2

0

'(x) 1 d 1

ln 1 2

   

 

f x x  . Tính tích phân

1 0 2

( ) d 1

f x x

x .

A. 12ln 12

2

. B. 2 12 ln 12

2

. C. 12ln 1

2

. D.

2 1 ln 1

 

2

.

Lời giải Chọn C.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

1 1 1 2

2 2

0 0 2 0

'(x) 1 d . 1 d '( )d 1

1

 

     

 

  

f x x

x

f x x

x .

Mặt khác 1 2

2

10

 

0

1 d ln 1

|

ln 1 2

x x x x .

Vậy đẳng thức xảy ra, khi đó 4 2

4 2 2

'( ). 1 '( )

1 1

   

 

k k

f x x f x

x x

. Vì

1

0

'( )d 1

f x x nên

 

1 ln 1 2

k .

Suy ra 1 2

 

1

 

2 10

 

0 0

( ) ( ) 1

d ln 1 2 ( ) '( )d ln 1 2 ln 1 2

2 2

1

|

f x x

f x f x x f x

x

.

Câu 19: Cho hàm số y f x

 

liên tục trên \ 0; 1

thỏa:

1

  

 

2 , 

0; 1

x x f x f x x x xf

 

1  2 ln 2. Biết f

 

2  a bln 3

a b,

. Tính

22? a b

A. 3

4. B. 13

4 . C. 1

2. D. 9

2. Lời giải

Chọn D.

Ta có x x

1

  

f x f x

 

x x

1

   

1

1

   

f x f x

x x

   

 

2

1 1 1

   

  

x f x x

f x x x x

 

.

1 1

 

    

x x

f x x x

(10)

Vậy 2

 

2

 

12

1 1

. ln 1 2 ln 3 1 ln 2 1 ln2

1 1 3

 

         

   

 

f x xx dx

xx dx x x

 

2 .2

 

1 .1 1 ln2 2

ln 3

1

2 ln 2

1 ln2

3 2 3 3 2 3

ff    a b    

2 2

3

2 2 ln 3 1 ln 3 2 9.

3

3 3 2

2

 



       

  

 a

a b a b

b

Câu 20 : [THPT CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 4 - 2018] Cho hàm số f x

 

có đạo hàm liên tục trên 3; 3

 

  và đồ thị hàm số y f x'

 

như hình vẽ bên. Biết f

 

1 6

    

1

2

2

  x

g x f x . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Phương trình g x

 

0 có đúng hai nghiệm thuộc  3; 3 . B. Phương trình g x

 

0 có đúng một nghiệm thuộc  3; 3 . C. Phương trình g x

 

0 không có nghiệm thuộc  3; 3 . D. Phương trình g x

 

0 có đúng ba nghiệm thuộc  3; 3 .

Lời giải Chọn B.

Ta có g x'

 

f x'

  

x1

Dễ thấy từ hình vẽ ta có phương trình g x'

 

0 có 3

nghiệm trên đoạn  3; 3 là 3; 1; 3. Ta có g

 

1 f

 

1    2 6 2 4 0

 

3

 

3 8,

 

3

 

3 2.

g f g f

Ngoài ra ta có bảng biến thiên của hàm số g x

 

như sau

Dựa vào đồ thị ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

 

' ,

yf x yx1, x 3, x1 lớn hơn diện tích hình thang ABCD là 6.

Do đó

           

1

3

' 1 6 1 3 6 3 0 3 2 2.

                

 

f x x dx f f f f

Hay g

 

3 0.

Tương tự, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x'

 

, yx1,

1, 3

 

x x nhỏ hơn diện tích hình thang EFGH là 4.

Nên

         

3

1

1 ' 4 6 3 1 4 3 8 3 8 0.

             

 

x f x dx f f f f Hay g

 

3 0.
(11)

Vậy phương trình g x

 

0 có đúng một nghiệm thuộc  3; 3 .

Câu 21: [THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG - 2018] Cho hàm số f x

 

liên tục trên  và có

 

2

1

d 1

f x x . Tính giới hạn của dãy số

1

 

3 6 4 3

. 1 ...

3 6 4 3

         

         

     

  

      

 

n

n n n n n n

u f f f f

n n n n n n n

A. limun 2 B. 2

limun  3. C. limun 1. D. 4 limun  3. Lời giải

Chọn B.

   

 

3 1

1 1 3 1 2.3 1

1 . 1 . 1 ... . 1

3 2.3 3 1

1 1 1

 

       

  

         

   

          

 

 

n

u f f f f n

n n n n n

n n n

 

 

 

1 1 1 3 1 2.3 1 3 1

. . 1 . 1 ... . 1

3 2.3 3 1

1 1 1

 

       

  

                

 

n

f n

u f f f

n n n n n n

n n n

 

 

 

1 1 1 3 1 2.3 1 3 1

. . 1 . 1 ... . 1

3 2.3 3 1

1 1 1

 

       

  

                

 

 

n

f n

u f f f

n n n n n n

n n n

1

 

0

lim 1 . 1 3 d

1 3

 

un f x x

x

Đặt t 1 3 x suy ra 2

d d

3 x t t Đổi cận x0 t 1;x  1 t 2

Suy ra

 

2

1

2 2

lim d

3 3

un f t t .

Câu 22. Cho hàm số f x

 

là một nguyên hàm của hàm số g x

 

trên khoảng 3 4;

 

 

 

và thỏa mãn các điều kiện f

 

2 2 6 8 f

 

1 2,

 

2

2 1

2 1 11

d 16

 

 

  

x x

x f x

.

Tính tích phân

   

   

2

2 1

 d .

 

  

f x g x

I f x x

x f x A. 21

3ln 2

16

I . B. 21 3

32 2ln 2

 

I C. 21

32 ln 2

 

I D. 21 3

16 2ln 2

 

I

Lời giải

(12)

Chọn B

Ta có

     

 

2 2

2 1

2 2. .

2      d

 

  

f x f x f x

I x

x f x

Đặt

 

2

2 1

2 1

 d

 

  

x

J x

x f x

. Khi đó:

     

 

2 2

2 1

2 1 2 2. .

2       d

 

 

  

x f x f x f x

J I x

x f x

   

 

2 2

2

1 1

1 2 .

11 2 2 d (1)

16

 

   

 

  

 

f x f x

I dx x

x f x

.

Xét

   

 

2

2 1

1 2 .

 d

 

 

  

f x f x

K x

x f x

Ta có:

   

 

 

   

2 2 2 2

2

2 2 1

1 1

1 2 . d

d ln

  

  

   

 

f x f x

x f x

K x x f x

x f x x f x

2

   

2

  

ln 2 2 ln 1 1

  f   f

Từ giả thiết suy ra :

   2    2    2    2

ln 2 6 8 1  ln 1  1  ln 8 8 1  ln 1  1  ln 8 3 ln 2

                

K f f f f

Thay vào (1) ta được: 11 21 21 3

2 2 3 ln 2 3 ln 2 ln 2

16 16 32 2

       

I I

Câu 23. Cho hàm số f x

 

có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện f'

 

0  1 f x'

 

 2 f

 

x . Đặt T f

 

1 f

 

0 , hãy chọn khẳng định đúng?

A.  2 T 1. B. 1 T0. C. 0T1. D. 1T2. Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết ta có

 

 

 

   

'

2 2 '

' '

dx 1.dx dx 1.dx 1

 

         

   

   

f x

 

d f x

f x x c

f x f x

f'

 

0  1 nên

 

1 '

0

1 1

1 1 ln 2

1

  

     

   

 

c

T x

f x x

Câu 24: Cho hàm số f x

 

thỏa mãn

f x

  

2 f x

 

f

 

x 15x412x,  x

 

0

 

0 1

f f . Giá trị của f2

 

1 bằng ?

A. 9

2. B. 5

2. C. 10 . D. 8 .

Lời giải Chọn D.

Ta có

f x

 

f x

  

f x

  

2 f x

 

f

 

x .

Do đó f x

 

f x

 

 

15x412x

dx 3x56x2C.
(13)

f

 

0 f

 

0 1 nên f x

 

f x

 

3x56x21.

Suy ra

f x

 

f x

 

dx

 

3x56x21 d

x .

Tức là 2

 

2

f x 6 3

2 2

x   

x x C, mà f

 

0 1 nên 2

 

2

f x 6 3

2 1

x2    x x . Vậy f2

 

1 8.

Câu 25: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f

 

0 f

 

1 0. Biết

 

1 2 0

d 1

2

f x x ,

   

1

0

cos d

2

   

f x x x . Tính

 

1

0

f x dx .

A. . B. 1

. C. 2

. D. 3

2

. Lời giải

Chọn C.

Ta có

               

1 1 1

0 0 0

cos d cos d cos 1 sin d

      0  

f x x x

x f x f x x

f x x x

               

1 1 1

0 0 0

1 0 sin d sin d sin d 1

2 2

 ff  

f xx x 

f xx x 

f xx x.

Áp dụng bất đẳng thức

       

2

2 2

d d . d

 

  

 

b

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

Vậy có hai điểm phân biệt biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác... Đáp

Biết rằng diện tích hình phẳng tô đậm bằng 3.. Tham số m thu được thuộc khoảng nào

Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung,

Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức y: x.. Tìm giá trị lớn nhất

Với mọi số thực x, phần nguyên của x được ký hiệu [x], tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá x... Chọn mệnh đề đúng

Tìm V max là giá trị lớn nhất của thể tích các khối hộp chữ nhật có đường chéo bằng 3 2cm và diện tích toàn phần bằng 18cmA. Xét khối chóp

Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x?. Đồ thị hình bên là của hàm

Chúng ta có thể đưa về phương trình bậc hai để giải và biện luân theo m, tuy nhiên cũng xét các trường hợp một cách hợp lý nếu không sẽ bỏ sót nghiệm,