TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO – PHẦN I Nội dung live – trợ giúp kì thi THPT Quốc Gia 2018.
Bài tập có sưu tập từ nguồn đề của các trường trên toàn Quốc và của các quý thầy cô trong nhóm Vận Dụng Cao.
File giải chỉ trình bày theo cách tự luận để các em hiểu bản chất. Kỹ thuật tính nhanh và Casio các em xem ở bài live.
Câu 1: Cho hàm sốy f x
xác định trên đoạn 0;2
thỏa mãn
2 2 0
2 2 sin d 2
4 2
f x f x x x . Tích phân 2
0
d
f x x bằngA. 4
. B. 0 . C. 1 . D.
2
. Lời giải
Chọn B
+) Đặt I 2 2
0
2 2 sin d
4
f x f x x x. Ta cóI 2 2
20
2 2 sin 2 sin d
4 4
f x f x x x x2 2 0
2 sin d
4
x xI
2 2
0
2 sin d
4
f x x x2 2 0
2 sin d
4
x x+) Có
2 2 0
2 sin d
4
x x2
0
1 os 2 d
2
c x x 2
0
1 sin 2 d
x x 21cos2|
02
x x 2
2
+) Mà I 2 2
suy ra
2 2
0
2 sin d 0
4
f x x x (1).+) Áp dụng kết quả: Nếuf x
liên tục và không âm trên đoạn a b; thì
d 0b
a
f x x . Dấu " " xảy ra khi f x
0 với mọi x a b; .Từ (1) suy ra
2 sin 04
f x x hay
2 sin4
f x x .
+) Do đó 2
0
d
f x x2
0
2 sin d
4
x x 2cos 4|
02
x 0. Chọn B.
Câu 2. (Đề tham khảo của BGD năm 2018) Cho hàm số f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f
1 0,
1 2
0
d 7
f x x và
1 2 0
d 1
3
x f x x . Tích phân
1
0
f x dx bằngA. 7
5. B. 1 . C. 7
4. D. 4 .
Lời giải Chọn A
+) Đặt
d 3 2d
u f x
v x x
3
d d
u f x x
v x , khi đó
1 1
2 3 1 3
0 0 0
3 d . d
x f x x x f x
x f x x+) Ta có
1 3 0
1 f 1
x f x dx suy ra
1 3 0
d 1
x f x x .+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân
2
2 2
d d . d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x . Dấu
" " xảy ra khi f x
kg x
với k là hằng số.Ta có
2
1 3 d
b
a
x f x x
6d .
2d b b
a a
x x f x x
7 1
0
7 7
x 1. Dấu " " xảy ra khi
3
f x kx với k là hằng số. Mà 1 3
0
d 1
x f x x hay1 6 0
d 1
kx x suy ra k 7.+) Vậy f x
7x3 nên
7 4 4
f x x c mà f
1 0 nên f x
74
1x4
suy ra
1
0
d 7
5
f x x . Chọn A.Câu 3. Cho hàm số f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f
0 1 và
1 1
2
0 0
2 d 3 1 d
9
f x f x x
f x f x x . Tích phân
1 3 0
f x dx bằngA. 5
4. B. 3
2. C. 8
5. D. 7
6. Lời giải
Chọn D
+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân
2
2 2
d . d d
b b b
a a a
f x x g x x f x g x x . Dấu
" " xảy ra khi f x
kg x
với k là hằng số.+) Ta có
1 1 1 2
2
0 0 0
d . d d
x f x f
x x
f x f x x (1) nên từ giả thiết suy ra
1 1
2
0 0
2 d 3 d 1
3
f x f x x
f x f x x
1 2
0
3 d 1
3
f x f x xhay
1 2
0
3 d 1 0
3
f x f x x
1
0
d 1
3
f x f x x và dấu " " ở (1) xảy ra, tức làta có
1
0
d 1 3
f x f x xf x f x k
1
k3. Từ đó tính được
3 33
x
f x suy
ra
1 3 0
d 7
6
f x x . Chọn D.
Câu 4: Cho hàm số f x
liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn
6 2
3 63 1
f x x f x
x . Tính
1
0
f x x dA. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 6 .
Lời giải Chọn B
Ta có tính chất 1
1
0 0
f x dx
f f x d f x . Theo bài ta có :
6 2
3 63 1
f x x f x
x . Lấy tích phân 2 vế ta được :
1 1 1
2 3
0 0 0
d 6 d 6d
3 1
f x x
x f x x
xx 1
1 2
3 3 10 0 0
d 2 d 6d
3 1
f x x
x f x x
xx
1 1
0 0
d 6d 4
3 1
f x x
xx .Câu 5: Cho hàm số f x( ) và g x( ) liên tục có đạo hàm trên và thỏa mãn f
0 .f 2 0 và( ). ( ) ( 2) x
g x f x x x e . Tính giá trị của tích phân
2
0
. ( )d
I f x g x x .
A. 4. B. e2. C. 4 . D. 2e. Lời giải
Chọn C.
Theo đề cho f
0 .f 2 0 suy ra
0 0
2 0
f
f .
Ta có ( ). ( )g x f x x x( 2)ex nên g(0). (0) 0f g(0) 0.
(2). (2) 0 (2) 0.
g f g
Đặt ( ) ( )
( ) ( )
u f x du f x dx
dv g x dx v g x .
2 2 2
2 2
0 0
0 0 0
. ( )d . ( ) ( ). ( )d . ( ) ( 2) d
xI f x g x x f x g x g x f x x f x g x x x e x
2 . (2)
0 . (0) 4 4. f g f g
Câu 6: Cho hàm số y f x( ) liên tục trên và có đồ thị của f x( ) như hình vẽ.
Đặt S f(0) f(6) f a( ) f a( 2). Tập giá trị của S chứa tối đa bao nhiêu số nguyên?
A. 22 . B. 23 . C. 24 . D. 25 .
Lời giải Đáp án C.
Ta có hàm số f liên tục trên và căn cứ vào đồ thị ta có '( ) 2 0
, 0; 6
4 '( ) 0
f x x
f x .
Suy ra
6
0 2
6
0 2
'( ) 2 4 '( ) 0
4 '( ) '( ) 2 0
a
a a
a
f x dx f x dx
f x dx f x dx
Do đó ( ) (0) 2 4(4 ) (6) ( 2) 0
4 ( ) (0) (6) ( 2) 2(4 ) 0
f a f a a f f a
a f a f f f a a
16 2 0
2 8 0
a S
S a
Hay 2 a 8 S16 2 . a
Tuy nhiên các dấu “=” không xảy xa. Do vậy D
2a8;16 2 . a
Độ dài khoảng D bằng 24. Do đó khoảng D chứa tối da 24 số nguyên.
Câu 7. Cho hàm số y f x( )liên tục trên đoạn
0;a
, biết rằng với mọi x
0;a
, ta có f x
0và f x f a
. x
k2(vớik là hằng số, k0). Giá trị của tích phân0
a dx
k f x
bằng:A. a
k . B.
2 a
k . C.
2
ak . D. ak
Lời giải Chọn B.
0
2
0 0 0
a a a
a
f t dt
dx dt dt
I k f x k f a t k k k f t
k f t
0 0 0
2a f t dt a kdt a f t dt a
kI kI kI a I
k f t k f t k f t k
Câu 8. Cho hàm số y f x( )liên tục trên đoạn
0;a
, biết rằng với mọi x
0;a
, tacó f x
0và f x f a
. x
1.Giá trị của tích phân
01
a dx
f x
bằng:A. a. B.
2
a. C. 2a. D. aln(a1).
Lời giải
Chọn B.
0
01 1 01 1 0 1
a a a
a
f t dt
dx dt dt
I
f x f a t f t
f t
0 01 01 2
a f t dt a dt a f t dt a
I I I a I
k f t f t f t
.Câu 9: Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;3] và
1
0
( ) 2
f x dx ;3
0
( ) 8
f x dx . Giá trị của tích phân
1
1
|2 1|
f x dx là:A. 6. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải Chọn D.
Ta có:
2 1, 1 2 1 2
2 1, 1 2
x x
x
x x
nên
1
1
|2 1|
f x dx =
0 ,5 1
1 0,5
2 1 (2 1)
f x dx
f x dx E F0,5 3
1 0
( 2 1)dx 1 ( )
2
E f x f t dt ta đổi biến t 2x1,
1 1
0,5 0
1 (2 1) ( ) ,
2
F f x dx f t dt ta đổi biến t2x1,
Vậy
1 3 1
1 0 0
1 1
|2 1| ( ) ( ) 1 4 5
2 2
f x dx
f x dx
f x dxCâu 10: Cho hàm số y f x
có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f
1 3,1
2 0
[ '( )] d 4
11
f x xvà
1 4 0
d 7
11
x f x x . Giá trị của
1
0
f x dx là A. 3511. B. 65
21. C. 23
7 . D. 9
4. Lời giải
Chọn C.
Cách1: Xét
1 4 0
( )d
A x f x x, Đặt 4 5
'( )dx
( ) 1
d 5
du f x u f x
dv x x v x
1 1 1
5 5 5 5
0 0 0
1 1 1 7 3 1 7 2
( ) '( )d '( )d '( )d
0
5 5 11 5 5 11 11
A x f x x f x x x f x x x f x x
Lại có
1 10 0
d 1
11
x x nên:1 1 1
2 5 10
0 0 0
'( ) d 4 '( )d 4 d 0
f x x
x f x x
x x
1 2
5 5
0
'( ) 2 d 0 '( ) 2
f x x x f x x6 10
( ) ( (1) 0)
3 3
x
f x C C do f
1 6
0
10 23
3 3 7
xI dx
Cách 2: Trắc nghiệm
Từ
1 2
1
5 0
1
0 5
0
'( ) 4
11 '( ) '( ) 2 0.
'( ) 2
11
f x dx
f x f x x dx x f x dx
Chọn
6
5 10 23
'( ) 2 ( ) .
3 3 7
x
f x x f x I
Câu 11: Xét hàm số f x( ) liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn 2 ( ) 3 (1f x f x) 1x. Tích phân
1
0
f x x bằng ( )d A. 23. B. 1
6 . C. 2
15. D. 3
5. Lời giải
Chọn C.
Ta có: 2 ( ) 3 (1f x f x) 1x (1).
Đặt t 1 x, thay vào (1), ta được: 2 (1f t) 3 ( ) f t t hay 2 (1f x) 3 ( ) f x x (2). Từ (1) & (2), ta được: 3 2
( ) 1
5 5
f x x x.
Do đó, ta có:
1
0
f x( )dx1 1
0 0
3 2
d 1 d
5 5
x x
x x 25 15 4 152 .Câu 12. Cho hàm số f x
có đạo hàm trên thỏa mãn f x( ) 2018 ( ) 2018. f x x2017.e2018x với mọi x và f(0) 2018 . Tính giá trị f(1).A. f(1) 2019 e2018. B. f(1) 2019 e2018. C. f(1) 2018 e2018. D. f(1) 2017. e2018 Lời giải
Chọn A
Ta có f x( ) 2018 ( ) 2018. f x x2017.e2018x ( ) 2018 ( )2018 2017 2018.
x
f x f x
e x
1 1
2017 2018
0 0
( ) 2018 ( )
d 2018. d
f x e x f x x
x x (1).Xét
1 1 1
2018 2018
2018
0 0 0
( ) 2018 ( )
d ( ). d 2018. ( ). d
f x x f x
x
xI x f x e x f x e x
e Xét
1
2018 1
0
2018. ( ). d
xI f x e x. Đặt ( ) 2018 d 2018( )d
d 2018. d
x x
u f x u f x x
v e x v e
Do đó
1 1
2018 2018 2018
1 0
0
( ).( ) ( ). d (1). 2018.
x
x I f x e f x e x I f e
Khi đó từ (1) suy ra 2018 20181 2018
(1). 2018 0 (1) 2019.
I f e x f e .
Câu 13. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f(0) 1 và
1 1
2
0 0
3 1 d 2 d
9
f x f x x
f x f x x . Tính tích phân
1 3
0
d
f x x .A. 3
2. B. 5
4. C. 5
6. D. 7
6. Lời giải
Chọn D.
Áp dụng BĐT Holder ta có:
2 2
1 1 1
2 2
0 0 0
9 ( ) ( ) 1 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( )
9
f x f x dx
f x f x dx
f x f x dx1 2 1
2 2
0 0
9 ( ) ( ) 1 4 ( ) ( ) 0
9
f x f x dx
f x f x dx1 2
2 2
0
1 1
9 ( ) ( ) 0 ( ) ( )
9 9
f x f x dx f x f x3( ) 1
3 9
f x x C Vì f(0) 1 nên 1.
3
C Khi đó 3 1
( ) 1.
3
f x x
Vậy
1 1
3
0 0
1 7
( ) 1 .
3 6
f x dx
x dxCâu 14: Cho hàm số y f x
liên tục trên và thỏa mãn f
x 2018f x
xsin .x Tính2
2
?
I f x dx
A. 1
1009 B. 2
2019 C. 1
2019 D. 1
2018 Lời giải.
Chọn B
Theo giả thiết f
x 2018f x
xsin .x f x
2018f
x xsin .xsuy ra
20182 1
( ) 2017 sin
1 .sin f x x x f x 2019x x.
Do đó 2 2
2 2
1 1
.sin . . cos
2019 2019
I x x dx x d x
2
2 2
2 2
2
1 1 2
cos cos . sin
2019 2019 2019
x x
x dx x .Câu 15: Cho hàm số y f x
có f x
liên tục trên nửa khoảng 0;
thỏa mãn
23f x f x 1e x. Khi đó:
A. 3
1
0 21 11 2
e f f
e
B. 3
1
0 12 12 1 4
e f f
e C. 3
2 1
2 1 81 0
3
e e
e f f D. e f3
1 f
0
e21
e2 1 8.Lời giải Chọn C.
Ta có
23f x f x 1e x 3e f x3x
e f x3x
e2x e2x3 e f x3x
e2x e2x3.Lấy Tích phân từ 0 đến 1 hai vễ ta được
1 1
3 2 2
0 0
( ) 3
e f xx dx
e x e x dx 3 10
2
310
( ) 1 3
3
x x
e f x e
2
23 1 1 8
1 0
3
e e
e f f
Câu 16. Cho hàm số f x
có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiệnf'
0 1 và f x'
2 f
x . Đặt T f
1 f
0 , hãy chọn khẳng định đúng?A. 2 T 1. B. 1 T0. C. 0T1. D. 1T 2. Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết ta có
'
2 2 '
' '
dx 1.dx dx 1.dx 1
f x
d f x
f x x cf x f x
Mà f'
0 1 nên
1 '
0
1 1
1 1 ln 2
1
c
T x
f x x
Câu 17. [2D3-4] Cho hàm số y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f
1 1,
21
0
d 9
' 5
f x x và 1
0
d 2
5
f x x . Tính tích phân
1
0
d
I f x x . A. 3
5
I . B. 1
4
I . C. 3
4
I . D. 343
48
. Lời giải
Chọn B.
Đặt t xx t 2 dx2tdt. Đổi cận: x0 t 0; x 1 t 1. Ta có
1
0
2 2 .
5
t f t dt 2
10 2
10
. ' .
t f t
t f t dt
2
1
0
1 . '
f
t f t dt 2
1
0
1 . '
t f t dt
1
0
2 3
. ' 5
t f t dt , hay
0 2
1 3
. ' 5
x f x dx (1).Hơn nữa ta có
21
0
d 9
' 5
f x x (2) theo giả thiết và1 4 0
1
5
x dx (3).Xét tích phân
2
2
2 2
41 1 1 1
0 0 0 0
' 3 ' 6 . ' 9
f x x dx
f x dx
x f x dx
x dx(1);( 2);( 3)9 3 1
6. 9. 0
5 5 5
.
Mà
f x'
3x2
2 0 với mọi x 0;1. Vậy f x'
3x2.Do đó f x
x3C. Lại có f
1 1 C0. Vậy f x
x3.Vậy
1
3 1
0 0
1.
4I f x dx x dx
Câu 18. Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] đồng thời f(0) 0 ; (1) 1f và
1 2 2
0
'(x) 1 d 1
ln 1 2
f x x . Tính tích phân1 0 2
( ) d 1
f x xx .
A. 12ln 12
2
. B. 2 12 ln 12
2
. C. 12ln 1
2
. D.
2 1 ln 1
2
.Lời giải Chọn C.
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
1 1 1 2
2 2
0 0 2 0
'(x) 1 d . 1 d '( )d 1
1
f x x
x
f x xx .
Mặt khác 1 2
2
10
0
1 d ln 1
|
ln 1 2
x x x x .Vậy đẳng thức xảy ra, khi đó 4 2
4 2 2
'( ). 1 '( )
1 1
k k
f x x f x
x x
. Vì
1
0
'( )d 1
f x x nên
1 ln 1 2
k .
Suy ra 1 2
1
2 10
0 0
( ) ( ) 1
d ln 1 2 ( ) '( )d ln 1 2 ln 1 2
2 2
1
|
f x x
f x f x x f xx
.
Câu 19: Cho hàm số y f x
liên tục trên \ 0; 1
thỏa:
1
2 ,
0; 1
x x f x f x x x x và f
1 2 ln 2. Biết f
2 a bln 3
a b,
. Tính2 2? a b
A. 3
4. B. 13
4 . C. 1
2. D. 9
2. Lời giải
Chọn D.
Ta có x x
1
f x f x
x x
1
1
1
f x f x
x x
21 1 1
x f x x
f x x x x
.1 1
x x
f x x x
Vậy 2
2
121 1
. ln 1 2 ln 3 1 ln 2 1 ln2
1 1 3
f x xx dx
xx dx x x
2 .2
1 .1 1 ln2 2
ln 3
1
2 ln 2
1 ln23 2 3 3 2 3
f f a b
2 2
3
2 2 ln 3 1 ln 3 2 9.
3
3 3 2
2
a
a b a b
b
Câu 20 : [THPT CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 4 - 2018] Cho hàm số f x
có đạo hàm liên tục trên 3; 3
và đồ thị hàm số y f x'
như hình vẽ bên. Biết f
1 6 và
1
22
x
g x f x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Phương trình g x
0 có đúng hai nghiệm thuộc 3; 3 . B. Phương trình g x
0 có đúng một nghiệm thuộc 3; 3 . C. Phương trình g x
0 không có nghiệm thuộc 3; 3 . D. Phương trình g x
0 có đúng ba nghiệm thuộc 3; 3 .Lời giải Chọn B.
Ta có g x'
f x'
x1
Dễ thấy từ hình vẽ ta có phương trình g x'
0 có 3nghiệm trên đoạn 3; 3 là 3; 1; 3. Ta có g
1 f
1 2 6 2 4 0
3
3 8,
3
3 2.g f g f
Ngoài ra ta có bảng biến thiên của hàm số g x
như sau
Dựa vào đồ thị ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
' ,
y f x yx1, x 3, x1 lớn hơn diện tích hình thang ABCD là 6.
Do đó
1
3
' 1 6 1 3 6 3 0 3 2 2.
f x x dx f f f fHay g
3 0.Tương tự, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x'
, yx1,1, 3
x x nhỏ hơn diện tích hình thang EFGH là 4.
Nên
3
1
1 ' 4 6 3 1 4 3 8 3 8 0.
x f x dx f f f f Hay g
3 0.Vậy phương trình g x
0 có đúng một nghiệm thuộc 3; 3 .Câu 21: [THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG - 2018] Cho hàm số f x
liên tục trên và có
2
1
d 1
f x x . Tính giới hạn của dãy số1
3 6 4 3. 1 ...
3 6 4 3
n
n n n n n n
u f f f f
n n n n n n n
A. limun 2 B. 2
limun 3. C. limun 1. D. 4 limun 3. Lời giải
Chọn B.
3 1
1 1 3 1 2.3 1
1 . 1 . 1 ... . 1
3 2.3 3 1
1 1 1
n
u f f f f n
n n n n n
n n n
1 1 1 3 1 2.3 1 3 1
. . 1 . 1 ... . 1
3 2.3 3 1
1 1 1
n
f n
u f f f
n n n n n n
n n n
1 1 1 3 1 2.3 1 3 1
. . 1 . 1 ... . 1
3 2.3 3 1
1 1 1
n
f n
u f f f
n n n n n n
n n n
1
0
lim 1 . 1 3 d
1 3
un f x x
x
Đặt t 1 3 x suy ra 2
d d
3 x t t Đổi cận x0 t 1;x 1 t 2
Suy ra
2
1
2 2
lim d
3 3
un f t t .
Câu 22. Cho hàm số f x
là một nguyên hàm của hàm số g x
trên khoảng 3 4;
và thỏa mãn các điều kiện f
2 2 6 8 f
1 2,
2
2 1
2 1 11
d 16
x xx f x
.
Tính tích phân
2
2 1
d .
f x g xI f x x
x f x A. 21
3ln 2
16
I . B. 21 3
32 2ln 2
I C. 21
32 ln 2
I D. 21 3
16 2ln 2
I
Lời giải
Chọn B
Ta có
2 2
2 1
2 2. .
2 d
f x f x f xI x
x f x
Đặt
2
2 1
2 1
d
xJ x
x f x
. Khi đó:
2 2
2 1
2 1 2 2. .
2 d
x f x f x f xJ I x
x f x
2 2
2
1 1
1 2 .
11 2 2 d (1)
16
f x f xI dx x
x f x
.
Xét
2
2 1
1 2 .
d
f x f xK x
x f x
Ta có:
2 2 2 2
2
2 2 1
1 1
1 2 . d
d ln
f x f x
x f xK x x f x
x f x x f x
2
2
ln 2 2 ln 1 1
f f
Từ giả thiết suy ra :
2 2 2 2
ln 2 6 8 1 ln 1 1 ln 8 8 1 ln 1 1 ln 8 3 ln 2
K f f f f
Thay vào (1) ta được: 11 21 21 3
2 2 3 ln 2 3 ln 2 ln 2
16 16 32 2
I I
Câu 23. Cho hàm số f x
có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện f'
0 1 và f x'
2 f
x . Đặt T f
1 f
0 , hãy chọn khẳng định đúng?A. 2 T 1. B. 1 T0. C. 0T1. D. 1T2. Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết ta có
'
2 2 '
' '
dx 1.dx dx 1.dx 1
f x
d f x
f x x cf x f x
Mà f'
0 1 nên
1 '
0
1 1
1 1 ln 2
1
c
T x
f x x
Câu 24: Cho hàm số f x
thỏa mãn
f x
2 f x
f
x 15x412x, x và
0
0 1f f . Giá trị của f2
1 bằng ?A. 9
2. B. 5
2. C. 10 . D. 8 .
Lời giải Chọn D.
Ta có
f x
f x
f x
2 f x
f
x .Do đó f x
f x
15x412x
dx 3x56x2C.Mà f
0 f
0 1 nên f x
f x
3x56x21.Suy ra
f x
f x
dx
3x56x21 d
x .Tức là 2
2
f x 6 3
2 2
x
x x C, mà f
0 1 nên 2
2
f x 6 3
2 1
x2 x x . Vậy f2
1 8.Câu 25: Cho hàm số y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f
0 f
1 0. Biết
1 2 0
d 1
2
f x x ,
1
0
cos d
2
f x x x . Tính
1
0
f x dx .A. . B. 1
. C. 2
. D. 3
2
. Lời giải
Chọn C.
Ta có
1 1 1
0 0 0
cos d cos d cos 1 sin d
0
f x x x
x f x f x x
f x x x
1 1 1
0 0 0
1 0 sin d sin d sin d 1
2 2
f f
f x x x
f x x x
f x x x .Áp dụng bất đẳng thức
2
2 2
d d . d
b