SẢM PHẨM TỔ 3 LẦN 2 NĂM 2018 ĐIỀU CHỈNH SAU KHI PHẢN BIỆN THPT KINH MÔN, HẢI DƯƠNG (lần 2)
Giải thích nội dung phản biện của thầy Chung:
*) Câu 46: hai phương án C và D giống hệt nhau.
Lý do: Đề gốc có 2 phương án C, D giống nhau. Xử lý: đã sửa để hai phương án khác nhau và không là phương án đúng.
*) Câu 26: Không biết đề gốc có thêm điều kiện a b, không, nếu không có thì đề này không chính xác vì a, b không duy nhất.
Lý do: Đề gốc không có điều kiện a b, . Xử lý: đã bổ sung thêm điều kiện a b, để có duy nhất một trường hợp, còn nếu không có điều kiện thì 1
1 a b
e
, vô số bộ
a b;
thoả mãn.*) Câu 40: Tôi có bổ xung thêm 1 bài tập tương tự với hai cách giải chi tiết, trong đó bổ xung thêm cách 2 (đếm bằng đa thức và số phức). Đối với thể loại toán này, cách 2 (đếm bằng đa thức và số phức) tỏ ra tiện lợi hơn so với cách 1 (đếm bằng truy hồi), đặc biệt là trường hợp tập nền có số 0 thì cách 2 tiện lọi hơn rõ rệt.
Cám ơn thầy cô phản biện, cách 2 rất hay!.
Giải thích nội dung phản biện của file số 2
- Câu 22: Phần bôi đỏ đậm: Tổ 3 làm chính xác, phản biện gõ lặp 01 công thức=> giữ nguyên không sửa.
- Câu 29: Đã thay từ "Xét" bằng từ "Cho" theo đúng đề gốc; 02 phần tô đỏ đậm của người phản biện bị nhầm, do ở trên là a b2, 2 nhưng phản biện ghi là , .a b Bản chất LG không thay đổi, do Tổ 3 xử lý từng điều kiện một, phản biện xử lý gộp 2 điều kiện sau đó mới KL=> Giữ nguyên không sửa.
- Câu 46: Phản biện đề nghị điều chỉnh để giữ nguyên như đề gốc. Tổ 3 đã điều chỉnh câu dẫn trong đề gốc cho chặt chẽ => Giữ nguyên không thay đổi.
SAU ĐÂY LÀ SP ĐÃ ĐIỀU CHỈNH
Câu 3: [2D2-2] Tìm giá trị của a để phương trình
2 3
x
1 a
2 3
x 4 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2, thỏa mãn x1x2 log2 33, ta có a thuộc khoảngA.
; 3
. B.
3;
. C.
0;
. D.
3;
. Lời giảiChọn B.
Ta có :
2 3
x
1 a
2 3
x 4 0
2 3
2x4 2
3
x 1 a 0 1
Đặt t
2 3
x
t0
. Thay vào (1) ta được t2 4t 1 a 0 2
(1) có 2 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
' 0
0 3 1
0
S a
P
Theo giả thiết x1x2 log2 33
2 3
x x12 3 t1 3t2 Kết hợp với định lý Viet từphương trình (2) ta được : 11 2 2 12
1 2
4 3
. 1 1 3;
3 2
t t t
t t a t a
t t a
Câu 4: [2D3-3] Giả sử hàm số y f x
liên tục, dương trên , thỏa mãn f
0 1 và
2'
1
f x x
f x x x
. Khi đó hiệu f
2 2 2f
1 thuộc khoảng A.
2;3 . B.
7;9 . C.
0;1 . D.
9;12 .
Lời giải Chọn C.
Ta có
2
2
' 1
d d ln ln 1
1 2
f x x
x x f x x C
f x x
Mà f
0 1 nên ln1 C C 0. Vậy f x
x21.Suy ra f
2 2 2f
1 3 2 2
0;1 .Bài tập tương tự
Bài 1. Giả sử hàm số y f x
liên tục, dương trên
0;
thỏa mãn (1) 1f và
2 3 0;
f x x f x x . Khi đó tổng f
2 2f
3 thuộc khoảngA.
2;3 . B.
5;6 . C.
0;1 . D.
6;7 .
Bài 2. Giả sử hàm số y f x
có đạo hàm dương trên
0;
thỏa mãn (1) 3f và
2 4 2 1
0;
f x x f x x
. Khi đó hiệu f
3 2f
2 thuộc khoảng A.
12;13 .
B.
10;11 .
C.
13;14 .
D.
9;10 .
Câu 6: [2D3-3] Cho hai đường tròn
O1;5
và
O2;3
cắt nhau tại hai điểm ,A Bsao cho AB là một đường kính của đường tròn
O2;3
Gọi D là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ). Quay D quanh trục O O1 2 ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành.O1
A
O2
B
A. 36. B. 68 3
. C. 14 3
. D. 40 3
.
Lời giải Chọn D
* Cách 1
Chọn trục tọa độ Oxy có gốc tọa độ trùng với tâm đường tròn thứ nhất, trục Ox trùng với
1 2
O O .
Ta có O O1 2 5233 4
Phương trình lần lượt 2 đường tròn là.
2 2 2
1
2 2 2
2
( ) : 25 25
( ) : 4 9 9 4
O x y y x
O x y y x
Vậy thể tích cần tính là:
7 2 2 5 2 2
4 4
7 5
2 2
4 4
9 4 25
9 4 25 40
3
V x dx x dx
x dx x dx
* Cách 2
Chọn hệ tọa độ Oxy với
O O O C Ox O A Oy
2 ,
2 ,
2 .
Đoạn O O1 2 O A1 2O A2 2 5232 4
O1 : x 4
2 y2 25.
Kí hiệu
H1 là hình phẳng giới hạn bởi các đường
O1 : x4
2y225, Oy x: 0, x0.Kí hiệu
H2 là hình phẳng giới hạn bởi các đường
O2 :x2y2 9, Oy x: 0, x0.Khi đó thể tích V cần tìm chính bằng thể tích
V
2 của khối tròn xoay thu được khi quay hình
H2 xung quanh trục Ox trừ đi thể tíchV
1 của khối tròn xoay thu được khi quay hình
H1xung quanh trục Ox.
Ta có 2 1 4. 3 2 .33 18 .
2 3 3
V r
Lại có 1 2 1
2
3 11
0
0 0
4 14
d 25 4 d 25 .
3 3
V
y x
x x x x Do đó 2 1
14 40
18 .
3 3
V V V
Câu 18: [1D1-3] Cho phương trình sin2018xcos2018x2 sin
2020xcos2020x
. Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng
0; 2018 .
A.
1285 2
4
. B. 6432 . C. 6422 . D.
1285 2
2
.
Lời giải Chọn D.
Ta có: sin2018xcos2018x2 sin
2020xcos2020x
2018 2 2018 2
sin x 1 2sin x cos x 2 cos x 1 0
O1 O2
B A
DO1
D
B A
x y
O2O
C
2018 2018
cos 2 sinx x cos x 0
2018 2018
cos 2 0
sin cos
x
x x
cos 2 0 sin cos
sin cos
x
x x
x x
cos 2 0
4 2
x x k k
Vì
0; 2018
0 20184 2
x k 1 2 k 1285
k
0;1;2;...;1284
; ; 2 ; 3 ;...; 1284
4 4 2 4 2 4 2 4 2
x
.
Do đó tổng các nghiệm cần tính là:
2 ... 1284
4 4 2 4 2 4 2
S
1285 1285 2
2 1284 .
2 4 2 2
Bài tập tương tự
Bài 1. Tổng các nghiệm của phương trình sin cosx x sinxcosx 1 trên
0; 2
là:A. . B. 2 . C. 3 . D.4 .
Bài 2. Phương trình 3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
có tổng các nghiệm trên
0; 2
là:A.9 5
. B. 9
15
. C. 10 3
. D. 10 6
. Bài 3. Phương trình sin2 1 2 sin cos2 1
x 4 x x
có tổng các nghiệm trong khoảng 0; 2
là:
A. 0. B.
2
. C.
4
. D.
3
. Bài 4. Tổng các nghiệm của phương trình
10 10 6 6
2 2
sin cos sin cos
4 4cos 2 sin 2
x x x x
x x trên
0; 2018 bằng
A.
12842
4
. B. 826225
2
. C. 826225 4
. D.
12852
4
.
Câu 20: [2H2-3] Cho tứ diện đều ABCD. Khi quay tứ diện đó quanh trục AB có bao nhiêu hình nón khác khau được tạo thành
A. Một. B. Hai. C. Không có hình nón nào. D. Ba.
Lời giải Chọn B.
Tứ diện đều có các cạnh bằng nhau (4 mặt là tam giác đều) , nên ta có thể biểu diễn lại hình như sau, khi quay quanh cạnh AB.
AC=BC=AB=AD=BC và AB^CD Ta nhận thấy có 2 hình nón được tạo thành Hình nón thứ 1: có h1=AH, r1=CH Hình nón thứ 2: có h2=BH , r2=BH
Bài tập tương tự
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC, SA^(ABC), đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, cạnh
2 3
SA= a . có bao nhiêu mặt nón khác khau được tạo thành khi quay hình chóp S.ABC quanh cạnh AB
A. Một. B. Hai. C. Không có hình nón nào. D. Ba.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD, SA^(ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật, SA=AB. có bao nhiêu hình nón cụt khác khau được tạo thành khi quay hình chóp S.ABCD quanh cạnh AD
A. Một. B. Hai. C. Ba. D. Không có hình nón nào.
Câu 22: [2H1-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. có AB1,AC2,AA 3 và BAC 120o. Gọi ,
M N lần lượt là các điểm trên cạnh BB,CC sao cho BM 3B M ,CN 2C N . Tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
A BN
.A. 9 138
184 . B. 3 138
46 . C. 9 3
16 46 . D. 9 138 46 . Lời giải
Chọn A
Ta có BC 7,BN 11,A N 5,A B 10. 46
A BN 2
SΔ .
.
. . . C .
3 3 3 3 3
. . .
4 4 4 3 8
ABC A B C
M A BN N A BM N A BB A BB
V V V V V .
.3.3 3
3. 8 9 138
d ;
46 184 2
M A BN A BN
M A BN V
S
Δ
. Bài tập tương tự
Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. có AB1,AC 2,AA 3 và BAC 120. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh BB,CC sao cho BM 3B M ,CN 2C N . Tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
A MN
.A. 3 93
31 . B. 6 93
31 . C. 9 93
31 . D. 12 93
31 .
Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A.
3 6
AA AB a. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh BB,CC sao cho BM MB, CN3NC. Tìm khoảng cách từ N đến mặt phẳng
A MC
.A. 8 7
a. B. 7
8
a. C. 4
7
a. D.
4 2
7 a .
Câu 24: [2D2-3] Cho các số thực dương a b, thỏa mãn
a b
a b
16 20 252
log log log
3 . Tính tỉ số
a T b. A. 0 T 1
2. B. 1 T 2
2 3. C. 2 T 0. D. 1 T 2. Lời giải
Chọn D.
Đặt tlog16a, ta có
t t
t
a b
a b 16 20
2 3.25
. Suy ra
t t t 5 t 2
2.16 20 3.25
4 3.
a t
T b
4 3
5 2. Do đó 1 T 2.
Nhận xét: Việc thiết lập bài toán trên xuất phát từ phương trình .u2t( . )u v tv2t 0. Bài tập tương tự
Bài 1. Cho các số thực dương a b, thỏa mãn log9 log21 log493 2 5 a b
a b . Tính tỉ số T b
a. A. 0 T 1
2. B. 1 T 2
2 3. C. 2 T 0. D. 1 T 2. Bài 2. Cho các số thực dương a b, thỏa mãn log4 log10 log253
4
a b a b . Tính tỉ số T b
a. A. 0 T 1
2. B. 1 4
2 T 5. C. 2 T 0. D. 1 T 2. Câu 25: [2D3-4.3-3] Cho hàm số f x
liên tục trên và các tích phân/4
0
(tan )d 4 f x x
và1 2 2 0
( )d 2 1 x f x
x x
. Tính tích phân1
0
( )d f x x
A. 2. B. 6. C. 3. D. 1.
Lời giải Chọn B.
Xét tích phân:
/4
0
(tan )d 4
I f x x
.Đặt 2 d 2
tan d (1 tan )d d
1
t x t x x x t
t
.
Đổi cận: 0 0; 1
x t x 4 t . khi đó :
1 1
2 2
0 0
( ) ( )
d d 4
1 1
f t f x
I t x
t x
Ta lại có:
1 2 2 0
( )d 2 1 x f x
J x
x
10
( )d 6 I J f x x
.Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hàm số f x
liên tục trên thỏa mãn:1
1 3
(3 )d 2 f x x
và 20
(sin ).cos d 2
f x x x
. Tínhtích phân
3
0
( )d f x x
.A. I 8. B. I 4. C. 8
I 3. D. I 2. Bài 2: Cho hàm số f x
liên tục trên thỏa mãn 9
1
d 4
f x x x
và
/2
0
sin cos d 2.
f x x x
Tích phân 3
0
d
I
f x x bằngA. I 2. B. I 6. C. I 4. D. I 10.
Câu 26: [2D3-3] Cho hàm số y f x
với f
0 f
1 1. Biết rằng 1
0
exf x f x dx ea b
với ,a b. Tính Q a 2017b2017.
A. Q220171. B. Q2. C. Q0. D. Q220171.
Lời giải Chọn C.
Ta có 1
1
10 1
0 0 0
x x x x
e f x dx e d f x e f x f x d e
.Suy ra 1
1
100 0
x x x 1.
e f x dx f x d e e f x e
Hay 1
0 x 1
e f x f x dx e ea b
.Suy ra a1,b 1 (do ,a b ).
Suy ra Q a 2017b2017 0.
Bài tập tương tự Bài 1. Cho hàm số y f x
có
0 .f 2 f Tính Q a 2018b2018 biết rằng
2
0
cos sin d .
f x x f x x x a b
A. Q220181. B. Q2. C. Q1. D. Q220181.
Bài 2. Cho hàm số y f x
với f e
f
1 e. Biết rằng
1
ln d .
e f x
f x x x ea b x
Tính2017 2017
. Q a b
A. Q220171. B. Q2. C. Q1. D. Q220171.
Câu 29: [2D4-3] Cho hai số phức z z1; 2 thỏa mãn z1 5 5; z2 1 3i z2 3 6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z1z2
A.5
2 B. 121
6 C. 25
6 D. 49
6 Lời giải
Chọn A
Gọi z1 a1 b i z1, 2 a2b i a b a b2 ( , , ,1 1 2 2). Khi đó z1 5 5
a15
2b12 25.Tập hợp điểm biểu diễn z1 là đường tròn tâm I
5;0 ;
R5Cũng theo giả thiết, ta có:
2
2
2
22 2 2 2 2 2
2 2
1 3 3 6 1 3 3 6
8 6 35 0.
z i z i a b a b
a b
Tập hợp điểm biểu diễn z2là đường thẳng : 8x6y35 0
2 2
5.8 35 15
( , ) ,
8 6 2
d I d I R
1 2
min , 5
z z d I R 2
.
Bài tập tương tự
Bài 1. Cho số phức z thỏa mãn z 1 z 1 4. Gọi m min z và M max z khi đó M n.
A. 2 . B. 2 3 . C. 2 3
3 . D. 3.
Bài 2. Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1. Gọi Mmax z 1 i , m min z 1 i . Tính giá trị của biểu thức
M2n2
A.28 B. 24 C. 26 D. 20
Câu 30. [2H3-3] Trong không gian Oxyz, cho các mặt phẳng
P x y: 2z 1 0,
Q : 2x y z 1 0. Gọi
S là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời
S cắt mặt phẳng
P theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 và
S cắt mặt phẳng
Q theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu
Sthỏa mãn yêu cầu.
A. r 3. B. r 2. C. 3
r 2 . D. 3 2 r 2 . Lời giải
Chọn C.
* Gọi I là tâm của mặt cầu
S . Do I Ox nên ta có I a
;0;0
.* Do
S cắt mặt phẳng
P theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 nên ta có:
2
2
22 2 1 2 1
4 ; 4 4 1
6 6
a a
R d I P R R
* Do
S cắt mặt phẳng
Q theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r nên ta có:
2
22 2 2 2 2 1
; 2
6 r R d I P r R a
* Từ
1 và
2 ta có:
2
2
2 1 2 1 2 2 2 2
4 3 6 24 6 0 2 8 2 0 3
6 6
a a
r a a r a a r
* Để có duy nhất một mặt cầu
S thỏa mãn yêu cầu điều kiện là phương trình
3 có duy nhất một nghiệm a với r0 nên điều kiện là:2 3 2
9 2 0
r r 2
.
Bài tập tương tự
Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho các mặt phẳng
P x: 2y2z 1 0,
Q : 2x y 2z 1 0. Gọi
S là mặt cầu có tâm thuộc trục tung, đồng thời
S cắt mặt phẳng
P theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 và
S cắt mặt phẳng
Q theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu
S thỏa mãn yêu cầu.A. r 3. B. r 11. C. 11
r 3 . D. 11 3 r 3 .
Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho các mặt phẳng
P x y: 2z 1 0,
Q x: 2y z 1 0. Gọi
S là mặt cầu có tâm thuộc trục Oz, đồng thời
S cắt mặt phẳng
P theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 và
S cắt mặt phẳng
Q theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu
S thỏa mãn yêu cầu.A. r 7. B. 7
r 2. C. r7 2. D. 7 2 r 2 .
Câu 33: [2D1-4] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 2sin 1
sin y x
x m
đồng biến trên khoảng 0;
2
? A. 1
2 m 0
hoặc m1. B. 1 m 2.
C. 1
m 2. D. 1
2 m 0
hoặc m1. Lời giải
Chọn D.
* Phân tích:
Hàm số ax b y cx d
(c0, ad bc 0) đồng biến (hoặc nghịch biến) trờn khoảng
K khi và chỉ khi
.0 0
0 0
K d K
y x K y x K c
y x K y x K
Hàm số xác định trên khoảng
hoặc hoặc
Khi giải cỏc bài toỏn trờn, thường mắc một số sai lầm cơ bản sau:
+ Nờu điều kiện để hàm số ax b y cx d
đồng biến (hoặc nghịch biến) trờn khoảng K là y 0 (hoặc y 0) x K.
+ Khụng chỳ ý đến điều kiện: Để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trờn K thỡ trước hết, hàm số phải xỏc định trờn K.
+ Đặt ẩn phụ tsin ,x t cos ,x ttan ,...x mà khụng quan tõm trờn khoảng K thỡ t là hàm số đồng biền (hay nghịch biến) để chuyển đổi sang xột đồng biến hay nghịch biến của hàm ẩn t.
* Lời giải
+ Ta cú
22 1 cos sin
m x
y x m
Hàm số đồng biến trờn khoảng
0;
20;2 2 1 cos
0 0;
sin 2
m x
y x
x m
Hàm số xác định trên khoảng
sin 0;
2
2 1 0
m x
m
vô nghiệm trên
(do cos 0 0;
x x 2
)
0 1
1 0
1 2 1
2 m m m m m
(do khi 0;
x 2
thỡ sinxnhận mọi giỏ trị trờn khoảng
0;1 )Vậy chọn đỏp ỏn D.
Bài tập tương tự
Bài 1. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m sao cho hàm số tan 2 tan y x
x m
đồng biến trờn khoảng 0; .
4
A. m0 hoặc 1 m 2. B. 1 m 2. C. m2. D. m0.
Bài 2. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham số m để hàm số cos 1 cos y x
x m
nghịch biến trờn
; ?
6
A. m1. B. m1. C. 1
2.
m D. 1 2 m 1.
Bài 3. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số yln(cosx 2) mx1 đồng biến trên khoảng ( ; ).
A. 1
; .
3
B. 15
; .
26
C. 1 1
; .
3 3
D. 15 1
; .
26 3
Bài 4. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 x 1 y x x m
nghịch biến trên khoảng
1;1
.A.
3; 2 .
B.
;0 .
C.
; 2 .
D.
; 2 .
Bài 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x m (sinxcos )x đồng biến trên khoảng
;
.A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Bài 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
2 2 3 1
x x m
y x
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
A. m 1. B. m0. C. m1. D. m2.
Câu 40: [1D2-4] Cho tập X
6,7,8,9
, gọi E là tập các số tự nhiên khác nhau có 2018 chữ số lập từ các số của tập X. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập E, tính xác suất để chọn được số chia hết cho 3.A. 1 40351
. 1 .
3 2
B. 1 20171
. 1 .
3 2
C. 1 40361
. 1 .
3 2
D. 1 20181
. 1 .
3 2
Lời giải Chọn A
Trước hết ta tổng quát hóa bài toán như sau:
Gọi An là các tập hợp các số chia hết cho 3, có n chữ số được thành lập từ tập X. Gọi Bn là các tập các số không chia hết cho 3, có n chữ số được thành lập từ tập X.
Với mỗi số thuộc An ta có 2 cách thêm vào cuối một chữ số 6 hoặc 9 để được một số thuộc
1
An và 2 cách thêm 1 chữ số 7 hoặc 8 để được Bn1.
Với mỗi số thuộc Bn ta có một cách là thêm một trong hai chữ số 7 và 8 để được An1 và 3 cách thêm một chữ số (thêm số 6 hoặc 9 hoặc một trong hai chữ số 7 và 8) để được Bn1.
Vậy 1
1
2
2 3
n n n
n n n
A A B
B A B
Bn1 3 An1 4 An Bn 3 An 4 An1
1 5 4 1 5 1 4 2
n n n n n n
A A A A A A
Xét dãy số an An thì ta có a12;a2 6;an 5an14an2;n3
Nên .4 2 1.4
3 3
n n
an An 13
2 4 n
.Vậy ta có A2018 13
2 4 2018
số chia hết cho 3 trong tập E.Số phần tử của không gian mẫu là: n
n E
42018 (số) Gọi A là biến cố “chọn được số chia hết cho 3 trong tập E”.Số phần tử của biến cố A là: n A
A2018 13
2 4 2018
.Xác suất của biến cố A là:
13 1 240351P A n A n
. Bài tập tương tự
Bài 1 (Chọn đội tuyển PTNK, 2009). Tìm số tất cả các số có n chữ số lập từ các chữ số 3, 4,5,6 và chia hết cho 3 .
Lời giải 1. Gọi xn là số các số có n chữ số lập từ
3; 4;5;6
và chia hết cho 3, gọi yn là số các số có n chữ số lập từ
3; 4;5;6
và không chia hết cho 3. Xét 1 số có n chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là x a a 1 2an .Trường hợp 1: a a1 2an13. Khi đó x3an3an
3;6 , do đó có 2 cách chọn an. Như vậy trường hợp này có 2xn1 cách chọn x.Trường hợp 2: a a1 2an1 không chia hết cho 3 . Khi đó ta chỉ chọn được 1 số an
3;4;5;6
để1 2 n 3
x a a a . Do đó trường hợp này có yn1 cách chọn x. Như vậy ta có xn 2xn1yn1.
Tương tự ta thu được: yn 2xn13yn1. Do đó : xn15xn 4xn10.
Giải phương trình sai phân này với chú ý rằng x12, x2 6 ta tìm được: 4 2 3
n
xn .
Lời giải 2. Gọi cn là số các số có n chữ số lập từ các chữ số 3, 4,5,6 và chia hết cho 3 . Gọi là một ghiệm của phương trình 2 1 0. Khi đó: 3 1
1
2 1
0 3 1.Nếu số nguyên dương k3 thì 2kk 1 3, nếu số k* không chia hết cho 3 thì 2kk 1 0. Xét đa thức: P x( )
x3x4x5x6
n. Dễ thấy cn chính là bằng tổng các hệ số của các số mũ chia hết cho3 trong khai triển của P x( ). Nói cách khác, nếu
6
0
( ) n k k
k
P x a x
thì 2 30 n
n k
k
c a
. Mặt khác ta có:
2 6 6 6 20 0 0
(1) ( ) n k n k k n k k
k k k
P P P a a a
6
2
2 30 0
1 3
n n
k k
k k
k k
a a
.Cuối cùng do P(1) 4 n và
3 4 5 6
4 2
( ) n 1 (1 ) n 1
P
2 6 8 10 12 8 2 4
( ) n 1 (1 ) n 1
P nên
2 3 0
4 2
4 2 3
3
n n n
k n
k
a c
.Câu 46: [1D3-4] Cho dãy số ( )un xác định bởi u11, 1 2 *
1 1
2 ;
3 3 2
n n
u u n n
n n
. Khi đó u2018
bằng:
A.
2016
2018 2017
2 1
3 2019
u . B.
2018 2018 2017
2 1
3 2019
u .
C.
2017
2018 2018
2 1
3 2019
u . D.
2017
2018 2018
2 1
3 2019
u .
Lời giải Chọn A.
Ta có: 1 2
1 1
u 2u
3 3 2
n n
n
n n
1 3 2
3 2un 2 1
n n
2 1 2 1
3un 2 3. 1
n n
.
1
1 2 1
2 3 1
n n
u u
n n
1Đặt 1
n n 1 v u
n
, từ
1 ta suy ra: 1 2n 3 n
v v . Do đó
vn là cấp số nhân với 1 11 1
2 2
v u , công bội 2 q3. Suy ra:
1 1
1
. 1 2. 2 3
n n
vn v q
1 1 2 1
1 2 3.
n
un
n
1 2 1 1
2 3. 1
n
un
n
. Vậy
2017 2018
1 2 1
2 3. 2019
u
2016 2017
2 1
3 2019
.
Bài 1: Cho dãy
un thỏa mãn:1
1
2
2 1 1 ( 2 1)
n n
n
u u u
u
, n N*.Tính u2018. A. u2018 7 2. B. u2018 7 5 2.
C. u2018 7 5 2. D. u2018 7 2.
Bài 2: Cho dãy số
un được xác định như sau: 11
2
n n 4 5 u
u u n
(n1). Tính tổng
2018 2 2017
S u u .
A. S2015 3.4 2017. B. S 2016 3.4 2018. C. S2016 3.4 2018. D. S2015 3.4 2017. Câu 49: [2D1-4] Cho hàm số 1
1 y x
x
có đồ thị
C . Giả sử ,A B là hai điểm thuộc
C và đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Dựng hình vuông AEBF .Tìm diện tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF .
A. Smin 8 2. B. Smin 4 2. C. Smin 8. D. Smin 16.
Lời giải Chọn C
Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau là AB EF nên diện tích bằng 1. 2.
S 2 AB Do đó diện tích nhỏ nhất khi AB nhỏ nhất, mà AB2IA nên điều trên tương đương với IA nhỏ nhất với I
1; 1 .Không mất tổng quát giả sử ; 1
1 A a a
a
với a1.
2
2
2 4
1; 1 2
1 1
IA a IA a
a a
Suy ra 1. 2 1.42 8.
2 2
S AB Dễ thấy dấu bằng xảy ra khi a 1 2. Vậy Smin 8.
Bài tập tương tự Bài 1. Cho hàm số 2 1
1 y x
x
có đồ thị
C . Giả sử ,A B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của
C , tìm khoảng cách bé nhất của đoạn AB.A. ABmin 2 6. B. ABmin 3 2. C. ABmin 6. D. ABmin 3 3.
Bài 2. Cho hàm số 1 1 y x
x
có đồ thị
C .Trong tất cả các đường tròn tiếp xúc với hai nhánh của đồ thị
C . Tìm đường tròn có bán kính r nhỏ nhất.A. r 2 2 B. r 1 2 C. r 2 D. r2.