Câu 5: [2D1-3] Biết rằng tất cả các giá trị của m để phương trình
4 6 x x2 3x m x 2 2 3x
có nghiệm là
a b; với ,a b . Tính giá trị của 55 a b
?
A.
3
5. B.
2 5
5 . C.
2
5. D.
5 5 . Lời giải
Chọn C
Điều kiện 2 x 3.
Đặt t x 2 2 3x t2 14 3 x 6 x x2 t2 14 3x 6 x x2
Ta có
1 1
2 2 2 3
t x x
;
1 1
0 0 1 2;3
2 2 2 3
t x
x x
Ta có bảng biến thiên:
-1
5 2 5
2 3
+ t
t' x
0
5
Từ bảng biến thiên ta suy ra t 5;5. Khi đó phương trình có dạng: t214mt
14 5;5 *
t m do t
t
.
Đặt g t
t 14 t
; t 5;5 có g t
1 142 0 t t 5;5.
g t
là hàm đồng biến trên 5;5.
3/2
3 2 3
3 6
+ t
t' x
0
3 Để phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm t 5;5
5
5 9 115; 5g m g m
Vậy
5 2
5 5
a b .
CÁC BÀI TƯƠNG TỰ
Câu 5.1: [2D1-3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 3 x 6 x 18 3 x x 2 m có nghiệm?
A. 2. B. 3 . C. 4. D. 5 .
Lời giải Chọn C
Điều kiện 3 x 6.
Đặt t x 3 6x t2 9 18 3 x x 2 t2 9 2 6 x x2
Ta có
1 1
2 3 2 6
t x x
.
1 1 3
0 0 3;6
2 3 2 6 2
t x
x x
. Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta suy ra t 3;3 2.
Khi đó phương trình có dạng: t2 2t 9 2m 0 t2 2t 9 2m
*3 ∞
0 0
x y'
y
+
+
1/2
y(5) 5
Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm t 3;3 2. Đặt g t
t2 2t 9;t 3;3 2có g t
2t 2 0; t 3;3 2.
g t
là hàm nghịch biến trên 3;3 2
.
Để phương trình (*) có nghiệm t3;3 2 g
3 2 2m g
3 6 2 92 m 3Vậy có 4 giá trị nguyên của mđể phương trình ban đầu có nghiệm.
Câu 5.2: [2D1-3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng
10;10
để bất phương trình
3 1
mx x m có nghiệm ?
A. 9. B. 10. C. 11. D. 19.
Lời giải Chọn B
Điều kiện x3.
Bất phương trình trở thành
1 3
1
x m
x
.
Xét hàm số
1 3
1 y x
x
Tập xác định D
3;
.Ta có
25
2 3 1
y x
x x
.
0 5
y x . Ta có bảng biến thiên:
2 2 ∞
+ ∞
11 3 0
+
7 3
g(b) g'(b) b
0
Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
5 3 1y m m 4 .
Do đó trên khoảng
10;10
có 10 giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm.Câu 8: [2D1-3] Cho hai số thực dương ,a b thỏa mãn 9 3
3 2
1
a b
b
a
. Giá trị lớn nhất của biểu thức S 6a b là
A.
17.
12 B.
82.
3 C.
11.
3 D.
89. 12 Lời giải
Chọn C
Ta có 9 3
3 2
1
a b
b
a
9a3 a
b1 3
b2 27a33a
3b3
3b2
3a 3 3a
3b 2
3 3b 2
(1).
Xét hàm f t
t3 t trên .Ta có f t
3t2 1 0 t Hàm số f t
t3 t đồng biến trên .(1) f
3a f
3b2
3a 3b23 2 3 a b
.
Vậy S 2 3b 2 b g b
với b0.Ta có
3 13 2
g b b
;
0 3 1 03 2
g b b
3b 2 3
7 b 3
. Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta suy ra 0;
11max 3
S max g b
khi 7 b 3
. CÁC BÀI TƯƠNG TỰ
3 1
∞
4
∞
+
0
g(x) g'(x)
x
0
Câu 8.1: [2D1-3] (THPT Trần Phú – Đà Nẵng 2018) Cho hai số thực x, y thỏa mãn
3 2
2y 7y2x 1 x 3 1 x 3 2y 1
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2y là
A. P10. B. P4. C. P6. D. P8.
Lời giải Chọn B
Điều kiện: x
;1
Ta có
3 2
2y 7y2x 1 x 3 1 x 3 2y 1 2y36y27y 3 2 1
x
1 x 1x 2
y1
3 y 1
2 1
x
3 1x (1).Xét hàm f t
2t3t trên .Ta có f t
6t2 1 0 t f t
2t3t đồng biến trên . (1) f y
1
f
1x
y 1 1x y 1 1x. Vậy P x 2 2 1 x g x
với x
;1
.
1 1 0g x 1
x
1 x 1 x 0. Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có Pmax max g x ;1
4
khi x0.
Câu 8.2: [2D1-3] Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn
4 2 3 2
2 1
x y
y x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P y 4x là
A. P 2. B.
5 P 2
. C. P 3. D.
7 P 2
. Lời giải
Chọn B
Ta có
4 2 3 2
2 1
x y
y x
4x33x
y2
2y1 8x36x
2y4
2y1
2x 3 3. 2
x 2y 1
2y 1 3 2y 1 . (1)
Xét hàm f t
t3 3t trên .Ta có f t
3t2 3 0 t Hàm số f t
t3 3t đồng biến trên . (1) f
2x f
2y1
2x 2y1 x 22y1.Vậy P y 2 2y 1 g y
với y
0;
.Ta có
1 2 02 1
g y y
2y 1 2 y 32. Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có 0;
5min 2
P min g y
khi
3 y 2
.
Câu 32. [2H2-3] Một xưởng cơ khí sản xuất những chiếc thùng phi có nắp đậy dạng hình trụ với thể tích mỗi chiếc là 2m3. Người ta nên làm thùng phi với bán kính đáy R và chiều cao h bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?
A. R1 ,m h2m. B. R2 ,m h0,5m . C. R 2 ,m h1m . D. R0,5 ,m h1m.
Lời giải Chọn A.
g(y) g'(y)
2 +∞
0
y 3
2
+
0 +∞
5 2
Để tiết kiệm vật liệu nhất thì diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất .
Thể tích không đổi
2
2
2 2
V R h h
R
.
Ta có
2 2 2
2 2 2
Stp R Rh R
R
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ ba số dương
2 1 1
, , R R R.
Ta có
2 1 1 3 2 1 1
2 2 .3 . . 6
Stp R R
R R R R
.
Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất :
Stp min 6 R 1 h 2.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Câu 32.1.[2H2-4] Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa. Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hoặc hộp sữa có dạng khối trụ. Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì càng thấp càng tốt(tức diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất), nhưng vẫn phải chứa được một thể tích xác định là V cho trước. Khi đó diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất trong hai phương án là
A. 32V2 . B. 63V2 . C. 3 6V3 2 . D. 3 23 V2 . Lời giải
Chọn D.
h
b a
R h
Trường hợp 1: Hộp sữa hình trụ Thể tích không đổi
2 2 2
2
, tp 2 2 2 2
V V
V R h h S R Rh R
R R
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ ba số dương
2 2, ,V V R R R
Ta có
3
2 3 2 2
2 3 2 . . 3 2
tp
V V V V
S R R V
R R R R
(* ) Trường hợp 2: Hộp sữa hình hộp chữ nhật
Thể tích không đổi
; tp 2 2 2 2 . 2 . 2
V V V V V
V abh h S ab a b h ab a b ab
ab ab ab b a
Áp dụng bất đẳng thức Cau chy cho bộ ba số dương ; ; ab V V
a b .
Ta có
3 2
2.33 . . 6
tp
S abV V V
a b
(**).
Xét hai kết quả ta thấy (*) nhỏ hơn
Vậy diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất là
3 2
tp 3 2
S V (đvdt).
Câu 32.2.[2H2-4] Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng r 2m, chiều cao h6m. Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính V .
A. V 329
m3.B. V 323
m3. C. V 323
m3. D. V 329
m2. Lời giải
Chọn A.
Giả sử khối trụ có bán kính đáy và đường cao lần lượt là r h, ', 0
x 2;0 h 6
.Ta có:
2 6 3
6 2
h x
h x
.
Thể tích khối trụ: V x h2 x2
6 3 x
6x23x3 .Ta có
2 4
( ) 12 9 ( ) 0 0
V x x x V x x x 3 .
Khi đó ta có thể suy ra được với 4 x 3
thì V đạt giá trị lớn nhất bằng V 329
m3.
Câu 25: [1D3-3] (KSLẦN 1_THPT NGHÈN_HÀ TĨNH) Cho tam giác ABC cân
AB AC
, cócạnh đáy BC, đường cao AH, cạnh bên ABtheo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tính công bội qcủa cấp số nhân đó.
A.
1 2 1
2
. B. 12 2
2 1
. C. 2
2 1
. D. 2 1 .Lời giải:
Chọn B
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
1 1.5 2 2.5 3
x y
A
B H C
Đặt AB a BC ; 2b a b
0
khi đó AH2 a2b2. Ta có 2 ,b a2b a2, theo thứ tự lậpthành CSN khi và chỉ khi
2 2 1 2
2
1 2
a b
ab a b
a b
. Vì a b 0 nên a
1 2
bthỏa mãn.
Mặt khác aq20bq2 q 2ab 2 12 12 2
2 1
.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Câu 25.1: Độ dài các cạnh của một tam giac ABC lập thành một cấp số nhân. Tam giác ABC có tối đa mấy góc không quá 600?
A. 0 . B. 1. C. 2. D. 3 .
Lời giải Chọn D
Gọi ba cạnh của tam giác là a b c, , ; không mất tính tổng quát giả sử a b c, , theo thứ tự lập thành CSN. Do vậy ta có b2 ac.
Ta lại có:
2 2 2 2 2
2 1 0
cos 60
2 2 2 2
a c b a c ac ac ac
B B
ac ac ac
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi ABC đều, lúc này cả ba góc của tam giác bằng 600. Cách khác: làm trắc nghiệm
Với tam giác ABC đều thì các cạnh tạo thành cấp số nhân có công bội q1 và các góc đều 60o
nên chọn D.
Câu 25.2: Cho tam giác ABC có các cạnh tương ứng là a b c, , . Biết
2
90 ; , , 3 A o a b c
theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm số đo góc B.
A. 30o B. 45o C. 15o D. 60o
Lời giải Chọn D
Vì ABC vuông tại A nên: b2 c2 a2
1Mặt khác theo giả thiết:
2 2
2 3
3 2
ac b b ac
thay vào
1 ta được:2 2 2 2
3 1
2 3 2 0 2
2 2
a c
ac c a a ac c
a c
Vì a c, là các cạnh của một tam giác nên ta có a2c thỏa mãn.
Khi đó
1 0
cos 60
2
B c B
a .
Câu 37: [1H2-3.7-2] (THPT Nghèn – Hà Tĩnh lần 1) Cho hình chóp đều S ABCD. có tất cả các cạnh bằng a, điểm K thuộc cạnh SC sao cho SK 2KC. Mặt phẳng
P chứa AK và song songBD. Tính diện tích của thiết diện của hình chóp S ABCD. cắt bởi
P .A.
3 2
5 a
. B.
2 26 2
15 a
. C.
4 26 2
15 a
. D.
2 3 2
5 a
. Lời giải
Chọn B
Gọi O AC BD, trong mặt phẳng
SAC
gọi O AKSODo mặt phẳng
P chứa AK và song song BD nên mặt phẳng
P SBD
theo giao tuyến là đường thẳng qua O và song song BD, cắt SD, SB lần lượt tại M và N .Vậy thiết diện là tứ giác AMKN
Do hình chóp đều S ABCD. nên SO
ABCD
BD
SAC
MN
SAC
MN AK1 .
AMNK 2
S AK MN
Ta có . . 1
AO O S KC AC O O KS
' 4
4 5
O S SO
O O SO
Mặt khác
4 5 MN SO
BD SO
4 2
5 MN a
Tam giác SAC vuông tại S, nên
2 2 13
AS 3
AK SK a
Vậy
2 2 26
AMNK 15 S a
. Bài tập tương tự:
Câu 37.1:[1H3-3.11-2] Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâmO,
SA ABCD . Đường thẳng SCtạo với đáy một góc 45 . Cắt hình chóp bởi mặt phẳng 0
PquaA vuông góc với SC. Tính diện tích của thiết diện của hình chóp S ABCD. cắt bởi
P .A.
2 2
3 a
. B.
2 2 2
3 a
. C.
4 3 2
3 a
. D.
2 3 2
3 a
. Lời giải
Chọn A
L I
O
C
A B
D S
K H
Gọi K là hình chiếu của Atrên SC. Trong
SAC
gọi I SO AKTa có
BD SA
BD SAC BD AC
BD SC
mặt khác
SC nên BD/ /
Ta có
/ /
I SBD
BD SBD BD
SBD
HL BD H SD L SB/ / , ,
Thiết diện là tứ giác AHKL.
Ta có
/ / HL BD
HL AK BD AK
.
Vậy
1 .
AHLK 2
S AK HL
Ta có
2 2
2 2
2 2
3 3
HL SH SA a
BD SD SD a 2 2 3 HL a
Tam giác SAC vuông cân tại A nên AK a
Vậy
2 2
AHLK 3 S a
Câu 37.2:[1H3-3.9-3] Cho hình chóp đều .S ABCD. Thiết diện qua đỉnh A và vuông góc với cạnh bên SC có diện tích thiết diện đó bằng nửa diện tích đáy. Gọi là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính
.
A.
1 33
arcsin
4
. B.
1 33
arcsin
8 . C.
1 33
arcsin
8
. D.
2 33
arcsin
8
.
Lời giải Chọn B
Đặt cạnh đáy hình vuông ABCD là aAC a 2.
Giả sử thiết diện qua A là cắt SC, SB, SD lần lượt tại K, N, M . Theo giả thiết SC
ANKM
MNSC.Mặt khác: BDSC(vì BD
SAC
) MN BD// MN
SAC
MN AK1 .
ANKM 2
S AK MN
.
sin 2 sin
SCA AK AC a
.
MN SO SO OO 1 OO
BD SO SO SO
(vì AO O ACK ; với O MNAK).
2
1 2 cot
1 2 cot 1 2 1 cot
2 tan
MN a
OO a
BD OC
.
1 cot2
2 1 cot
2
0 2MN BD a
.
Ta có SAMKN 12SABCD 12AK MN. 12a2 a 2 sin . a 2 1 cot
2
a2
2
22 2sin 1 sin 4sin sin 2 0 0
2
1 33 1 33
sin arcsin
8 8
.