Các Dạng Toán đường Tiệm Cận Của đồ Thị Hàm Số – Lê Bá Bảo

(1)

Gi G i ỏo ỏ o v vi iờ ờ n: n : L Lấ ấ B BÁ Á B BẢ ẢO O_ _ T Tr rư ườ ờn ng g T TH HP PT T Đ Đặ ặn ng g H Hu uy y T Tr rứ ứ, , H Hu uế ế

S SĐ ĐT T: : 09 0 93 35 5. . 78 7 85 5. .1 1 1 1 5 5 Đ Đị ị a a c ch hỉ ỉ : : 1 11 1 6/ 6 /0 04 4 N Ng gu uy yễ ễn n L Lộ ộ T Tr rạ ạ ch c h, , T TP P H Hu uế ế

Tr T ru un ng g t tõ õm m B BD DK KT T 8 8 7 7 B Bự ựi i T T hị h ị X Xu uõ õn n, , T T P P H H uế u ế

Bài viết chuyên đề:

KHảO SáT HàM Số

Đ-ờng tiệm cận

Luyện thi THPT 2017_2018

Huế, tháng 9/2017

(2)

Giỏo viờn: Lấ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giỏo viờn trẻ TP Huế ...1 Page: CLB GIÁO VIấN TRẺ TP HUẾ

CHUYÊN Đề TRắC NGHIệM

Môn: Toán 12 CB Chủ đề: Đ-ờng tiệm cận

Dành tặng cho cỏc em học sinh đang sợ Toỏn, yếu Toỏn và đang loay hoay về Toỏn! Cố lờn cỏc em!

Giỏo viờn: Lấ BÁ BẢO Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế SĐT:

0935.785.115

Địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế Dạng toỏn 1: Tìm đ-ờng tiệm cận của đồ thị hàm số.

Phương phỏp:Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

^.

+) Đường thẳng x a  được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số khi một trong cỏc điều kiện sau được thỏa món:

lim

x a_y

   lim

x a_y

   lim

x a_y

   lim

x a_y

  

+) Hàm số ^{f x}

 

xỏc định trờn khoảng K "cú chứa kớ hiệu  hoặc . Đường thẳng y b  được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số khi một trong cỏc điều kiện sau được thỏa món:

lim

x y b

  lim

x y b

 

Cõu 1. Tỡm cỏc đường tiệm cận của đồ thị hàm số ² ¹. 1 y x

x

 



A. x1; x2. B. y1; x2. C. x1; y2. D. x1; x 2.

Lời giải:

+) Ta cú:

lim1 1

x _y x

     là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta cú: lim 2 2

x y y

    là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn đỏp ỏn C.

Sử dụng mỏy tớnh cầm tay:

Nhập biểu thức hàm số ² ¹ 1 y x

x

 

 vào mỏy tớnh:

a2Q)+1RQ)p1

+) Tỡm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:

Nghiệm của mẫu thức x1 : Nhập x0,99999999

(3)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...2

r0.9999999=

Kết quả:

1

lim 1

x _y x

+) Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: Nhập x10 .¹⁰

r10^10)=

Kết quả: lim 2 2

x y y

Câu 2. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ³ ¹. 2 y x

x

 



A. x2; x3. B. y2; x3. C. x3; y2. D. x2; y3.

Lời giải:

+) Ta có:

lim2 2

x _y x

+) Ta có: lim 3 3

x y y

Chọn đáp án D.

Câu 3. (Đề THPT Quốc gia 2017) Đồ thị hàm số ₂ ² 4 y x

x

 

 có mấy tiệm cận?

A.0. B.3. C. 1 . D. 2 .

Lời giải:

Ta có: ^y^_x₂^x^²_x₂

1 ; 2.

2 x

x  

 +) Ta có:

 ₂  ₂

lim lim 1 2

x x

y x

 

      

 và

 ₂  ₂

lim lim 1 2

2

x x

y x

 x

         

 là đường tiệm

cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: lim 0

x y

  và  y 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 4. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ² ¹. 1 y x

x

 



A. x1; x2. B. x1; y2. C. x 1; y 2. D. x1; y 2.

Lời giải:

+) Ta có:

lim1 1

x _y x

     là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: lim 2 2

x y y

      là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

(4)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...3

Câu 5. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ⁴ ². 3 2 y x

x

 

 A. ³; ⁴.

2 3

x y B. ³; ⁴.

2 3

x x C. ³; 2.

x2 y  D. ³; 2.

x 2 y Lời giải:

+) Ta có:

3 2

lim 3

x 2

y x

 

  

    là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: lim 2 2

x y y

Chọn đáp án C.

Câu 6. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số x ¹.

y x

 

A. x0; y1. B. x1; x0. C. x 1; y1. D. x0; y 1.

Lời giải:

+) Ta có:

lim0 0

x _y x

+) Ta có: lim 1 1

x y y

Chọn đáp án A.

Câu 7. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ² ¹ 2 y x

x

 

 là đường thẳng nào sau đây?

A. x 2. B. x2. C. y 2. D. y2.

Lời giải:

Ta có: lim 2 2

x y y

Câu 8. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ² ⁵ 2 y x

x

 

 là đường thẳng nào sau đây?

A. x 2. B. x2. C. y 2. D. y2.

Lời giải:

Ta có:

lim2 2

x _y x

      là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 9. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ₂ ¹ . 4 y x

x

 

 A. x2; y0. B. x 2; x2.

(5)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...4 C. x 2; x2; x0. D. x 2; x2; y0.

Lời giải:

+) Ta có:

2 2

lim ; lim 2; 2

x _y x _y x x

          là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: lim 0 0

x y y

Câu 10. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ₂ ³ .

3 2

y x

x x

 

  A. x1; y0. B. x1; x2.

C. x1; x2; x0. D. x1; x2; y0.

Lời giải:

+) Ta có:

1 2

lim ; lim 1; 2

x _y x _y x x

         là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: lim 0 0

x y y

Câu 11. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ₂ ² .

4 3

y x

x x

 

  A. x1; y0. B. x1; x3.

C. x1; x3; x0. D. x1; x3; y0.

Lời giải:

+) Ta có:

1 3

lim ; lim 1; 3

x _y x _y x x

         là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: lim 0 0

x y y

Câu 12. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ²₂ . 9 y x

x

 

 A. x3; y0. B. x 3; x3.

C. x 3; x3; x0. D. x 3; x3; y0.

Lời giải:

+) Ta có:

3 3

lim ; lim 3; 3

x _y x _y x x

          là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

(6)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...5 +) Ta có: lim 0 0

x y y

Câu 13. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 2

2 .

4 3

x x

y x x

  

  A. x3; y0. B. x1; x3.

C. x1; x3; y0. D. x1; x3; y1.

Lời giải:

+) Ta có:

1 3

lim ; lim 1; 3

x _y x _y x x

+) Ta có: lim 1 1

x y y

2 2

2 1

5 6.

x x

y x x

  

  A. x2; y0. B. x2; x3.

C. x2; x3; y0. D. x2; x3; y2.

Lời giải:

+) Ta có:

2 3

lim ; lim 2; 3

x _y x _y x x

+) Ta có: lim 2 2

x y y

Câu 15. Cho hàm số

 

² ¹^.

1 f x x

x

 

 Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị ^{f x}

 

có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang.

B. Đồ thị ^{f x}

 

không có tiệm cận ngang và có một tiệm cận đứng.

C. Đồ thị ^{f x}

 

không có tiệm cận đứng và có một tiệm cận ngang.

D. Đồ thị ^{f x}

 

không có tiệm cận.

Lời giải:

Ta có:

2 1

1, 1.

1

y x x x

x

     



Do không tồn tại số a sao cho: lim ; lim ; lim ; lim

x a_y x a_y x a_y x a_y

           

nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

(7)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...6 Mặt khác, lim

x y

   và lim

x y

   nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Câu 16. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ₂ ¹ . 1 y x

x

 

 A. x1; y0. B. x 1; x1; y0.

C. x 1; y0. D. x1; x 1; y1.

Lời giải:

Ta có: ₂ ¹ ¹ , 1.

1 1

y x x

x x

    

  +) Ta có:

1

lim 1

x _y x

      là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: lim 0 0

x y y

Câu 17. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ₂ ² .

3 2

y x

x x

 

  A. x1; y0. B. x 1; x 2; y0.

C. x 1; y0. D. x1; x2; y0.

Lời giải:

Ta có: ^y^ ^x²^^x³^^x²^²^



^x^¹^x



^²^x^²



^ ^x¹^¹^, ^{ }^x ^2.

+) Ta có:

1

lim 1

x _y x

     là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: lim 0 0

x y y

2 2

4 .

3 2

y x

x x

 

  A. x1; y1. B. x 1; x 2; y1.

C. x 1; y1. D. x1; x2; y1.

Lời giải:

Ta có:

  

2 2

4 2

, 2.

1

1 2

3 2

x x

y x

x

x x

 

    



 

  +) Ta có:

1

lim 1

x _y x

     là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: lim 1 1

x y y

(8)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...7 Câu 19. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 2

3 2

1 .

x x

y x

 

 

A. x1; y 1. B. x 1; x1; y 1.

C. x 1; y 1. D. x 1; x1; y 1.

Lời giải:

Ta có:

  

2 2

1 2

3 2 2

, 1.

1 1 1 1

x x

x x x

y x

x x x x

 

  

    

  

 +) Ta có:

1

lim 1

x _y x

      là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: lim 1 1

x y y

2 3

3 2

1 .

x x

y x

 

 

A. x1; y0. B. x 1; x1; y0.

C. y0. D. x 1; x2; y0.

Lời giải:

Ta có:

  

   

2

3 2 2

1 2

3 2 2

, 1.

1 1 1 1

x x

x x x

y x

x x x x x x

 

  

    

     

+) Ta có: lim 0 0

x y y

2 3

3 2

x x .

y x x

 

 

A. x1; y0. B. x 1; x1; x0; y0.

C. y0. D. x 1; x0; y0.

Lời giải:

Ta có:

  

    

2 3

1 2

3 2 2

, 1.

1 1 1

x x

x x x

y x

x x x x x

x x

 

  

    

  

 +) Ta có:

0 1

lim ; lim 0; 1

x _y x _y x x

          là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: lim 0 0

x y y

(9)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...8 Câu 22. (NC) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2 1 2 2 4.

y x   x  x

A. x1; y 1. B. y 1; y1.

C. y0. D. y2; y 2.

Lời giải:

+) Ta có:

2 2

2 3

lim lim lim 1 1

1 2 4

1 2 4 1 1

x x x

x x

y y

x x x

x

x x

  

 

    

       

là

đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) Ta có:

2 2

2 3

lim lim lim 1 1

1 2 4

1 1

x x x

x x

y y

x x x

x

x x

  

 

      

        

là

đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án B.

Sử dụng máy tính cầm tay:

Nhập biểu thức hàm số y x² 1 x²2x4 vào máy tính:

sQ)d+1$psQ)dp2Q)+4

Nhập x10 .¹⁰

r10^10)=

Nhập x 10 .¹⁰

rp10^10)=

Vậy y1; y 1 là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Chú ý: Nếu nhập x10¹⁵ kết quả lại cho ra !!!

(10)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...9 và nếu nhập x 10¹⁵ kết quả lại cho ra !!!

Kinh nghiệm của học sinh: Nhập các giá trị tối đa là 10 và ¹² 10 .¹²

Câu 23. (NC) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2 2

2 3 4 7.

y x  x  x  x

A. x3; y 3. B. y 1; y1.

C. y0. D. y3; y 3.

Lời giải:

+) Ta có:

2 2

6 4

lim lim lim 3 3

2 3 4 7

1 1

x x x

x x

y y

x x x x

  

 

    

         

là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) Ta có:

2 2

6 4

lim lim lim 3

2 3 4 7

2 3 4 7 1 1

x x x

x x

y

x x x x

  

 

   

          

3

  y là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Sử dụng máy tính cầm tay:

Nhập biểu thức hàm số y x² 2x 3 x²4x7 vào máy tính:

sQ)d+2Q)+3$psQ)dp4Q)+7

Nhập x10 .¹⁰

r10^10)=

Nhập x 10 .¹⁰

rp10^10)=

(11)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...10 Câu 24. (NC) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 4

1 . y x

x

 

 A. x1; y1. B. x1; y 1; y1.

C. y 1; y1. D. x1; x2; y1.

Lời giải:

Tập xác định của hàm số: ^D      



^{; 2} ^2;



^. +) Ta có:

1

lim

x _y

 và

1

lim

x _y

 không tồn tại nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

+) Ta có:

2 2

1 4

lim lim 4 lim 1

1 1

x x x 1

x x

y x

x

  

 

  

 

và

2 2

1 4

lim lim 4 lim 1

1 1

x x x 1

x x

y x

x

  

 

    

 

1, 1

y y

    là các đường tiệm cận ngang

của đồ thị hàm số.

Sử dụng máy tính cầm tay:

Nhập biểu thức hàm số

2 4

1 y x

x

 

 vào máy tính:

asQ)dp4RQ)p1

Nhập x1,000000001

r1.000000001=

Nhập x0,999999999.

r0.999999999

(12)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...11

Nhập x10 .¹⁰

r10^10)=

Nhập x 10 .¹⁰

rp10^10)=

Câu 25. (NC) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

4 2

1 . y x

x

 

 A. x1; y1. B. x1; y 1; y1.

C. y 1; y1. D. x1.

Lời giải:

Tập xác định của hàm số: ^D^{ }_ ^{2; 2 \ 1}^_

 

"không chứa kí hiệu   ; " nên đồ thị hàm số không tồn tại tiệm cận ngang (theo định nghĩa).

+) Ta có:

2

1 1

lim lim 4 1

x x

y x

  x

 

   

 và

2

1 1

lim lim 4 1

1

x x

y x x

  x

 

     

 là đường tiệm cận

đứng của đồ thị hàm số.

Sử dụng máy tính cầm tay:

Nhập biểu thức hàm số

4 2

1 y x

x

 

 vào máy tính:

as4pQ)dRQ)p1

Nhập x1,000000001

r1.000000001=

Dự đoán

lim1 .

x _y

  

Nhập x0,999999999.

r0.999999999

(13)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...12 Dự đoán

1

lim .

x _y

  

Nhập x10 .¹⁰

r10^10)=

Nhập x 10 .¹⁰

rp10^10)=

Vậy x1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 26. (NC) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 4 1 1 .

x x

y x

 

 

A. x 1; y1. B. x1; y 1; y1.

C. y 1. D. x 1.

Lời giải:

Tập xác định của hàm số: ^D^{  }_^0;



^.

+) Ta có:

1 1

lim ; lim

x _y x _y

  không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

+) Ta có:

1 4 1

4 1

lim lim lim

1 1

. 1

x x x

x x

y x

x x

  

 

 

 

   

 

 

1 4 1

lim 1 1

1 1

x

x y

x



 

     



là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Nhận xét: Do tập xác định của hàm số là ^D^{  }_^0;



nên không tồn tại lim .

x y



Sử dụng máy tính cầm tay:

Nhập biểu thức hàm số 4 1

1

x x

y x

 

  vào máy tính:

asQ)$ps4Q)+1RsQ)+1

(14)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...13

Nhập x 1,000000001

rp1.000000001=

Nhập x 0,999999999.

rp0.999999999

Nhập x10 .¹⁰

r10^10)=

Nhập x 10 .¹⁰

rp10^10)=

Vậy y 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 27. (NC) Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số ₂ 3 3 2. y x

x x

 

 

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải:

Phân tích: Xét mẫu thức:

2 2 1

3 2 0 3 2 0 2 1 1 2.

2

x x x x x x x x x

x

                  

  +) Ta có:

2 1 1 2

lim ; lim ; lim ; lim 2; 1; 1; 2

x _y x _y x _y x _y x x x x

                   là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: lim 0 0

x y y

    là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số đã cho có 5 đường tiệm cận.

(15)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...14 Nhận xét: Do tập xác định của hàm số là ^D^{  }_^0;



nên không tồn tại lim .

x y



Sử dụng máy tính cầm tay:

Nhập biểu thức hàm số 4 1

1

x x

y x

 

  vào máy tính:

aQ)+3RQ)dp3qcQ)$+2

Nhập x 1,99999999

rp1.99999999=

Dự đoán

2

lim .

x _y

  

Nhập x 0,99999999

rp0. 99999999=

Dự đoán

1

lim .

x _y

  

Nhập x1,000000001

r1.000000001=

Dự đoán

lim1 .

x _y

  

Nhập x2,000000001

r2.000000001=

Dự đoán

2

lim .

x _y

  

Vậy x 2; x 1; x1; x2 là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Nhập x10 .¹⁰

r10^10)=

(16)

Giỏo viờn: Lấ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giỏo viờn trẻ TP Huế ...15 Dự đoỏn lim 0.

x y

  Vậy y0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó cho.

Dạng toỏn 2: Các bài toán liến quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số.

Cõu 28. Tớnh diện tớch S hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc trục tọa độ và đường tiệm cận của đồ thị hàm số ² ¹.

1 y x

x

 



A. S2. B. S1. C. S4. D. S6.

Lời giải:

+) Ta cú:

1

lim 1

x _y x

+) Ta cú: lim 2 2

x y y

Suy ra: S 1 . 2 2.

Chọn đỏp ỏn A.

Cõu 29. Tớnh diện tớch S hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc trục tọa độ và đường tiệm cận của đồ thị hàm số ² ¹.

3 y x

x

 



A. S3. B. S9. C. ³.

S 2 D. S6.

Lời giải:

+) Ta cú:

3

lim 3

x _y x

+) Ta cú: lim 2 2

x y y

Suy ra: S 2 . 3 6.

Chọn đỏp ỏn D.

Nhận xột:

Đồ thị hàm số y ^{ax b} cx d

 

 cú tiệm cận đứng xA và tiệm cận ngang là yB. Diện tớch hỡnh phẳng (hỡnh chữ nhật) giới hạn bởi cỏc đường thẳng xA y, B và cỏc trục tọa độ là S A B. .

x y

B C O A

Cõu 30. Đồ thị hàm số nào sau đõy cú số đường tiệm cận đứng ớt nhất?

A.

 

²₂ ¹^.

1 f x x

x

 

 B.

 

2²

2 1

1 . g x x

x

 

 C.

 

₂ ¹ ^.

1 h x x

x

 

 D.

 

²₄ ¹^.

1 k x x

x

 



(17)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...16 Lời giải:

Kiểm tra được đồ thị các hàm số ^{f x}

     

^, ^{g x} ^, ^{k x} có hai đường tiệm cận đứng.

Xét

 

₂ ¹ ¹ ^; ¹

1 1

h x x x

x x

    



 nên đồ thị hàm số ^{h x}

 

có duy nhất đường tiệm cận đứng.

Câu 31. Đồ thị hàm số nào sau đây có số đường tiệm cận nhiều nhất?

A.

 

2

1 . 1 f x x

x

 

 B.

 

¹^.

1 g x x

x

 

 C.

 

2

1 . h x 1

 x

 D.

 

4

1 . 1 k x x

x

 

 Lời giải:

+) Đồ thị

 

¹

1 g x x

x

 

 có hai đường tiệm cận là x1; y1.

+) Hàm số

 

₂ ¹ ¹ ^; ¹

1 1

f x x x

x x

     



 nên đồ thị có hai đường tiệm cận là x1; y0.

+) Hàm số ^{k x}

 

^ ^x^x⁴^^¹¹^



^x²^¹¹

 

^x^¹



^; ^{  }^x ¹ nên đồ thị có hai đường tiệm cận là 1; 0.

x y +) Xét

 

2

1 h x 1

 x

 nên đồ thị hàm số ^{h x}

 

có hai đường tiệm cận đứng là x 1; x1 và có một đường tiệm cận ngang là y0.

Câu 32. Xác định tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số ² ¹. 3 y x

x

 



A.

 

^{2; 3 .} ^B.

 

^{3;1 .} ^C.

 

^{3; 2 .} ^D.



^{ }^{2; 3 .}



Lời giải:

+) Ta có:

lim3 3

x _y x

+) Ta có: lim 2 2

x y y

Suy ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho là ^I

 

^{3; 2 .}

Lưu ý: TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẤT BIẾN LÀ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA NÓ.

Suy ra: Đồ thị hàm số ^y ^{ax b}^;



^{ad bc c}^; ⁰



cx d

   

 có hai đường tiệm cận là xA y; B nên có tâm đối xứng là ^{I A B}



^;



^.

(18)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...17 Câu 33. Xác định tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số ² ¹.

1 y x

x

 



A.

 

^{2;1 .} ^B.



^^{2;1 .}



^C.

 

^{1; 2 .} ^D.



^{ }^{2; 1 .}



Lời giải:

+) Ta có:

1

lim 1

x _y x

+) Ta có: lim 2 2

x y y

Suy ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho là ^I

 

^{1; 2 .}

Câu 34. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

1 y x m

x

 

 có hai đường tiệm cận.

A. ^{ }_ ^1;



^. ^B.



_{ }^{;1 .} ^C.



^{ }^;



^. ^D.^^{\ 1 .}

 

^

Lời giải:

Đồ thị hàm số ^y ^{ax b}^;



^{ad bc c}^; ⁰



cx d

   

 có hai đường tiệm cận khi chỉ khi ad bc 0.

Yêu cầu bài toán         ¹ ^m ⁰ ^m ¹ ^m ^{\ 1 .}

 



2

4 y x m

x

 

 có hai đường tiệm cận.

A. ^{ }_^2;



^. ^B.



_{ }^{; 2 .} ^C.



^{ }^;



^. ^D.^^{\ 2, 2 .}



^



Lời giải:

Đồ thị hàm số ^y ^{ax b}^;



^{ad bc c}^; ⁰



cx d

   

 có hai đường tiệm cận khi chỉ khi ad bc 0.

Yêu cầu bài toán ⁴ ² ⁰ ² ^{\ 2, 2 .}

 

2

m m m

m

  

       

2

y 2

x mx m

   có ba đường tiệm cận.

A.



^^{; 0}

 

^ ^4;^



^. ^B.

 

^{0; 4 .}

C. 0; 4 . D.



    ^{; 0} ^4;



^.

(19)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...18 Lời giải:

Ta có: lim lim ₂ ² 0; lim lim ₂ ² 0 0

x y x x y x y

x mx m x mx m

         

    là tiệm cân ngang

duy nhất của đồ thị. Vậy để đồ thị có ba đường tiệm cận khi chỉ khi x²mx m 0 có hai nghiệm phân biệt.

Yêu cầu bài toán ^{  }^m²^⁴^m^{   }⁰ ^m



^{; 0}

 

^ ^4;^



^.

2

2 y x

x mx m

 

  có ba đường tiệm cận.

A.



^{; 0}

 

^4;



^\ ⁴ ^.

3

 

    

  B.

 

^{0; 4 .}

C. 0; 4 . D.



^{; 0} ^4;



^\ ⁴ ^.

3

 

       

  Lời giải:

Ta có: lim lim ₂ ² 0; lim lim ₂ ² 0 0

x x x x

x x

y y y

x mx m x mx m

   

 

     

    là tiệm cân ngang

duy nhất của đồ thị. Vậy để đồ thị có ba đường tiệm cận khi chỉ khi x²mx m 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2.

Yêu cầu bài toán ² ⁴ ⁰



^{; 0}

 

^4;



^\ ⁴ ^.

4 2 0 3

m m

m m m

     

          



^x¹



²² ¹

y

m x

 

  có hai đường tiệm cận ngang.

A.



^^{;1 .}



^B.

 

^{1; 4 .} ^C.^_^{1; 4 .}^_ ^D.



^1;^



^.

Lời giải:

+) Xét m1 : y x 2 nên trong trường hợp này đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

+) Xét m1 : Hàm số có tập xác định là 1 1

1 ; 1

D m m

 

  

 

  nên trong trường hợp

này đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

(20)

Giỏo viờn: Lấ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giỏo viờn trẻ TP Huế ...19 +) Xột m1 : Hàm số cú tập xỏc định là 1 1

; ;

1 1

D m m

   

     

 

    và xột cỏc

giới hạn sau:

+)

 

²

2

1 2

2 1 1

lim lim lim

1 1 1

1 1

1

x x x

x x

y y

m m

m x

  

 

    

 

   

là tiệm cận

ngang của hàm số khi x .

+)

 

²

2

1 2

2 1 1

lim lim lim

1 1 1

x x x

x x

y y

m m

m x m

x

  

 

      

 

    

là tiệm

cận ngang của hàm số khi x .

Chọn đỏp ỏn D.

Kỹ năng: Dựa vào bảng biến thiên và đồ thị hàm số.

Cõu 39. Cho hàm số ^{f x}

 

cú bảng biến thiờn như hỡnh vẽ.

x  2 

 

'

f x  

 

f x

1 

 1

Khẳng định nào sau đõy đỳng?

A. Đồ thị của ^{f x}

 

cú đỳng một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.

B. Đồ thị của ^{f x}

 

khụng cú tiệm cận ngang và cú một tiệm cận đứng.

C. Đồ thị của ^{f x}

 

cú đỳng hai tiệm cận ngang và khụng cú tiệm cận đứng.

D. Đồ thị của ^{f x}

 

cú đỳng hai tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiờn:

+) Ta cú:

2 2

lim ; lim 2

x _y x _y x

        là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta cú: lim 1; lim 1 1

x y x y y

      là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn đỏp ỏn A.

(21)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...20 Câu 40. Cho hàm số ^{f x}

 

có bảng biến thiên như hình vẽ.

x  1 1 

y   0 

y

0 



2

4

Khẳng định nào sau đây đúng?

 

có đúng một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.

 

không có tiệm cận ngang và có một tiệm cận đứng.

 

có đúng hai tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.

 

có đúng hai tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên:

+) Ta có:

1 1

lim ; lim 1

x _y x _y x

         là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: lim 4; lim 0 4; 0

x y x y y y

       là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 41. (Đề minh họa) Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

^có_x^lim_ ^{f x}

 

^¹^và_x^lim_ ^{f x}

 

^{ }¹^{. Khẳng}

định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường y1 và y 1. D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường x1 và x 1. Lời giải:

Do _x^lim_ ^{f x}

 

^¹ nên theo định nghĩa, ta có y1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do _x^lim_ ^{f x}

 

^{ }¹ nên theo định nghĩa, ta có y 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị của hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là y1 và y 1.

(22)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...21 Câu 42. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

^có _x^lim_^y^²^và _x^lim_^y^{ }². Khẳng định nào sau đây

đúng?

 

không có tiệm cận ngang.

 

có đúng một tiệm cận ngang.

 

có đúng hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x 2; x2.

 

có đúng hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y 2; y2.

Lời giải:

+) Ta có: lim 2; lim 2 2; 2

x y x y y y

         là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 43. Cho hàm số ^{f x}

 

có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có mấy đường tiệm cận?

x 1 2 

 

'

f x  

 

f x

 ⁵

 1

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải:

+) Ta có:

1 2

lim ; lim 1; 2

x _y x _y x x

         là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: lim 1 1

x y y

Câu 44. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên dưới đây?

x  1 

 

'

f x  

 

f x

2 

 2

A. ² ¹. 1 y x

x

 

 B. ² ¹. 1 y x

x

 

 C. ².

1 y x

x

 

 D. ¹.

2 y x

x

 



(23)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...22 Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x1 và tiệm cận ngang y2.

Câu 45. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên dưới đây?

x  2 

 

'

f x  

 

f x

3 

 3

A. ² ¹. 3 y x

x

 

 B. ³ ¹⁰. 2 y x

x

 

 C. ³ ².

2 y x

x

 

 D. ² ².

3 y x

x

 

 Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x2 và tiệm cận ngang 3.

y

Suy ra loại các đáp án A, D.

Mặt khác, dựa vào đồ thị hàm số suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên



^^{; 2}



^và



^2;^{ }



chọn đáp án C.

 

có đồ thị được minh họa như hình vẽ sau:

x 2

y

O 1

 

có một tiệm cận đứng là đường thẳng x1 và một đường tiệm cận ngang là đường thẳng x2.

 

có một tiệm cận đứng là đường thẳng x1 và một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y2.

 

có một tiệm cận đứng là đường thẳng y2 và một đường tiệm cận ngang là đường thẳng x1.

(24)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...23 D. Đồ thị của ^{f x}

 

có một tiệm cận đứng là đường thẳng x 1 và một đường

tiệm cận ngang là đường thẳng y2.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị:

+) Ta có:

1 1

lim ; lim 1

x _y x _y x

        là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: lim 2; lim 2 2

x y x y y

      là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

 

có đồ thị được minh họa như hình vẽ sau:

x y

-1

-2 2

1 O

 

chỉ có một tiệm cận đứng là đường thẳng x2 và một đường tiệm cận ngang là đường thẳng x2.

 

có hai tiệm cận đứng là đường thẳng x2; x 2 và có duy nhất một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y1.

 

có hai tiệm cận đứng là đường thẳng x2; x 2 và có hai đường tiệm cận ngang là đường thẳng y1; y 1.

 

có một tiệm cận đứng là đường thẳng x 1 và một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y2.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị:

+) Ta có:

2 2

lim ; lim 2; 2

x _y x _y x x

          là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

(25)

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... CLB Giáo viên trẻ TP Huế ...24

+) Ta có: lim 1; lim 1 1; 1

x y x y y y

         là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 48. Cho hàm số y ^ax ¹ x b

 

 có đồ thị như hình bên.

Xác định a b, .

A. a1; b2. B. a1; b 2.

C. a2; b1. D. a 2; b1. _x

y

2

O 1

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x1 và tiệm cận ngang y2.

Vậy a2; b1.

Câu 49. Cho hàm số y ^ax ¹ x b

 

 có đồ thị như hình bên.

Xác định a b, .