Phát triển tư duy sáng tạo giải toán Đại số 8 - THCS.TOANMATH.com

(1)

(2)

Bùi văn tuyên (Chủ biên)

nguyễn đức tr-ờng - NGUYễN TAM SƠN

PHáT TRIểN TƯ DUY SáNG TạO

GIảI TOáN đạI Số 8

(3)

Phân công biên soạn Bùi Văn Tuyên Chủ biên Nguyễn Đức Trường Chương I, II

Nguyễn Tam Sơn Chương III, IV

(4)

Lời nói đầu

(Bộ sách phát triển tư duy sáng tạo giải toán) Các em học sinh thân mến !

Các thầy giáo, cô giáo thân mến !

Bộ sách phát triển tư duy sáng tạo giải Toán 6, 7, 8, 9 gồm 8 cuốn, mỗi lớp hai tập: Đại số và Hình học được các tác giả biên soạn nhằm giúp các em học sinh học tập tốt môn Toán ở THCS hiện nay và THPT sau này.

Các tác giả cố gằng lựa chọn những bài tập thuộc các dạng điển hình, sắp xếp thành một hệ thống để bồi dưỡng học sinh khá giỏi các lớp THCS. Sách được viết theo các chương tương ứng với các chương trong sách giáo khoa Toán. Mỗi chương được viết theo các chuyên đề cơ bản, chuyên đề nâng cao, đánh số liên tục từ đầu sách đến cuối sách để bạn đọc dễ theo dõi.

Mỗi chuyên đề có ba phần:

A. Kiến thức cần nhớ: Phần này tóm tắt những kiến thức cơ bản, những kiên thức bổ sung cần thiết để làm cơ sở giải các bài tập thuộc các dạng của chuyên đề.

B. Một số ví dụ: Phần này đưa ra những ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng những kĩ năng và phương pháp luận mà chương trình đòi hỏi.

Mỗi ví dụ thường có: Tìm cách giải, trình bày lời giải kèm theo những nhận xét, lưu ý, bình luận và phương pháp giải, về những sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải toán, học toán.

C.Bài tập vận dụng:

Phần này, các tác giả đưa ra một hệ thống các bài tập được phân loại theo các dạng toán, tăng dần độ khó cho học sinh khá giỏi. Có những bài tập được trích từ các đề thi học sinh giỏi Toán trong và ngoài nước. Các em hãy cố gắng tự giải. Nếu gặp khó khăn có thể xem hướng dẫn hoặc lời giải ở cuối sách.

Các tác giả hi vong cuốn sách này là một tài liệu có ích giúp các em học sinh nâng cao trình độ và năng lực giải toán, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi ở cấp THCS.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong biên soạn song cuốn sách này vẫn khó tránh khỏi những sai sót. Chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc.

Xin chân thành cảm ơn!

CÁC TÁC GIẢ

(5)

các chuyên đề bồi d-ỡng

Ch-ơng I

phép nhân và phép chia các đa thức

Chuyờn đề 1. PHẫP NHÂN CÁC ĐA THỨC

A. Kiến thức cần nhớ

1.Muốn nhõn một đơn thức với một đa thức ta nhõn đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng cỏc tớch với nhau.

A.( B + C) = AB + AC

2.Muốn nhõn một đa thức với một đa thức, ta nhõn mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng cỏc tớch với nhau.

(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD B. Một số ví dụ

Vớ dụ 1. Thực hiện phộp tớnh:

a) ^A ^2x



^15x ^6y



  3  ; b)^B^



^5x²^^3y



^4x²^^2y



^.

Giải

a)^A ^2x^.15x ^2x



^6y



3 3

 

     

A 10x24xy_.

b) B 20x ⁴10x y 12x y 6y²  ²  ²

4 2 2

B 20x 2x y 6y .

Vớ dụ 2. Tớnh giỏ trị biểu thức sau:

a) A(5x7).(2x 3) (7x2)(x4)tại ¹;

2 x

b) B (x 2 ).(y y2 ) (x  x 2 ).(y y2 )x tại x = 2; y = - 2 . Giải

Tỡm cỏch giải. Nếu thay giỏ trị của biến vào biểu thức thỡ ta đƣợc số rất phức tạp. Khi thực hiện sẽ gặp khú khan, dễ dẫn tới sai lầm. Do vậy chỳng ta cần thực hiện nhõn đa thức với đa thức rồi thu gọn đa thức. Cuối cựng mới thay số.

Trỡnh bày lời giải

a) Ta cú: A(5x7).(2x 3) (7x2)(x4)

(6)

=



¹⁰^x² ^¹⁵^x^¹⁴^x^²¹

 

^ ⁷^x²^²⁸^x^²^x^⁸



=10x² 15x 14x21 7 x²28x2x8

= 3x² 27x13. Thay x 1

 2vào biểu thức, ta có:

1 2 1 5

3. 27. 13 .

2 2 4

A  

     

 

Vậy với x 1

 2 thì giá trị biểu thức A 5 .

 4 b) Ta có:

2 2 2 2

( 2 ).( 2 ) ( 2 ).( 2 )

2 2 4 2 2 4

10

B x y y x x y y x

xy x y xy xy x y xy

xy

     

       



Thay x = 2; y = - 2 vào biểu thức ta có:B10.2.( 2)  40.

Vậy với x = 2; y = - 2 thì giá trị biểu thức B = - 40.

Ví dụ 3. Tìm x, biết :

a) 4 (x x  5) (x 1)(4x 3) 23 ; b) (x5)(x  4) (x 1)(x 2) 7 . Giải

Tìm cách giải. Để tìm x, trong vế trái có thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức. Vì vậy ta khai triển và rút gọn vế trái ấy, sau đó tìm x.

Trình bày lời giải

a) 4 (x x  5) (x 1)(4x 3) 23

2 2

4x 20x 4x 3x 4x 3 23      13x 3 23

  

13x 23 3

  

-13x = 26 x = -2.

b) (x5)(x  4) (x 1)(x 2) 7

2 2

x 4x 5x 20 x 2x x 2 7       -8x + 22 = 7

-8x = -15 x 15

 8 .

(7)

Ví dụ 4. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

a)

2 3

.(2 1) .( 2) ( 5) Ax x x x  x  x _. b)

2 3 2

.(3 5) (2 3 16) .( 2)

Bx x   x x  x x x  x _. Giải

Tìm cách giải. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x, tức là sau khi rút gọn kết quả thì biểu thức không chứa biến x. Do vậy để giải bài toán này, chúng ta thực hiện biến đổi nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đa thức và thu gọn kết quả. Nếu kết quả không chứa biến x, suy ra điều phải chứng minh.

a) Biến đổi biểu thức A, ta có:

2 3

2 3 2 3

.(2 1) .( 2) ( 5)

2 2 5

6.

      

      



A x x x x x x

A

Suy ra giá trị của A không phụ thuộc vào x.

b) Biến đổi biểu thức B, ta có:

2 3 2

3 2 3 3 2

3 3 2 2

.(3 5) (2 3 16) .( 2)

3 5 2 3 16 2

3 3 5 5 16

16.

        

        

      



B x x x x x x x x

B x x x x x x x x

B x x x x x x

B

Suy ra giá trị của B không phụ thuộc vào x.

Ví dụ 5. Tính nhanh

a) 4 ⁷ . ¹ ⁴ .1 ² ¹ ¹

5741 3759 3759 5741 3759 3759.5741

A   

b) 2 ¹ . ³ ¹ .3⁶⁵¹⁶ ⁴ ⁶

3150 6547 1050 6517 1050 3150.6517

B   

Giải

Tìm cách giải. Quan sát kỹ biểu thức, nếu thực hiện trực tiếp các phép tình bài toán dễ dẫn đến sai lầm; ta nhận thấy nhiều số giống nhau, do vậy chúng ta nghĩ tới đặt phần giống nhau bởi một chữ. Sau đó biến đổi biểu thức chứa chữ đó. Cách giải như vậy gọi là phương pháp đại số.

a) Đặt ¹ ^; ¹

5741 3759

x y khi đó biểu thức có dạng:

(4 7 ). 4 .(1 2 )

4 7 4 8

1 3759

A x y y x y xy

A y xy y xy y xy A y

A

     

     



 

(8)

b)Đặt ¹ ^; ¹ 3150 6517

x y khi đó biểu thức có dạng:

(2 ).3 3 .(4 ) 12 6

6 3 12 3 12 6

6

1 6

6.6517 6517

B x y x y x xy

B y xy x xy x xy

B y

B

     

     



  

C. Bµi tËp vËn dông 1.1. Rút gọn các biểu thức sau

a) A(4x1).(3x 1) 5 .(x x  3) (x 4).(x3) ;

b)

B(5x2).(x 1) 3 .(x x²  x 3) 2 .(x x5).(x4)_.

1.2. Viết kết quả phép nhân sau dưới dạng lũy thừa giảm dần của biến x:

a) (x² x 1).(x3) ; b) (x² 3x 1).(2 4 ) ; x c) (x² 3x 2).(3 x 2 ) .x

1.3. Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a) C(5x2)(x  1) (x 3)(5x 1) 17(x3) b) D(6x5)(x 8) (3x1)(2x 3) 9(4x3) 1.4. Tìm x, biết:

a) 5(x3)(x 7) (5x1)(x 2) 25 b) 3(x7)(x  5) (x 1)(3x  2) 13 1.5. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

a) A (4 5 ).(3x x  2) (3 2 ).(x x2)tại x 2. b) B5 .(x x4 ) 4 .(y  y y5 )x tại ¹^; ¹

5 2

x  y  1.6. Tính giá trị biểu thức :

a) Ax⁶2021x⁵2021x⁴2021x³2021x²2021x2021tại x2020; b) Bx¹⁰20x⁹20x⁸ ... 20x²20x20với x 19.

1.7. Tìm các hệ số a, b, c biết:

a) 2 (axx² ²2bx4 )c 6x⁴20x³8x²đúng với mọi x ; b) (axb).(x²    cx 2) x³ x² 2 đúng với mọi x.

1.8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:

2 2

(2 ).( 3 1) .( 12) 8

A n n   n n n   chia hết cho 5.

1.9. Đặt 2x = a + b + c. Chứng minh rằng:

(x a ).(x b  ) (x b).(x c  ) (x c).(x a ) ab bc ca x   2_.

(9)

1.10. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab bc ca  abc và a b c  1. Chứng minh rằng:

(a1).(b1).(c 1) 0.

Chuyên đề 2. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

A. KiÕn thøc cÇn nhí





^{A B}^



² ^^A² ^^{2AB B}^ ² ⁽¹⁾





^{A B}^



² ^ ^A² ^^{2AB B}^ ² ⁽²⁾

 ^A² ^B² (A B) A _ B







(3)





^{A B}



³  ^A³ 3A B 3B A B²  ²  ³ A³B³ 3AB(A B) (4)





^{A _ B}^



³ ^ ^A³ ^^{3A B 3AB}² ^ ² ^^B³ ^ ^A³ ^^B³ ^^{3AB(A _ B)}^ ⁽⁵⁾

 ^A³ ^^B³ ^



^{A B A}^

 

² ^^{AB B}^ ²



⁽⁶⁾

 ^A³ ^^B³ ^



^{A B A}^

 

² ^^{AB B}^ ²



⁽⁷⁾

B. Mét sè vÝ dô

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức:

a) A (x 2)²4.(x2).(x  2) (x 4)²_; b) B(3x²2x1).(3x²2x 1) (3x²1)²_;

c) C(x² 5x 2)²2.(5x2).(x²  5x 2) (5x2)²_. Giải

Tìm cách giải. Rút gọn biểu thức là biến đổi viết biểu thức ấy dưới dạng đơn giản hơn.Trong mỗi biểu thức đều ẩn chứa hằng đẳng thức, vì vậy chúng ta dùng hằng đẳng thức để khai triển và thu gọn các đơn thức đồng dạng.

Trình bày lời giải a) Ta có:

2 2

2 2 2

2

( 2) 4.( 2).( 2) ( 4)

4 4 4.( 4) 8 16

6 4 4.

      

       

  

A x x x x

x x x x x

x x

b) Ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

(3 2 1).(3 2 1) (3 1) (3 1) (2 ) (3 1)

(2 ) 4 .

      

    

   

B x x x x x

x x x

x x

(10)

c) Ta có:

2 2 2 2

2 2

2 2 4

( 5 2) 2.(5 2).( 5 2) (5 2) ( 5 2) (5 2)

( ) .

        

 

     

 

C x x x x x x

x x x

x x

Ví dụ 2. Cho x +y = -7 và x²+y² = 11. Tính x³ +y³ ? Giải

Tìm cách giải. Sử dụng hằng đẳng thức (1) và giả thiết ta có thể tính đƣợc tích xy. Mặt khác phân tích kết luận bằng hằng đẳng thức (4), ta chỉ cần biết thêm tích xy là xong. Từ đó ta có lời giải sau.

Từ x + y = -7 x² 2xy y ²  49.

Mà x² y² 1111 2xy 49  xy 12 .

Ta có: ^x³ ^^y³ ^



^{x y}^



³^^{3xy x y}



^

  

^{ }⁷³ ^^{3.12 7}

 

^ ^.

x³ +y³ = - 91.

Ví dụ 3. Tính giá trị biểu thức:

a) A = x² + 10x + 26 tại x= 95.

b) Bx³3x²3x1 tại x21. Giải

Tìm cách giải. Quan sát kỹ biểu thức, ta nhận thấy có bóng dáng của hằng đẳng thức. Do vậy chúng ta nên vận dụng đƣa về hằng đẳng thức. Sau đó thay số vào để tính, bài toán sẽ đơn giản hơn.

Trình bày lời giải a) Ta có:

2

2 2

10 26

10 25 1 ( 5) 1.

  

      

A x x

x x x

Thay x = 95 vào biểu thức A = (95 + 5)² + 1 = 10001.

b) Ta có:

3 2

3

3 3 1

3 3 1 2

( 1) 2.

   

    

  

B x x x

x x x

x

Với x ²¹ B 



^{21 1}



³  2 8000 2 8002. 

(11)

Ví dụ 4. Tính nhanh:

a)

3 2

2020 1 2020 2019;

  A  b)

3 2

2020 1 2020 2021.

  B 

Giải

Tìm cách giải. Quan sát kỹ đề bài, ta nhận thấy mỗi phân số đều ẩn chứa hằng đẳng thức. Do vậy, việc dùng hằng đẳng thức để phân tích ra thừa số là suy luận tự nhiên.

Trình bày lời giải a)

3 2

2 2

2020 1 (2020 1).(2020 2020 1)

2021.

2020 2019 2020 2020 1

   

  

  

A

b)

3 2

2 2

2020 1 (2020 1).(2020 2020 1)

2019.

2020 2021 2020 2020 1

   

  

  

B

Ví dụ 5. Cho x – y = 2. Tính giá trị A2.(x³y³) 3.( xy)²_. Giải

Tìm cách giải. Dựa vào giả thiết và kết luận ta nghĩ tới hai hướng sau:

 Biến đổi biểu thức A nhằm xuất hiện x – y để thay bằng số 2.

 Từ giả thiết, suy ra x = y + 2 thay vào kết luận, ta được biểu thức chỉ chứa biến y. Sau đó rút gọn biểu thức.

Trình bày lời giải Cách 1. Ta có:

3 3 2

2 2 2

2.( ) 3.( )

2.( ).( ) 3 ( ) 4

4.( 2 3 ) 3( ) 12

4.( ) 3.( ) 12 12 ( ) 4

   

 

        

      

        

A x y x y

x y x y xy x y xy

x y xy xy x y xy

x y x y xy xy x y

.

Cách 2. Từ giả thiết, suy ra x = y + 2 thay vào biểu thức A ta có:

 

   

3 3 2

3 2 3 2

2 2

A 2 y 2 y 3 y 2 y

=2 y 6y 12y 8 y 3 2y 2 =12y 24y 16 12y 24y 12 4.

     

     

     

Ví dụ 6. Tìm các số thực x y, thỏa mãn x²26y²10xy14x76y58 0 . Giải

Tìm cách giải. Để tìm số thực x, y thỏa mãn đa thức hai biến bậc hai bằng 0, chúng ta định hướng biến đổi đưa đa thức đó thành tổng bình phương của hai biểu thức. Sau đó áp dụng A² B² 0 khi và chỉ khi A = 0 và B = 0. Từ đó tìm được x, y.

(12)

Trình bày lời giải

Ta có: x²26y²10xy14x76y58 0

x²10xy25y²14(x5 ) 49y  y²6y 9 0

(x5 )y ²14(x5 ) 49 (y   y 3)² 0

(x5y7)² (y 3)² 0

 5 7 0

3 0

x y

y

  

  

 ^

22. 3 x y

 

 

Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

2 3 2015 Px  xy y  x y _. Giải

Tìm cách giải. Để tìm giá trị nhỏ nhất của một đa thức bậc hai, chúng ta dùng hằng đẳng thức (1) và (2) để biến đổi đa thức thành tổng các bình phương cộng với một số. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được khi và chỉ khi tổng các bình phương bằng 0.

Trình bày lời giải Ta có

2 2

( ) 3 2 3 2015

2 4

( ) 2.( ) 1 3 2 2014

2 2 4

3 8 16 2

( 1) .( ) 2012

2 4 3 9 3

3 4 2 2

( 1) .( ) 2012 2012

2 4 3 3 3

1 0 1

2 2 3

20123 4 4

3 0 3

y y

P x x y

y y y

P x x y

P x y y y

P x y y

y x

x P

y y

     

       

      

      



     

 

  

    

 

 

Vậy giá trị nhỏ nhất của ²⁰¹²²

P 3 khi và chỉ khi ¹; ⁴.

3 3

 

x y

Ví dụ 8. Cho a b c, , thỏa mãn đồng thời a b c  6 và a²b²c² 12. Tính giá trị của biểu thức:

2020 2020 2020

( 3) ( 3) ( 3)

P a  b  c . Giải

Tìm cách giải. Giả thiết cho hai đẳng thức mà lại có ba biến a, b, c có vai trò như nhau. Do vậy chúng ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi a = b = c và từ giả thiết suy ra a = b = c = 2. Để tìm ra được kết quả này, chúng ta vận dụng tổng các bình phương bằng 0. Do đó nên bắt đầu từ



^{a 2}^

 

² ^ ^{b 2}^

 

² ^ ^{c 2}^



² ^ ⁰và biến đổi tương đương để ra giả thiết. Khi trình bày thì lại bắt đầu từ giả thiết.

(13)

Ta có a² b c²  ² 12a² b c 12 0²  ²  

 

2 2 2 2 2 2

a b c 24 12 0 a b c 4 a b c 12 0

             

  

²

 

²



²

2 2 2

a 4a 4 b 4b 4 c 4c 4 0 a 2 b 2 c 2 0

                

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2.

.P ( 1)²⁰²⁰ ( 1)²⁰²⁰ ( 1)²⁰²⁰= 3.

Ví dụ 9. Cho a²- b²= 4c². Chứng minh rằng: (5a- 3b - 8c)(5a - 3b + 8c) = (3a - 5b)². Giải

Tìm cách giải. Quan sát đẳng thức cần chứng minh, chúng ta nhận thấy vế trái có chứa c, vế phải không chứa c.

Do vậy chúng ta cần biến đổi vế trái của đẳng thức, sau đó khử c bằng cách thay 4c²= a²- b²từ giả thiết. Để thực hiện nhanh và chính xác, chúng ta nhận thấy vế trái có dạng hằng đẳng thức (3).

Trình bày lời giải Biến đổi vế trái:

(5a- 3b - 8c)(5a - 3b + 8c) = (5a – 3b)² - 64c²

= (25a²- 30ab + 9b²) - 64c²

= (25a²- 30ab + 9b²) – 16(a²- b²) ( do 4c²= a²- b²)

= 9a²- 30ab + 25b²

= (3a -5b)² .

Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 10. Phân tích số 27000001 ra thừa số nguyên tố. Tính tổng các ƣớc số nguyên tố của nó.

Giải

Tìm cách giải. Chúng ta có thể vận dụng hằng đẳng thức để phân tích một số ra thừ số nguyên tố.

Ta có: 27000001 300 ³  1



300 1 300

 

² 300 1



 

² ²

   

301 300 1  30  301. 300 1 30 . 300 1 30    301.271.331 7.43.271.331

  .

Tổng các ƣớc số nguyên tố của nó là: 7 + 43 + 271 + 331 = 652.

Ví dụ 11. Cho các số x, y thỏa mãn đẳng thức x⁴x y² ²y⁴4;x⁸x y⁴ ⁴y⁸8.

Hãy tính giá trị biểu thức Ax¹²x y² ²y¹²_. Giải

Ta có

(14)

4 2 2 4 4 2 2 4 4 4 2 4 4

8 4 4 8 4 2 2 4

( )( ) ( )

8 2

x x y y x x y y x y x y

x x y y x x y y

      

       

Kết hợp với giả thiết suy ra x⁴y⁴ 3 và x y² ² 1_. Ta có: =

   

^x⁴ ³^ ^y⁴ ³ ^^{x y}^{2 2}

4 4 8 4 4 8 2 2

4 4 2 4 4

2

( ).( )

3. ( ) 3 1

3. 3 3 1 19

A x y x x y y x y

x y x y

    

 

    

 

     C. Bµi tËp vËn dông

2.1. Tìm hệ số x²của đa thức sau khi khai triển:

a)

A (x 2)² (x 2)² (x 3)³(3x1)³

; b)

B(2x1)² (x 2)² (x 3)³(3x1)³

.

2.2. Tính giá trị biểu thức

a) A = x² + 0,2x + 0,01tại x = 0,9.

b) B = x³ + 3x² + 3x + 2 với x = 19.

c) C = x⁴ – 2x³ + 3x² – 2x + 2 với x² – x = 8.

2.3. Tính hợp lý:

a)

2 2

356 144 256 244

A 

  ; b) B = 253²+ 94.253+ 47² ;

c) C = 163²- 92.136+ 46² ; d) D = (100²+ 98²+ ...+ 2²) - (99²+ 97²+ ...+ 1²).

2.4. Tính giá trị biểu thức :

 



²



²



²



²



2 3 3

2021 2020 2019 2019 2020 2021

A .

2020 1 2020 1 2020 1

 

    .

2.5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : a) A5x²5y²8xy2y2x 2020 . b) B 5x ²2y² 4xy 2x 4y 2020   . c) M 5x ² y² z² 4x 2xy z 1   . 2.6. Tìm x, biết:

a) (x2)² (x 3)²2.(x2).(x 3) 19.

b) (x2).(x²2x 4) x x.( ² 5) 15.

12 2 2 12

Ax x y y

(15)

c) (x1)³ (2 x).(4 2 x x ²) 3 .( x x 2) 17.

2.7. Biết xy = 11 và x²y + xy²+ x + y = 2016. Hãy tính giá trị : x²+ y². 2.8. Cho a – b = 7. Tính giá trị biểu thức:

     

2 2

A a a 1  b b 1 3ab a b 1  ab. 2.9. Chứng minh rằng với mọi x ta cĩ:

a) .(x x 6) 100 ; b) (x3).(x  5) 3 0; c) x²  x 1 0.

2.10. Tìm x, y biết:

a) x²- 2x + 5 + y²- 4y = 0;

b) 4x²+ y²- 20x - 2y + 26 = 0;

c) 9x²+ 4y²+ 4y – 12x + 5 = 0.

2.11. Chứng minh khơng tồn tại x; y thỏa mãn:

a) x²4y²4x4y 10 0;

b) 3x²y²10x2xy29 0; c) 4x²2y²2y4xy 5 0.

2.12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) A15 8 xx²; b) B4xx²2;

c)C   x² y² 4x 4 y2.

2.13. Cho các số thực x y; thỏa mãn điều kiện x y 3;x² y² 17. Tính giá trị biểu thức x³y³. 2.14. Cho x  y a b (1) và

3 3 3 3

x y  a b (2).

Chứng minh rằng: x²y² a²b². 2.15. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng:

a) 2bc + b²+ c²- a²= 4p(p - a);

b) (p - a)²+ (p - b)²+ (p - c)²= a²+ b²+ c²- p². 2.16. Cho

2020 chữ số 9

A  99....9 . Hãy so sánh tổng các chữ số của A² với tổng các chữ số của A.

2.17. Chứng minh rằng:

Nếu



^{a b}^

 

² ^ ^{b c}^

 

² ^ ^{c a}^

 

² ^ ^{a b 2c}^{ }

 

² ^ ^{b c 2a}^{ }

 

² ^ ^{c a 2b}^{ }



² thì a = b= c.

(16)

2.18. Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n⁴ 4ⁿ là hợp số

(Thi học sinh giỏi Toán 9,tỉnh Quảng Bình , năm học 2012 – 2013) 2.19. a) Cho a + b = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A= a² + b².

b) Cho x + 2y = 8. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy.

2.20. Tìm giá trị nhỏ nhất của A3(x²y²) biết x²y² xy12.

( Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên Bình Dương, năm học 2014- 2015) 2.21. Cho các số nguyên

a b c , ,

thoả mãn:

( a b  )

³

  ( b c )

³

  ( c a )

³

 210

. Tính giá trị của biểu thức

A       a b b c c a

.

2.22. Chứng minh không tồn tại hai số nguyên x, y thỏa mãn x² - y² = 2020 .

Chuyên đề 3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A. KiÕn thøc cÇn nhí

1. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của các đa thức khác.

2.Các phương pháp thường dùng:

- Đặt nhân tử chung.

- Dùng hằng đẳng thức.

- Nhóm các hạng tử.

- Phối hợp nhiều phương pháp. Có khi ta phải dùng những phương pháp đặc biệt khác (xem chuyên đề 6) B. Mét sè vÝ dô

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 12x³y - 6x²y + 3x²y² ; b) 5x²y(x - 7) - 5xy(7 - x).

Giải

Tìm cách giải. Quan sát đề bài, chúng ta thấy các đa thức trên đều có nhân tử chung.

Bước 1. Chọn hệ số là ƯCLN của các hệ số.

Bước 2. Phần biến gồm tất cả các biến chung, mỗi biến lấy với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử. Nếu trong đó có hai nhân tử đối nhau, chúng ta đổi dấu một trong hai nhân tử và dấu đứng trước nó.

Trình bày lời giải

a) 12x³y - 6x²y + 3x²y²= 3x²y(4x – 2 + y) .

b) 5x²y(x -7) - 5xy(7- x) =5x²y(x-7) + 5xy(x - 7) = 5xy(x - 7)(x +1).

a) 100x²- 9y² ;

b) 9(a + b)²- 4(a - 2b)²;

(17)

d) 125 - 75x + 9x²- x³. Giải

Tìm cách giải. Nhận thấy trong ví dụ này mỗi đa thức đều có dạng hằng đẳng thức. Do vậy chúng ta vận dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 100x²- 9y²= (10x -3y)(10x +3y).

b) 9(a+b)²- 4(a-2b)²= [3(a+b)-2(a-2b)][3(a+b)+2(a-2b)] = (a-7b)(5a -b).

c) 8x³+27y³= (2x+3y)(4x²- 6xy + 9y²) . d) 125-75x+15x²-x³= (5- x)³.

a) x(a + b) + a + b.

b) 3a²x - 3a²y + abx – aby.

c) ax + bx + cx + 2a + 2b + 2c.

Giải

Tìm cách giải. Mỗi đa thức trên không có nhân tử chung, không xuất hiện hằng đẳng thức. Quan sát kỹ nhận thấy nếu nhóm các hạng thử thích hợp thì xuất hiện nhân tử chung.

a) x(a+b)+a+b = (a+b)(x+1)

b) 3a²x- 3a²y+ abx - aby = 3a²(x-y) + ab(x-y) = a(x-y)(3a+b) c) ax+bx+cx+2a+2b+2c = x(a+b+c)+ 2(a+b+c) = (x+2)(a+b+c) Ví dụ 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) a ² – b² – 4a + 4b;

b) (xy + 4)² – (2x + 2y)²;

c) (a² + b² + ab)² – a²b² – b²c² – c²a². Giải

Tìm cách giải. Nhận thấy mỗi đa thức đều ẩn chứa trong đó hằng đẳng thức. Vậy chúng ta có thể nhóm nhằm xuất hiện hằng đẳng thức.

a)



^{a b a b}^



^

 

^^{4 a b}^

 

^ ^{a b a b 4}^



^{ }



_.

b)



xy 4 2x 2y xy 4 2x 2y  



  



   



^{x y 2} 2 y 2 x y 2

    

2 y 2

 

      



x 2 y 2 x 2 y 2

   

    

.

c)



^a² ^^b² ^^{ab ab a}^



² ^^b² ^^{ab ab}^

 

^^{c a}² ² ^^b²



(18)

=



^a² ^^{b a b}²

 

^



² ^^{c a}²



² ^^b²





^a² ^b²



^



^{a b}



² ^c²^

     



^a² b a b c a b c²

   

     

.

Ví dụ 5. Cho các số thực a, b, c đôi một phân biệt và thỏa mãn a b c²(  ) b c a²(  ) 2012 Tính giá trị biểu thức M c a b²(  ).

(Tuyển sinh 10, THPT chuyên, ĐHSP Hà Nội, năm học 2012 – 2013) Giải

Tìm cách giải. Từ giả thiết chúng ta không thể tính giá trị cụ thể của a, b, c. Do vậy bằng việc quan sát và nghĩ tới việc phân tích đa thức thành nhân tử để tìm mối quan hệ giữa a, b và c. Từ đó tìm đƣợc giá trị biểu thức M.

Trình bày lời giải Ta có :

   

2 2 2 2 2 2

2 2

( ) ( ) 0

0

( )( ) 0

       

    

    

a b c b c a a b a c b c b a ab a b c a b

a b ab bc ca

Vì a ≠ b nên :

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

0

( )( ) 0 0

( ) ( ).

   

             

   

ab bc ca

b c ab bc ca b a b c bc ac b a b c bc ac c a b b a c

Vậy M = 2012.

C. Bµi tËp vËn dông

3.1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) ab(x - 2) - a²(x - 2) ; b) 4x³y²- 8x²y³+ 12x³y . 3.2. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) (xy + 1)²- (x + y)² ;

b) (a b c  )²  (a b c)²4c²; c) (a²+ 9)²- 36a².

3.3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 3a – 3b + a² – 2ab + b²; b) a ² + 2ab + b² – 2a – 2b + 1;

(19)

c) 4b c^{2 2}(b²c²a^{2 2}) .

3.4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) x²- 4xy + 4y²- 9a²; b) xy(a²+ b²) - ab(x²+ y²);

c) x²(a- b) - 2xy(a- b)+ ay²- by² ; d) 8xy³- x(x-y)³.

a) A = x²4x y^{2 2}y²2xy ; b) B = x⁶y⁶;

c)

c) D = 25a²2ab b ².

3.6. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x³3x y² 4xy²12 ;y³ b) x³4y²2xy x ² 8y³ ;

c) 3 (x a b c²   ) 36 (xy a b c  ) 108 (y a b c²   ).

d) a(x²+ 1) – x(a² + 1).

a) x³ 1 5x² 5 3x3 ; b) a⁵a⁴a³a² a 1; c) x³3x²3x 1 y ;³ d) 5x³3x y² 45xy²27y .³

a) x ³ – x² – x + 1;

b) x ⁴ – x² + 2x – 1;

c) 4a²b² – (a² + b² – 1)²;

3.9.Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.

Đặt A4x²y²(x²y²z^{2 2}) . Chứng minh rằng A0. 3.10. Cho các số a b, lần lƣợt thỏa mãn các hệ thức:

3 2

3 5 17 0;

3 5 11 0.

a a a

b b b

    



   



Tính a b .

2 2 3 3 2 2 2 2

4 ( ) 6( ) 9( )

C xy x y  x y x yxy  x y

(20)

3.11. Cho a b c, , thỏa mãn a b c  abc. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4 . a b  c  b a  c  c a  b   abc

Chuyên đề 4. HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG

A. KiÕn thøc cÇn nhí 1. Bình phương của một đa thức

. Đặc biệt ta có :



2. Bảng khai triển hệ số : (a + b)ⁿ Với n = 0 : 1

Với n = 1 : 1 1 Với n = 2 : 1 2 1 Với n = 3 : 1 3 3 1 Với n = 4 : 1 4 6 4 1 Với n = 5 : 1 5 10 10 5 1

………

Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1.

Mỗi số ở một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên.

Bảng trên đây được gọi là tam giác Pa-xcan, cho ta biết hệ số khi khai triển (a + b)ⁿ. Chẳng hạn cho n các giá trị từ 0 đến 5 ta được :

(a + b)⁰ = 1 (a + b)¹= a + b

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a + b)⁴ = a³ + 4a³b + 6a²b² +4a b³ + b⁴

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² +10a² b³ +5a b⁴ + b⁵



1 2 n



² ²1 ²2 ²2 1 2 1 3 1 n

2 3 2 4 2 n n 1 n

a a ... a a a ... a 2a a 2a a ... 2a a 2a a 2a a ... 2a a ... 2a a_

          

      



^{a b c} 



²  ^a² ^b²^c² 2ab 2ac 2bc 



^{a b c} 



² ^a² ^b² ^c² 2ab 2ac 2bc 



^{a b c d}  



² ^a² ^b² ^c² ^d² 2ab 2ac 2ad 2bc 2bd 2cd    

(21)

Chú ý : khi khai triển (a - b)ⁿ ta vẫn làm như trên và các số hạng chứa b với lũy thừa lẻ thì mang dấu trừ đằng trước.

3. Khai triển nhị thức aⁿ bⁿ và aⁿ bⁿ (n lẻ).

a) a² - b² = (a - b)(a + b) ; a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) ;

aⁿ - bⁿ = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b² + … + ab^{n - 2} + b^{n - 1}) ; b) a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

a⁵ + b⁵ = (a + b)(a⁴ - a³b + a²b² - ab³ + b⁵) ;

a^{2k + 1} + b^{2k + 1} = (a + b)(a^2k - a^{2k - 1}b + a^{2k - 2}b² - … + a²b^{2k - 2} - ab^{2k - 1} + b^2k) ; 4. Đẳng thức bậc ba

;

. Đặc biệt :

 Nếu a + b + c = 0 thì

 Nếu thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c.

B. Mét sè vÝ dô

Ví dụ 1. Cho a + b + c = 0 và . Tính giá trị biểu thức. . Giải

Tìm cách giải. Để tạo ra kết luận, ta cần xuất phát từ và bình phương hai vế. Tuy nhiên khi đó lại xuất hiện và cần tính biểu thức này. Để tính biểu thức đó ta cần tính được . Suy luận tự nhiên ta cần bình phương a + b + c = 0. Bằng cách phân tích, lập luận như trên ta đã tìm ra cách giải.

Trình bày lời giải

Từ a + b + c = 0 .

Mà

Từ a² + b² + c² = 1



^{a b c} 



³ ^a³  ^b³ ^c³ 3 a b b c c a















   

3 3 3 2 2 2

a  b c 3abc a b c a   b c ab bc ca 

   

3 3 3

a b c 3abc 0

   

3 3 3

a b c 3abc 0

2 2 2

a b c 1 M a ⁴  b⁴ c⁴

2 2 2

a b c 1

 

2 2 2 2 2 2

a b b c c a

  ab bc ca

 

 a b c  ²  0 a² b² c² 2ab 2bc 2ca 0  

 

           ² 

2 2 2 1 1

a b c 1 ab bc ca ab bc ca

2 4

a b^{2 2} b c^{2 2}c a^{2 2} 2ab c 2bc a 2ca b²  ²  ²  1 4

 

a b^{2 2} b c^{2 2}c a^{2 2} 2abc a b c   1 a b^{2 2} b c^{2 2}c a^{2 2}  1

4 4

   

 a² b²c² ² 1² a⁴  b⁴ c⁴ 2 a b^{2 2} b c^{2 2} c a^{2 2} 1

(22)

 . Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức:

. Giải

Khai triển ta có:



^{x z y t}^{  }



² ^ ^x²^^z² ^ ^y² ^^t² ^²^xy ^²^xz^²^xt ^²^yz^²^yt^²^zt

Cộng từng vế lại ta đƣợc:

Nhận xét. Ngoài ra, ta có thể vận dụng đẳng thức để giải. Thật vậy:

Suy ra

.

Ví dụ 3. Cho a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c = 0. Chứng minh rằng:

. Giải

Tìm cách giải. Nhận thấy a⁵ = a³.a² , nên để xuất hiện vế phải chúng ta cần thay thế vào vế phải, sau đó khai triển. Khi khai triển xong, chúng ta cần biến đổi phần còn lại không phải là trở thành một phần của kết luận là xong.

        

4 4 4 1 4 4 4 1

a b c 2 1 a b c

4 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

A   x y z t    x y z t    x z y t    x t y z



^{x y z t}^{  }



² ^ ^x² ^^y² ^^z² ^^t² ^2xy 2xz 2xt 2yz 2yt 2zt^ ^ ^ ^ ^



^{x y z t}^{  }



² ^ ^x²^^y² ^^z² ^^t² ^2xy 2xz 2xt 2yz 2yt 2zt^ ^ ^ ^ ^



^{x t y z}^{  }



² ^ ^x² ^^y² ^^z² ^^t² ^2xy 2xz 2xt 2yz 2yt 2zt^ ^ ^ ^ ^



^{x y z t}^{  }

 

² ^ ^{x y z t}^{  }

 

² ^ ^{x z y t}^{  }

 

²^ ^{x t y z}^{  }



²

 

4 x² y² z² t²



^{a b}^

 

² ^ ^{a b}^



² ^^{2 a}



² ^^b²





^{x y z t}^{  }

 

² ^ ^{x y z t}^{  }



² ^^{2 x y}^__



^

 

² ^ ^{z t}^



²^__



^{x y z t}^{  }

 

² ^ ^{x y z t}^{  }



² ^^{2 x y}^__



^

 

² ^ ^{z t}^



²^__

       

    ²    ²     ²     ² A x y z t x y z t x z y t x t y z

       

 

         

2 2 2 2

2 x y x y z t z t

     

 

2 2 x ² y² 2 z² t²   4 x²  y z²t²



⁵ ⁵ ⁵

 

² ² ²



2 a b c 5abc a b c

 ³  ³  ³ 3abc a b c

 

5 5 5

a b c

(23)

Vì Xét:

. (1)

Xét ;

Tương tự .

Thay vào (1) suy ra :

= 2^a⁵ ^^b⁵ ^^c⁵ ^²^{abc a}



²^^b² ^^c²



^.

Hay .

Nhận xét. Nếu đặt thì ta có bài toán sau. Chứng minh rằng:

Ví dụ 4. Xét các số thực x, y, z thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

( tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên Nam Định, năm học 2014- 2015) Giải

Tìm cách giải. Giả thiết cho vế trái là đa thức bậc hai, mà kết luận là tìm cực trị đa thức bậc nhất. Do vậy để vận dụng được giả thiết ta cần xét A², sau đó khéo léo tách đa thức đó để vận dụng triệt để giả thiết.

Trình bày lời giải Ta có:

Suy ra maxA = 6 tại

minA = - 6 tại .

Ví dụ 5. Với là các số thực thỏa mãn:

Chứng minh rằng:

(tuyển sinh lớp 10, THPT Chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHà Nội, năm học 2015-2016) Giải

   

a b c 0 a³  b³c³ 3abc



² ² ²

 

³ ³ ³



² ² ²



3abc a  b c  a  b c a b c

     

5 5 5 3 2 2 3 2 2 3 2 2

a b c a b c b c a c a b

        

2 2 2 2 2 2

b c   a b c 2bc a b c a 2bc

2 2 2 2 2 2

c a  b 2ac;a  b c 2ab



² ² ²



⁵ ⁵ ⁵ ³



²



³



²

 

³ ²



3abc a b c a b c a a 2bc b b 2ac c c 2ab



⁵ ⁵ ⁵

 

² ² ²



2 a b c 5abc a b c

     

a x y , b y z, c z x



^{x y}^

 

² ^ ^{y z}^

 

² ^ ^{z x}^

 

² _ ^{x y}^

 

³ ^ ^{y z}^

 

³^ ^{z x}^

 

³ _ ^{x y}^

 

⁵ ^ ^{y z}^

 

⁵ ^ ^{z x}^



⁵_.

2 3 5



² ²



²

2 y yzz 3x 36.

. A  x y z

2 2 2 2 2

A   (x y z) x y  z 2xy2yz2zx

     

2 2 2 2 2 2 2 2

2 3x 2x 2

A  y z yz   x  yy  x  xzz

2 2 2

36 ( ) ( ) 36.

A   x y  x z  2, x  y z

2 x   y z , ,

a b c

3 3 3 3

(3a 3b 3 )c 24 (3 a b c  ) (3b c a  ) (3c a b  ) . (a2 )(b b2 )(c c2 ) 1.a 

(24)

Tìm cách giải. Quan sát kĩ đề bài, ta nhận thấy khai