Chủ đề phương trình quy về phương trình bậc hai Toán 10 KNTTVCS

(1)

Chủ đề 4:

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

1. Phương trình dạng: ax²bx c dx²ex f Để giải phương trình:

Ta làm như sau: ax²bx c dx²ex f

Bước 1: Bình phương hai vế, rút gọn rồi giải phương trình bậc 2 hoặc bậc nhất.

Bước 2: Thử lại các giá trị x tìm được có thỏa phương trình ban đầu hay không? Sau đó kết luận nghiệm

Hoặc ^{hoÆc chän}

2 2

0 0

ax bx c dx ex f

ax bx c dx ex f

      

      

    



Câu 1: Giải phương trình 2x²4x 2 x² x 2.

Câu 2: Giải các phương trình sau:

a) 3x²6x  1 2x²9x1; b) 2x² 3x 5 x²7.

2. Phương trình dạng: ax²bx c dxe Để giải phương trình:

Ta làm như sau: ax² bx c dxe

Hoặc ² ²

 

²

0 ax bx c dx e dx e

ax bx c dx e

  

     

   



Câu 3: Giải phương trình 2x²5x  9 x 1 Câu 4: Giải các phương trình sau:

b) 2x²   x 3 1 x b) 3x²13x14 x 3 Câu 5: Giải các phương trình sau:

a) 3x²4x 1 2x²4x3; b) x²2x  3 2x²5;

c) 2x²3x    3 x² x 1; d)  x² 5x  4 2x²4x2.

a) 6x²13x132x4; b) 2x²5x   3 3 x; c) 3x²17x23 x 3; d)  x² 2x  4 x 2.

a) x  1 x 3; _b)  x² 9x 5 x; c) 3x² 6x 3 2x 1; _d) 2x²3x  1 x 1;

e) 3 3 xx² x; f) 3x²4x 4 3x2.

a)



^x²^⁴^x^³



^x^{ }² ^0; ^b)⁽^x²^³^x^²⁾ ^x^{ }³ ^0.

(2)

a)



^x^³



¹⁰^^x² ^^x²^{ }^x ^12; b)



^x^¹



⁵^x^{ }¹ ^x²^^1.

a) 2 x²8x x²8x3; b)



x¹



x ³



³ x²⁴x  ⁵ ² ^0;

c)



^x^⁴



^x^{ }¹



³ ^x²^⁵^x^{ }² ^6; d) ^x²^²^x^{ }⁸ ⁴



⁴^^x



^x^^{2 ;}



e) ^{x x}



^⁵



^²³ ^x²^⁵^x^{ }² ^2.

Câu 11: Tìm m để phương trình



^x²^⁴^x^³



^x^^m^⁰ có đúng hai nghiệm phân biệt.

Câu 12: Tìm tham số mđể phương trình



^x²^^x



^x^{ }^m ⁰ chỉ có một nghiệm.

Câu 13: Tìm m để phương trình x² x m x1 có duy nhất một nghiệm.

Câu 14: Tìm m để phương trình 2x²2x m  x 1 có hai nghiệm phân biệt.

Câu 15: Cho tứ giác ÂBCDcó ABCD; AB2; BC13; CD8; DA5. Gọi H là giao điểm của AB_vàCD và đặt ^x^ÂH. Hãy thiết lập một phuơng trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ÂBCD^.

Câu 16: Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường.

Minh đứng tại vị trí A cách lề đường một khoảng 50m để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm B, cách mình một đoạn 200m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là 5km h/ , vận tốc xe đạp của Hùng là 15km h/ . Hãy xác định vị trí ^C trên lề đường (Hình vẽ) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 17: Nghiệm của phương trình 2x 1 3x là

A. 3

x 4. B. 2

x 3. C. 4

x 3. D. 3

x 2. Câu 18: Tập nghiệm của phương trình 2x  3 x 3 là

A. ^T ^

 

^{2; 6} . B. T  _. _C.^T ^

 

⁶ . D. ^T ^

 

^{2; 6} . Câu 19: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình và x²3x 2 x2là

A. 3_. _B.4. C. ^¹. D. 3_.

(3)

Câu 20: Tập nghiệm của phương trình 3 x x2 là

A. S  _. _B. 1

2;2 S   

 ^. ^C.

1 S    2

 ^. ^D.

1 S   2

 ^. Câu 21: Số nghiệm của phương trình x²4x  1 x 3 là

A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 2.

Câu 22: Nghiệm của phương trình x²7x10  x 4 thuộc tập nào dưới đây?

A.



^4;5



. B.



^{5; 6}



. C.

 

^{5; 6} . D.

 

^{5; 6} . Câu 23: Số nghiệm của phương trình 2x²14x x 3_là

A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 2.

Câu 24: Tập nghiệm của phương trình ^x^²



^x²^⁴^x^{ }³



⁰^là

A. ^S ^

 

^2;3 . B. ^S ^

 

² . C. ^S^

 

^1;3 . D. ^S^



^{1; 2;3}



. Câu 25: Phương trình ^{x x}



² ^¹



^x^{ }¹ ⁰ có bao nhiêu nghiệm?

A. ². B. ¹. C. 0. D. 3.

Câu 26: Số nghiệm của phương trình



² ³ ²



³

1 0

x x x

x

  

  ^là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Câu 27: Số nghiệm của phương trình ^{x x}



²^⁴



²^x^{ }³ ⁰^là

A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.

Câu 28: Số nghiệm của phương trình ^x^²



^x²^³^x^²



^⁰^là

A. 1_. _B.2_. _C.3_. _D.0_.



^x²^¹⁶



³^{ }^x ⁰^là

A. 1_. _B.3. C. 0. D. 2_.

Câu 30: Tổng các nghiệm của phương trình



^x^³



²^x^{ }⁶ ^x²^⁹ bằng

A. ². B. 3_. _C.1. D. 7_.

Câu 31: Phương trình ^x²^¹



²^x^{ }¹ ^x



^⁰ có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. 1. B. 4. C. 3. D. 2.

Câu 32: Phương trình



^x²^⁶^x



¹⁷^^x² ^^x²^⁶^x có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

Câu 33: Tìm tập hợp nghiệm của phương trình 3 x x 2 1 .

A.

 

² . B.



^{1; 2}^



. C.



^^{1; 2}



. D.

 

^¹ . Câu 34: Số nghiệm nguyên của phương trình sau x 3 2x 1 1 là:

A. ⁰. B. 2. C. 1. D. ³.

Câu 35: Số nghiệm của phương trình 3x 1 2 x 1 là

A. ³. B. ⁰. C. 1. D. 2.

Câu 36: Số nghiệm của phương trình x²2x2x x 3 6 1 x 7 là

A. ⁰. B. 1. C. 2. D. ³.

(4)



^x^¹



¹⁰^^x² ^^x² ^³^x^²^bằng

A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 38: Biết phương trình



^x^²



^x²^²^x^{ }² ²^x²^{ }^x ¹⁰ có 2 nghiệm phân biệt x2 và 3; , .

3

 a b 

x a b Tính S a²b².

A. 81. B. 90. C. 85. D. 91.

Câu 39: Nếu đặt t x1 thì phương trình x 2 x 1 0 trở thành phương trình nào trong các phương trình sau?

A. t²  t 1 0_. _B.t²  t 0_. _C.t²  t 2 0_. _D.t² 2t 0_.

Câu 40: Cho phương trình x²3x 5 2x²6x 5 0_{. Nếu đặt}t x² 3x 5 thì phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?

A. ^²^t²^{ }^t ¹⁵^⁰. B. ²^t²^{ }^t ¹⁵^⁰. C. ^t²^{  }^t ⁵ ⁰. D. ^^t²^{  }^t ⁵ ⁰. Câu 41: Tổng các nghiệm của phương trình x²4 x²3x27 3x22 bằng

A. ¹. B. ². C. 3_. _D.4.

Câu 42: Số nghiệm của phương trình x²2x 5 x²2x3_là

A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.

Câu 43: Số nghiệm của phương trình x²3x86 19 x²3x160 là.

A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.

Câu 44: Tích của các nghiệm của phương trình 3x²9x 5 2 x²3x 3 1 bằng

A. 2. B. 2. C. 3_. _D.3_.

Câu 45: Cho phương trình:x²5x 2 2 x²5x10 0. Đặt t x²5x10 thì phương trình trở thành phương trình nào sau đây?

A. t²2t100. B. t²2t 2 0. C. t²  2t 8 0. D. t²  2t 8 0. Câu 46: Phương trình: 2x²5x 1 7 x³1 có nghiệm là a b thì 2ab bằng

A. 2. _B.1. _C.

. 3. _D.4.

Câu 47: Số nghiệm của phương trình x²3x86 19 x²3x160 là.

A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.

Câu 48: Tổng bình phương các nghiệm của phương trình x²5x 2 2 x²5x100 là

A. ⁵. B. ¹³. C. ¹⁰. D. ²⁵.

Câu 49: Tổng các bình phương các nghiệm của phương trình



^x^¹



^x^{ }³



³ ^x²^⁴^x^{  }⁵ ² ⁰ là:

A. ¹⁷. B. 4. C. ¹⁶. D. ⁸.

Câu 50: Biết phương trình _x²_₄_x_{ }₃ _x_₁ ₈_x_{ }₅ ₆_x_₂ có một nghiệm dạng x a b với

, 0

a b . Tính ab.

A. 7. B. 5. C. 4. D. 6.

Câu 51: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình



^x^¹



^{x m}^ ^⁰ có hai nghiệm phân biệt.

A. ^m^{ }



^;1



^. ^B.^m^{ }



^1;



^. ^C.^m^{ }



^1;



^. ^D.^m^{ }



^{;1 .}



(5)

Câu 52: Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể phương trình ²

 

0 3

x m x m

x

  

  có nghiệm.

A. ^m^{  }



^{; 1}



. B. ^m^{  }



^1;



. C. ^m^{  }



^1;



. D. m .

Câu 53: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình



^x²^⁴^x



^{x m}^ ^⁰ có ba nghiệm phân biệt.

A. ^m^{ }



^{; 0}



. B. ^m^



^0;^



. C. ^m^



^0;^



. D. ^m^{ }



^{; 0 .}



Câu 54: Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình x² x m x1 có hai nghiệm phân biệt là

A. 4. B. 0. C. Vô số. D. 3.

Câu 55: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mđể phương trình 2x m  x 1 có 2 nghiệm phân biệt?

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.

Câu 56: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2x²2x2m  x 2 có nghiệm.

A. m1. B. ^m^{ }



^1;



. C. m2. D. m2.

Câu 57: Giá trị của tham số m để phương trình 2x² x 2m x 2 có 2 nghiệm phân biệt là



^;



m a b với a b,  . Tính S  a b_.

A. 1

8.

S   _B. 81

8 .

S _C.S 5. _D. 41

8 . S  Câu 58: Tìm tất cả các giá trị m để phương trình x²2x3m  2 x 2 có nghiệm.

A. m 2. B. m 2. C. m2. D. m2.

Câu 59: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình x²4 x² 1 (m 1) 0_có nghiệm thuộc khoảng



^{0; 15 ?}



A. ¹. B. ⁴. C. 3_. _D.0.

Câu 60: Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình ⁴



^x^{ }³ ³^^x



^² ^{    }^x² ⁹ ^m ^{1 0}^có

nghiệm?

A. 9. B. 11. C. 5. D. 10.

Câu 61: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2 x 2 x 2 4x²  m 0 có nghiệm?

A. 4. B. 5. C. Vô số. D. 10.

LỜI GIẢI CHI TIẾT I. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Câu 1: Giải phương trình 2x²4x 2 x² x 2.

Lời giải:

Bình phương hai vế của phương trình ta được: 2x²4x 2 x² x 2 Sau khi thu gọn ta được x²3x0

Từ đó tìm được ^x^⁰ hoặc ^x^³

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có ^x^³ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là ^x^³.

(6)

c) 3x²6x  1 2x²9x1 b) 2x²3x 5 x²7 Lời giải:

a) 3x²6x  1 2x²9x1

Bình phương hai vế của phương trình ta được 3x²6x  1 2x²9x1_. Sau khi thu gọn ta được 5x²3x0_.

Từ đó tìm được ^x^⁰ hoặc 3 x 5_.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy ^x^⁰ và 3 x 5_thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 3 0; 5 S   

 

b) 2x²3x 5 x²7

Bình phương hai vế của phương trình ta được 2x²3x 5 x²7_. Sau khi thu gọn ta được x²3x 2 0_.

Từ đó tìm được ^x^¹ hoặc ^x^².

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là ^S  . 2. Phương trình dạng: ax²bx c dx e

Để giải phương trình:

Ta làm như sau: ax²bx c dx e

Hoặc

 

2

2 2

0 dx e ax bx c dx e

ax bx c dx e

  

     

   



Câu 3: Giải phương trình 2x²5x  9 x 1 Lời giải:

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

2 2

2x 5x 9 x 2x1_.

Sau khi thu gọn ta được x²3x100_. Từ đó tìm được ^x ² hoặc ^x⁵.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có ^x^⁵ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là ^x^⁵. Câu 4: Giải các phương trình sau:

d) 2x²    x 3 1 x b) 3x²13x14 x 3 Lời giải:

c) Bình phương hai vế của phương trình ta được 2x²   x 3 1 2xx²

(7)

Sau khi thu gọn ta được x²3x 2 0 Từ đó tìm được ^x ¹ hoặc ^x ²

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy ^x ¹ hoặc ^x ² thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là ^S ^{  }



^{1; 2}



.

d) Bình phương hai vế của phương trình ta được 3x²13x14x²6x9_. Sau khi thu gọn ta được 2x²7x 5 0_.

Từ đó tìm được ^x^¹ hoặc 5 x2_.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là ^S ^{ }.

*Chú ý: Một số dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn khác 1) Dạng:







 

 2

0 B A B B

A _{2) Dạng:}

0; 0 2 A B

A B C

A B AB C

 

    

  



3) Dạng: A B  C  D.

* Nếu A+B = C+D (hoặc A.B = C.D) thì bình phương 2 vế ta được phương trình tương đương.

* Nếu A+C = B+D (hoặc A.C = B.D) thì phải đưa phương trình về dạng:

B D C

A  

sau đó bình phương hai vế, tìm nghiệm sau đó thử lại để chọn nghiệm.

4) Dạng: ³ A³ B ³ C

* Lập phương hai vế ta được: ^{A B}^{ }^3.³ ^AB



³ ^A^³ ^B



^^C^.

Sau đó thay thế: ³ A³ B ³ C vào phương trình, ta được: AB3.³ ABC C Chú ý: Sự thay thế này có thể dẫn đến nghiệm ngoại lai, vì vậy phải thử lại nghiệm.

a) 3x²4x 1 2x²4x3; b) x²2x  3 2x²5;

c) 2x²3x    3 x² x 1; d)  x² 5x  4 2x²4x2.

Lời giải:

a) 3x²4x 1 2x²4x3

2 2

3x 4x 1 2x 4x 3

      x² 4 ² 2 x x

 

    .

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là ^S ^{ }



^{2; 2}



. b) x²2x  3 2x²5

2 2

2 3 2 5

x x x

      3x²2x 8 0

4 3 2 x x

 

   

(8)

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy 4

x 3 thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 4 S    3

 . c) 2x²3x    3 x² x 1

2 2

2x 3x 3 x x 1

       3x²4x 4 0

2 3 2 x x

 

    .

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị này không thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là ^S ^{ }. d)  x² 5x  4 2x²4x2

2 2

5 4 2 4 2

x x x x

         x²  x 6 0 ³ 2 x x

  

   .

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy ^x² thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là ^S ^

 

² . Câu 6: Giải các phương trình sau:

a) 6x²13x132x4; b) 2x²5x   3 3 x; c) 3x²17x23 x 3; d)  x² 2x  4 x 2.

Lời giải:

a) 6x²13x132x4

2 2

6x 13x 13 4x 16x 16

      2x²3x 3 0

3 33 4 3 33

4 x

x

  



  



Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 3 34 S   4 

 

 

b) 2x²5x   3 3 x

2 2

2x 5x 3 9 6x x

      x²  x 6 0 ³ 2 x x

 

   

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị này không thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là ^S ^{ } c) 3x²17x23 x 3

2 2

3x 17x 23 x 6x 9

      2x²11x140

2 7 2 x x

 

  



.

(9)

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy 7

x 2 thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 7 S    2

  d)  x² 2x  4 x 2

2 2

2 4 4 4

x x x x

       2x²6x0 0 3 x x

 

  

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy ^x³ thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là ^S ^

 

³ . Câu 7: Giải các phương trình sau:

a) x  1 x 3; _b)  x² 9x 5 x; c) 3x² 6x 3 2x 1; _d) 2x²3x  1 x 1;

e) 3 3 xx² x; f) 3x²4x 4 3x2.

Lời giải:

a)

 

² ²

3 0 3 3

1 3 5 5

7 10 0

1 3

2

 

    

 

        

  

  

  

  

x x x

x x x x

x x

x Vậy phương trình có nghiệm x5_.

b) Ta có ² ₂0 ₂ ₂0 9 41

9 5

9 5 2 9 5 0 4

x x

x x x x

x x x x x

 

  

       

      

  ^.

Vậy phương trình trên có 2_nghiệm.

c) Ta có: 3 ² 6 3 2 1 ² ₂ ^{1 0} ₂

3 6 3 4 4 1

x x x x

  

     

    



 

2

 

1

1 2

2 1 3

2 2 0

1 3

x x

x l

x x

x n

  

   

 

   

    

   

.

d) 2x²3x  1 x 1

 

²

2

1 0

2 3 1 1

x

x x x

  

      ² 1

0 x

x x

 

   

1 0 1 x

x x

 

 

 



1

 x _.

e) Ta có ² 0 ₂ ₂ ₂0 3 33

3 3 3 3 2 3 3 0 4

x x

x x x x

x x x x x

 

   

      

     

 

Vậy phương trình trên chỉ có 1_nghiệm.

f) Ta có:

 

2

2 2

2

3 2 0 2

3 4 4 3 2 3

3 4 4 3 2

6 16 0

x x

x x x

x x

  

  

 

     

   

 

   

(10)

2

3 0

0, 8

3 x

x

x x

  

  

   



.

Vậy tập nghiệm của phương trình là

 

⁰ . Câu 8: Giải các phương trình sau:

a)



^x²^⁴^x^³



^x^{ }² ^0; ^b)⁽^x²^³^x^²⁾ ^x^{ }³ ^0.

Lời giải:

a) ĐK: x2_.

2 1 ( )

4 3 0

3 ( ) 2 0

2 ( )

x l

x x

pt x tm

x x tm

 

    

     

.

b) ĐK: x3_.

Ta có: (x²3x2) x 3 0 ²

3 2 0 1 3 0 2

3

 

    

      x x x

x x

x

3

 x _. Câu 9: Giải các phương trình sau:

a)



^x^³



¹⁰^^x² ^^x²^{ }^x ^12; b)



^x^¹



⁵^x^{ }¹ ^x²^^1.

Lời giải:

a) Điều kiện: 10x²   0 10 x 10. Khi đó:



^x^³



¹⁰^^x² ^^x²^{ }^x ¹²



³



¹⁰ ²



³



⁴

 

³

  10 2 4 0

 x x  x x  x x  x 

2

3

10 4

  

     x

x x .

Vì phương trình 10x²  x 4 vô nghiệm với mọi xthoả  10 x 10. Vậy x 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

b) ĐK: 1

5. x 

Phương trình



^x^¹



⁵^x^{ }¹ ^x²^{ }¹



^x^¹

 

⁵^x^{   }¹ ^x ¹



⁰

 

1

5 1 1 *

x

x x

 

    

Phương trình

 

₂ ₂

1 1 1 0

* 0

5 1 2 1 3 0 3

3

x x x x

x x

x x x x x

x

  

    

   

             Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: x0;x1;x3.

(11)

a) 2 x²8x x²8x3; b)



^x^¹



^x^{ }³



³ ^x²^⁴^x^{  }⁵ ² ^0;

c)



^x^⁴



^x^{ }¹



³ ^x²^⁵^x^{ }² ^6; d) ^x²^²^x^{ }⁸ ⁴



⁴^^x



^x^^{2 ;}



e) ^{x x}



^⁵



^²³ ^x²^⁵^x^{ }² ^2.

Lời giải:

a) Đặt t x²8x, ^t⁰. Pt:

 

2 2 1

 

2 3 2 3 0

3

t L

t t t t

t N

 

       

  .

Với ² ² 9

3 8 3 8 9 0

1

t x x x x x

x

 

            ^. Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng ⁸.

b)



^x^¹



^x^{ }³



³ ^x²^⁴^x^{   }⁵ ² ⁰ ^x²^⁴^x^{ }^{3 3} ^x²^⁴^x^{  }⁵ ² ⁰

Đặt ^x²^⁴^x^{ }⁵ ^{t t}



^⁰



ta được phương trình:

2 2 1(TM)

2 3 2 0 3 4 0

4 (L)

 

           

t t t t t

t

Với t1, ta được x²4x  5 1 x²4x  5 1 x²4x   4 0 x 2.

Vậy tổng bình phương nghiệm của phương trình trên là 4.

c) Ta có



^x^⁴



^x^{ }¹



³ ^x²^⁵^x^{ }² ⁶

2 2

5 2 3 5 2 0

x x x x

       _.

Đặt ^t^ ^x² ^⁵^x^²



^t^⁰



. Khi đó, phương trình trở thành: t²  4 3t 0

 

1 4

t l

t n

 

 

  . +) Với t4 : x²5x 2 4 x²5x 2 16 x² 5x140 2

7 x x

 

    ^.

d) Đặt ^t^{  }^x² ²^x^⁸



^t^⁰



, khi đó phương trình trở thành: ²

 

4 0

4 t t t

t L

 

      .

Với ² 4

0 : 2 8 0

2

 

        

t x x x

x ^.

e) Đặt t³ x²5x2ta được phương trình: t³ 2 2t       2 t³ 2t 4 0 t 2

Với ³ ² ² 2

2 : 5 2 2 5 6 0 .

3

  

             

t x x x x x

x

Câu 11: Tìm m để phương trình



^x²^⁴^x^³



^x^^m^⁰ có đúng hai nghiệm phân biệt.

Lời giải:

Phương trình tương đương:

2 1

4 3 0

3 x m x m

x m x m

x x x

x

 

   

  

   

    

    .

Phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi    3 m 1_.

(12)

Câu 12: Tìm tham số mđể phương trình



^x²^^x



^x^{ }^m ⁰ chỉ có một nghiệm.

Lời giải:

Điều kiện ^x^^m

 

¹ .



^x²^^x



^x^{ }^m ⁰ ² ⁰

0 x x x m

  

   

   

0 1

1 x

x

x m tm

 

 

 

.

Phương trình luôn có nghiệm xm. Để phương trình có nghiệm duy nhất thì x m 1.

Câu 13: Tìm m để phương trình x² x m x1 có duy nhất một nghiệm.

Lời giải:

Ta có: ² 1 ₂ ^{1 0} ¹ ₂ .

1 2 1

x x

x x m x

x x m x m x x

     

 

     

       

 

 

Bảng biến thiên y  x² 2x1 trên ^{ }_ ^1;



^:

x 1 1 

y

2

2



Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán^{    }^m



^{; 2}

  

^{2 .}

Câu 14: Tìm m để phương trình 2x²2x m  x 1 có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải:

Ta có:

 

2

2 2

2

1 0 1

2 2 1 .

4 1

2 2 1

x x

x x m x

m x x

x x m x

     

 

     

   

    



Bảng biến thiên y  x² 4x1 trên ^{ }_ ^1;



^:

x 1 2 

y

4

5



Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán^{  }^m ^_ ^{4; 5 .}



Câu 15: Cho tứ giác ÂBCDcó ABCD; AB2; BC13; CD8; DA5. Gọi H là giao điểm của AB_vàCD và đặt ^xÂH. Hãy thiết lập một phuơng trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ÂBCD^.

(13)

Lời giải:

+) Sử dụng định lí Pytago để tìm x.

Ta có: HD 25x² . Điều kiện: ⁰ ₂ ⁰ ^{5 *}

 

25 0

x

x x

    

  



Xét tam giác vuông ^BHC, ta có HB²HC² BC²

   

 

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 25 8 13 4 4 25 16 25 64 169 0

16 25 76 4 4 25 19 1

               

       

x x x x x x

x x x x

Bình phương hai vế của phương trình ta được ^{16 25}



^^x²



^^{361 38}^ ^x^^x²

Sau khi thu gọn ta được ²

3

17 38 39 0 13

17 x

x x

x

 

      

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình

 

¹ và kết hợp với điều kiện

 

^* , ta thấy 3

x thỏa mãn.

+) Để tính diện tích tứ giác ^ABCD, ta áp dụng công thức tính diện tích tam giác cho ,

BHC AHD

  _.

Ta có HB5, HC 12, HA3, HD4.

 

1 1 1

. . . . 5.12 3.4 24

2 2 2

ABCD BHC AHD

S S S  HB HC HA HD   _.

Câu 16: Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường.

Minh đứng tại vị trí A cách lề đường một khoảng 50m để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm B, cách mình một đoạn 200m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là 5km h/ , vận tốc xe đạp của Hùng là 15km h/ . Hãy xác định vị trí ^C trên lề đường (Hình vẽ) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

(14)

Lời giải:

Vận tốc của bạn Minh: v15



km h/



. Vận tốc của bạn Hùng: v2 15



km h/



.

Áp dụng định lý Pithago vào tam giác vuông AHB_:

  

^{0, 2} ² ^{0, 05}



² ¹⁵

 

BH    20 km

Gọi ^BC^^{x km}

 

^,^x^⁰.

Suy ra: 15

CH  20 x, 15 x 20 .

Ta cần xác định vị trí điểm ^C để Minh và Hùng gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia

Nghĩa là: ta cần tìm x để thời gian hai bạn di chuyển đến ^C là bằng nhau.

Thời gian Hùng đi từ B_đếnC là: 2

 

2 15

SBC x

t h

 v  .

Quãng đường ^AC mà Minh đã đi là:

 

2

2 2 15 2

0, 05

AC CH AH  20 x

      

Thời gian Minh đã đi từ A_đếnC là:

 

2

1 1

15 0, 05

20 5

AC

x

t S h

v

 

 

 

 

  .

Theo yêu cầu bài toán:

 

2

15 2

20 0.05

5 15

x

 

 

 

  

Bình phương 2 vế:

 

2

2 2

15 0.05

20

25 225

x

 

 

 

  

2 2 2 0,3

3 15 9 9 15 9

9 8 0

0,1

80 10 400 10 25

   

           

x x x x x x

x

Vì 15

0 0.19

x 20

   nên x0,1 thỏa mãn.

Vậy hai bạn Minh và Hùng di chuyển đến vị trí ^C cách điểm B một đoạn

   

0,1 100 .

x km  m

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 17: Nghiệm của phương trình 2x 1 3x là

A. 3

x 4. B. 2

x 3. C. 4

x 3. D. 3

x 2. Lời giải:

Thay các nghiệm x vào phương trình thấy 4

x3 là nghiệm.

(15)

Câu 18: Tập nghiệm của phương trình 2x  3 x 3 là

A. ^T ^

 

^{2; 6} ^. ^B.^T ^{ }^. ^C.^T ^

 

⁶ . D. ^T ^

 

^{2; 6} . Lời giải:

Ta có

 

²

3 0

2 3 3

x

x x

  

    

  

 ²

3 3

6 8 12 0 2

6 x x

x x x x

x

 

  

    

   

  

. Vậy phương trình có tập nghiệm ^T ^

 

⁶ .

Câu 19: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình và x²3x 2 x2là

A. 3_. _B.4. C. ^¹. D. 3_.

Lời giải:

Ta có ² ₂ ₂

2 2 2

3 2 2 0

3 2 2 4 0

4

x x x

x x x x

x x x x x

x

  

   

  

              . Vậy tập nghiệm của phương trình ^S^

 

^{0; 4} nên tổng các nghiệm là ⁴. Câu 20: Tập nghiệm của phương trình 3 x x2 là

A. S  _. _B. 1

2;2 S   

 ^. ^C.

1 S    2

 ^. ^D.

1 S   2

 ^. Lời giải:

Ta có: 2 0 1

3 2 1

2 2

3

x x x

x x x x

x   

    

  

  

    

 

.

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 S    2

 ^. Câu 21: Số nghiệm của phương trình x²4x  1 x 3 là

A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 2.

Lời giải:

Ta có: x²4x  1 x 3 ₂ 3 0 ₂

4 1 6 9

x

x x x x

  

      

3 1 x x

 

   (vô nghiệm).

Câu 22: Nghiệm của phương trình x²7x10  x 4 thuộc tập nào dưới đây?

A.



^4;5



^. ^B.



^{5; 6}



^. ^C.

 

^{5; 6} ^. ^D.

 

^{5; 6} ^.

Lời giải:

Ta có: x²7x10 x 4

 

²

2

4 0

7 10 4

  

      x

x x x ⁴ ⁶

 

^{5; 6 .}

6

 

    

x x

x Câu 23: Số nghiệm của phương trình 2x²14x x 3_là

A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 2.

Lời giải:

(16)

 

2 2

3 0

2 14 3 2 14 3

2 14 3

x

x x x x x x

x x x

  

        

  



2 2 2

3 3

2 14 9 6 8 9 0

x x

x x x x x x

 

 

        

3 9

1 x

x x

 

 

  



(loại) (nhận)

1

  x . Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là x 1.

Câu 24: Tập nghiệm của phương trình ^x^²



^x²^⁴^x^³



^⁰^là

A. ^S ^

 

^2;3 . B. ^S ^

 

² . C. ^S^

 

^1;3 . D. ^S^



^{1; 2;3}



. Lời giải:

Điều kiện: x   2 0 x 2_(*).

Với điều kiện (*), phương trình đã cho tương đương với

2

2 0 2 4 3 0 1

3 x x

x x x

x

 

    

    

  

.

So với điều kiện (*) chỉ cĩ x2_,x3 thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là ^S ^

 

^2;3 .

Câu 25: Phương trình ^{x x}



² ^¹



^x^{ }¹ ⁰ cĩ bao nhiêu nghiệm?

A. ². B. ¹. C. 0. D. 3.

Lời giải:

Điều kiện x   1 0 x 1.

Ta cĩ ^{x x}



²^¹



^x^{ }¹ ⁰ ² ⁰^{1 0} ⁰¹

1 0 1

x x

   

 

     

    



1

 x

Vậy ^S ^

 

¹ .



² ³ ²



³

0 1

x x x

x

  

  ^là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Lời giải:

Điều kiệnx3. Khi đĩ pt

2 1

3 2 0

2 3 0

3 x x x

x

x x

 

    

     

. Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình cĩ nghiệm duy nhấtx3.

Câu 27: Số nghiệm của phương trình ^{x x}



²^⁴



²^x^{ }³ ⁰^là

A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.

Lời giải:

(17)

Ta có ^{x x}



²^⁴



²^x^{ }³ ⁰

3 2 0

2 3 2 x

x x x

 



 

   

 



3 2 2 x x

 



  .

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 28: Số nghiệm của phương trình ^x^²



^x²^³^x^²



^⁰^là

A. 1_. _B.2_. _C.3_. _D.0_.

Lời giải:

Điều kiện xác định: x2_(*)

Ta có:

     

 

2

2 / 2 0

2 3 2 0 1 2

3 2 0

2 /

x T M

x x x x x KTM x

x x

x T M

   

 

            

Vậy phương trình

 

¹ có một nghiệm x2_. Câu 29: Số nghiệm của phương trình



^x²^¹⁶



³^{ }^x ⁰^là

A. 1. B. 3. C. 0. D. 2.

Lời giải:

+ Điều kiện ^x^^{3 *}

 

.

Phương trình



² ¹⁶



³ ⁰ ² ¹⁶ ⁰

3 0

x x x

x

  

    

   ^.

+ ² 4

16 0

4 x x

x

 

      so sánh điều kiện (*) suy ra x 4 là một nghiệm của phương trình đã cho.

+ 3   x 0 x 3 thỏa mản điều kiện (*) suy ra x3 là một nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có 2_nghiệm.



^x^³



²^x^{ }⁶ ^x²^⁹ bằng

A. ². B. 3_. _C.1. D. 7_.

Lời giải:

Điều kiện xác định của phương trình: 2x    6 0 x 3

Ta có



³



² ⁶ ² ⁹



³

 