Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P    z 1 z

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P    z 1 z

  z 1 . Tính giá trị của M.n

A. 13 3

4 B. 39

4 C. 3 3 D. 13

4

 Cách 1:

Re( ) z là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z   1 z z .  1

 Đặt t   z 1 , ta có: 0  z     1 z 1 z      1 2 t  0; 2 

 t

   1 z    1  z   1 z z z z .     2 2Re( ) z  Re( ) z  t

2  2

 z

   z 1 z

  z z z .  z z    1 z t

 3

 Xét hàm số: f t     t t

 3 , t    0; 2   . Xét 2 TH:

   13

Maxf t  4 ; Minf t    3 . 13 3

M n 4

 

 Cách 2:

 z  r  cos x  i sin x    a bi

 Do

2

2 2

. 1

1

1 z z z

z

r a b

  

   

   



 P  2  2cos x  2cos x  1 , đặt t  cos x    1;1   f t    2  2 t  2 t  1

 TH1: 1; 1 t      2   

     

 

1 3

' 1 2 0 1

2 2 3

2 maxf t f f t

minf t f t

  

                

 TH1: 1 ;1 2

 

     t

  1 7   7 13

' 2 0

8 8 4

2 2

f t t maxf t f

t

 

              

   13

Maxf t  4 ; Minf t    3 13 3

. 4

 M n 

Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z   3 4 i  5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   z 2

  z i

. Tính module số phức w  M  mi .

A. w  2 314 B. w  1258 C. w  3 137 D. w  2 309

 Cách 1:

 4 2 3 4 3 2

P x

P  x  y    y  

 3 4 5  3  

4 

5  3 

4 3 4

5  

2

P x

z   i   x   y    x            f x

 

 f '    x  8 x   3   8 P  4 x  11     0 x 0, 2 P  1,6   y 0,1 P  1,7

 Thay vào f x   ta được:  0, 2 1,6 3  

0,1 1,7 4 

5 0 33

13

P P P

P

 

          

 Cách 2:

 z   3 4 i  5   x  3  

 y  4 

 5 :   C

 ( ) : 4  x  2 y    3 P 0

 Tìm P sao cho đường thẳng  và đường tròn   C có điểm chung

 ;  23 10 13 33

d I R P P

        

 Vậy MaxP  33 ; MinP  13

 w  33 13  i  w  1258

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P    z 1 2 z  1 .

A. P

 2 5 B. P

 2 10 C. P

 3 5 D. P

 3 2

 Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:

 P    z 1 2 z   1  1

 2

  z  1

  z 1

  10   z

 1  2 5

Bài 4: Cho số phức z   x yi  x y ,  R  thỏa mãn z   2 4 i   z 2 i và m  min z . Tính module số phức w   m  x  y i  .

A. w  2 3 B. w  3 2 C. w  5 D. w  2 6

 Cách 1:

 z   2 4 i   z 2 i    x y 4



 

4

2 2 2 2 x y

z x y 

    

 min z  2 2 , Dấu “=” xảy ra khi 4 2 w 2 2 4 w 2 6 2

x y x

x y y i

  

 

     

   

 

Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có:

 

2 x y

x y 

 

Dấu “=” xảy ra khi x  y

 Cách 2:

 z   2 4 i   z 2 i    y 4 x

 z  x

 y

 x

  4  x 

 2  x  2 

  8 2 2

 min z  2 2 . Dấu “=” xảy ra khi 4 2 w 2 2 4 w 2 6

2 2

x y x

x y i

  

 

     

   

 

Bài 5: Cho số phức z   x yi  x y ,  R  thỏa mãn z     i 1 z 2 i . Tìm môđun nhỏ nhất của z.

A. min z  2 B. min z  1 C. min z  0 D. 1

2 min z 

 Cách 1:

 z     i 1 z 2 i    x y 1



 

1

2 2

x y

x y 

  



1 1

2 2

z  x  y  

Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có:

 

2 x y

x y 

 

 z     i 1 z 2 i    y x 1



 1 

2 1

1 1 1

2 2 2 2

z  x  y  x  x      x       

 Vậy 1 2 min z 

Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P  z

 3 z z    z z . Tính M  m

A. 7

4 B. 13

4 C. 3

4 D. 15

4 Sáng tác: Phạm Minh Tuấn

 Cách 1:

 Ta có z

  1 z z .  1

 Đặt t    z z   0;2   t

   z  z z  z  z

 2 . z z  z

  2 z

 z

 z

 3 z   z z z

  3 z

 t

   1 t

1



2

2

1 3 3

1 2 4 4

 

          

P t t t

 Vậy 3

 4

minP ; maxP  3 khi t  2

 15

  4

M n

 Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại

 P  z

 3 z     z z z z

 3 z z  z    z z z

  3 z

   z z   z  z

   1 z z



1 3

      4

P z z z z . Đến đây các bạn tự tìm max nhé

Bài 7: Cho các số phức a b c z , , , thỏa az

 bz   c 0  a  0  . Gọi z

và z

lần lượt là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của biểu thức

 

2 2

1 2 1 2

2

P  z  z  z  z  z  z

A. 2 c

P  a C. 4 c

P  a

B. P c

 a D. 1 .

2 P c

 a

 Giải:

 Ta có : z

 z

 z

 z

  z

 z

  z

 z

   z

 z

  z

 z

  2 z

 2 z

 Khi đó P  4 z z

 Ta lại có:

   c 4

 4 c

z z P z z

a a

Bài 8: Cho 3 số phức z z z

,

,

thỏa mãn z

 z

 z

 0 và z

 z

 z

 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. z

 z

 z

 z

 z

 z

là số thuần ảo B. z

 z

 z

 z

 z

 z

là số nguyên tố C. z

 z

 z

 z

 z

 z

là số thực âm D. z

 z

 z

 z

 z

 z

là số 1

 Chứng minh công thức:

 z

 z

 z

 z

 z

 z

 z

 z

 z

 z

  z

z

 Ta có: z

 z z . và z

   z

... z

    z

z

... z

. Áp dụng tính chất này ta có vế trái:

           

     

   

1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 1 2 3 3 2 3 1 1 3

2 2 2

1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

z z z z z z z z z z z z

z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z

z z z z z z z z z z z z z z z

z z z z z z z z z

z z z z z z

        

           

           

       

     

 Áp dụng công thức đã chứng minh suy ra: z

 z

 z

 z

 z

 z

 3 là số

nguyến số

Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hai điều kiện z  1 và z z 1 z   z ?

A . 5 B. 6 C. 7 D. 8

 Giải:

 Ta có: z

  1 z z .

 Đặt z  cos x i  sin , x x   0;2    z

 cos 2 x i  sin 2 x



2 2

cos 2 1

1 1 2 cos 2 1 2

. 1

cos 2 2

 

 

       

  



z z z z x

z x

z z z

x

 Giải 2 phương trình lượng giác trên với x   0;2   nên ta chọn được các giá trị

5 7 11 2 4 5

; ; ; ; ; ; ;

6 6 6 6 3 3 3 3

       

 

  

 

x

 Vậy có 8 số phức thỏa 2 điều kiện đề cho

Bài 10: Cho các số phức z z z

, ,

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z

 z

 z

 1999 và

1 2 3

0

z   z z  . Tính

1 2 3

z z z z z z

P z z z

 

   .

A. P  1999 P  999,5

B. P  1999

P  5997

 Giải



1 2 3 1 2 3

. . .

z z z z z z z z z z z z

P z z z z z z

 

     

            

 Mặc khác:

2 1

1 2 2

1 2 3 1 1 2 2 3 3 2

2 2 3

3

1999

1999 1999 1999

1999

z z

z z z z z z z z z z

z

z z

 

 

          

 



 

 Suy ra

2 2 2 2 2 2

2 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2

2 2 2

1 2 3

1 2 3

1999 1999 1999 1999 1999 1999

. . .

1999 1999 1999 1999

z z z z z z z z z z z z

P z z z

z z z

 

 

 

     

            

 

 P  1999

 Tổng quát: z

 z

 z

  k z z

 z z

 z z

 k z

  z

z

Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn 3 3 2

1 2 3

1 2 2

i z i

i

   

 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P    z 3 3 i . Tính M m .

A) M n .  25 B) M n .  20 C) M n .  24 D) M n .  30

 Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z z



 r . Tính Min, Max của

z z 

. Ta có

1 1 1 1

z r ; r z

Max z Min z

z z z z

     

 Áp dụng Công thức trên với

3 3 2

; 1 2 , 3 3 ; 3

1 2 2

z i z i z i r

i

      

 ta được

6; 4

Max  Min  Bài tập áp dụng:

1) Cho số phức z thỏa mãn z   2 2 i  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M m .

A) M n .  7 B) M n .  5 C) M n .  2 D) M n .  4 2) Cho số phức z thỏa mãn 1 2

2 1 1

i z i

  

 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z i  . Tính M m .

A) . 1

M n  5 B) . 1

M n  3 C) . 1

M n  10 D) . 1

M n  4

3) Cho số phức z thỏa mãn

2

n n

z i i

i





 với n . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z   3 i . Tính M m .

A) M n .  20 B) M n .  15 C) M n .  24 D) M n .  30 Bài 12: Cho số phức z thỏa mãn z     1 z 1 4 . Gọi m min z  và M  max z , khi đó M n . bằng:

A. 2 B. 2 3 C. 2 3

3 3

 Giải:

 Dạng Tổng quát: z z z



 z z z



 k với z

  a bi z ;

  c di z ;   x yi

 Ta có:

2 2 2 1

4 2

k z

Min z

z

  và

2

Max z k

 z

 Chứng minh công thức:

 Ta có:

1

2 2

k z z z z z z z z z z z z z z z k

           z . Suy ra

2

Max z k

 z

 Mặc khác:

 z z z



 z z z



  k  ax by c    

 ay bx d   

  ax by c    

 ay bx d   

 k

 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

  



  



1. 1.

k  ax by c    ay bx d    ax by c    ay bx d  

         

    

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

1 1

4 4

ax by c ay bx d ax by c ay bx d

a b x y c d

 

                

    

 Suy ra  

 

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

1

4 4

4 2

k c d k z

z x y

a b z

  

   



 ADCT trên ta có:

2

1 2

4 4

2 3

1; 1; 4

4 2 2 m

z z k

M

   

     

  



Bài 13: Cho số phức z thỏa mãn 2 2

1 1 4

iz iz

i i

   

  . Gọi m min z  và M  max z , khi đó M n . bằng:

A. 2 B. 2 2 C. 2 3 D. 1

 ADCT Câu 12 ta có:

2 2

; ; 4

1 2

z i z k m

i M

  

       

Bài 14: Cho các số phức z z z

,

,

thỏa mãn

1 3

2 2

z z z   i . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z

 z

 z

.

A. P

 1 C. P

 3

B.

1

P  3 D. P

 2

 Giải:

 Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P  3

z

. z

. z

 Mặc Khác:

1 3

1 1

2 2

z z z   i  z z z   z z z 

 Suy ra P  3 . Dấu “=” xảy ra khi z

 z

 z

 1

Bài 15: Cho số phức z   x yi với x, y là các số thực không âm thỏa mãn  

 

3 1

1 2 z

z i

và biểu thức P  z

 z

 i z   

 z

     z     1   i z 1  i   . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P lần lượt là:

A. 0 và  1 C. 3 và 0

B. 3 và  1 D. 2 và 0

 Giải:

 3

1 3 1 2 1

1 2

z z z i x y

z i

         

 

 P  16 x y

 8 xy , Đặt t  xy

2

1

0 2 4

t    x y

     

 



1

16 8 , 0; 0; 1

P  t  t t     4     MaxP  MinP  

Bài 16: Cho các số phức z thỏa mãn z  1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 3

1 1 1

P     z z   z .

A. P

 1 C. P

 3

B. P

 4 D. P

 2

 Giải:

 Ta có: z     1 z 1

 P     1 z 1 z

  1 z

    1 z z 1  z

  1 z

   1 z z  1  z

   1 z

 2

Bài 17: Cho số phức z thỏa mãn 6 2 3 1

z i iz

 

 . Tìm giá trị lớn nhất của z .

A. 1

max z  2 C. 1

max z  3

B. 3

max z  4 D. max z  1

 Giải:

               

2 2

2

6 1 6 2 3 6 2 3

2 3

6 6 2 3 2 3 6 6 2 3 2 3

1 1 1

. 9 9 3

z i z i iz z i iz

iz

z i z i iz iz z i z i iz iz

z z z z

         



          

     

Bài 18: Cho z a bi a b   , ,    thỏa z

  4 2 z và P  8  b

 a

  12 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. P   z

 2 2 C. P   z  2 2

B. P   z

 4 2 D. P   z  4 2

 Giải:

 z

  4 2 z   a

  b

4 

   2 ab

 4  a

 b

  0

 Chuẩn hóa b   0 a

 4 a

 16 0      a 1 i 3     z 1 i 3   P 4

 Thử đáp án: - ĐÁP ÁN A:

2 2

1 3 2 4

P       i       Nhận

Bài 19: Cho số phức z thỏa mãn z   2 3 i  1 . Gọi M  max z   1 i , m min z    1 i . Tính giá trị của biểu thức  M

 n

 .

A. M

 m

 28 C. M

 m

 26

B. M

 m

 24 D. M

 m

 20

 Giải:

 z   2 3 i   1  x  2  

 y  3 

 1 (1)

 Đặt P     z 1 i  x  1  

 y  1 

 P

(2) với P  0

 Lấy (1)-(2) ta được:

2

10 6

4

P x

y    . Thay vào (1) :

  2 

10 6 3

1 52

 40 12

 

4

52  0

4

P x

x            x   P x  P  P  

  (*)

 Để PT (*) có nghiệm thì:

 40 12 P



4.52.  P

4 P

52  0 14 2 13 P 14 2 13

           

 Vậy M  14 2 13 ,  m  14 2 13   M

 m

 28 Bài 20: Cho số thức z 

thỏa mãn

1

2

z  z  và 1

M max z

  z . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.   1 M  2 C. 2 7

M 2

 

B. 1 5

M 2

  D. M

 M

 M  3

 Giải:



3 3

3 3

3 3

1 1 1 1 1 1

3 3

z z z z z z

z z z z z z

                  

       

       

3 3

3 3

1 1 1 1 1

3 3 2

z z z z z

z z z z

z

       

                  

       

 Mặt khác:

3 3

1 1 1 1

3 3

z z z z

z z z z

          

   

   

 Suy ra:

1

1

3 2

z z

z z

    , đặt 1

0 t z

   z , ta được:

 t

3 t 2 0  t 2   t 1

0 t 2 z 1 2 M 2

             z 

Bài 21: Cho số phức z thỏa mãn  z   3 i     1    i 1 i

. Khi đó số thức w    z 1 i có phần ảo bằng:

A.  ( ) 2 z 

 1 C.  ( ) 2 z 

B.  ( ) 2 z 

 3 D.  ( ) 2 z 

 2

 Giải:

  z   3 i     1    i 1 i

    z 3 i      1  i 1    i 1 i

  

  

2 1009 1009

1008

1 2

3 3 2 3

1 1 2

i i

z i i i i

i i

    

 

   

         

 

 w  2

i       3 i 1 i 4  2

 2  i   ( ) 2 z 

 2

Bài 22: Cho số phức z thỏa mãn  1  5 i z   2 42 z  3 i  15 . Mệnh đề nào dưới đây đúng:

A. 1 2

2   z C. 5 4

2   z

B. 3 3

2   z D. 3  z  5

 Giải:



 

   

  

 

2 2 2

1 5 2 42 3 15

1 5 3 1 5 2 42

2 42 2 42

1 5 3 1 5 3

6. 3 2 42 6 3 . 4.42 0 2

i z i

z

i z i i

z

i z i i z i

z z

z z z z

z

   

    

       

        

Bài 23: Cho ba số phức z z z , ,

thỏa mãn 2 z i    2 iz và z

 z

 1 . Tính giá trị của

biểu thức P  z  z .

A. 3

P  2 C. P  2

B. P  3 D. 2

P  2

 Giải:

 Đặt z x yi   , 2 z i    2 iz  x

 y

 1

 Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z z

,

.

 Ta có z

 z

 OA OB   AB  1

 Suy ra AB OA OB   hay tam giác OAB đều.



2 2. 3 3

P  z  z  OA OB   OM  2 

Bài 24: Cho ba số phức z z z

, ,

thỏa mãn z

 z

 z

 1 và z

   z

z

0 . Tính giá trị của biểu thức P z 

 z

 z

.

A. P  1 C. P   1

B. P  0 D. P   1 i

 Giải: Chuẩn hóa

1 3

1 3

, , 1

2 2 2 2

z   i z   i z   Suy ra P  0

Bài 25: Cho hai số phức z z

,

thỏa mãn z

 z

  8 6 i và z

 z

 2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P  z

 z

.

A. P

  5 3 5 C. P

 4 6

B. P

 2 26 D. P

 34 3 2 

 Giải:

 Ta có: z

 z

   8 6 i z

 z

 10

 z

 z

 z

 z

 2  z

 z

  52  z12 z2 2   z1  2 z2 2  z1  z2  2.52  2 26

Bài 26. Cho z z z

, ,

là các số phức thỏa mãn z

 z

 z

 1 và z

   z

z

0 . Khẳng định nào dưới đây là sai.

A. z

  z

z

 z

 z

 z

B. z

  z

z

 z

 z

 z

C. z

  z

z

 z

 z

 z

D. z

  z

z

 z

 z

 z

 Giải: Chuẩn hóa

1 3

1 3

, , 1

2 2 2 2

z   i z   i z   Suy ra đáp áp D

Bài 27: Cho z ,z ,z

là các số phức thoả mãn z

 z

 z

 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. z

  z

z

 z z

 z z

 z z

B. z

  z

z

 z z

 z z

 z z

C. z

  z

z

 z z

 z z

 z z

D. z

  z

z

 z z

 z z

 z z

 Giải: Chuẩn hóa

1 3

1 3

, , 1

2 2 2 2

z   i z   i z   Suy ra đáp áp A

Bài 28: Cho z ,z ,z

là các số phức thoả mãn z

 z

 z

 1 và z

   z

z

1 . Biểu thức

2 1 2 1 2 1

1 2 3

n n n

P z 

 z

 z

,  n 

 nhận giá trị nào sao đây?

A. 1 B. 2

C. 4 D. 3

 Giải: Chuẩn hóa n  1, z

 1, z

 i z ,

  i Suy ra đáp áp A

Bài 29: Cho ba số phức z z z

,

,

thỏa mãn z

 z

 z

 1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

1 1 1

P  z z z z  z z z z  z z z z

      .

A.

3

P  4 C.

1

P  2

B. P

 1 D.

5

P  2

 Giải:

 z

 z

 z

 z

 z

 z

  z

 z

  z

 z

   z

 z

  z

 z

   z

 z

  z

 z





 



2

1 2 3

9 9

z z z z z z

z z z

     

   

 Theo BĐT Cauchy- Schwarz:

2 2 2 2

1 2 1 3 2 1 2 3 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3

9 9 9

9

P z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z

  

               

 Do đó: 9 1

P   9 (do z

 z

 z

 0 )

Bài 30: Cho ba số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 P z i

iz

 

 :

A. P

 1 C. 3

max

4 P 

B. 1

max

2

P  D. P

 2

 Giải: Chuẩn hóa 1 1

0 z z

z

      

 1 2 1

2

z P i

i

    

 do đó loại B, C

 0 1

2 2

z P  i

    do đó loại D, chọn đáp án A

Bài 31: Cho 3 số phức z z z

,

,

thỏa mãn z

 z

 z

 0 và

2 2

   3

z z z . Mệnh đề nào

dưới đây đúng?

A.

2 2

      3

z z z z z z

B.

8

      3

z z z z z z

C. z

 z

 z

 z

 z

 z

 2 2

D. z

 z

 z

 z

 z

 z

 1

 Giải:

8

            3

z z z z z z z z z z z z

Bài 32: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z i   3 và z   2 2 i  5 . Kí hiệu z z

,

là hai số phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức P  z

 2 z

.

A. P  2 6 C. P  33

B. P  3 2 D. P  8

 Giải:

 3       z i z 1 z 2

o Dấu “=” xảy ra khi:

 

2 2 1

1 9

2 4

x y

z i

x y

   

   

  



 z  2 2    z 2 2 i     5 z 5 2 2

o Dấu “=” xảy ra khi:   



2 2 2

2 2 25 4 5 2 4 5 2

2 2

33 20 2

x y

z i

x y

        

     

     

  



 4 5 2 4 5 2 4 33

2 2

P             i  i 

Bài 33: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thỏa mãn z    1 i 2 z z    5 3 i sao cho biểu thức P    z 2 2 i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm phần thực của số phức z đó.

A. ( ) 8 7 2

 z   C. ( ) 4 6

2

 z  

B. ( ) 8 2 2

 z   D. ( ) 12 2

2

 z  

 Giải:

 z    1 i 2 z z    5 3 i   y  x  2 

  2  

2 

 2 

3

7 7

2 4 4

P  x   y   y  y     y     

 

 Dấu “=” xảy ra khi:

 

3 4 6 3

2 2 2

2

y z i

y x

  

   

   



Bài 34: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z

  z 2 . A.

11

 2

P B. P

 2 3 C.

13

 2

P D. P

 3 5

 Giải:

Câu 35: Cho phương trình: z

 az

   bz c 0 ,  a b c , ,   . Nếu z

  1 i z ,

 2 là hai nghiệm của phương trình thì a b c   bằng:

A.  2 B.  1 C. 0 D. 1

Bài 36: Cho số phức z thỏa mãn 11 z

 10 iz

 10 iz  11 0  .Tính z .

A. 1

 2

z B. 3

 4

z C. P

 1 D. P

 2 Bài 37: Cho phương trình: z

 az

 bz

   cz d 0 ,  a b c d , , ,   có bốn nghiệm phức là

1

,

, ,

z z z z . Biết rằng z z

 13  i z ,

 z

  3 4 i , khẳng định nào sau đây đúng?

A. b  53 B. b  50 C. b  55 D. b  51

Bài 38: Cho số phức z thỏa mãn z

 z

 z

 1 và z

 z z z

;

 z z z

;

 z z

là các số thực. Tính  z z z



.

A. 1 C.  1

B.  2

D. 2

Bài 39: Cho số phức z thỏa mãn đồng thời z z   2 và z  3 z   2  i 3  z . Khẳng định nào sao đây đúng?

A. 1 2

2   z C. 5 4

2   z

B. 3 3

2   z D. 3  z  5

Bài 40: Cho z z z z

,

, ,

là nghiệm phức của phương trình:

1

2 1 z

z i

   

  

  . Tính giá trị của biểu thức P   z

 1  z

 1  z

 1  z

 1  :

A. P  1 C. 18

P  5

B. P   1 D. 17

P  9

Bài 41: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z

  1 z

  z 1 . Tính M  m .

A. 2 B.7 C.6 D. 5

Bài 42: Cho hai số phức z z

,

thỏa mãn

1 2

1 2 z z

z z

 

 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 2

1 2

z z

P  z  z .

A. 2 B.0,75 C.0,5 D. 1

Bài 43: Trong mặt phẳng phức với gốc tọa độ O, cho hai điểm A, B (khác O) biểu diễn hai số phức z z

,

thỏa mãn z

 z

 z z

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.  OAB vuông cân tại A B.  OAB đều

C.  OAB cân, không đều D.  OAB cân tại A

Bài 44: Cho ba số phức z z z

,

,

thỏa mãn

2

z  z  z  2 và z

  z

z

 0 . Tính giá

A.

7 2

P  3 C.

3 6

P  2 B.

4 5

P  5 D.

10 2

P  3

 Giải:



3 z  z  z  z  z  z  z  z  z  z   z z  2

 Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có:



  2 2 2

1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1

2 2 1 2 2 3 6

P  z  z  z  z  z  z    z  z  z  z  z  z  2 Bài 45: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z

   1 1 z . Tính P M 

 n

A. 12 C. 15

B. 20 D. 18

Bài 46: Cho bốn số phức , , , a b c z thỏa mãn az

 bz c   0 và a    b c 0 . Gọi ,

M max z m min z   . Tính môđun của số phức w M mi   .

A. w  2 C. w  3

B. w  2 D. w  1

Bài 47: Cho số phức z thỏa mãn z   1 2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P      z i z 2 i . Tính môđun của số phức w M mi   .

A. w  2 6 C. w  3 5

B. w  4 2 D. w  4

 Giải:

 z   1 2   x  1 

 y

 2

 P  x

  y  1 

  2  x  

  1 y 

  x   2 x  

 y    1 1 y 

 2 2



 1 

 2  

1 

2.2  1 

2 4

P  x  y    x   y     x   y     

 w   4 2 2 i  2 6

Bài 48: Cho hai số phức z z

,

thỏa mãn

3 4 5 5

z  z   i , z

 z

 3 và biểu thức

3 3

1 2 1 2

4 4 3 3 5

P  z  z  z  z  đạt giá trị nhỏ nhất . Tính z

 z

.

A. 1 C. 2

B. 3

4 D. 3

 Giải:

 Ta có: z

 z

 1; 3  z

 z

 z

 z

 z

 z

 z

 z

 2  z

 z

   2 z

 z

  z

 2 z



 3  z

 z

 2

 P  4  z

 z

  3  z1  z2    5  z1  z2  3 3 z1  z2   5

 Xét hàm số:  

3 5, 3; 2 ; '   3

3 0 1

1

f t t t t f t t t

t

   

             

 Do đó minf t    3  minP  3

 Dấu “=” xảy ra khi z

 z

 1

Bài 49: Cho số phức z thỏa mãn 3

3 2

z   z . Gọi M max z 

và m min z 

, tính môđun của số phức w M mi   .

A. w  4 22 C. w  5 10

B. w  7 56 D. w  3 62

 Giải:

   

 

2 2 2

2

2 2 2

4 2

2 2

3 3 3 6 9

3 3

3 2 18 18 18

6 9

18 12 3 15 12 3 15

z z z z z z

z z

z z z z

z z

z z

     

        

 

      

Do đó: w  3 62

Bài 50: Cho số phức z thỏa mãn z

 2 z   5  z   1 2 i z    3 i 1  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P    z 2 2 i .

A.

1

P  2 C. P

 2

B. P

 1 D.

3

P  2

Bài 51: Cho số phức z thỏa mãn z  2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của của biểu thức z i

P z

  . Tính giá trị của biểu thức M.n :

A. 1

4 C. 1

B. 2 D. 3

4

Bài 52: Cho số phức z thỏa mãn z

  4 2 z . Gọi M  max z và m min z  , tính môđun của số phức w M mi   .

A. w  2 3 C. w  14

B. 6

w  3 D. 2

w  3

Bài 53: Cho số phức z   x yi ,  x y ,   là số phức thỏa mãn hai điều kiện

2 2

2 2 26

z    z  và biểu thức 3 3

2 2

P   z  i đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức (x.y)

A. 9

xy  4 C. 9

xy  2

B. 16

xy  9 D. 17

xy  2 Bài 54: Cho ba số phức z z z

,

,

thỏa mãn

1 15

4 4

z z z   i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 2 3 1 2 3

1 1 1 6

P  z  z  z  z z z

  .

A. P

 6 C. P

 5

B. P

 4 D. P

 3

Bài 55: Cho hai số phức z z

,

thỏa mãn z

 z

 1 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z

  1 z

  1 z z

 1 . Khẳng định nào sau đây sai?

A. 7 3

4   m C. 3 7

  m 2

B. 1 11

m 5

  D. 1 5

4   m 2

Bài 56: Cho số phức z a bi    0 sao cho z không phải là số thực và

1 w z

 z

 là số thực. Tính

2

1

z

 z . A. 1

3 a  1 C. 1

3 a  2

B. 2 2

a  D. 1

2 a  1

 Giải:

 Theo đề: 1

0   1

  0

0( 1 )

1 2

b Loai

z z

z z z z z

z z z a

  

 

            

   



2 2

1 2 1

2 1 2 1

1

2

z a

a a

z

a

 

 



Bài 57: Cho hai số phức , z w khác 0 và thỏa mãn z w   2 z  w . Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức u z

 w . Tính a

 b

 ? A. 1

2 C. 1

8 B. 7

2 D. 1

4

 Giải:

 Chuẩn hóa: w  1 . Theo đề ta có:

   

 

2 2 2 2

2 2

2 2

1 4

1 2 1 15 1 15 1

8 8 8 8 4

1 1 1 1

x y x y

z z

z i u i a b

z x y

       

           

 

      

 

Bài 58: Cho hai số phức , z w khác 0 và thỏa mãn z w   5 z  w . Gọi a, b lần lượt là

phần thực và phần ảo của số phức u z w  . . Tính a

 b

 ?

A. 1

50 C. 1

100 C. 1

25 D. 1

10

 Giải:

 Chuẩn hóa: w  1 . Theo đề ta có:

   

 

2 2 2 2

2 2

2 2

1 25

1 5 1 3 11 1 3 11 1

50 50 50 50 25

1 1 1 1

x y x y

z z

z i u i a b

z x y

       

           

 

      

 

Bài 59: Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng w i  và 2 w  1 là hai nghiệm của phương trình z

   az b 0 . Tính a b   ?

A. 5

9 C. 5

 9 B. 1

 9 D. 1

9

 Giải:

 Theo định lý Viet ta có:      3 w i w i       2 1 w   1 a  b       1 3 i a  i      2 2 3 i 2 a  1     b

2

2

2 1 2

2 1 2 4 9 9 3 5

9 9 3 9 9 2 4 13 9

0 9

9 9