Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2017 - 2018 sở GD&ĐT Lai Châu - THCS.TOANMATH.com

(1)

Trang 1/1 Câu 1 (3, 0 điểm): Cho biểu thức

A 1 1 2 1 1 : x³ y x x y₃ ₃ y³

x y x y x y x y xy

   + + +

= + ⋅ + + +  + với x>0, 0y>

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.

Câu 2 (4,0 điểm)

2.1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x³−4x²−xy+5x y+ + =3 0. 2.2. Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính phương .

Câu 3 ( 5,0 điểm)

3.1. Cho phương trình: x²−

(

²m+¹

)

x m m+ ²+ − =^{6 0}. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x₁, ₂ thoả mãn x₁³−x₂³ =50.

3.2. Giải phương trình 3x− = −2 3 x−1.

3.3. Giải hệ phương trình ² ² 2( ) 7

( 2 ) 2 10

x y x y

y y x x

+ + + =

 − − =

 ^.

Câu 4 (6,0 điểm): Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD tại F. Chứng minh:

a) Tứ giác BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) AE.AF = AC².

c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Câu 5 ( 2,0 điểm): Choa b c, , là 3 số thực dương thỏa mãn ab bc ca+ + =3abc.

Chứng minh rằng: ₂ ₂ ₂ ³

2

a b c

a bc b ca c+ + ab≤

+ + + .

………..HẾT………

- Thí sinh không sử dụng tài liệu - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

UBND TỈNH LAI CHÂU

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017-2018

Môn:

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/4/2018

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

(2)

Trang 1/4

ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM Môn: Toán

Câu 1. ( 3,0 điểm)

ý Nội dung Điểm

a

3 3

1 1 . 2 1 1 : x y x x y y

A x y x y x y x y xy

   + + +

= +  + + +  +

( )( ) ( )

( )

2 -

= x y. x y : x y x xy y xy x y

xy x y xy xy x y

+ + + +

 + + + 

 

 +  +

 

0,5

( ) ( )

( )

= 2 x y : x y x y xy xy xy x y

+ +

 + 

 + 

  +

  0,5

( )

²

= x y . xy .

xy x y

+

+ 0,5

x y xy

= + 0,5

b

Ta có

(

^x ⁻ ^y

)

² ^{≥ ⇔}⁰ ^x⁺ ^y^{- 2} ^xy ^≥⁰ ^⇔ ^x⁺ ^y ^≥² ^xy^. 0,25

Do đó ² 2 16 1

16 x y xy

A xy xy

= + ≥ = = 0,5

Vậy min A = 1 khi 4.

16

x y x y

xy

 =

 ⇔ = =

 =

 0,25

Tổng điểm câu 1 3,0

Câu 2 ( điểm)

2.1

( ) ( )

3 4 2 5 3 0 3 4 3 2 2 5

x − x −xy+ x y+ + = ⇔ x − x+ x + y xy− + x− = − 0,25

(

¹

)(

³

) (

^{1 2}

) (

¹

)

⁵

x x x y x x

⇔ − − − − + − = − 0,25

(

^x ¹

) (

^x² ³^{x y} ²

)

⁵

⇔ − − − + = − 0,25

Ta có bảng kết quả sau

x−1 1 −5 5 −1

2 3 2

x − x y− + −5 1 −1 5

x 2 −4 6 0

y 5 29 21 −3

1,0

Vậy

( ) ( ) (

x y^, ∈

{

2;5 , 4;29 , 6;21 , 0; 3−

) ( ) (

−

) }

0,25 2.2 Với n = 1 thì 1! = 1 = 1² là số chính phương . 0,5

Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương 0,5 UBND TỈNH LAI CHÂU

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017-2018

(3)

Trang 2/4

Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 3² là số chính phương

0,5 Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 0,25 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … + n!

có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương

Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = 3 0,25

Tổng điểm câu 2 4,0

Câu 3 (5,0 điểm)

3.1 Ta có: ^{∆ =}

(

²^m⁺¹

)

²⁻⁴

(

^{m m}²^{+ −}⁶

)

⁼^{25 0}^>

⇒Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 ¹ 2

2 3 x m x m

 = −

⇒  = +

0,5

( )

³

3 3 3

1 2 2 ( 3) 50

x x m m

⇒ − = − − + = 0,5

2 2

2

5(3 3 7) 50 1 0

3 3 17 0 ( ) m m m m

m m VN

 + − =

⇔ + + = ⇔ 

+ + =

 0,5

1 5 2 1 5

2 m

m

 =− +



⇔ =− −

0,5 3.2 3x− = −2 3 x−1 Điều kiện: x≥1

3x− +2 x− = ⇔1 3 3x2−5x+ = −2 6 2x 0,25

2 2

1 3

3 5 2 36 24 4 x

x x x x

 ≤ ≤

⇔  − + = − + 0,25

2

1 3

19 34 0 x

x x

 ≤ ≤

⇔  − + = 0,25

1 3

2 ( ) 17 ( ) x

x TM

x L

 ≤ ≤

⇔ =

 =



0,25

2 2 2( ) 7

( 2 ) 2 10

x y x y

y y x x

 + + + =

 − − =



2 2

( 1) ( 1) 9 ( ) ( 1) 9

x y

y x x

 + + + =

⇔ 

− − + =

 0,5

Đặt a x= +1,b y= + ⇒ − = −1 b a y x ² ²₂ 9₂

( ) 9

a b b a a

 + =

⇒ 

− − =

 0,5

( )

2 2 2 2 0

( ) 2 0

2 a b b a a a a b a

a b

 =

⇒ + = − − ⇔ + = ⇔  = − 0,5

Với a= ⇒ = ± ⇒ = −0 b 3 x 1,y=2 hoặc x= −1,y= −4 0,25

(4)

Trang 3/4

3.3 Với 2 5 ² 9 ³ ⁶

5 5

a= − ⇒b b = ⇒ = ±b ⇒ =a 

6 3

1 , 1

5 5

x y

⇒ = − − = − + hoặc 1 ⁶ , 1 ³

5 5

x= − + y= − − 0,25

Câu 4 ( 6 điểm)

0,5

a

a) Tứ giác BEFI có: BIF 90^= ⁰(gt)

  ⁰

BEF BEA 90= = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF 1,5

b

b) Vì AB ^⊥CD nên AC AD^{ }= , suy ra ACF AEC^{ }= .

Xét ∆ACF và ∆AEC có góc A chung và ACF AEC = .

1,0 Suy ra: ∆ACF với ∆AEC ^{AC AE}

AF AC

⇒ =

AE.AF = AC2

⇒ 1,0

c

Theo câu b) ta có ACF AEC^{ }= , suy ra AC là tiếp tuyến của đường

tròn ngoại tiếp ∆CEF (1). 1,0

Mặt khác ACB 90^= ⁰(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra AC^⊥CB (2). Từ (1) và (2) suy ra CB chứa đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF, mà CB cố định nên tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF thuộc CB cố định khi E thay đổi trên cung nhỏ BC

1,0 Tổng điểm câu 4 6

Câu 5 (2,0 điểm)

F

E

I O

D C

A B

(5)

Trang 4/4

Từ điều kiện đề bài ta có ab bc ca 3 ^{1 1 1} 3

abc a b c

+ +

= ⇔ + + = 0,25

Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:

2 2

2

2 . 2 1

2 2

a a

a bc a bc a bc

a bc a bc bc

+ ≥ = ⇒ ≤ =

+ 0,5

2

1 1. 1 1 1 1 1 1. 1 1 1 1 1 1

2 2 4 4

a

b c b c a bc b c

b c b c

     

≤  + ⇒ ≤  + ⇒ + ≤  +  0,5 Tương tự ta có: ₂ ^{1 1 1} ; ₂ ^{1 1 1}

4 4

b c

b ca c a c ab a b

   

≤  +  ≤  + 

+   +   0,25

2 2 2

1 1 1 1 3

2 2

a b c

a bc b ca c ab a b c

 

⇒ + + + + + ≤  + + = (đpcm) 0,25

Đẳng thức xảy ra khi a b c= = =1. 0,25

Tổng điểm câu 5 2,0 ĐIỂM TOÀN BÀI THI: Câu 1+2+3+4+5 20,0 Lưu ý:

- Điểm bài thi là tổng điểm của các câu thành phần. Thang điểm toàn bài là 20,0 điểm, không được làm tròn (điểm lẻ từng ý trong một câu nhỏ nhất là 0,25)

- Thí sinh làm bài bằng cách khác, lập luận chặt chẽ, logic, ra kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa.

……….Hết………

(6)

Trang 1/4

PHIẾU CHẤM VÒNG 1

Môn: Toán Mã túi………..………Số phách……….…….………..………

Câu 1. ( 3,0 điểm)

ý Nội dung Điểm Điểm

chấm

a

3 3

1 1 . 2 1 1 : x y x x y y

A x y x y x y x y xy

   + + +

= +  + + +  +

( )( ) ( )

( )

2 -

= x y. x y : x y x xy y xy x y

xy x y xy xy x y

+ + + +

 + + + 

 

 +  +

 

0,5

( ) ( )

( )

= 2 x y : x y x y xy xy xy x y

+ +

 + + 

 

  +

  0,5

( )

²

= x y . xy .

xy x y

+

+ 0,5

x y xy

= + 0,5

b

Ta có

(

^x ⁻ ^y

)

² ^{≥ ⇔}⁰ ^x⁺ ^y^{- 2} ^xy ^≥⁰ ^⇔ ^x⁺ ^y ^≥² ^xy^. 0,25

Do đó ² 2 16 1

16 x y xy

A xy xy

= + ≥ = = 0,5

Vậy min A = 1 khi 4.

16

x y x y

xy

 =

 ⇔ = =

 =

 0,25

Câu 2 ( điểm)

chấm

2.1

( ) ( )

3 4 2 5 3 0 3 4 3 2 2 5

x − x −xy+ x y+ + = ⇔ x − x+ x + y xy− + x− = − 0,25

(

1

)(

3

) (

1 2

) (

1

)

5

x x x y x x

⇔ − − − − + − = − 0,25

(

^x ¹

) (

^x² ³^{x y} ²

)

⁵

⇔ − − − + = − 0,25

Ta có bảng kết quả sau

x−1 1 −5 5 −₁

2 3 2

x − x y− + −5 1 −1 5

x 2 −4 6 0

y 5 29 21 −3

1,0

Vậy

( ) ( ) (

x y^, ∈

{

2;5 , 4;29 , 6;21 , 0; 3−

) ( ) (

−

) }

0,25 UBND TỈNH LAI CHÂU

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017-2018

(7)

Trang 2/4 2.2

Với n = 1 thì 1! = 1 = 1² là số chính phương . 0,5 Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương 0,5 Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 3² là số chính

phương 0,5

Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 0,25 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … + n!

có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương

Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = 3 0,25

Tổng điểm câu 2 4,0

Câu 3 (5,0 điểm)

chấm 3.1 Ta có: ^{∆ =}

(

²^m⁺¹

)

²⁻⁴

(

^{m m}²^{+ −}⁶

)

⁼^{25 0}^>

⇒Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 ¹ 2

2 3 x m x m

 = −

⇒  = +

0,5

( )

³

3 3 3

1 2 2 ( 3) 50

x x m m

⇒ − = − − + = 0,5

2 2

2

5(3 3 7) 50 1 0

3 3 17 0 ( ) m m m m

m m VN

 + − =

⇔ + + = ⇔ 

+ + =

 0,5

1 5 2 1 5

2 m

m

 − +

 =

⇔

 − −

 =



0,5 3.2 3x− = −2 3 x−1 Điều kiện: x≥1

3x− +2 x− = ⇔1 3 3x2−5x+ = −2 6 2x 0,25

2 2

1 3

3 5 2 36 24 4 x

x x x x

 ≤ ≤

⇔  − + = − + 0,25

2

1 3

19 34 0 x

x x

 ≤ ≤

⇔  − + = 0,25

1 3

2 ( ) 17 ( ) x

x TM

x L

 ≤ ≤

⇔ =

 =



0,25

3.3

2 2 2( ) 7

( 2 ) 2 10

x y x y

y y x x

 + + + =

 − − =



2 2

( 1) ( 1) 9 ( ) ( 1) 9

x y

y x x

 + + + =

⇔ 

− − + =

 0,5

Đặt a x= +1,b y= + ⇒ − = −1 b a y x ² ²₂ 9₂

( ) 9

a b b a a

 + =

⇒ 

− − =

 0,5

( )

2 2 2 2 0

( ) 2 0

2 a b b a a a a b a

a b

 =

⇒ + = − − ⇔ + = ⇔  = − 0,5

Với a= ⇒ = ± ⇒ = −0 b 3 x 1,y=2 hoặc x= −1,y= −4 0,25

Với 2 5 ² 9 ³ ⁶

5 5

a= − ⇒b b = ⇒ = ±b ⇒ =a  0,25

(8)

Trang 3/4

6 3

1 , 1

5 5

x y

⇒ = − − = − + hoặc 1 ⁶ , 1 ³

5 5

x= − + y= − −

Câu 4 ( 6 điểm)

chấm

0,5

a

a) Tứ giác BEFI có: BIF 90^= ⁰(gt)

  ⁰

BEF BEA 90= = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF 1,5

b

b) Vì AB ^⊥CD nên AC AD^{ }= , suy ra ACF AEC^{ }= .

Xét ∆ACF và ∆AEC có góc A chung và ACF AEC = .

1,0 Suy ra: ∆ACF với ∆AEC ^{AC AE}

AF AC

⇒ =

AE.AF = AC2

⇒ 1,0

c

Theo câu b) ta có ACF AEC^{ }= , suy ra AC là tiếp tuyến của đường

tròn ngoại tiếp ∆CEF (1). 1,0

Mặt khác ACB 90^= ⁰(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra AC^⊥CB (2). Từ (1) và (2) suy ra CB chứa đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF, mà CB cố định nên tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF thuộc CB cố định khi E thay đổi trên cung nhỏ BC

1,0

Tổng điểm câu 4 6 Câu 5 (2,0 điểm)

chấm Từ điều kiện đề bài ta có ab bc ca 3 ^{1 1 1} 3

abc a b c

+ + = ⇔ + + = 0,25

Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:

2 2

2

2 . 2 1

2 2

a a

a bc a bc a bc

a bc a bc bc

+ ≥ = ⇒ ≤ =

+ 0,5

F

E

I O

D C

A B

(9)

Trang 4/4

2

1 1. 1 1 1 1 1 1. 1 1 1 1 1 1

2 2 4 4

a

b c b c a bc b c

b c b c

     

≤  + ⇒ ≤  + ⇒ + ≤  +  0,5 Tương tự ta có: ₂ ^{1 1 1} ; ₂ ^{1 1 1}

4 4

b c

b ca c a c ab a b

   

≤  +  ≤  + 

+   +   0,25

2 2 2

1 1 1 1 3

2 2

a b c

a bc b ca c ab a b c

 

⇒ + + + + + ≤  + + = (đpcm) 0,25

Đẳng thức xảy ra khi a b c= = =1. 0,25

Tổng điểm câu 5 2,0 ĐIỂM TOÀN BÀI THI: Câu 1+2+3+4+5 20,0

Tổng điểm toàn bài: ………..điểm.

Bằng chữ: ………..………..

Lai Châu, ngày………. tháng ………….năm 2018 CÁN BỘ CHẤM THI LẦN 1

(Ký, ghi rõ họ tên)