Đề Thi HSG Toán 8 Cấp Huyện Năm 2016 – 2017 Phòng GD&ĐT Hậu Lộc – Thanh Hóa

(1)

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN HẬU LỘC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017

Môn: Toán - Lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: A = ₂² ⁹ ^{3 2} ⁴

5 6 2 3

x x x

x x x x

    

   

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x để A nhận giá trị là một số nguyên.

Câu 2: (4 điểm)

a) Giải phương trình: ² ⁵ ¹ 2 ² ⁴ ¹

2 1 1

x x x x

x x

      

 

b) Giải phương trình: x⁶ – 7x³ – 8 = 0 Câu 3:( 3 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x²⁰ + x+1 b)Tìm số nguyên x thỏa mãn cả hai bất phương trình:

³ ² 0,8

5 2

x x

  và 1 ² ⁵ ³

6 4

x x

 

Câu 4. (3 điểm)

a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: y²2xy3x 2 0 b) Cho x, y thoả mãn xy1. Chứng minh rằng:

¹ ₂ ¹ ₂ ²

1 x  1 y  1 x y

  

Câu 5: (6 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh ABD ACE.

b) Chứng minh BH.HD = CH.HE.

c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a.

---Hết--- SBD……….Họ tên thí sinh:……….

Chữ ký giám thị:………..

(2)

HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017 MÔN TOÁN 8: Thời gian 150 phút

Câu Nội dung Điểm

Câu 1 (4.0 điểm)

Cho biểu thức: A = ₂² ⁹ ^{3 2} ⁴

5 6 2 3

x x x

x x x x

    

   

a) ĐKXĐ: x 2 , x  3.

² ⁹ ^{3 2} ⁴

( 3)( 2) 2 3

x x x

A x x x x

  

  

   

2 2 8

( 3)( 2)

x x

 

   = ⁽ ⁴⁾⁽ ²⁾

( 3)( 2)

x x

 

 

= ⁴

3 x x





b/ Ta có: A = ⁴ 1 ⁷

3 3

x

x x

  

 

§Ó A  Z th× x - 3 ¦(7) =



^{ }^{7; 1; 1; 7}



=> x 



4; 2; 4; 10



KÕt hîp víi §KX§ ta ®îc x 



^^{4; 4; 10}



0,5 0,5 1,0 0,5

0,25 0,25 0,5 0,5

Câu 2 (4.0 điểm)

a/ ² ⁵ ¹ 2 ² ⁴ ¹

2 1 1

x x x x

x x

      

 

ĐKXĐ:

2

; 1 1 



 x x

1 0

1 2

1 1 5

1 1

4 ²

2  



 

 



 

x x x x

x x

0

1 2

2 3 1

2

3 ²

2 



 



 

x x x x

x x

^



^x²^³^x^²



^_x¹_{1 2}^ _x¹₁^^⁰

 

^ ^

   

2 3 2 3 2 0

1 2 3 2 0 (1)

x x x

    

    

Giải phương trình (1) x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S =







  3

; 2 2

;

1 .

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,5 0,25

(3)

b) Ta có x⁶ – 7x³ – 8 = 0

(x³ + 1)(x³ – 8) = 0

 (x + 1)(x² – x + 1)(x – 2)(x² + 2x + 4) = 0 (*) Do x² – x + 1 = (x – ¹

2)² + ³

4 > 0

và x² + 2x + 4 = (x + 1)² + 3 > 0 với mọi x nên (*)  (x + 1)(x – 2) = 0

1 2 x x

  

  

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {- 1; 2}

0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Câu 3

(3.0 điểm)

a) x²⁰ + x+1 = x²⁰-x²+x²+x+1 = x²(x¹⁸-1) +(x2+x+1)

=x²(x⁹+1)(x⁹-1)+(x²+x+1)

=x²(x⁹+1)(x³-1)(x⁶+x³+1)+(x²+x+1)

=x²(x⁹+1)(x-1)(x²+x+1)(x⁶+x³+1)+(x²+x+1)

=(x²+x+1)[x²(x⁹+1)(x-1)(x⁶+x³+1)+1]

b) Giải bất phương trình (1): ³ ² 0,8

5 2

x  x

3 2 8

5 2 10

x x

  

4 8 10 10 x

 

12 0 12

x x

    

Giải bất phương trình (2): 1 ² ⁵ ³

6 4

x x

 

3 2 5

1 4 6

x x

 

  

1 13

1 0

12 12

x x

   

13

 x

Vì x là nghiệm chung của hai bất phương trình (1) và (2) nên ta có x = 12

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

0,25 0,25 0,5 Câu 4

( 3,0 điểm)

a) Ta có:

2 2 3 2 0 2 2 2 2 3 2

y  xy x   x  xy y x  x (*) (x y )² (x1)(x2)

VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0

1 0 1 1

2 0 2 2

x x y

     

 

        

Vậy có 2 cặp số nguyên ( ; ) ( 1;1)x y   hoặc ( ; ) ( 2; 2)x y  

0,25 0,25

(4)

b) 2 2

1 1 2

1 x  1 y  1 xy

   ⁽¹⁾

 

^ ^



^



^ ^ ^

   

  

^ ^ ^{ }

2 2

2

2 2

1 1 1 1

1 1 1 1 0

1 0 2

1 1 1

x xy y xy

x y x y x y

x xy y xy

y x xy

x y xy

   

          

 

  

   

 

 

  

Vì x1;y1  xy1 xy 1 0

 BĐT (2) luôn đúng  BĐT (1) luôn đúng (Dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y)

0,5

0,25 0,5 0,25

0,5 Câu 5

( 6,0 điểm)

a)

Xét ABD và ACE có:

Góc A chung

 _ADB_ _AEC_₉₀⁰

 ABD ACE. (g-g) b) Xét BHE và CHD có :

  ₉₀⁰ BEH CDH 

BHE CHD  ( đối đỉnh)

 BHE CHD (g-g)

 BH HE CH  HD

Suy ra BH.HD = CH.HE.

2,0

1,0

1,0 A

B C

E D

H

(5)

c)

Khi AB = AC = b thì ABC cân tại A Suy ra được DE // BC ^DE ^AD

BC AC

 

 DE = ^{AD BC}^.

AC

Gọi giao điểm của AH và BC là F  AF  BC, FB = FC

= 2 a

DBC FAC ^DC ^BC

FC AC

  BC FC.

DC AC

  = ²

2 a b

 DE = ^{AD BC}^.

AC = ⁽^{AC DC BC}^).

AC



=

2

( ).

2 b a a

b b

 = ⁽² ² ₂ ²⁾

2 a b a

b



0,25đ

0,25đ 0,5đ 0,25đ

0,5đ Lưu ý: - Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm điểm.

- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

A

B C

E D

H F