50 dạng toán phát triển đề minh họa THPT QG 2020 môn Toán lần 2 - Thư viện tải tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia

(1)

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

NĂM HỌC 2019-2020

50 DẠNG TOÁN

PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 2

THPT

TOÁN

(2)

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2

50 DẠNG TOÁN

PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 2 MỤC LỤC

1 HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 13

A Mức độ 1 13

B Mức độ 2 15

C Mức độ 3 17

D Mức độ 4 20

2 CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 25

A Mức độ 1 25

B Mức độ 2 28

C Mức độ 3 32

D Mức độ 4 37

3 PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT 48

A Mức độ 1 48

B Mức độ 2 52

C Mức độ 3 57

D Mức độ 4 65

4 TÍNH THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 78

A Mức độ 1 78

B Mức độ 2 83

(3)

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

C Mức độ 3 91

D Mức độ 4 101

5 HÀM SỐ MŨ – LÔGARÍT 117

A Mức độ 1 117

B Mức độ 2 121

C Mức độ 3 127

D Mức độ 4 131

6 NGUYÊN HÀM 138

A Mức độ 1 138

B Mức độ 2 142

C Mức độ 3 147

D Mức độ 4 154

7 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 165

A Mức độ 1 165

B Mức độ 2 171

C Mức độ 3 180

D Mức độ 4 192

8 KHỐI NÓN-TRỤ- CẦU 207

A Mức độ 1 207

B Mức độ 2 211

C Mức độ 4 227

(4)

9 DIỆN TÍCH MẶT CẦU 244

A Mức độ 1 244

B Mức độ 2 247

C Mức độ 3 254

D Mức độ 4 263

10 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 277

A Mức độ 1 277

B Mức độ 2 283

C Mức độ 3 292

D Mức độ 4 300

11 RÚT GỌN BIỂU THỨC LÔGARIT 316

A Mức độ 1 316

B Mức độ 2 320

C Mức độ 3 324

D Mức độ 4 330

12 DIỆN TÍCH XUNG QUANH HÌNH TRỤ-NÓN 341

A Mức độ 1 341

B Mức độ 2 345

C Mức độ 3 351

D Mức độ 4 361

(5)

13 TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 373

A Mức độ 1 373

B Mức độ 2 379

C Mức độ 3 386

D Mức độ 4 395

14 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 410

A Mức độ 1 410

B Mức độ 2 418

C Mức độ 3 425

D Mức độ 4 435

15 TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 451

A Mức độ 1 451

B Mức độ 2 455

C Mức độ 3 461

D Mức độ 4 470

16 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 482

A Mức độ 1 482

B Mức độ 2 485

C Mức độ 3 491

D Mức độ 4 499

(6)

17 SỰ TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ 514

A Mức độ 1 514

B Mức độ 2 520

C Mức độ 3 527

D Mức độ 4 537

18 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 551

A Mức độ 1 551

B Mức độ 2 556

C Mức độ 3 563

D Mức độ 4 570

19 XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC LIÊN HỢP KHI ĐÃ BIẾT SỐ PHỨC 580

A Mức độ 1 580

B Mức độ 2 583

C Mức độ 3 587

D Mức độ 4 595

20 SỐ PHỨC (tổng hai số phức) 602

A Mức độ 1 602

B Mức độ 2 605

C Mức độ 3 609

D Mức độ 4 617

(7)

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

21 TÌM ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC 622

A Mức độ 1 622

B Mức độ 2 628

C Mức độ 3 632

D Mức độ 4 640

22 XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM LÊN MẶT PHẲNG 648

A Mức độ 1 648

B Mức độ 2 651

C Mức độ 3 654

D Mức độ 4 664

23 XÁC ĐỊNH TÂM, BÁN KÍNH CỦA MẶT CẦU 672

A Mức độ 1 672

B Mức độ 2 676

C Mức độ 3 681

D Mức độ 4 689

24 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 701

A Mức độ 1 701

B Mức độ 2 705

C Mức độ 3 711

D Mức độ 4 725

(8)

25 TÌM CÁC YẾU TỐ ĐƯỜNG THẲNG 729

A Mức độ 1 729

B Mức độ 2 733

C Mức độ 3 739

D Mức độ 4 744

26 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 758

A Mức độ 1 758

B Mức độ 2 763

C Mức độ 3 775

D Mức độ 4 789

27 CỰC TRỊ HÀM SỐ KHI BIẾT BBT HOẶC ĐỒ THỊ HÀM SỐ CỦA 804

A Mức độ 1 804

B Mức độ 2 810

C Mức độ 3 818

D Mức độ 4 826

28 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 838

A Mức độ 1 838

B Mức độ 2 845

C Mức độ 3 852

D Mức độ 4 861

(9)

29 LOGARIT CÓ THAM SỐ 874

A Mức độ 1 874

B Mức độ 2 879

C Mức độ 3 884

D Mức độ 4 889

30 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 900

A Mức độ 1 900

B Mức độ 2 903

C Mức độ 3 909

D Mức độ 4 917

31 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT 929

A Mức độ 1 929

B Mức độ 2 938

C Mức độ 3 944

D Mức độ 4 949

32 DIỆN TÍCH MẶT NÓN – MẶT TRỤ 959

A Mức độ 1 959

B Mức độ 2 963

C Mức độ 3 970

D Mức độ 4 979

(10)

33 TÍCH PHÂN 987

A Mức độ 1 987

B Mức độ 2 992

C Mức độ 3 1000

D Mức độ 4 1007

34 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1019

A Mức độ 1 1019

B Mức độ 2 1023

35 SỐ PHỨC 1058

36 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA SỐ PHỨC 1082

(11)

37 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1102

38 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG Oxyz 1125

39 XÁC SUẤT 1157

40 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 1177

(12)

41 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1222

42 HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARITS (BÀI TOÁN THỰC TẾ) 1240

43 XÁC ĐỊNH HỆ SỐ CỦA HÀM SỐ 1266

44 KHỐI NÓN -TRỤ- CẦU 1275

45 TÍCH PHẦN HÀM ẨN 1292

46 TÌM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM HỢP KHI BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC

ĐỒ THỊ 1313

47 GTNN-GTLN BIỂU THỨC MŨ-LOGARIT 1325

48 GTNN – GTNN (TÌM GTLN – GTNN CỦA HÀM PHỤ THUỘC THAM SỐ TRÊN ĐOẠN 1342

49 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN (CẮT BỞI MẶT PHẲNG) 1354

50 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 1375

(13)

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

DẠNG 1. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

A MỨC ĐỘ 1

Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh?

A C²₁₀. B A²₁₀. C 10². D 2¹⁰. Lời giải.

Số cách chọn 2 học sinh từ nhóm gồm 10 học sinh là tổ hợp chập 2 của 10: C²₁₀ (cách) Chọn phương án A

Câu 1. Có hai kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn) và có ba kiểu dây (kim loại, da, nhựa).

Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ có một mặt và một dây?

A 8. B 6. C 5. D 7.

Lời giải.

Có 2 cách chọn kiểu mặt đồng hồ, có 3 cách chọn kiểu dây đồng hồ.

Số cách chọn một chiếc đồng hồ có một mặt và một dây theo qui tắc nhân là 2·3 = 6. Chọn phương án B

Câu 2. Một hộp chứa 10 quả cầu phân biệt. Số cách lấy ra từ hộp đó cùng lúc3 quả cầu là A 120. B 10. C 60. D 720.

Lời giải.

Số cách chọn 3 quả cầu từ hộp là C³₁₀ = 120. Chọn phương án A

Câu 3. Tổ 1 của lớp 11A gồm 6 bạn nam và 4 bạn nữ. Để chọn một đội lao động trong tổ, cần chọn một bạn nữ và ba bạn nam. Số cách chọn như vậy là

A 21. B 60. C 40. D 120.

Lời giải.

Số cách chọn một đội lao động gồm 3 nam và 1 nữ là C³₆·C¹₂ = 40 cách.

Chọn phương án C

Câu 4. Một tổ gồm n học sinh, biết rằng có 210 cách chọn 3 học sinh trong tổ để làm ba việc khác nhau. Số n thỏa mãn hệ thức nào sau đây?

A n(n+ 1)(n+ 2) = 210. B n(n+ 1)(n+ 2) = 420. C n(n−1)(n−2) = 210. D n(n−1)(n−2) = 420. Lời giải.

Học sinh thứ nhất có n cách chọn, học sinh thứ hai có n−1 cách chọn, học sinh thứ ba có n−2 cách chọn. Do đó n(n−1)(n−2) = 210.

Câu 5. Một chi đoàn có 16 đoàn viên. Cần bầu chọn một Ban Chấp hành ba người gồm Bí thư, Phó Bí thư và Ủy viên. Số cách chọn ra Ban Chấp hành nói trên là

(14)

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 A 560. B 4096. C 48. D 3360.

Lời giải.

Mỗi cách bầu chọn một Ban Chấp hành ba người gồm Bí thư, Phó Bí thư và Ủy viên là một chỉnh hợp chập 3 của 16 phần tử. Do đó có A³₁₆= 16!

13! = 3360 cách.

Chọn phương án D

Câu 6. Cho k, n là các số tự nhiên thỏa mãn 06 ^k 6 ⁿ. Công thức nào trong các công thức sau đây là sai?

A A^k_n = n!

k!. B C^k_n = n!

k!(n−k)!. C C^k_n = C^n−k_n . D Pn =n!. Lời giải.

Dựa vào công thức tính số chỉnh hợp, có đáp án A sai Chọn phương án A

Câu 7. Công thức tính số chỉnh hợp chập k củan phần tử (với các số nguyên k, n thỏa0≤k ≤n) là

A ^n!

(n−k)!k!. B ^n!

(n−k+ 1)!. C ^n!

(n−k)!. D ⁽ⁿ⁻^k)!k!

n! . Lời giải.

Công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử (với các số nguyên k, n thỏa 0 ≤ k ≤ n) là A^k_n = n!

(n−k)!. Chọn phương án C

Câu 8. Từ các chữ số 1; 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?

A 42. B 12. C 24. D 4⁴. Lời giải.

Mỗi số như vậy là một hoán vị của 4 phần tử. Vậy có thể lập được 4! = 24 số thỏa mãn đề bài.

Câu 9. Có bao nhiêu cách xếp một nhóm học sinh gồm 4 bạn nam và 6 bạn nữ thành một hàng ngang?

A 10!. B 4!. C 6!.4!. D 6!.

Lời giải.

Nhóm học sinh đó có tất cả 10 học sinh.

Xếp 10 học sinh thành một hàng ngang có P₁₀ = 10! cách xếp.

Chọn phương án A

Câu 10. Công thức tính số chỉnh hợp chập k của n là A C^k_n = n!

(n−k)!. B C^k_n = n!

(n−k)!k!. C A^k_n = n!

(n−k)!. D A^k_n = n!

(n−k)!k!. Lời giải.

Theo công thức tính số chỉnh hợp trong SGK lớp 11 thì A^k_n = n!

(n−k)!. Chọn phương án C

(15)

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

B MỨC ĐỘ 2

Câu 11. Từ các chữ số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?

A 20. B 14. C 36. D 24.

Lời giải.

Gọi số cần tìm có dạng abcd với a, b, c, d∈A={1,5,6,7}. Vì số cần tìm có 4 chữ số khác nhau nên:

• a được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.

• b được chọn từ tập A\ {a} (có 3 phần tử) nên có 3 cách chọn.

• c được chọn từ tập A\ {a, b} (có 2 phần tử) nên có 2 cách chọn.

• d được chọn từ tập A\ {a, b, c} (có 1 phần tử) nên có 1 cách chọn.

Như vậy, ta có 4×3×2×1 = 24 số cần tìm.

Câu 12. Một tổ công nhân có 12 người. Cần chọn 3 người để đi làm cùng một nhiệm vụ, hỏi có bao nhiêu cách chọn?

A 12!. B C³₁₂. C 12³. D A³₁₂. Lời giải.

Chọn 3 người từ 12 người đi thực hiện cùng một nhiệm vụ là một tổ hợp chập 3 của 12 phần tử.

Số cách chọn là C³₁₂. Chọn phương án B

Câu 13. Biết A²_n+ C³_n = 50, (n∈N^∗⁾. Khi đó, giá trị của n là

A 4. B 5. C 6. D 7.

Lời giải.

Từ A²_n+ C³_n = 50⇔ n!

(n−2)! + n!

3!(n−3)! = 50⇔n(n−1) + n(n−1)(n−2)

6 = 50

⇒ n³ 6 + n²

2 −2n

3 = 50⇒n= 6. Chọn phương án C

Câu 14. Một lớp có 30học sinh gồm 20 nam, 10nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 3học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 01 học sinh là nữ?

A 1140. B 2920. C 1900. D 900. Lời giải.

Số cách chọn là C¹₁₀.C²₂₀+ C²₁₀.C¹₂₀+ C³₁₀= 2920·

Chọn phương án B

Câu 15. Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi. Số cách xếp sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau là

A 34560. B 17280. C 744. D 120960.

Lời giải.

(16)

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Ta coi 4 nữ sinh là một cùng với 6 nam sinh lúc này xếp vào 10 chỗ ngồi là số hoán vị của 7 phần tử.

Trong 4 nữ sinh còn có thể hoán đổi vị trí.

Vậy có: 7!·4! = 120960 cách xếp thỏa mãn yêu cầu.

Câu 16. Trong một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự. Mỗi ông bắt tay với mọi người trừ vợ mình. Biết các bà không ai bắt tay với nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?

A 85. B 78. C 312. D 234. Lời giải.

Loại 1: Hai người đàn ông bắt tay nhau.

Một ông bắt tay với 12 ông kia ⇒ có 12·13cái bắt tay.

Những mỗi cách bắt tay như vậy được tính 2 lần. Vậy ở loại 1 có ¹

2 ·12·13 cái bắt tay.

Loại 2: Một người đàn ông bắt tay một người phụ nữ.

Một người đàn ông bắt tay 12 người phụ nữ, trừ vợ ⇒ có 12·13 cái bắt tay.

Vậy có ³

2·12·13. Chọn phương án D

Câu 17. Từ các chữ số 1; 3; 4; 6; 7có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau?

A 12. B 10. C 24. D 60.

Lời giải.

Số tự nhiên chẵn có 3 chữ số có dạng a₁a₂a₃, a₃∈ {4; 6}

a3 có 2 cách chọn

a₁; a₂ có A²₄ cách chọn, suy ra có 2A²₄ = 24 số Chọn phương án C

Câu 18. Trong kho đèn trang trí đang còn5 bóng đèn loại I,7 bóng đèn loại II, các bóng đèn đều khác nhau về màu sắc và hình dáng. Lấy ra 5 bóng đèn bất kỳ. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra nếu số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II?

A 3360. B 245. C 246. D 3480. Lời giải.

Số cách chọn 5 bóng đèn loại I là C⁵₅ = 1.

Số cách chọn 4 bóng đèn loại I, 1 bóng đèn loại II là C⁴₅·C¹₇ = 35. Số cách chọn 3 bóng đèn loại I, 2 bóng đèn loại II là C³₅·C²₇ = 210.

Vậy số cách lấy số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II là 1 + 35 + 210 = 246 cách.

Câu 19. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số có 4 chữ số đôi một khác nhau?

A 4500. B 2296. C 50000. D 2520.

Lời giải.

(17)

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Gọi số cần tìm là n =abcd. TH1. d= 0.

Chọn a, b, c có A³₉ = 504. TH2. d6= 0.

Chọn d trong các số 2; 4; 6; 8 có 4 cách.

Chọn a (a6= 0, a6=d) có 8 cách.

Chọn b, c trong 8 số còn lại có A²₈ cách.

Trong trường hợp này có 4·8·A²₈ = 1792 số.

Vậy có 504 + 1792 = 2296 số tự nhiên chẵn mà mỗi số có 4 chữ số đôi một khác nhau.

Câu 20. Giải bóng đá AFF-CUP 2018 có tất cả 10 đội bóng tham gia, chia đều làm hai bảng A và B. Ở vòng đấu bảng, mỗi đội bóng thi đấu với mỗi đội bóng cùng bảng 1 trận. Hỏi tại vòng bảng các đội thi đấu tổng cộng bao nhiêu trận?

A 40. B 30. C 50. D 20.

Lời giải.

Mỗi bảng có 5 đội bóng.

Mỗi đội bóng thi đấu với mỗi đội bóng cùng bảng 1trận nên số trận thi đấu trong mỗi bảng bằng số cách chọn 2 đội bóng từ 5 đội, tức là C²₅= 10 trận.

Vì có hai bảng nên tổng số trận đấu ở vòng bảng là 20 trận.

Chọn phương án D C MỨC ĐỘ 3

Câu 21. Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 lập được bao nhiêu số có 6 chữ số mà chữ số liền sau nhỏ hơn chữ số liền trước?

A 7. B 20160. C 5040. D 25.

Lời giải.

Ta có C⁶₈ cách chọn ra 6 số trong 8 số đã cho và sắp xếp chúng thành một số thỏa mãn đề bài.

Trong các số trên do có cả số 0 nên có C⁵₇ cách chọn ra 5 số trong các số trên không có chữ số 0. Như vậy có tất cả C⁶₈−C⁵₇ = 7.

Câu 22. Cho tập hợp A={a;b;c;d;e;f;g}. Số tập con có nhiều hơn một phần tử của A là A 64. B 128. C 120. D 127.

Lời giải.

Số tập con có k phần tử của một tập hợp X có n phần tử là C^k_n Ta lại có C⁰_n+ C¹_n+ C²_n+· · ·+ Cⁿ_n = 2ⁿ

(18)

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Do đó tổng số tập con của A (kể cả tập A ) là2⁷ = 128

Số tập con không có phần tử nào (tập rổng) của A là C^◦₇= 1 Số tập con có 1 phần tử của A là C¹₇ = 7

Vậy số tập con có nhiều hơn một phần tử của A là : 128−1−7 = 120 Chọn phương án C

Câu 23. Trong mặt phẳng, cho một đa giác lồi có 20 cạnh. Số đường chéo của đa giác là A 360. B 380. C 190. D 170.

Lời giải.

Đoạn thẳng nối 2 đỉnh bất kì sẽ là cạnh hoặc đường chéo của đa giác lồi.

Số đường chéo của đa giác lồi 20 cạnh là C²₂₀−20 = 170.

Câu 24. Trong một lớp học có 10 học sinh có hoàn cảnh khó khăn. Hội phụ huynh chọn ra 5học sinh bất kì trong số 10học sinh đó để trao 5 phần quà khác nhau. Số cách trao quà là

A 252. B 50. C 30240. D 120.

Lời giải.

Chọn 5 học sinh bất kì trong 10 học sinh có C⁵₁₀ cách chọn.

Số cách trao 5 phần quà khác nhau cho 5 học sinh đã chọn là P5= 5!.

Vậy số cách trao là C⁵₁₀·5! = 32420.

Câu 25. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 5 bạn nam và 4 bạn nữ thành một hàng ngang sao cho các bạn nữ đứng cạnh nhau

A 14400. B 5760. C 2880. D 17280.

Lời giải.

Vì các bạn nữ đứng cạnh nhau nên xem các bạn nữ như 1 bạn cùng với 5 bạn nam có 6! cách xếp.

Mà các bạn nữ đứng cạnh nhau có 4! cách. Vậy tất cả có 6!4! = 17280 cách xếp.

Câu 26. Có 12 học sinh giỏi gồm 3học sinh khối 12, 4 học sinh khối11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh?

A 924. B 805. C 508. D 180. Lời giải.

Trường hợp 1: không có học sinh khối 12. Số cách chọn: C⁶₉= 84.

Trường hợp 2: không có học sinh khối 11. Số cách chọn: C⁶₈= 28.

Trường hợp 3: không có học sinh khối 10. Số cách chọn: C⁶₇= 7.

Số cách chọn ra 6 học sinh không phân biệt khối lớp: C⁶₁₂ = 924.

Số cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là 924−(84 + 28 + 7) = 805. Chọn phương án B

(19)

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Câu 27. Có 20 bông hoa trong đó có 8 bông đỏ, 7 bông vàng, 5 bông trắng. Chọn ngẫu nhiên 4 bông để tạo thành một bó. Có bao nhiên cách chọn để bó hoa có cả 3 màu?

A 2380. B 14280. C 1920. D 4760.

Lời giải.

Số cách chọn được một bó hoa có 2 hoa đỏ, 1 hoa vàng và 1 hoa trắng là C²₈C¹₇C¹₅ = 980. Số cách chọn được một bó hoa có 1hoa đỏ, 2 hoa vàng và1 hoa trắng là C¹₈C²₇C¹₅ = 840. Số cách chọn được một bó hoa có 1 hoa đỏ, 1 hoa vàng và 2 hoa trắng là C¹₈C¹₇C²₅ = 560. Do đó số cách chọn được bó hoa có cả 3 màu là

980 + 840 + 560 = 2380.

Câu 28. Đa giác đều nào có 20 đường chéo?

A Ngũ giác đều. B Lục giác đều. C Bát giác đều. D Thập giác đều.

Lời giải.

Gọi n là số cạnh của đa giác đều, khi đó, đa giác có n đỉnh, từ n đỉnh đó, ta có thể tạo được C²_n đoạn thẳng.

Trong đó bao gồm cả cạnh và đường chéo của đa giác, vậy số đường chéo của đa giác là C²_n−n. Từ giả thiết ta có C²_n−n= 20⇔ n!

(n−2)!2! −n = 20⇔ n(n−1)

2 −n= 20

⇔n²−3n−40 = 0⇔

ñn=−5 (loại)

n= 8 (nhận). Vậy đa giác thỏa mãn là bát giác đều.

Câu 29. Cô giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu 1 quả). Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau?

A 120. B 1260. C 9. D 24. Lời giải.

Chọn 4 trong 9 cháu chia táo có: C⁴₉ (cách).

Chọn 3 trong 5 cháu còn lại chia cam có: C⁵₃ (cách).

Chọn 2 trong 2 cháu còn lại chia chuối có: C²₂ (cách).

Vậy số cách chia khác nhau là C⁴₉·C³₅·C²₂ = 1260. Chọn phương án B

Câu 30. Long và Hưng cùng 8 bạn rủ nhau đi xem bóng đá. Số cách xếp nhóm bạn trên vào 10 chỗ ngồi sắp hàng ngang sao cho Long và Hưng ngồi cạnh nhau là

A 9·8!. B 18·8!. C 8!. D 9!. Lời giải.

Số cách để hai bạn Long và Hưng ngồi cạnh nhau là 18 cách.

Số cách để xếp 8 bạn còn lại là 8! cách.

Vậy có 18·8! cách.

(20)

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Câu 31. Tại một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự, mỗi ông bắt tay với mọi người trừ vợ của mình, các bà không ai bắt tay nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?

A 234. B 312. C 78. D 185. Lời giải.

Bắt tay ngẫu nhiên có: C²⁶₂ (cách).

Chồng bắt tay vợ mình có: 13 (cách).

Các bà vợ bắt tay nhau có: C¹³₂ (cách)

Vậy số cái bắt tay thỏa đề bài là: C²⁶₂ −13−C¹³₂ = 234 (cái).

Chọn phương án A D MỨC ĐỘ 4

Câu 32. Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 5đứng liền giữa hai chữ số 1 và 4?

A 2942. B 1500. C 249. D 3204. Lời giải.

Ta ghép bộ ba chữ số 1; 5; 4 thành hai bộ số đặc biệt là (1; 5; 4) và (4; 5; 1) có hai cách.

Bài toán trở thành: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho các chữ số khác nhau từng đôi một,trong đó có 1 số đặc biệt?

Ta xét các trường hợp sau:

TH1. Số đặc biệt đứng ở hàng nghìn. Chọn 3 chữ số còn lại có A³₇ = 210 cách.

TH2. Số đặc biệt đứng ở hàng trăm hoặc hàng chục hoặc hàng đơn vị có 3 cách.

Chọn số hàng nghìn có 6 cách.

Chọn 2 chữ số còn lại có A²₆ = 30 cách.

Trường hợp này có 3·6·30 = 540 cách.

Do đó có tất cả 210 + 540 = 750 số.

Trở lại bài toán, ta có 2 số đặc biệt nên có tất cả 2·750 = 1500 số cần tìm.

Câu 33. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12T, 3 học sinh lớp 12H và 5 học sinh lớp 12A thành một hàng ngang. Tính số cách xếp 10 học sinh trên sao cho không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.

A 36360. B 63360. C 66033. D 33066.

Lời giải.

Đầu tiên ta xếp 5 học sinh lớp 12A thành một hàng có 5! = 120 cách.

Giữa 5 học sinh này có 4 khoảng trống và 2 khoảng trống ở hai đầu mút, ta đánh số vị trí các khoảng trống từ trái sang phải là 1; 2; 3; 4; 5; 6 như hình dưới.

1−A−2−A−3−A−4−A−5−A−6

(21)

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

Vì hai học sinh cùng lớp không đứng cạnh nhau nên các vị trí2; 3; 4; 5phải có học sinh lớp 12T,12H. Nhưng tổng học sinh hai lớp đó là5 nên có một học sinh sẽ đứng ở vị trí 1 hoặc 6hoặc đứng ghép với một học sinh lớp khác trong các vị trí 2; 3; 4; 5. Ta xét các trường hợp sau:

TH1. Xếp 5 học sinh 12T,12H vào các vị trí 1; 2; 3; 4; 5 có 5! = 120 cách.

TH2. Xếp 5 học sinh 12T,12H vào các vị trí 2; 3; 4; 5; 6 có 5! = 120 cách.

TH3. Ghép một học sinh 12T và một học sinh 12H thành một cặp có 3·2·2 = 12 cách.

Xem cặp này như là một học sinh đặc biệt.

Xếp 4 học sinh vào các vị trí 2; 3; 4; 5 có 4! cách.

Trường hợp này có 12·4! = 288 cách.

Vậy có 120·(120 + 120 + 288) = 63360 cách xếp.

Câu 34. Số nghiệm của bất phương trình C⁴_n−1−C³_n−1− 5

4A²_n−2 <0 là

A 0. B Vô số. C 5. D 6.

Lời giải.

Điều kiện: n∈N và n ≥5. Bất phương trình đã cho tương đương với (n−1)!

4!(n−5)! − (n−1)!

3!(n−4)! − 5 4

(n−2)!

(n−4)! <0

⇒ (n−2)!

(n−4)!

ï(n−1)(n−4)

4! − (n−1) 3! − 5

4 ò

<0

⇒ (n−1)(n−4)−4(n−1)−30<0

⇔ n²−9n−22<0

⇔ −2< n <11.

Kết hợp với điều kiện, suy ra bất phương trình đã cho có sáu nghiệm n= 5,6,7,8,9,10. Chọn phương án D

Câu 35. Lập các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 2; 3; 4; 5. Tính tổng S các số tự nhiên đó.

A S = 24. B S = 93324. C S = 11111. D S = 66660. Lời giải.

Mỗi chữ số trong một số có 4 chữ số được lập lại 3! lần.

Khi đó, S = 3!(2 + 3 + 4 + 5)(10³+ 10²+ 10¹+ 10⁰) = 93324. Chọn phương án B

Câu 36. Có bao nhiêu số có 5 chữ số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần?

A 11. B 504. C 378. D 252. Lời giải.

Gọi số có 5 chữ số lặp từ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} là abcde.

(22)

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Thứ tự tăng dần: a < b < c < d < e. Lúc này a6= 0 nên a, b, c, d, e∈ {1,2, . . .9}.

Số cách chọn ra 5 chữ số khác nhau từ {1,2, . . .9} là C⁵₉ cách. Với mỗi cách chọn đó, chỉ có duy nhất một cách sắp xếp các chữ số theo thứ tự tăng dần. Do đó, có C⁵₉ số thỏa yêu cầu.

Thứ tự giảm dần: a > b > c > d > e. Lập luận tương tự, nhưng chú ý rằng lúc này các chữ số a, b, c, d, e∈ {0,1,2, . . .9} do đó có C⁵₁₀ số thỏa yêu cầu.

Vậy có tất cả C⁵₉+ C⁵₁₀= 378 số thỏa yêu cầu.

Câu 37. Vòng bảng giải bóng đá cúp C1 Châu Âu (Champions League) 2017 – 2018 do Liên đoàn bóng đá Châu Âu (UEFA) tổ chức gồm 32 đội được chia thành 8 bảng đấu (mỗi bảng gồm 4đội).

Mỗi đội phải đá vòng tròn 2 lượt (lượt đi và lượt về). Trung bình mỗi trận đấu vòng bảng, UEFA có tổng doanh thu 18 triệu Euro. Hỏi doanh thu từ vòng bảng cúp C1 của UEFA là bao nhiêu tiền? (Tính theo đơn vị: tỷ Euro)

A 1,404. B 1,152. C 2,808. D 1,728.

Lời giải.

Số đội bóng có trong mỗi bảng đấu (32 đội chia ra thành 8 bảng): 4 đội.

Số trận đấu của mỗi bảng đấu là A²₄ = 12 trận (do mỗi cặp - 2 đội đấu với nhau 2 trận).

Vậy số trận đấu của bòng bảng là 8×12 = 96 trận.

Doanh thu từ vòng bảng của giải đấu là 96×18 (triệu Euro) = 1,728 (tỷ Euro).

Câu 38. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 và có ba chữ số khác nhau?

A 30. B 36. C 40. D 34.

Lời giải.

Gọi abc là số cần lập.

Khi đó (a, b, c)∈ {(0,1,2),(0,1,5),(0,2,4),(0,4,5),(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5)}

+ Với bộ (0,1,2) lập được 4 số.

+ Với bộ (1,2,3) lập được 3! số.

Vậy có tất cả 4·4 + 4·3! = 40. Chọn phương án C

Câu 39. Từ một nhóm 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 3 học sinh lớp C. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh sao cho 4 học sinh được chọn thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên?

A 225. B 235. C 215. D 200. Lời giải.

- Chọn 4 học sinh tùy ý, có C⁴₁₂ = 495 cách.

- Chọn 4 học sinh có cả 3 lớp:

+ TH1: Chọn 1A, 1B, 2C có 5·3·C²₃ = 60. + TH2: Chọn 1A, 1B, 2C có 5·C²₄·3 = 90.

(23)

Nhóm: PHÁ T TRIỂN ĐỀ MINH HỌ A

+ TH3: Chọn 1A, 1B, 2C có C²₅·4·3 = 120.

Số cách chọn thỏa bài toán là: 495−60−90−120 = 225. Chọn phương án A

Câu 40. Có bao nhiêu cách chia 20 viên bi giống hệt nhau vào 4 cái hộp đôi một khác nhau, sao cho mỗi cái hộp có ít nhất 2 viên bi.

A C⁴₂₀. B C³₁₉ . C C⁴₁₂. D C³₁₅. Lời giải.

Gọi x, y, x, t∈N là số viên bi cho vào 4 cái hộp. Ta có

®x+y+z+t= 20 x≥2, y ≥2, z ≥2, t≥2

⇔

®(x−1) + (y−1) + (z−1) + (t−1) = 16 x−1≥1, y−1≥1, z−1≥1, t−1≥1

.

Khi đó số nghiệm nguyên của phương trình là C³₁₅. Chọn phương án D

(24)

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 BẢNG ĐÁP ÁN

1. B 2. A 3. A 4. A 5. B 6. A 7. A 8. C 9. D 10. A

11. B 12. B 13. B 14. B 15. C 16. C 17. D 18. A 19. D 20. D

21. B 22. B 23. C 24. C 25. B 26. B 27. D 28. A 29. C 30. D

31. C 32. D 33. D 34. A 35. C 36. A 37. D 38. B 39. A 40. B

41. C 42. A 43. D 44. A 45. A 46. D 47. D 48. A 49. D 50. C

51. D 52. B 53. A 54. B 55. B 56. A 57. D 58. C 59. B 60. D

61. D 62. A 63. A 64. B 65. D 66. A 67. A 68. C 69. D 70. D

71. D 72. A 73. D 74. B 75. C 76. D 77. B 78. A 79. B 80. A

(25)

DẠNG 2. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

A MỨC ĐỘ 1

Ví dụ 1. Cho cấp số cộng (un) với u1 = 3 và u2 = 9 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A 6. B 3. C 12. D -6.

Lời giải.

Cấp số cộng (u_n) có số hạng tổng quát là: u_n =u₁+ (n−1)d. (Với u₁ là số hạng đầu và d là công sai).

Suy ra ta có: u₂ =u₁+d⇔9 = 3 +d⇔d= 6. Vậy công sai của cấp số công đã cho bằng 6. Chọn phương án A

Câu 1. Tính tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng biết u₁ =−5, d= 3.

A 292. B 14350. C 14600. D 14500.

Lời giải.

S100= (2u₁+ 99d) 100

2 = 14350.

Câu 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A 1,3,5,7,9. B 2,4,5,6,7. C 1,2,4,8,16. D 3,−6,12,−24. Lời giải.

Vì3 = 1 + 2; 5 = 3 + 2; 7 = 5 + 2; 9 = 7 + 2. Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số 1,3,5,7,9là một cấp số cộng với công sai d= 2.

Câu 3. Cấp số nhân (u_n) có u₁= 3, q = 2. Tìm u₂.

A u₂ = 6. B u₂ = 5. C u₂=−6. D u₂ = 1. Lời giải.

Cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3, q= 2, có số hạng tổng quát u_n =u₁·qⁿ⁻¹, n≥2. Vậy u₂=u₁·q = 6. Chọn phương án A

Câu 4. Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁, công bội q. Gọi S_n là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_n). Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A S_n =u₁· 1−qⁿ

1−q , ∀n ∈N^∗. B u_n+1 =u_n·q, ∀n ∈N^∗.

C u_n =u₁·qⁿ⁻¹, ∀n∈N^∗^{, n}^≥². D |u_k|=√

u_k−1·u_k+1, ∀k ∈N^∗^{, k}^≥² và u_k không là số hạng cuối.

Lời giải.

Các công thức ở phương án B, C, D đều đúng.

(26)

50DẠNGTOÁNPHÁTTRIỂNĐỀMINHHỌALẦN2 Công thức ở phương án A sai vì Sn =u1· 1−qⁿ

1−q ∀n∈N^∗ không đúng khi q = 1. Chọn phương án A

Câu 5. Dãy số nào trong các dãy số sau là cấp số nhân?

A 2; 4; 8; 16; 32; 63. B 1;−2; 4;−8; 16;−32. C 1; 3; 9; 27; 54; 162. D 4; 2; 1;1 2;1

4; 1 16. Lời giải.

Vì ⁴ 2 = 8

4 = 16 8 = 32

16 6= 63

32 nên dãy số ở phương án A không là cấp số nhân.

Vì ³ 1 = 9

3 = 27 9 6= 54

27 nên dãy số ở phương án C không là cấp số nhân.

Vì ² 4 = 1

2 =

1 2

1 =

1 4 1 2

6=

1 16

1 4

nên dãy số ở phương án D không là cấp số nhân.

Vì ⁻² 1