PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ VÀ SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
NỘI DUNG ĐỀ BÀI
Câu 1. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hai số thực a, b thỏa mãn
100 40 16
log log log 4 12 a b
a b
. Giá trị của a
b bằng
A. 6. B. 12. C. 2. D. 4.
Câu 2. (THPT CHUYÊN BẮC GIANG NAM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình 2x35x25x6 có một nghiệm dạng x b logab với a b, là các số nguyên dương thuộc khoảng
1;7 . Khi đó a2bbằng
A. 7 B. 24 C. 9 D. 16
Câu 3. Xét các số thực dương x y, thỏa mãn log3 1 3 3 4 3
y xy x y
x xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P x y.
A. min 4 3 4
P 3
. B. min 4 3 4
P 3
. C. min 4 3 4
P 9
. D. min 4 3 4
P 9
.
Câu 4. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho x y, là hai số thực không âm thỏa mãn 2 2 1 log2 2 1
1 x x y y
x
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pe2x14x22y1 là A. 1
2. B. 1. C. 1
2. D. 1.
Câu 5. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Xét các số thực dương x y, thỏa mãn
2
2 1
2
2019 2
( 1)
x y x y
x
. Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P2y x bằng A. min 1
P 4. B. min 1
P 2. C. min 7
P 8. D. min 15 P 8 .
Câu 6. (MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2019-2020) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2xy.4x y 13. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px2y24x2y bằng
A. 33
8 . B.
9
8. C.
21
4 . D.
41 8 .
Câu 7. (MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2019-2020) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 255 số nguyên y thỏa mãn log3
x2y
log2
xy
?A. 80. B. 79. C. 157. D. 158
Câu 8. (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hai số dương x;ythỏa
2
log 42 x y 2xy2 y 8 2x2 y2 . Giá trị nhỏ nhất của P2x y là số có dạng Ma b c với a,b ,a2. Tính S a b c.
A.S17 . B. S7. C. S19. D. S3.
Câu 9. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho các số thực x, y với x0 thỏa
mãn e e
ee
3 1 1
3
1 1 1 3
x y xy xy
x y
x y y
. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 1
T x y . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. m
2; 3 . B. m
1; 0
. C. m
0;1 . D. m
1; 2 .Câu 10. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Kí hiệu max ;
a b là số lớn nhất trong hai số a b, . Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 13
max log x; log x 1.
A. 1; 2 . S 3
B. S
0; 2 . C. 0;1 .S 3
D. S
2;
.Câu 11. (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 07) Cho hàm số
3 12 2 2018 2019y f x x x x . Số giá trị m ,m 12;12 thỏa bất phương trình
log0,2 log2 1 2019
0
f m f f là
A. 9. B. 10. C. 11. D. 12.
Câu 12. Cho các số m0, n0, p0 thỏa mãn 4m 10n 25p. Tính giá trị biểu thức
2 2
n n
T m p.
A. T 1. B. 5
T 2. C. T 2. D. 1
T 10. Câu 13. Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn 4a 9b 6c. Khi đó c c
ab bằng A. 1
2. B. 1
6. C. 6. D. 2.
Câu 14. Có bao nhiêu cặp số nguyên
x y; thỏa mãn 0 x 2020 và 1 y 2020và
1
2 2
4x log y 3 16.2ylog 2x1 ?
A. 2019. B. 2020. C. 1010. D. 1011.
Câu 15. Biết x1,x2 là hai nghiệm của phương trình
2
2 7
4 4 1
log 4 1 6
2
x x
x x
x
và
1 2
2 1
x x 4 a b với a,b là hai số nguyên dương. Tính a b .
A. a b 13. B. a b 11. C. a b 16. D. a b 14.
Câu 16. Cho phương trình 2 log3
cotx
log2
cosx
. Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên khoảng ;6 2
?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 6.
Câu 17. Biết m n, là hai số thực thỏa mãn x.2x3.23x3x 8 0 và m n a log2b,
a b, *
, tính .S a b
A. S4. B. S6. C. S5. D. S9.
Câu 18. (MĐ 102 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho a0, b0 thỏa mãn
2 2
10 3 1 25 10 1 10 3 1
log a b a b 1 l go ab a b 2. Giá trị của a2b bằng A. 5
2 B. 6 C. 22 D. 11
2
Câu 19. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
2 2 2 2
2x mx m 4m x mx m 4m 2 2 2 2 8 0
e e x mx m m có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn
1 2 2?
x x
A.
0;1 . B. 0; 8 . C.
0; 2 . D. 2; 8 .Câu 20. Biết m n, là hai số thực thỏa mãn x.2x3.23x3x 8 0 và m n a log2b,
a b, *
, tính .S a b
A. S4. B. S6. C. S5. D. S9.
Câu 21. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU 2018-2019 LẦN 2) Hỏi phương trình 3.2x4.3x5.4x6.5x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ?
A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.
Câu 22. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Biết rằng phương trình exex 2 cosax (a là tham số) có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình exex2 cosax4 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ?
A. 5 B. 10 C. 6 D. 11
Câu 23. (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hai phương trình
2 7 3 ln 4 0 1
x x x và x29x11 ln 5
x
0 2
. Đặt T là tổng các nghiệm phân biệt của hai phương trình đã cho, ta có:A. 2 B. 8 C. 4 D. 6
Câu 24. Phương trình 4x 1 2 . .cos(xm x) có nghiệm duy nhất. Số giá trị của tham số m thỏa mãn là
A. Vô số B. 1 C. 2 D. 0
Câu 25. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Cho 0 x 2020 và log (22 x2) x 3y8y .Có bao nhiêu cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn các điều kiện trên ?
A. 2019. B. 2018. C. 1. D. 4.
Câu 26. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 15 .5x x 5x127x23 là
A. 1. B. 0. C. 2. D.1.
Câu 27. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tập nghiệm của bất phương trình
2 9 2 1
3x x 9 .5x 1 là khoảng
a b; . Tính b aA. 6. B. 3. C. 8. D. 4.
Câu 28. (THPT ĐOAN THƯỢNG HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết x x1, 2
x1x2
là hai nghiệm của phương trình log3
x23x 2 2
5x23x12 và x12x212
a b
với a b, là haisố nguyên dương. Tính a2 .b
A.5. B. 1. C. 1. D. 9.
Câu 29. Phương trình
23 2
2 1
log 3 8 5
1
x x x
x
có hai nghiệm là a và a
b (Với a b, * và a
b là phân số tối giản). Giá trị của b là
A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 30. (THPT NINH BÌNH BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 04) Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình
2 1
2 2
2 1
log 2 5
2
x x
x x
.
A. 0. B. 2. C. 1. D. 1
2.
Câu 31. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết phương trình
2018 2019
2 1 1
log 2log
2 2
x
x x x
có nghiệm duy nhất x a b 2 trong đó a , b là những số nguyên. Khi đó a b bằng
A. 5 B. 1 C. 2 D. 1
Câu 32. (Đề thi chuyên vinh lần 1-2019 ) Cho hàm số f x
2x2x. Gọi m0 là số lớn nhất trong các số nguyên m thỏa mãn f m
f
2m212
0. Mệnh đề nào sau đây đúng?A.m0 1513; 2019
. B.m0 1009;1513
. C.m0 505;1009
. D.m0 1; 505
.Câu 33. Cho phương trình 5x m log5
x m
với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
20; 20
m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 20 B. 19 C. 9 D. 21
Câu 34. Để giải phương trình log cot2
xtanx
1 cos 2xsin 2x trên khoảng 0; , 4
bạn Tuấn giải theo các bước sau:
Bước 1: Do 0; cot tan 0.
x 4 x x
Ta có: cot tan 2 cos 2 .
sin 2 x x x
x Phương trình đã cho tương đương với: log cos 22 xcos 2xlog sin 22 xsin 2x
* (Do 0; : sin 2 0,cos 2 0x 4 x x
).
Bước 2: Xét hàm số
2
log , 0;1 1 1 0, 0;1 .
f t t t t f t ln 2 t
t
Do đó hàm số f t
đồng biến trên
0;1 .Bước 3: Phương trình (2) có dạng: f
cos 2x
f sin 2x
cos 2xsin 2xtan 2x1
, .
8 2
x k k
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm / .
8 2
S k k
Bạn Tuấn giải đã đúng chưa? Và nếu sai thì bạn Tuấn giải sai bắt đầu từ bước nào?
A. Bài giải đúng. B. Sai từ bước 1. C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3.
Câu 35. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình e3mem2
x 1x2
1x 1x2
có nghiệm.A. 0; ln 21 2
B. ; ln 21
2
C. 0;1
e
D. 1ln 2;
2
Câu 36. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số
x y; thỏa mãn logx2 y2 2
4x4y 6 m2
1 và2 2 2 4 1 0
x y x y .
A. S
1;1 B. S
5; 1;1; 5
C. S
5; 5
D. S
7; 5; 1;1; 5;7
Câu 37. (CỤM 8 TRƯỜNG CHUYÊN LẦN 1) Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2019 ; 2 để phương trình
x1 log 4
3
x 1
log 25
x1
2x m có đúng hai nghiệm thực làA.2. B.2022. C.1. D.2021.
Câu 38. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho số thực sao cho phương trình
2x2x2 cos x có đúng 2019 nghiệm thực. Số nghiệm của phương trình
2x2x 4 2 cos x là
A. 2019. B. 2018. C. 4037. D. 4038.
Câu 39. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 04) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn 100;100để phương trình 2019x mx1 có hai nghiệm phân biệt?
A. 94 B. 92 C. 184 D. 100.
Câu 40. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ln
mln
msinx
sinx có nghiệm.A. 1 1 m e 1.
e B. 1 m e 1. C. 1 m 1 1.
e D. 1 m e 1.
Câu 41. (CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2x24x 5 m2 logx24x6
m21
có đúng 1 nghiệm làA. 1. B. 0. C. 2. D. 4.
Câu 42. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết rằng phương trình exex 2 cosax (a là tham số) có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình exex2 cosax4 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
A. 5 B. 10 C. 6 D. 11
Câu 43. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hàm số f x( ) 3 x4(x1).27x6x3. Giả sử m0 a
b(a b, ,a
b là phân số tối giản) là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m sao cho phương trình f
7 4 6 x9x2
2m 1 0 có số nghiệm nhiều nhất. Tính giá trị của biểu thức2. P a b
A. P11. B. P7. C. P 1. D. P9.
Câu 44. (ĐTK BGD&ĐT NĂM 2019-2020 LẦN 01) Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn 0 x 2020 và log (33 x 3) x 2y9y?
A. 2019. B. 6. C. 2020. D. 4.
Câu 45. (ĐTK BGD&ĐT NĂM 2019-2020 LẦN 02) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực ythỏa mãn log3
xy
log4
x2 y2
?A. 3. B. 2. C. 1. D. Vô số
Câu 46. Cho a0, b0 thỏa mãn log3a 2b 1
9a2b2 1
log6ab1
3a2b 1
2. Giá trị của a2b bằngA. 6 B. 9 C. 7
2 D. 5
2
Câu 47. Cho phương trình 3x m log (3 x m ) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
15;15
m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 16 B. 9 C. 14 D. 15
Câu 48. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Xét hàm số
9 29
t
f t t
m
với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho f x
f y 1 với mọi x y, thỏa mãn ex y e x y
.Tìm số phần tử của S.
A. 0. B. 1. C. Vô số. D. 2.
Câu 49. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho a0, b0 thỏa mãn
16 9 12
log a3b log alog b. Giá trị của
3 2 3
3 2 3
3 a ab b a a b b
bằng
A. 6 13 11
B. 8 17 13
69
C. 5 13
6
D. 3 13
11
Câu 50. (THPT NGUYỄN KHUYẾN TP.HCM NĂM 2018-2019) Cho a, b là các số dương thỏa mãn
9 16 12
log log log 5 2
a b b a
. Giá trị của a
b bằng A. a 1 6
b . B. 7 2 6 25 a
b
. C. 1 6
5 a b
. D. a 7 2 6
b .
Câu 51. (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Với các số thực x, y dương thỏa mãn log9 log6 log4
6 x y x y
. Tính tỉ số x y.
A. 3 B. 5 C. 2 D. 4
Câu 52. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho phương trình 2x m.2 .cosx
x 4, với mlàtham số. Gọi m0 là giá trị của msao cho phương trình trên có đúng một nghiệm thực. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. m0 5; 1 .
B. m0 5. C. m0 1; 0 .
D. m0 0.Câu 53. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Số nghiệm của phương trình 50x2x53.7x là:
A.1. B.2. C.3. D.0.
Câu 54. (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho a là số thực dương, a1. Biết bất phương trình 2 logax x 1 nghiệm đúng với mọi x0. Số a thuộc tập hợp nào sau đây?
A.
7; 8 B.
3; 5 C.
2; 3 D.
8;
Câu 55. (SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Số nghiệm thực của phương trình
2 2
3 5
log x 2x log x 2x2 là
A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 56. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn ln1 2 3 1
x x y
x y . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P 1 1 x xy .
A. Pmin 8. B. Pmin 4. C. Pmin 2. D. Pmin 16.
Câu 57. (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Xét các số thực dương x y, thỏa mãn
2 2
log 3 3 3 .
2
x y
x x y y xy
x y xy Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức
3 2 1
6 .
x y
P x y
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 58. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập nghiệm của bất phương trình
2 2
2log2 x x 2 4 x 2x x 2 1 là
a; b.Khi đó a b. bằng A. 15
16. B. 12
5 . C. 16
15. D. 5
12.
Câu 59. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2019-2020) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 127 số nguyên y thỏa mãn log3
x2y
log2
xy
?A. 89. B. 46. C. 45. D. 90.
Câu 60. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2019-2020) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2xy.4x y 1 3. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px2y22x4y bằng
A. 33
8 . B.
9
8. C.
21
4 . D.
41 8 .
Câu 61. (THPT Trần Hưng Đạo-TP HCM năm 2017-2018) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn
2 2 1
2
2018 2
1
x y x y
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P2y3x. A. min 1
P 2. B. min 7
P 8. C. min 3
P 4. D. min
5 P 6.
Câu 62. (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn đẳng thức
xy1 .2
2xy1
x2y
.2x2y. Tìm giá trị nhỏ nhất ymin của y.A. ymin 3. B. ymin 2. C. ymin 1. D. ymin 3.
Câu 63. (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho 2 số thực dương x y, thỏa mãn log3
x1
y1
y1 9
x1
y1
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2y là A. min11
P 2 . B. min
27
P 5 . C. Pmin 5 6 3. D. Pmin 3 6 2.
Câu 64. Cho các số thực x y, với thỏa mãn log2
x2
4x348x31 y 4.8y24x21. Giá trị lớn nhất của P2y24x2. 6
x
làA. 14. B. 6. C. 32. D. 8.
Câu 65. [PHÁT TRIỂN 47 - ĐỀ THI THAM KHẢO – 2020] Có bao nhiêu cặp số nguyên dương
x y;với y2020 thỏa mãn: 2 4 3
2
2log 2 4 8 4 1
1
x y y x x y
y
A. 2019.2020. B. 2020.2021. C. 20192. D. 20202
Câu 66. [PHÁT TRIỂN 47 - ĐỀ THI THAM KHẢO – 2020] Biết rằng bất phương trình
3 2
4 1
2 8 4 .2
x x
x x x x , có một nghiệm dương là a b
x c
với a b c, , ; b20. Khi đó biểu thức P a b c bằng giá trị nào sau đây ?
A. 18. B. 16. C. 10. D. 8.
Câu 67. Cho hàm số f x
ln
x x21
. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn bất phương trình
log
log 1 0?m2019 f m f
A. 65. B. 66. C. 64. D. 63.
Câu 68. [PHÁT TRIỂN 47 - ĐỀ THI THAM KHẢO – 2020] Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ln
m3sinxln
m4sinx
sin có nghiệm thực? xA. 6. B. 10. C. 5. D.
9.
___________________HẾT___________________
Huế, ngày 09 tháng 12 năm 2020
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hai số thực a, b thỏa mãn
100 40 16
log log log 4 12 a b
a b . Giá trị của a
b bằng
A. 6. B. 12. C. 2. D. 4.
Lời giải:
Điều kiện: a, b0 và a4b0
Đặt 100 40 16
4 100
log log log 40
12 4 12.16
t t
t
a b a
a b t b
a b
Suy ra
2
5 6
5 5 2
100 4.40 12.16 0 4. 12 0
2 2 5
2 2
t
t t
t t t
t
l
.
Vậy 5 6
2 a t
b
.
Câu 2. (THPT CHUYÊN BẮC GIANG NAM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình 2x35x25x6 có một nghiệm dạng x b logab với a b, là các số nguyên dương thuộc khoảng
1;7 . Khi đó a2b bằngA. 7 B. 24 C. 9 D. 16
Lời giải:
Ta có 2x35x25x6log 22 x3log 52 x25x6 x 3
x25x6 log 5
2
2
2 53 0 3
3 3 2 log 5
2 log 5 1 2 log 2
x x
x x x
x x
2 2 5 2.2 9
5
b a b
a
Câu 3. Xét các số thực dương x y, thỏa mãn log3 1 3 3 4 3
y xy x y
x xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P x y.
A. min 4 3 4
P 3
. B. min 4 3 4
P 3
. C. min 4 3 4
P 9
. D. min 4 3 4
P 9
.
Lời giải:
Để 1 0
3 y x xy
mà từ giả thiết x y, 0suy ra 1 y 0 y 1. Vậy ĐKXĐ: x0; 0 y 1.
Ta có: log3 1 3 3 4
3
y xy x y
x xy
3 3 4
1 3
3
xy x y
y x xy
3 3 33 1 3
3
xy x y
y x xy
33 3
3 1 3
3 3
xy x y
y x xy
3 3 y
.33 3 y
3xy x
.33xy x (*)Xét f t
t.3tvới t0. Ta có f t
3t t.3 .ln 3 0t với t 0, suy ra f t
đồng biến trên khoảng
0;
. Từ (*) ta có f
3 3 y
f 3xy x
với 3 3 y0,3xy x 0 nên3 3 3 3
3( 1) y xy x y x
x
.
Ta có P x y x 3
3x x1
x 1
3
3x x1
13 43
1
3 4 1 43 2
1 .
3 4 1 43 4 3 43P x x
x x
.
Vậy
min
1 4
3 1 2 3 3
4 3 4 3 3
3 3 1 2 3 1
3 0; 0 1
x x
x x
P y
x y
x y
.
Câu 4. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho x y, là hai số thực không âm thỏa mãn 2 2 1 log2 2 1
1 x x y y
x
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pe2x14x22y1 là A. 1
2. B. 1. C. 1
2. D. 1. Lời giải:
Điều kiện:
1 1 2 x y
Ta có: 2 2
2 2
2
22 1
2 1 log 2 1 2 1 log 2 1 log 2 1
1
x x y y x y y x
x
2 2
2 2
2 x 1 log 2 x 1 2y 1 log 2y 1 1
.
Xét hàm số f t
t log ,2t t0Ta có:
1 1 0, 0.ln 2
f t t
t suy ra f t
đồng biến trên khoảng
0;
. Phương trình
1 f
2
x1
2
f
2y 1
2y 1 2
x1
22y2
x1
21.Ta có: Pe2x14x22y 1 e2x12x24x
2 1 2 1 1
2. 4 4; 0 2 2
2
x x
P e x P e x x . Bảng biến thiên
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pe2x14x22y1 là 1
2 .
Câu 5. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Xét các số thực dương x y, thỏa mãn
2
2 1
2
2019 2
( 1)
x y x y
x
. Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P2y x bằng A. min 1
P 4. B. min 1
P 2. C. min 7
P 8. D. min 15 P 8 . Lời giải:
Ta có: 2 2 1
2
2019 2
( 1)
x y x y
x
x1 .2019
2 2 x21
2x y
.20192y
x 1 .2019
2 2 x124x
2x y
.20192y
x1 .2019
2 2 x12
2x y
.20192 2 x y . (1)Đặt u
x1 ,
2 v2x y u ,
0,v0 ,
khi đó (1) trở thành u.20192uv.2019 .2v (2) Xét hàm đặc trưng f t
t.2019 ,2t
t0 ,
ta có
2 2
' 2019 t 2 .2019 .ln 2019 0,t 0 :
f t t t Hàm f t
đồng biến trên (0;).Phương trình
2 f u
f v u v
x1
22x y y x21.Vậy P2y x 2x2 x 2. Do P là hàm bậc hai có hệ số a 2 0 nên
1 1 1 15
min 2. 2 .
2 4 16 4 8
P P b P
a
Câu 6. (MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2019-2020) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2xy.4x y 13. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px2y24x2y bằng
A. 33
8 . B.
9
8. C.
21
4 . D.
41 8 . Lời giải:
Ta có 2xy.4x y 1 3
2x3 .4
xy.4y1 0 2 .2y 2y
3 2x
23 2 xXét TH 3
3 2 0
x x 2. đúng với mọi giá trị 2 2
3 33
4 2
2 4
0
x P x y x y
y
Xét TH 3
3 2 0 0
x x 2. Xét hàm số f t
t.2t với t0
2 .2 .ln 2 0 f t t t t với mọi t0
2
3 2
f y f x 3
2 3 2
y x y 2 x
2
2 2 2 3 2 21
4 2 4 3 2 2
2 4
P x y x yx x x x x x 1 2 41 41
2 4 8 8
P x
So sánh và ta thấy GTNN của P là 41 8 khi
1 5
4, 4
x y
Câu 7. (MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2019-2020) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 255 số nguyên y thỏa mãn log3
x2y
log2
xy
?A. 80. B. 79. C. 157. D. 158
Lời giải:
Ta có: log3
x2y
log2
xy
x2 y 3log2x y x2 y
xy
log 32
1Đk: x y 1
Đặt t x y 1, nên từ
1 x2 x tlog 32 t
2Để
1 không có quá 255 nghiệm nguyên y khi và chỉ khi bất phương trình
2 có không quá255 nghiệm nguyên dương t.
Đặt M f
255
với f t
tlog 32 t.Vì f là hàm đồng biến trên
1,
nên
2 1 t f1
x2x
khi x2 x 0.Vậy
2 có không quá 255 nghiệm nguyên f1
x2x
255 x2 x 255 78 x 79
x
.Vậy có 158 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 8. (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hai số dương x;ythỏa
2
log 42 x y 2xy2 y 8 2x2 y2 . Giá trị nhỏ nhất của P2x y là số có dạng Ma b c với a,b ,a2. Tính S a b c.
A.S17 . B. S7. C. S19. D. S3. Lời giải:
Với hai số dương x;y thỏa log 42
x y 2xy2
y2 8
2x2
y2
Ta có
y2 log 4
2
x y 2xy2
8
2x2
y2
y 2 log 2
2
x 1
y 2
8
2x 1
y 2
3 y 2
2 2
log 2 1 log 2 8 2 1 3
x y 2 x
y
2
2
8 8
log 2 1 2 1 log 1
2 2
x x
y y
. Xét hàm đặc trưng f t
log2t t trên
0;
có
1 1 0, 0f t ln 2 t
t nên hàm số f t
đồng biến trên
0;
.Phương trình (1) có dạng:
2 1
8 2 1 8 8 22 2 2 1
f x f x y
y y x
.
P 8 8
2 2 2 2 1 3 4 2 3
2 1 2 1
AM GM
x y x x
x x
. Dấu bằng xảy ra khi 2 1 8
2 1
2 8 1 2 22 1 2
x x x
x
.
Vậy S a b c 3.
Câu 9. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho các số thực x, y với x0 thỏa
mãn e e
ee
3 1 1
3
1 1 1 3
x y xy xy
x y
x y y
. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 1
T x y . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. m
2; 3 . B. m
1; 0
. C. m
0;1 . D. m
1; 2 .Lời giải:
Từ giả thiết e e
ee
3 1 1
3
1 1 1 3
x y xy xy
x y
x y y
e e
e e
3 1
3 1
1 1
3 1
x y xy
x y x y xy xy
(1).
Xét hàm số
= ee
t 1
f t t t với t ta có
= ee
' t 1t 1 0,
f t t f t
là hàm số đồng biến trên .Phương trình (1) có dạng
3
1
3 1 1( 0)3
f x y f xy x y xy y x x
x
.
Khi đó
2
2 2
2 2 4 6 5
2 1 1 ' 1 0, 0
3 3 3
x x x
T x y x T x
x x x
min
2.0 2 1
0 1
0 3 3
T m
.
Câu 10. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Kí hiệu max ;
a b là số lớn nhất trong hai số a b, . Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 13
max log x; log x 1.
A. 1; 2 . S 3
B. S
0; 2 . C. 0;1 .S 3
D. S
2;
.Lời giải:
2 1 2 3
3
log log log log
y x x x x
1 1
' 0, 0
ln 2 ln 3
y x
x x
nên phương trình y0 có nghiệm duy nhất Mà phương trình y0có nghiệm x1 do đó
TH1: 2 1
3
1 : log log
x x x
Ta có 2 1 1
3 3
max log ; log 1. log 1 1
x x x x 3
. Do đó 1 1
3 x
TH2: 2 1
3
1 : log log
x x x
Ta có 2 1 2
3
max log x; log x 1. log x 1 x 2
. Do đó 1 x 2. Vậy 1; 2 .
S 3
Câu 11. (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 07) Cho hàm số
3 12 2 2018 2019y f x x x x . Số giá trị m ,m 12;12 thỏa bất phương trình
log0,2 log2 1 2019
0
f m f f là
A. 9. B. 10. C. 11. D. 12.
Lời giải:
Ta có y 3x224x2018 0, x y f x
đồng biến trên .Do đó f
log0,2
log