• Không có kết quả nào được tìm thấy

Phương pháp đánh giá và sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải PT - BPT mũ và lôgarit - TOANMATH.com

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "Phương pháp đánh giá và sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải PT - BPT mũ và lôgarit - TOANMATH.com"

Copied!
45
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ VÀ SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

NỘI DUNG ĐỀ BÀI

Câu 1. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hai số thực a, b thỏa mãn

100 40 16

log log log 4 12 a b

a b

  . Giá trị của a

b bằng

A. 6. B. 12. C. 2. D. 4.

Câu 2. (THPT CHUYÊN BẮC GIANG NAM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình 2x35x25x6 có một nghiệm dạng x b logab với a b, là các số nguyên dương thuộc khoảng

 

1;7 . Khi đó a2b

bằng

A. 7 B. 24 C. 9 D. 16

Câu 3. Xét các số thực dương x y, thỏa mãn log3 1 3 3 4 3

y xy x y

x xy

    

 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P x y.

A. min 4 3 4

P 3

 . B. min 4 3 4

P 3

 . C. min 4 3 4

P 9

 . D. min 4 3 4

P 9

 .

Câu 4. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho x y, là hai số thực không âm thỏa mãn 2 2 1 log2 2 1

1 x x y y

x

    

 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pe2x14x22y1 là A. 1

2. B. 1. C. 1

2. D. 1.

Câu 5. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Xét các số thực dương x y, thỏa mãn

2

2 1

2

2019 2

( 1)

x y x y

x

 

  . Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P2y x bằng A. min 1

P 4. B. min 1

P 2. C. min 7

P 8. D. min 15 P  8 .

Câu 6. (MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2019-2020) Xét các số thực không âm x y thỏa mãn 2xy.4x y 13. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px2y24x2y bằng

A. 33

8 . B.

9

8. C.

21

4 . D.

41 8 .

Câu 7. (MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2019-2020) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 255 số nguyên y thỏa mãn log3

x2y

log2

xy

?

A. 80. B. 79. C. 157. D. 158

Câu 8. (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hai số dương x;ythỏa

 

2

  

log 42 x y 2xy2 y  8 2x2 y2 . Giá trị nhỏ nhất của P2x y là số có dạng Ma b c với a,b ,a2. Tính S  a b c.

A.S17 . B. S7. C. S19. D. S3.

(2)

Câu 9. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho các số thực x, y với x0 thỏa

mãn e e

 

e

e

3 1 1

3

1 1 1 3

x y xy xy

x y

x y y

 

       . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 1

T x y . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. m

 

2; 3 . B. m 

1; 0

. C. m

 

0;1 . D. m

 

1; 2 .

Câu 10. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Kí hiệu max ;

 

a b là số lớn nhất trong hai số a b, . Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 1

3

max log x; log x  1.

 

 

A. 1; 2 . S 3 

  

  B. S

 

0; 2 . C. 0;1 .

S  3

  

  D. S

2;

.

Câu 11. (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 07) Cho hàm số

 

3 12 2 2018 2019

yf xxxx . Số giá trị m ,m  12;12 thỏa bất phương trình

 

 

log0,2 log2 1 2019

   

0

f m   f f

A. 9. B. 10. C. 11. D. 12.

Câu 12. Cho các số m0, n0, p0 thỏa mãn 4m 10n 25p. Tính giá trị biểu thức

2 2

n n

Tmp.

A. T 1. B. 5

T 2. C. T 2. D. 1

T 10. Câu 13. Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn 4a 9b 6c. Khi đó c c

ab bằng A. 1

2. B. 1

6. C. 6. D. 2.

Câu 14. Có bao nhiêu cặp số nguyên

 

x y; thỏa mãn 0 x 2020 và 1 y 2020

   

1

2 2

4x log y 3 16.2ylog 2x1 ?

A. 2019. B. 2020. C. 1010. D. 1011.

Câu 15. Biết x1,x2 là hai nghiệm của phương trình

2

2 7

4 4 1

log 4 1 6

2

x x

x x

x

   

  

 

  và

 

1 2

2 1

xx 4 ab với a,b là hai số nguyên dương. Tính a b .

A. a b 13. B. a b 11. C. a b 16. D. a b 14.

Câu 16. Cho phương trình 2 log3

cotx

log2

cosx

. Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên khoảng ;

6 2

 

 

 

 ?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 6.

Câu 17. Biết m n, là hai số thực thỏa mãn x.2x3.23x3x 8 0m n a  log2b,

a b,  *

, tính .

S a b

A. S4. B. S6. C. S5. D. S9.

(3)

Câu 18. (MĐ 102 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho a0, b0 thỏa mãn

2 2

  

10 3 1 25 10 1 10 3 1

log a b ab 1 l go ab ab 2. Giá trị của a2b bằng A. 5

2 B. 6 C. 22 D. 11

2

Câu 19. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

2 2 2 2

2x mx m 4m x mx m 4m 2 2 2 2 8 0

e e xmxmm có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn

1 2 2?

xx  

A.

0;1 . B. 0; 8 . C.

0; 2 . D. 2; 8 .

Câu 20. Biết m n, là hai số thực thỏa mãn x.2x3.23x3x 8 0m n a  log2b,

a b,  *

, tính .

S a b

A. S4. B. S6. C. S5. D. S9.

Câu 21. (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU 2018-2019 LẦN 2) Hỏi phương trình 3.2x4.3x5.4x6.5x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ?

A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.

Câu 22. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Biết rằng phương trình exex 2 cosax (a là tham số) có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình exex2 cosax4 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ?

A. 5 B. 10 C. 6 D. 11

Câu 23. (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hai phương trình

   

2 7 3 ln 4 0 1

xx  x  và x29x11 ln 5

x

0 2

 

. Đặt T là tổng các nghiệm phân biệt của hai phương trình đã cho, ta có:

A. 2 B. 8 C. 4 D. 6

Câu 24. Phương trình 4x 1 2 . .cos(xmx) có nghiệm duy nhất. Số giá trị của tham số m thỏa mãn là

A. Vô số B. 1 C. 2 D. 0

Câu 25. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Cho 0 x 2020 và log (22 x2) x 3y8y .Có bao nhiêu cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn các điều kiện trên ?

A. 2019. B. 2018. C. 1. D. 4.

Câu 26. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 15 .5x x 5x127x23 là

A. 1. B. 0. C. 2. D.1.

Câu 27. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tập nghiệm của bất phương trình

 

2 9 2 1

3xx 9 .5x 1 là khoảng

 

a b; . Tính b a

A. 6. B. 3. C. 8. D. 4.

Câu 28. (THPT ĐOAN THƯỢNG HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết x x1, 2

x1x2

là hai nghiệm của phương trình log3

x23x 2 2

5x23x12x12x212

a b

với a b, là hai

số nguyên dương. Tính a2 .b

A.5. B. 1. C. 1. D. 9.

(4)

Câu 29. Phương trình

 

2

3 2

2 1

log 3 8 5

1

x x x

x

   

 có hai nghiệm là aa

b (Với a b, *a

b là phân số tối giản). Giá trị của b

A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.

Câu 30. (THPT NINH BÌNH BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 04) Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình

2 1

2 2

2 1

log 2 5

2

x x

x x

   

 

  .

A. 0. B. 2. C. 1. D. 1

2.

Câu 31. (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết phương trình

2018 2019

2 1 1

log 2log

2 2

x

x x x

 

 

    

   

    có nghiệm duy nhất x a b  2 trong đó a , b là những số nguyên. Khi đó a b bằng

A. 5 B. 1 C. 2 D. 1

Câu 32. (Đề thi chuyên vinh lần 1-2019 ) Cho hàm số f x

 

2x2x. Gọi m0 là số lớn nhất trong các số nguyên m thỏa mãn f m

 

f

2m212

0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.m0 1513; 2019

. B.m0 1009;1513

. C.m0 505;1009

. D.m0 1; 505

.

Câu 33. Cho phương trình 5x m log5

x m

với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

20; 20

m  để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 20 B. 19 C. 9 D. 21

Câu 34. Để giải phương trình log cot2

xtanx

 1 cos 2xsin 2x trên khoảng 0; , 4

 

 

  bạn Tuấn giải theo các bước sau:

Bước 1: Do 0; cot tan 0.

x 4 xx

  Ta có: cot tan 2 cos 2 .

sin 2 x x x

  x Phương trình đã cho tương đương với: log cos 22 xcos 2xlog sin 22 xsin 2x

 

* (Do 0; : sin 2 0,cos 2 0

x  4 x x

   

  ).

Bước 2: Xét hàm số

 

2

     

log , 0;1 1 1 0, 0;1 .

f t t t t f t ln 2 t

t

         Do đó hàm số f t

 

đồng biến trên

 

0;1 .

Bước 3: Phương trình (2) có dạng: f

cos 2x

 

f sin 2x

cos 2xsin 2xtan 2x1

 

, .

8 2

xkk

    Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm / .

8 2

S  kk

   

 

Bạn Tuấn giải đã đúng chưa? Và nếu sai thì bạn Tuấn giải sai bắt đầu từ bước nào?

A. Bài giải đúng. B. Sai từ bước 1. C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3.

Câu 35. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình e3mem2

x 1x2



1x 1x2

có nghiệm.
(5)

A. 0; ln 21 2

 

 

  B. ; ln 21

2

 

 

  C. 0;1

e

 

 

  D. 1ln 2;

2

 



 

Câu 36. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số

 

x y; thỏa mãn logx2 y2 2

4x4y 6 m2

1 và

2 2 2 4 1 0

xyxy  .

A. S 

 

1;1 B. S  

5; 1;1; 5

C. S 

5; 5

D. S   

7; 5; 1;1; 5;7

Câu 37. (CỤM 8 TRƯỜNG CHUYÊN LẦN 1) Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2019 ; 2 để phương trình

x1 log 4

 3

x 1

log 25

x1

2x m có đúng hai nghiệm thực là

A.2. B.2022. C.1. D.2021.

Câu 38. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho số thực sao cho phương trình

 

2x2x2 cos x có đúng 2019 nghiệm thực. Số nghiệm của phương trình

 

2x2x  4 2 cos x

A. 2019. B. 2018. C. 4037. D. 4038.

Câu 39. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 04) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn 100;100để phương trình 2019xmx1 có hai nghiệm phân biệt?

A. 94 B. 92 C. 184 D. 100.

Câu 40. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ln

mln

msinx

 

sinx có nghiệm.

A. 1 1 m e 1.

e    B. 1 m  e 1. C. 1 m 1 1.

  e D. 1 m  e 1.

Câu 41. (CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 03) Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2x24x 5 m2 logx24x6

m21

có đúng 1 nghiệm là

A. 1. B. 0. C. 2. D. 4.

Câu 42. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết rằng phương trình exex 2 cosax (a là tham số) có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình exex2 cosax4 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 5 B. 10 C. 6 D. 11

Câu 43. (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hàm số f x( ) 3 x4(x1).27x6x3. Giả sử m0 a

b(a b, ,a

b là phân số tối giản) là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m sao cho phương trình f

7 4 6 x9x2

2m 1 0 có số nghiệm nhiều nhất. Tính giá trị của biểu thức

2. P a b

A. P11. B. P7. C. P 1. D. P9.

Câu 44. (ĐTK BGD&ĐT NĂM 2019-2020 LẦN 01) Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn 0 x 2020 và log (33 x  3) x 2y9y?

A. 2019. B. 6. C. 2020. D. 4.

Câu 45. (ĐTK BGD&ĐT NĂM 2019-2020 LẦN 02) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực ythỏa mãn log3

xy

log4

x2 y2

?
(6)

A. 3. B. 2. C. 1. D. Vô số

Câu 46. Cho a0, b0 thỏa mãn log3a 2b 1

9a2b2 1

log6ab1

3a2b 1

2. Giá trị của a2b bằng

A. 6 B. 9 C. 7

2 D. 5

2

Câu 47. Cho phương trình 3x m log (3 x m ) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

15;15

m  để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 16 B. 9 C. 14 D. 15

Câu 48. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Xét hàm số

 

9 2

9

t

f t t

m

 với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho f x

   

f y 1 với mọi x y, thỏa mãn ex y e x y

.

Tìm số phần tử của S.

A. 0. B. 1. C. Vô số. D. 2.

Câu 49. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho a0, b0 thỏa mãn

 

16 9 12

log a3b log alog b. Giá trị của

3 2 3

3 2 3

3 a ab b a a b b

 

  bằng

A. 6 13 11

 B. 8 17 13

69

 C. 5 13

6

 D. 3 13

11

Câu 50. (THPT NGUYỄN KHUYẾN TP.HCM NĂM 2018-2019) Cho a, b là các số dương thỏa mãn

9 16 12

log log log 5 2

a b b a

  . Giá trị của a

b bằng A. a 1 6

b   . B. 7 2 6 25 a

b

  . C. 1 6

5 a b

  . D. a 7 2 6

b  .

Câu 51. (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Với các số thực x, y dương thỏa mãn log9 log6 log4

6 x yx y 

   

 . Tính tỉ số x y.

A. 3 B. 5 C. 2 D. 4

Câu 52. (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho phương trình 2x m.2 .cosx

 

x 4, với m

tham số. Gọi m0 là giá trị của msao cho phương trình trên có đúng một nghiệm thực. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. m0   5; 1 .

B. m0  5. C. m0  1; 0 .

D. m0 0.

Câu 53. (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Số nghiệm của phương trình 50x2x53.7x là:

A.1. B.2. C.3. D.0.

Câu 54. (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho a là số thực dương, a1. Biết bất phương trình 2 logax x 1 nghiệm đúng với mọi x0. Số a thuộc tập hợp nào sau đây?

A.

 

7; 8 B.

3; 5 C.

 

2; 3 D.

8;

Câu 55. (SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Số nghiệm thực của phương trình

 

2 2

3 5

log x  2x log x  2x2 là

(7)

A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.

Câu 56. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn ln1 2 3  1

x x y

x y . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P 1 1 x xy .

A. Pmin 8. B. Pmin 4. C. Pmin 2. D. Pmin 16.

Câu 57. (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Xét các số thực dương x y, thỏa mãn

   

2 2

log 3 3 3 .

2

     

   x y

x x y y xy

x y xy Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức

3 2 1

6 .

 

  

x y

P x y

A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.

Câu 58. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập nghiệm của bất phương trình

2 2

2

log2 x x   2 4 x 2xx  2 1 là

a; b.

Khi đó a b. bằng A. 15

16. B. 12

5 . C. 16

15. D. 5

12.

Câu 59. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2019-2020) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 127 số nguyên y thỏa mãn log3

x2y

log2

xy

?

A. 89. B. 46. C. 45. D. 90.

Câu 60. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2019-2020) Xét các số thực không âm x y thỏa mãn 2xy.4x y 1 3. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px2y22x4y bằng

A. 33

8 . B.

9

8. C.

21

4 . D.

41 8 .

Câu 61. (THPT Trần Hưng Đạo-TP HCM năm 2017-2018) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn

 

 

2 2 1

2

2018 2

1

x y x y

x

   

 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P2y3x. A. min 1

P 2. B. min 7

P 8. C. min 3

P 4. D. min

5 P 6.

Câu 62. (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn đẳng thức

xy1 .2

2xy1

x2y

.2x2y. Tìm giá trị nhỏ nhất ymin của y.

A. ymin 3. B. ymin 2. C. ymin 1. D. ymin  3.

Câu 63. (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho 2 số thực dương x y, thỏa mãn log3

x1



y1

y1 9

x1



y1

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2y là A. min

11

P  2 . B. min

27

P  5 . C. Pmin   5 6 3. D. Pmin   3 6 2.

Câu 64. Cho các số thực x y, với thỏa mãn log2

x2

4x348x31 y 4.8y24x21. Giá trị lớn nhất của P2y24x2. 6

x

A. 14. B. 6. C. 32. D. 8.

(8)

Câu 65. [PHÁT TRIỂN 47 - ĐỀ THI THAM KHẢO – 2020] Có bao nhiêu cặp số nguyên dương

 

x y;

với y2020 thỏa mãn: 2 4 3

2

2

log 2 4 8 4 1

1

x y y x x y

y

A. 2019.2020. B. 2020.2021. C. 20192. D. 20202

Câu 66. [PHÁT TRIỂN 47 - ĐỀ THI THAM KHẢO – 2020] Biết rằng bất phương trình

 

 

  

3 2

4 1

2 8 4 .2

x x

x x x x , có một nghiệm dương là a b

x c

  với a b c, ,  ; b20. Khi đó biểu thức P  a b c bằng giá trị nào sau đây ?

A. 18. B. 16. C. 10. D. 8.

Câu 67. Cho hàm số f x

 

ln

x x21

. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn bất phương trình

log

log 1 0?

m2019 f mf 

 

A. 65. B. 66. C. 64. D. 63.

Câu 68. [PHÁT TRIỂN 47 - ĐỀ THI THAM KHẢO – 2020] Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ln

m3sinxln

m4sinx

 

sin có nghiệm thực? x

A. 6. B. 10. C. 5. D.

9.

___________________HẾT___________________

Huế, ngày 09 tháng 12 năm 2020

(9)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hai số thực a, b thỏa mãn

100 40 16

log log log 4 12 a b

ab  . Giá trị của a

b bằng

A. 6. B. 12. C. 2. D. 4.

Lời giải:

Điều kiện: a, b0a4b0

Đặt 100 40 16

4 100

log log log 40

12 4 12.16

t t

t

a b a

a b t b

a b

 

     

  

Suy ra

 

2

5 6

5 5 2

100 4.40 12.16 0 4. 12 0

2 2 5

2 2

t

t t

t t t

t

l

   

     

                  .

Vậy 5 6

2 a t

b

   

  .

Câu 2. (THPT CHUYÊN BẮC GIANG NAM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình 2x35x25x6 có một nghiệm dạng x b logab với a b, là các số nguyên dương thuộc khoảng

 

1;7 . Khi đó a2b bằng

A. 7 B. 24 C. 9 D. 16

Lời giải:

Ta có 2x35x25x6log 22 x3log 52 x25x6  x 3

x25x6 log 5

2

  

2

 

2 5

3 0 3

3 3 2 log 5

2 log 5 1 2 log 2

x x

x x x

x x

    

          

2 2 5 2.2 9

5

b a b

a

       

Câu 3. Xét các số thực dương x y, thỏa mãn log3 1 3 3 4 3

y xy x y

x xy

    

 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P x y.

A. min 4 3 4

P 3

 . B. min 4 3 4

P 3

 . C. min 4 3 4

P 9

 . D. min 4 3 4

P 9

 .

Lời giải:

Để 1 0

3 y x xy

 

 mà từ giả thiết x y, 0suy ra 1   y 0 y 1. Vậy ĐKXĐ: x0; 0 y 1.

Ta có: log3 1 3 3 4

3

y xy x y

x xy

    

3 3 4

1 3

3

xy x y

y x xy

 

  

 

3 3 3

3 1 3

3

xy x y

y x xy

 

  

(10)

 

3

3 3

3 1 3

3 3

xy x y

y x xy

  

3 3 y

.33 3 y

3xy x

.33xy x (*)

Xét f t

 

t.3tvới t0. Ta có f t

 

3t t.3 .ln 3 0t với  t 0, suy ra f t

 

đồng biến trên khoảng

0;

. Từ (*) ta có f

3 3 y

 

f 3xy x

với 3 3 y0,3xy x 0 nên

3 3 3 3

3( 1) y xy x y x

x

     

 .

Ta có P x y x 3

3x x1

 

x 1

3

3x x1

13 43

 

 

          

1

  

3 4 1 43 2

1 .

  

3 4 1 43 4 3 43

P x x

x x

        

  .

Vậy

 

 

min

1 4

3 1 2 3 3

4 3 4 3 3

3 3 1 2 3 1

3 0; 0 1

x x

x x

P y

x y

x y

  

   

  

   

   

 

  

    



.

Câu 4. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho x y, là hai số thực không âm thỏa mãn 2 2 1 log2 2 1

1 x x y y

x

    

 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pe2x14x22y1 là A. 1

2. B. 1. C. 1

2. D. 1. Lời giải:

Điều kiện:

1 1 2 x y

  



  

Ta có: 2 2

 

2 2

 

2

 

2

2 1

2 1 log 2 1 2 1 log 2 1 log 2 1

1

x x y y x y y x

x

  

              

 

2 2

 

2 2

   

2 x 1 log 2 x 1  2y 1 log 2y 1 1

         .

Xét hàm số f t

 

 t log ,2t t0

Ta có:

 

1 1 0, 0

.ln 2

f t t

  t    suy ra f t

 

đồng biến trên khoảng

0;

. Phương trình

 

1 f

2

x1

2

f

2y 1

2y 1 2

x1

22y2

x1

21.

Ta có: Pe2x14x22y 1 e2x12x24x

2 1 2 1 1

2. 4 4; 0 2 2

2

x x

P e xP e   x x . Bảng biến thiên

(11)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pe2x14x22y1 là 1

2 .

Câu 5. (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Xét các số thực dương x y, thỏa mãn

2

2 1

2

2019 2

( 1)

x y x y

x

 

  . Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P2y x bằng A. min 1

P 4. B. min 1

P 2. C. min 7

P 8. D. min 15 P  8 . Lời giải:

Ta có: 22 1

2

2019 2

( 1)

x y x y

x

 

 

x1 .2019

2 2 x21

2x y

.20192y

x 1 .2019

2 2 x124x

2x y

.20192y

   

x1 .2019

2 2 x12

2x y

.20192 2 x y . (1)

Đặt u

x1 ,

2 v2x y u ,

0,v0 ,

khi đó (1) trở thành u.20192uv.2019 .2v (2) Xét hàm đặc trưng f t

 

t.2019 ,2t

t0 ,

ta có

 

2 2

 

' 2019 t 2 .2019 .ln 2019 0,t 0 :

f t   t   t  Hàm f t

 

đồng biến trên (0;).

Phương trình

 

2 f u

   

f v   u v

x1

22x y  y x21.

Vậy P2y x 2x2 x 2. Do P là hàm bậc hai có hệ số a 2 0 nên

1 1 1 15

min 2. 2 .

2 4 16 4 8

P P b P

a

   

       

   

Câu 6. (MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2019-2020) Xét các số thực không âm xy thỏa mãn 2xy.4x y 13. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px2y24x2y bằng

A. 33

8 . B.

9

8. C.

21

4 . D.

41 8 . Lời giải:

Ta có 2xy.4x y 1 3

2x3 .4

xy.4y1 0 2 .2y 2y  

3 2x

23 2 x

Xét TH 3

3 2 0

x  x 2. đúng với mọi giá trị 2 2

3 33

4 2

2 4

0

       

 

x P x y x y

y

Xét TH 3

3 2 0 0

x   x 2. Xét hàm số f t

 

t.2t với t0

 

2 .2 .ln 2 0

ft  t t t  với mọi t0

 

2

3 2

f yfx 3

2 3 2

y  x  y 2 x

(12)

 

2

2 2 2 3 2 21

4 2 4 3 2 2

2 4

 

 P xyxyx  x  x  xx  x 1 2 41 41

2 4 8 8

 

 P x   

So sánh và ta thấy GTNN của P41 8 khi

1 5

4, 4

 

x y

Câu 7. (MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2019-2020) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 255 số nguyên y thỏa mãn log3

x2y

log2

xy

?

A. 80. B. 79. C. 157. D. 158

Lời giải:

Ta có: log3

x2y

log2

xy

x2 y 3log2x y x2 y

xy

log 32

 

1

Đk: x y 1

Đặt t  x y 1, nên từ

 

1 x2 x tlog 32 t

 

2

Để

 

1 không có quá 255 nghiệm nguyên y khi và chỉ khi bất phương trình

 

2 có không quá

255 nghiệm nguyên dương t.

Đặt M f

255

với f t

 

tlog 32 t.

f là hàm đồng biến trên

1,

nên

 

2 1 t f1

x2x

khi x2 x 0.

Vậy

 

2 có không quá 255 nghiệm nguyên f1

x2x

255 x2 x 255    78 x 79

x

.

Vậy có 158 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 8. (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hai số dương x;ythỏa

 

2

  

log 42 x y 2xy2 y  8 2x2 y2 . Giá trị nhỏ nhất của P2x y là số có dạng Ma b c với a,b ,a2. Tính S  a b c.

A.S17 . B. S7. C. S19. D. S3. Lời giải:

Với hai số dương x;y thỏa log 42

x y 2xy2

y2  8

2x2



y2

Ta có

y2 log 4

2

x y 2xy2

 8

2x2



y2

y 2 log 2

2

x 1



y 2

8

2x 1



y 2

 

3 y 2

         

     

2 2

log 2 1 log 2 8 2 1 3

x y 2 x

    y   

2

   

2

 

8 8

log 2 1 2 1 log 1

2 2

x x

y y

 

         . Xét hàm đặc trưng f t

 

log2t t trên

0;

 

1 1 0, 0

f t ln 2 t

 t     nên hàm số f t

 

đồng biến trên

0;

.

Phương trình (1) có dạng:

2 1

8 2 1 8 8 2

2 2 2 1

f x f x y

y y x

 

            .

(13)

 

P 8 8

2 2 2 2 1 3 4 2 3

2 1 2 1

AM GM

x y x x

x x

 

             . Dấu bằng xảy ra khi 2 1 8

2 1

2 8 1 2 2

2 1 2

x x x

x

       

 .

Vậy S   a b c 3.

Câu 9. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho các số thực x, y với x0 thỏa

mãn e e

 

e

e

3 1 1

3

1 1 1 3

x y xy xy

x y

x y y

 

       . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 1

T x y . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. m

 

2; 3 . B. m 

1; 0

. C. m

 

0;1 . D. m

 

1; 2 .

Lời giải:

Từ giả thiết e e

 

e

e

3 1 1

3

1 1 1 3

x y xy xy

x y

x y y

 

     

   

e e

e e

3 1

3 1

1 1

3 1

x y xy

x y x y xy xy

 

 

         (1).

Xét hàm số

 

= e

e

t 1

f ttt với t ta có

 

= e

e

' t 1t 1 0,

f t      t f t

 

là hàm số đồng biến trên .

Phương trình (1) có dạng

3

 

1

3 1 1( 0)

3

f x y f xy x y xy y x x

x

            

 .

Khi đó

   

2

2 2

2 2 4 6 5

2 1 1 ' 1 0, 0

3 3 3

x x x

T x y x T x

x x x

  

            

  

min

2.0 2 1

0 1

0 3 3

Tm

     

 .

Câu 10. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Kí hiệu max ;

 

a b là số lớn nhất trong hai số a b, . Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 1

3

max log x; log x  1.

 

 

A. 1; 2 . S 3 

  

  B. S

 

0; 2 . C. 0;1 .

S  3

  

  D. S

2;

.

Lời giải:

2 1 2 3

3

log log log log

yxxxx

1 1

' 0, 0

ln 2 ln 3

y x

x x

     nên phương trình y0 có nghiệm duy nhất Mà phương trình y0có nghiệm x1 do đó

TH1: 2 1

3

1 : log log

xxx

Ta có 2 1 1

3 3

max log ; log 1. log 1 1

x x x x 3

 

      

 

 

  . Do đó 1 1

3 x

TH2: 2 1

3

1 : log log

xxx

(14)

Ta có 2 1 2

3

max log x; log x   1. log x  1 x 2

 

  . Do đó 1 x 2. Vậy 1; 2 .

S 3 

  

 

Câu 11. (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 07) Cho hàm số

 

3 12 2 2018 2019

yf xxxx . Số giá trị m ,m  12;12 thỏa bất phương trình

 

 

log0,2 log2 1 2019

   

0

f m   f f

A. 9. B. 10. C. 11. D. 12.

Lời giải:

Ta có y 3x224x2018 0,  x  y f x

 

đồng biến trên .

Do đó f

log0,2

log

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

[r]

Trong trường hợp tổng hợp vật liệu xúc tác bằng phương pháp dung nhiệt, dung môi là yếu tố rất quan trọng liên quan đến quá trình hình thành và phát triển của

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để phương trình có nghiệm

Với mục tiêu muốn đóng góp một phần nào đó trong việc hoàn thành một bức tranh tổng thể về các phương pháp giải phương trình hàm và bất phương trình hàm, trong chuyên

Sau đây là một số thí dụ có vận dụng các tính chất này... Một số tính chất khác xin được trình bày ở số tiếp

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có đúng hai nghiệm phân

là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn yêu cầu

- Giải được bất phương trình mũ: phương pháp đưa về luỹ thừa cùng cơ số, phương pháp lôgarit hoá, phương pháp dùng ẩn số phụ, phương pháp sử dụng tính chất của hàm số.. -