a) Tập xác định: R

1 Bộ giáo dục và đào tạo Đáp án - Thang điểm

... đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004

...

Đề chính thức

Môn:

Câu ý Nội dung Điểm

I 2,0

1 Khảo sát hàm số (1,0 điểm) 1 ^{3 2}

y x 2x 3x

=3 − + (1).

a) Tập xác định: R. b) Sự biến thiên:

y' = x² ₋ 4x + 3; y'=0⇔ x=1, x=3. 0,25

y_CĐ = y(1) = 4

3, y_CT = y(3) = 0; y" = 2x ₋ 4, y'' = 0 ^{⇔ =x 2, y 2}

( )

hàm số lồi trên khoảng (−∞; 2), lõm trên khoảng ( 2; + ∞) và có điểm uốn là U 2; 2

3

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠.

0,25

Bảng biến thiên:

x −∞ 1 3 _{+ ∞}

y' + 0 − 0 +

y 4

3 _{+ ∞}

−∞ 0

0,25

c) Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị với các trục Ox, Oy là các điểm

( ) ( )

0,25

2 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn, ...(1,0 điểm)

Tại điểm uốn U 2 2;3

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠, tiếp tuyến của (C) có hệ số góc y'(2)=ư1. 0,25 Tiếp tuyến ∆ tại điểm uốn của đồ thị (C) có phương trình:

2 8

y 1.(x 2) y x

3 3

= ư ư + ⇔ = ư + . 0,25

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x bằng:

y'(x) = x² ư4x+3 = (xư2)² ư1 ≥ ư1^{⇒ y' (x)} ≥ y' (2), ∀ x. 0,25 Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi x = 2 ( là hoành độ điểm uốn).

Do đó tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. 0,25

II 2,0

1 Giải phương trình (1,0 điểm)

5sinx ư 2 = 3 tg²x ( 1 ư sinx) (1) .

Điều kiện: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ k , k Z

π + π ∈2 (*). 0,25

Khi đó (1) ⇔ ^{5sin x 2 3sin x2}₂ ^{(1 sin x)} 1 sin x

ư = ư

ư ⇔2sin² x+3sinxư2=0. 0,25 2

sin = 1

⇔ x hoặc sinx=ư2 (vô nghiệm).

0,25 π

π+

=

⇔

= 2

6 2

sinx 1 x k

5 k

x

,

0,25 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (1,0 điểm)

y = ln x2

x

⇒ ln x(2 ln x)₂

y ' x

= ư ⋅ 0,25

y'= 0

3

2 3

ln x 0 x 1 [1; e ] ln x 2 x e [1; e ].

= ⎡ = ∈

⇔⎡⎢⎣ = ⇔⎢⎢⎣ = ∈ 0.25

Khi đó: y(1) = 0, ² 4₂ ³ 9₃ y(e ) , y(e )

e e

= = ⋅

0,25 So sánh 3 giá trị trên, ta có:

3 3

2

2 [1; e ]

[1; e ]

max y 4 khi x e , min y 0 khi x 1

=e = = = .

0,25

III 3,0

1 Tìm điểm C (1,0 điểm)

Phương trình đường thẳng AB:

4 1 3

1

ư

= ư

ư y

x ⇔4x + 3y – 7 = 0. 0,25

Giả sử C(x;y). Theo giả thiết ta có: xư2yư1=0 (1).

d(C, (AB)) = 6

2 2

4x 3y 37 0 (2a) 4x 3y 7

6 4x 3y 23 0 (2b).

4 3

+ ư =

+ ư ⎡

⇔ + = ⇔⎢⎣ + + = 0,25

Giải hệ (1), (2a) ta được: C₁( 7 ; 3). 0,25

Giải hệ (1), (2b) ta được: ₂ 43 27

C ;

11 11

⎛ư ư ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠. 0,25

2 Tính góc và thể tích (1,0 điểm)

3 Gọi giao điểm của AC và BD là

O thì SO (ABCD)⊥ , suy ra SAOn= ϕ.

Gọi trung điểm của AB là M thì

OM⊥AB và SM ⊥AB⇒Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là SMOn.

0,25

Tam giác OAB vuông cân tại O, nên = = ⇒ = a tgϕ

a SO a OA

OM 2

2 2

, 2

2 ^.

Do đó: n SO

tgSMO 2 tg

=OM = ϕ.

0,25

2 3

S.ABCD ABCD

1 1 a 2 2

V S .SO a tg a tg .

3 3 2 6

= = ϕ = ϕ 0,50

3 Viết phương trình đường thẳng ∆ (1,0 điểm)

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương v=(2;ư1;4). 0,25 B ∈ d ⇔ B(ư3+2t;1ưt;ư1+4t) (với một số thực t nào đó ).

( )

AB 1 2t;3 t; 5 4t

⇒ JJJG= + ư ư +

. 0,25

AB ⊥ d ⇔ AB.v=0 ⇔2(1 2t) (3 t) 4( 5 4t) 0+ ư ư + ư + = ⇔ t = 1. 0,25 AB (3; 2; 1)

⇒JJJG= ư

⇒ Phương trình của

1 4 2

2 3

: 4

ư

= ư

= +

∆ x+ y z

. 0,25

IV 2,0

1 Tính tích phân (1,0 điểm) x dx

x I= ∫^e + x

1

ln ln 3

1 .

Đặt: ² dx

t 1 3ln x t 1 3ln x 2tdt 3

= + ⇒ = + ⇒ = x .

x 1= ⇒t 1= , x e= ⇒t 2= . 0,25

Ta có: ^{2 2 2 2}

(

)

1 1

2 t 1 2

I t dt t t dt

3 3 9

=

∫

∫

0,25

2

5 3

1

2 1 1

I t t

9 5 3

⎛ ⎞

= ⎜ ư ⎟

⎝ ⎠ .

0,25 I =

135 116.

0,25

4 2 Xác định số đề kiểm tra lập được ... (1,0 điểm)

Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên có các trường hợp sau:

• Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là:

23625 .

. ₁₀^{2 1}₅

2

15 C C =

C . 0,25

• Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó, thì số cách chọn là:

C₁₅² .C¹₁₀.C²₅ =10500. 0,25

• Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là:

22750 .

. ¹₁₀ ¹₅

3

15 C C =

C . 0,25

Vì các cách chọn trên đôi một khác nhau, nên số đề kiểm tra có thể lập được là:

23625+10500+22750=56875^{. 0,25}

V Xác định m để phương trình có nghiệm 1,0

Điều kiện: _ư 1 ≤ x ≤ 1.Đặt t = 1 x+ ² ư 1 xư ² . Ta có: 1 x+ ² ≥ 1 xư ² ⇒t 0≥ , t = 0 khi x = 0.

t² = ư2 2 1 xư ⁴ ≤2 ⇒t≤ 2, t = 2 khi x = ± 1.

⇒ Tập giá trị của t là [0; 2] ( t liên tục trên đoạn [_ư1; 1]). 0,25 Phương trình đã cho trở thành: m

(

)

Xét f(t) =

t2 t 2 t 2

ư + +

+ với 0 ≤ t ≤ ². Ta có f(t) liên tục trên đoạn [0; 2].

Phương trình đã cho có nghiệm x ⇔ Phương trình (*) có nghiệm t ∈ [0; 2] ⇔

] 2

; 0 [ ]

2

; 0 [

) ( max )

(

minf t ≤m≤ f t ^.

0,25 Ta có: f '(t) =

( )

2 2

t 4t

0, t 0; 2 t 2

ư ư+ ≤ ∀ ∈⎡⎣ ⎤⎦⇒ f(t) nghịch biến trên [0; 2].

0,25 Suy ra:

[0; 2 ] [0; 2 ]

min f (t) f ( 2)= = 2 1 ;ư max f (t) f (0) 1= = .

Vậy giá trị của m cần tìm là 2 1 m 1ư ≤ ≤ . 0,25