1
A. LÍ THUYẾT.
CẤP ĐỘ 2: Khoảng cách từ “chân vuông góc” đến “mặt phẳng”
Bài toán trải qua 3 giai đoạn +) Dựng hình
+) Chứng minh +) Tính
Cách dựng d(A,SBC)
TH1: Cho hình chóp SABC, SA đáy. Tam giác ABC vuông tại B.
+) Từ A kẻ AHSB H
SB
AHd A,SBC
+) Chứng minh
TH2: Cho hình chóp SABC, SA đáy. Tam giác ABC vuông tại C.
+) Từ A kẻ AHSC H
SC
AHd A,SBC
+) Chứng minh
TH3: Cho hình chóp SABC, SA đáy. Tam giác ABC không vuông tại B, C.
+) Từ A dựng
AM BC M BC
AH d A,SBC
AH SM H SM
+) Chứng minh
BÀI GIẢNG: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG (CẤP ĐỘ 2)
CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
MÔN TOÁN LỚP 11
2
B. BÀI TẬP VÍ DỤ
VD1: Cho hình chóp SABCD, SA
ABCD .
Đáy là hình chữ nhật với AB = a, BCa 3. Góc giữa đường thẳng SC và đáy bằng 45oCa) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDM) (M là trung điểm của BC) Hướng dẫn giải
Góc giữa đường thẳng SC và đáy chính là góc giữa đường thẳng SC và đường thẳng AC SCA45oC
a) d(A, SBC) = ?
+) Dựng: AHSB H
SB
AHd A,SBC
+) Chứng minh: AH
SBC
Ta có:
BC AB
BC SAB BC AH
BC SA SA ABCD
AH BC
AH SBC AH d A,SBC
AH SB
+) Tính AH = ?
ABC :AC AB BC a a a AC a
2 2 2 2 3 24 2 2
Xét tam giác SAC vuông cân tại A (vì có góc SCA45o) SA = AC = 2a Trong tam giác vuông SAB có:
AH12 SA12 AB12
a a a
AH AH d A,SBC
AH a a a
12 12 12 52 2 4 2 2 2
4 4 5 5 5
b) d(A, SBD) = ?
+) Dựng:
AI BD I BD
AK d A,SBD AK SI K SI
+) Chứng minh: AK
SBD
Ta có:
BD AI
BD SAI BD AK
BD SA SA ABCD
AK BD
AK SBD AK d A,SBD
AK SI
+) Tính AK = ?
Trong tam giác ABD có: AI a AI a
AI12 AB12 AD12 a12 1a2 4a2 2 3 2 3
3 3 4 2
3
Trong tam giác SAI có: AK a
AK12 SA12 AI12 1a2 4a2 19a2 2 3
4 3 12 19
c) d(A, SDM) = ? (M là trung điểm của BC) +) Dựng: AE DM AG d A,SDM
AG SE
+) Chứng minh: HS tự chứng minh +) Tính AG = ?
Xét tam giác DMC:
a a a
DM DC CM a DM
2 2
2 2 2 2 3 7 7
2 4 2
Ta có:
ADM
AD.AB a a
S DM.AE AD.AB AE
DM a
1 1 2 3 2 3
2 2 7 7
2
Trong tam giác SAE có:
a a
AG AG
AG SA AE a a a a a a
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 7 10 5 6 6
4 2 3 4 12 12 6 5 5
7
VD2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A, B và AB = 2a, BC = 2a, AD = 4a. Gọi H là trung điểm của AC, SH đáy, SA = 2a
a) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SAB) Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm của AD
+) Xét tứ giác AMCB có:
o
AM BC
AM BC
A
AB BC a
90 2
Tứ giác AMCB
là hình vuông CM = 2a.
+) Xét tam giác ACD: CM1AD ACD
2 vuông tại C
AC CD
a) d(H, SCD) = ?
+) Dựng: Từ H dựng HKSC K
SC
HKd H,SCD
+) Chứng minh: HS tự làm +) Tính:
4
ACABC :AC AB BC a a a AC a HC a
SAH :SH SA AH a a a SH a
SHC : HK a
HK SH HC a a a
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 8 2 2 2
2
4 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
b) d(H, SAB) = ?
+) Dựng:
HE AB E AB
HI d H,SAB HI SE I SE
+) Chứng minh: HS tự làm +) Tính:
HE là đường trung bình của tam giác ABC a
HE BC a
1 2
2 2
Trong tam giác SHE: HI a
HI12 SH12 HE12 1a2 a12 3a2 2
2 2 3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp có SA(ABCD). Đáy là hình chữ nhật với , √ . Góc giữa SC và đáy bằng .
1. Khoảng cách từ điểm A đến
A. a 2 B.2
5
a C. 2
5
a D.5a
2. Khoảng cách từ điểm đến A.
19
a B.2 2
19
a C. 2 3
19
a D.a 3 3. Khoảng cách từ điểm đến với là trung điểm BC
A. 2 10
a B. 3 5
a C. 2 3
10
a D.
10 a
Bài 2: Cho hình chóp có hai mặt phẳng cùng vuông góc với đáy. Đáy là tam giác ABC có góc ̂ , . Góc giữa và đáy bằng . Sau khi rút gọn tối giản, mẫu số của khoảng cách từ A đến nhận giá trị nào dưới đây
A. 27 B. 28 C. 29 D. 30
Bài 3: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại B với √ , √ . 1. Gọi khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng là X. Giá trị của biểu thức
2 2
4X a là:
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng có giá trị bằng A. 6
11
a B. 11
6
a C.
6
a D. a 11
5
Bài 4: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên bằng . Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của mặt đáy.
1. Thể tích của khối chóp này là:
A. a3 23 B. 3a3 23 C.
3 23
3
a D.
3 3
23 a
2. Tính khoảng cách từ O đến : A. 42
23
a B. 43
26
a C. 46
12
a D. 23
46 a
3. Gọi lần lượt là trung điểm . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng . Khoảng cách này có giá trị của mẫu số sau khi tối giản là:
A. 90 B. 91 C. 92 D. 93
Bài 5: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại với , . Gọi là trung điểm của . Biết SH (ABCD). Góc giữa và đáy bằng .
1. Độ dài khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là :
A. a B. 2a C. a 2 D. 2
2 a 2. Khoảng cách từ đến mặt phẳng nhận giá trị là :
A. 2 3
a B. 2a 3 C. 3
4
a D. a 3
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM Bài 1:
Hướng dẫn giải
1. Ta có
SC ABCD;
SC AC;
SCA450.Ta có
BC AB
BC SAB BC SA SA ABCD
Trong (SAB) kẻ AH SB H
SB
ta có:
;
BC AH BC SAB
AH SBC d A SBC AH AH SB
Tam giác SAC vuông cân tại A nên SAAC AB2AC2 2a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB có :
2 2 2 2
. 2 . 2
4 5
SA AB a a a
AH
SA AB a a
;
25 d A SBC a
.
Chọn B.
2. Trong (ABCD) kẻ AEBD, trong (SAE) kẻ AFSE ta có:
6
;
BD AE
BD SAE BD AF BD SA SA ABCD
AF BD cmt
AF SBD d A SBD AF AF SE
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD ta có:
2 2 2 2
. . 3 3
3 2
AB AD a a a
AE
AB AD a a
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAE ta có:
2 2 2
2
2 . 3
. 2 2 57
3 19
4 4
a a
SA AE a
AF
SA AE a
a
.
Vậy
;
2 319 d A SBD a . Chọn C.
3. Kẻ AGDM AK; SG, chứn minh tương tự ý b) ta chứng minh được AK
SDM
.Ta có:
1 2 3 1
. . 3 .
2 2 2
ADM
S a a a AG DM
2 2 2
2 3 2 21
3 7 4
SADM a a
AG DM a
a
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAE có:
2 2 2
2
2 21
. 2 . 7 30 2 3
5 10
4 12 7 a a
SA AG a a
AK
SA AG a
a
Chọn C.
Câu 2:
Hướng dẫn giải:
SAB ABC
SAC ABC SA ABC
SAB SAC SA
.
SC ABC;
SC AC;
SCA600.Trong (ABC) kẻ AEBC E
BC
, trong (SAE) kẻ AH SE H
SE
ta có:
;
BC AE
BC SAE BC AH BC SA
AH BC
AH SBC d A SBC AH AH SE
Ta có
1 1 3 2 3
. .sin . .2 .
2 2 2 2
ABC
S AB AC BAC a a a và
7
2 2 2 2 1
2 . .cos 4 2 .2 . 7
BC AB BC AB BC BAC a a a a 2 a
Mà 1 . 2 3
2 7
ABC ABC
S a
S AE BC AE
BC .
Ta có:
SC ABC;
SC AC;
SCA600. Nên SA AC.tan 600 2a 3.Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAE có:
2 2 2
2
2 3. 3
. 7 2 87
3 29
2 3
7 a a
SA AE a
AH
SA AE a
a
Chọn C.
Bài 3:
Hướng dẫn giải:
1. Kẻ BH AC ta có
' '
;
' '
' BH AC
BC ACC A d B ACC A BH BH AA
.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:
2 2 2 2
. . 3 3
3 2
AB BC a a a
BH
AB BC a a
Vậy
;
' '
32
d B ACC A a X.
2 2
2 2
4 3
X a 3
a a
. Chọn B.
2. Trong (BB’H) kẻ BKB H' ta có:
' '
' ; '
' AC BH
AC BB H AC BK AC BB
BK AC
BK AB C d B AB C BK BK B H
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AA’B có : AA' 3a2a2 a 2BB'. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BB’K có :
2 2 2
2
2. 3
'. 2 6
' 3 11
2 4
a a
BB BH a
BK
BB BH a
a
.
Chọn A.
Bài 4:
Hướng dẫn giải:
8
1. Ta có SO
ABC
.Gọi M là trung điểm của BC ta có: 2 3 3 2 2 3
2 3 3
a a
AM a AO AM . Xét tam giác vuông SAO:
2
2 2 2 4 69
9 3 3
a a SO SA AO a .
2 2 3 24 3
ABC
S a a .
Vậy
3 2
.
1 69 23
. . 3
3 3 3
S ABC
a a
V a .
Chọn C.
2. Gọi N là trung điểm của AB ta có AB ON AB
SON
AB SO
.
Trong (SON) kẻ OH SN H
SN
ta có : OH SN OH
SAB
d O SAB
;
OHOH AB
Ta có : 2 3 3 1 3
2 3 3
a a
CN a ON CN . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SON có: . Chọn C.
3. Gọi HOBMNOHMN
Trong (SOH) kẻ OKSH ta có OK
SMN
d O SMN
;
OK.Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBN có :
2 2
3
3 3
2 3 6 3 a
ON a
OH OB a
.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOH có :
9
2 2 2 2
69 3
. 3 . 6 23 713
3 31 93
69 3
3 6
a a
SO OH a a
OK
SO OH a a
Chọn D.
Bài 5:
Hướng dẫn giải:
1. Gọi E là trung điểm của AD, dễ thấy ABCE là hình vuông 2
CE AB a
.
Xét tam giác ACD có 1
CE 2AD ACD vuông tại C (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).
AC CD
hay HCCD. Trong (SAC) kẻ HKSC ta có:
;
CD AC
CD SHC CD HK CD SH
HK SC
HK SCD d H SCD HK HK CD
.
Ta có :
SC ABCD;
SC HC;
SCH450 SHCvuông cân tại H.
2 2
2 2 2 2
AC AB BC a HCa SH a . 2. 2 2 1
SC a a HK 2SC a
.
Vậy d H
;
SCD
a.Chọn A.
2. Gọi M là trung điểm của AB, trong mặt phẳng (SHM) kẻ HNSM . Ta có:
;
AB HM
AB SHM AB HN AB SH
HN SM
HN SAB d H SAB HN HN AB
.
Ta có: 1
HM 2BCa.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHM có:
2 2 2 2
. 2. 2
2 3
SH HM a a a
HN
SH HM a a
.
Vậy
;
23 d H SAB a . Chọn A.