• Không có kết quả nào được tìm thấy

Bài giảng về chủ đề Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Chia sẻ "Bài giảng về chủ đề Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng"

Copied!
9
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Văn bản

(1)

1

A. LÍ THUYẾT.

CẤP ĐỘ 2: Khoảng cách từ “chân vuông góc” đến “mặt phẳng”

Bài toán trải qua 3 giai đoạn +) Dựng hình

+) Chứng minh +) Tính

Cách dựng d(A,SBC)

TH1: Cho hình chóp SABC, SA đáy. Tam giác ABC vuông tại B.

+) Từ A kẻ AHSB H

SB

AHd A,SBC

 

+) Chứng minh

TH2: Cho hình chóp SABC, SA đáy. Tam giác ABC vuông tại C.

+) Từ A kẻ AHSC H

SC

AHd A,SBC

 

+) Chứng minh

TH3: Cho hình chóp SABC, SA đáy. Tam giác ABC không vuông tại B, C.

+) Từ A dựng

 

   

AM BC M BC

AH d A,SBC

AH SM H SM

 

  

  



+) Chứng minh

BÀI GIẢNG: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG (CẤP ĐỘ 2)

CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

MÔN TOÁN LỚP 11

(2)

2

B. BÀI TẬP VÍ DỤ

VD1: Cho hình chóp SABCD, SA

ABCD .

Đáy là hình chữ nhật với AB = a, BCa 3. Góc giữa đường thẳng SC và đáy bằng 45oC

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)

c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDM) (M là trung điểm của BC) Hướng dẫn giải

Góc giữa đường thẳng SC và đáy chính là góc giữa đường thẳng SC và đường thẳng AC  SCA45oC

a) d(A, SBC) = ?

+) Dựng: AHSB H

SB

AHd A,SBC

 

+) Chứng minh: AH

SBC

Ta có:

     

   

BC AB

BC SAB BC AH

BC SA SA ABCD

AH BC

AH SBC AH d A,SBC

AH SB

     

  



 

   

 

+) Tính AH = ?

 

ABC :AC AB BC a a a AC a

2222 3 24 2 2

Xét tam giác SAC vuông cân tại A (vì có góc SCA45o)  SA = AC = 2a Trong tam giác vuông SAB có:

AH12 SA12 AB12

 

a a a

AH AH d A,SBC

AH a a a

 12  12  12  522 4 2   2   2

4 4 5 5 5

b) d(A, SBD) = ?

+) Dựng:

 

   

AI BD I BD

AK d A,SBD AK SI K SI

 

  

  



+) Chứng minh: AK

SBD

Ta có:

     

   

BD AI

BD SAI BD AK

BD SA SA ABCD

AK BD

AK SBD AK d A,SBD

AK SI

     

  



 

   

 

+) Tính AK = ?

Trong tam giác ABD có: AI a AI a

AI12  AB12  AD12  a12  1a2  4a22 3 2   3

3 3 4 2

(3)

3

Trong tam giác SAI có: AK a

AK12 SA12  AI12  1a2  4a2  19a2  2 3

4 3 12 19

c) d(A, SDM) = ? (M là trung điểm của BC) +) Dựng: AE DM AG d A,SDM

 

AG SE

   

 

+) Chứng minh: HS tự chứng minh +) Tính AG = ?

Xét tam giác DMC:

a a a

DM DC CM a   DM

       

 

2 2

2 2 2 2 3 7 7

2 4 2

Ta có:

ADM

AD.AB a a

S DM.AE AD.AB AE

DM a

1 1    2 3 2 3

2 2 7 7

2

Trong tam giác SAE có:

a a

AG AG

AG SA AE a a a a a a

           

 

 

 

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 7 10 5 6 6

4 2 3 4 12 12 6 5 5

7

VD2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A, B và AB = 2a, BC = 2a, AD = 4a. Gọi H là trung điểm của AC, SH đáy, SA = 2a

a) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SAB) Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của AD

+) Xét tứ giác AMCB có:

o

AM BC

AM BC

A

AB BC a

 

 

 

  

90 2

Tứ giác AMCB

là hình vuông  CM = 2a.

+) Xét tam giác ACD: CM1AD ACD

2 vuông tại C

AC CD

  a) d(H, SCD) = ?

+) Dựng: Từ H dựng HKSC K

SC

HKd H,SCD

 

+) Chứng minh: HS tự làm +) Tính:

(4)

4

   

AC

ABC :AC AB BC a a a AC a HC a

SAH :SH SA AH a a a SH a

SHC : HK a

HK SH HC a a a

          

       

       

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 8 2 2 2

2

4 2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2

b) d(H, SAB) = ?

+) Dựng:

 

   

HE AB E AB

HI d H,SAB HI SE I SE

 

  

  



+) Chứng minh: HS tự làm +) Tính:

HE là đường trung bình của tam giác ABC a

HE BC a

 1 2 

2 2

Trong tam giác SHE: HI a

HI12 SH12 HE12  1a2 a12  3a2   2

2 2 3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp có SA(ABCD). Đáy là hình chữ nhật với , √ . Góc giữa SC và đáy bằng .

1. Khoảng cách từ điểm A đến

A. a 2 B.2

5

a C. 2

5

a D.5a

2. Khoảng cách từ điểm đến A.

19

a B.2 2

19

a C. 2 3

19

a D.a 3 3. Khoảng cách từ điểm đến với là trung điểm BC

A. 2 10

a B. 3 5

a C. 2 3

10

a D.

10 a

Bài 2: Cho hình chóp có hai mặt phẳng cùng vuông góc với đáy. Đáy là tam giác ABC có góc ̂ , . Góc giữa và đáy bằng . Sau khi rút gọn tối giản, mẫu số của khoảng cách từ A đến nhận giá trị nào dưới đây

A. 27 B. 28 C. 29 D. 30

Bài 3: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại B với √ , √ . 1. Gọi khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng là X. Giá trị của biểu thức

2 2

4X a là:

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

2. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng có giá trị bằng A. 6

11

a B. 11

6

a C.

6

a D. a 11

(5)

5

Bài 4: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên bằng . Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của mặt đáy.

1. Thể tích của khối chóp này là:

A. a3 23 B. 3a3 23 C.

3 23

3

a D.

3 3

23 a

2. Tính khoảng cách từ O đến : A. 42

23

a B. 43

26

a C. 46

12

a D. 23

46 a

3. Gọi lần lượt là trung điểm . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng . Khoảng cách này có giá trị của mẫu số sau khi tối giản là:

A. 90 B. 91 C. 92 D. 93

Bài 5: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại với , . Gọi là trung điểm của . Biết SH (ABCD). Góc giữa và đáy bằng .

1. Độ dài khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là :

A. a B. 2a C. a 2 D. 2

2 a 2. Khoảng cách từ đến mặt phẳng nhận giá trị là :

A. 2 3

a B. 2a 3 C. 3

4

a D. a 3

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM Bài 1:

Hướng dẫn giải

1. Ta có

SC ABCD;

  

SC AC;

SCA450.

Ta có

 

   

BC AB

BC SAB BC SA SA ABCD

   

  



Trong (SAB) kẻ AHSB H

SB

ta có:

 

    

;

  

BC AH BC SAB

AH SBC d A SBC AH AH SB

  

    

 



Tam giác SAC vuông cân tại A nên SAACAB2AC2 2a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB có :

2 2 2 2

. 2 . 2

4 5

SA AB a a a

AH

SA AB a a

  

 

 

;

2

5 d A SBC a

  .

Chọn B.

2. Trong (ABCD) kẻ AEBD, trong (SAE) kẻ AFSE ta có:

(6)

6

 

   

    

;

  

BD AE

BD SAE BD AF BD SA SA ABCD

AF BD cmt

AF SBD d A SBD AF AF SE

     

  



     

 



Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD ta có:

2 2 2 2

. . 3 3

3 2

AB AD a a a

AE

AB AD a a

  

 

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAE ta có:

2 2 2

2

2 . 3

. 2 2 57

3 19

4 4

a a

SA AE a

AF

SA AE a

a

  

 

.

Vậy

;

  

2 3

19 d A SBDa . Chọn C.

3. Kẻ AGDM AK; SG, chứn minh tương tự ý b) ta chứng minh được AK

SDM

.

Ta có:

1 2 3 1

. . 3 .

2 2 2

ADM

Sa aaAG DM

2 2 2

2 3 2 21

3 7 4

SADM a a

AG DM a

a

   

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAE có:

2 2 2

2

2 21

. 2 . 7 30 2 3

5 10

4 12 7 a a

SA AG a a

AK

SA AG a

a

   

 

Chọn C.

Câu 2:

Hướng dẫn giải:

   

   

   

 

SAB ABC

SAC ABC SA ABC

SAB SAC SA



  

  

.

 

SC ABC;

SC AC;

SCA600.

Trong (ABC) kẻ AEBC E

BC

, trong (SAE) kẻ AH SE H

SE

ta có:

 

  

;

  

BC AE

BC SAE BC AH BC SA

AH BC

AH SBC d A SBC AH AH SE

 

   

 

 

   

 

 Ta có

1 1 3 2 3

. .sin . .2 .

2 2 2 2

ABC

SAB AC BACa aa

(7)

7

2 2 2 2 1

2 . .cos 4 2 .2 . 7

BCABBCAB BC BACaaa a 2 a

1 . 2 3

2 7

ABC ABC

S a

S AE BC AE

   BC  .

Ta có:

SC ABC;

  

SC AC;

SCA600. Nên SA AC.tan 600 2a 3.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAE có:

 

2 2 2

2

2 3. 3

. 7 2 87

3 29

2 3

7 a a

SA AE a

AH

SA AE a

a

  

  

  

  Chọn C.

Bài 3:

Hướng dẫn giải:

1. Kẻ BHAC ta có

' '

 

;

' '

 

' BH AC

BC ACC A d B ACC A BH BH AA

 

   

 

 .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

2 2 2 2

. . 3 3

3 2

AB BC a a a

BH

AB BC a a

  

 

Vậy

;

' '

 

3

2

d B ACC AaX.

2 2

2 2

4 3

X a 3

a a

   . Chọn B.

2. Trong (BB’H) kẻ BKB H' ta có:

 

     

' '

' ; '

' AC BH

AC BB H AC BK AC BB

BK AC

BK AB C d B AB C BK BK B H

 

   

 

     

 

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AA’B có : AA' 3a2a2a 2BB'. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BB’K có :

2 2 2

2

2. 3

'. 2 6

' 3 11

2 4

a a

BB BH a

BK

BB BH a

a

  

 

.

Chọn A.

Bài 4:

Hướng dẫn giải:

(8)

8

1. Ta có SO

ABC

.

Gọi M là trung điểm của BC ta có: 2 3 3 2 2 3

2 3 3

a a

AM  aAOAM  . Xét tam giác vuông SAO:

2

2 2 2 4 69

9 3 3

a a SOSAAOa   .

 

2 2 3 2

4 3

ABC

Saa .

Vậy

3 2

.

1 69 23

. . 3

3 3 3

S ABC

a a

Va  .

Chọn C.

2. Gọi N là trung điểm của AB ta có AB ON AB

SON

AB SO

   

 

 .

Trong (SON) kẻ OH SN H

SN

ta có : OH SN OH

SAB

d O SAB

;

  

OH

OH AB

 

   

 

Ta có : 2 3 3 1 3

2 3 3

a a

CN  aONCN  . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SON có: . Chọn C.

3. Gọi HOBMNOHMN

Trong (SOH) kẻ OKSH ta có OK

SMN

d O SMN

;

  

OK.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBN có :

2 2

3

3 3

2 3 6 3 a

ON a

OH OB a

 

 

 

   .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOH có :

(9)

9

2 2 2 2

69 3

. 3 . 6 23 713

3 31 93

69 3

3 6

a a

SO OH a a

OK

SO OH a a

   

    

   

   

Chọn D.

Bài 5:

Hướng dẫn giải:

1. Gọi E là trung điểm của AD, dễ thấy ABCE là hình vuông 2

CE AB a

   .

Xét tam giác ACD có 1

CE 2AD ACD vuông tại C (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).

AC CD

  hay HCCD. Trong (SAC) kẻ HKSC ta có:

 

  

;

  

CD AC

CD SHC CD HK CD SH

HK SC

HK SCD d H SCD HK HK CD

 

   

 

 

   

 

.

Ta có :

SC ABCD;

  

SC HC;

SCH450   SHC

vuông cân tại H.

2 2

2 2 2 2

ACABBCaHCaSHa . 2. 2 2 1

SC a a HK 2SC a

      .

Vậy d H

;

SCD

 

a.

Chọn A.

2. Gọi M là trung điểm của AB, trong mặt phẳng (SHM) kẻ HNSM . Ta có:

 

  

;

  

AB HM

AB SHM AB HN AB SH

HN SM

HN SAB d H SAB HN HN AB

 

   

 

 

   

 

.

Ta có: 1

HM  2BCa.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHM có:

2 2 2 2

. 2. 2

2 3

SH HM a a a

HN

SH HM a a

  

  .

Vậy

;

  

2

3 d H SABa . Chọn A.

Tài liệu tham khảo

Tài liệu liên quan

Mặt bên chứa BC của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45... Hướng

A trên mặt đáy là trung điểm của BC.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4a. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi O là giao điểm của hai

Cho hình chóp S ABC. a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC. b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC.. Cho hình chóp S ABC. Tính khoảng cách từ điểm

Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ).. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (

HÌnh chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI, góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60.. Tính khoảng cách từ điểm

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AB = b , cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi M là trung điểm của cạnh AC.. Cho hình chóp

[r]

[r]