Giải SBT Toán 9 Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 9

(1)

Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài 35 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2: Tổng của hai số bằng 59. Hai lần của số này bé hơn ba lần của số kia là 7. Tìm hai số đó.

Lời giải:

Gọi x, y là hai số cần tìm.

Vì tổng của hai số bằng 59 nên ta có phương trình: x + y = 59

Vì hai lần của số này bé hơn ba lần của số kia là 7 nên ta có phương trình: 3y – 2x = 7.

Ta có hệ phương trình: x y 59 2x 2y 118

3y 2x 7 3y 2x 7

   

 

     

 

   

2x 2y 118

2x 2y 3y 2x 118 7

 

      

2x 2y 118 2x 2y 118

5y 125 y 25

   

 

    2x 2.25 118

y 25

 

  

2x 68 x 34

y 25 y 25

 

 

   

Vậy hai số cần tìm là 34 và 25.

Bài 36 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2: Bảy năm trước tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4. Năm nay tuổi mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi của con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi?

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số tuổi năm nay của mẹ và con.

Điều kiện: x, y ∈ N*; x > y > 7

Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con nên ta có: x = 3y (1) Tuổi mẹ 7 năm trước là x – 7 (tuổi)

Tuổi con 3 năm trước là y – 7 (tuổi)

(2)

Bảy năm trước tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4 nên ta có:

x – 7 = 5(y – 7) + 4 x – 5y = -24 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

 

x 3y x 3y

x 7 5 y 7 4 x 5y 24

   

        



x 3y x 3y

3y 5y 24 2y 24

 

 

      

x 3y x 36

y 12 y 12

 

 

    (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tuổi hiện nay của mẹ là 36 tuổi, tuổi con là 12 tuổi.

Bài 37 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho.

Lời giải:

Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y.

Điều kiện x ∈ N* và x ≤ 9; y ∈ N* và y ≤ 9.

Số có hai chữ số xy và số đổi chỗ:yx = 10y + x

Đổi chỗ hai chữ số thì được một số lớn hơn số đã cho là 63, ta có:

(10y + x) – (10x + y) = 639y 9x 63   x y 7 (1) Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99, ta có:

(10x + y) + (10y + x) = 9911x 11y 99  x y 9 Ta có hệ phương trình:

   

x y 9

x y 7

x y x y 7 9

x y 9

  

  

 

         

 

x y 9 x y 9

2y 16 y 8

   

 

   

(3)

x 8 9 x 1

y 8 y 8

  

 

    (thỏa mãn điều kiện) Vậy số cần tìm là 18.

Bài 38 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2: Hai anh Quang và Hùng góp vốn cùng kinh doanh.

Anh Quang góp 15 triệu đồng, anh Hùng góp 13 triệu đồng. Sau một thời gian lãi được 7 triệu đồng. Lãi được chia theo tỉ lệ vốn đã góp. Em hãy dùng cách giải hệ phương trình để tính tiền lãi mà mỗi anh được hưởng.

Lời giải:

Gọi x, y (triệu đồng) lần lượt là số tiền lãi mà anh Quang và anh Hùng nhận được. Điều kiện: 0 < x < 7; 0 < y < 7

Vì số tiền lãi mà hai anh nhận được là 7 triệu đồng nên ta có:

x + y = 7

Vì số tiền lãi tỉ lệ với số vốn đã góp nên ta có:

x y

15 13

Ta có hệ phương trình:

x y 7 x y 7

x y 15.y

15 13 x 13

   

 

 

   

 

 

15y y 7 15y 13y 91

13 15y

15 x

x y 13

13

     

 

   

28y 91 y 91

x 3,75 15y 28

15y y 3,25

x 13 x

13

  

   

 

     

Giá trị của x và y thỏa điều kiện bài toán.

Vậy số tiền lãi anh Quang nhận được là 3.750.000 đồng

(4)

Số tiền lãi anh Hùng nhận được là 3.250.000 đồng.

Bài 39 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2: Hôm qua mẹ của Lan đi chợ mua 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 10000 đồng. Hôm nay, mẹ Lan mua 3 quả trứng gà và 7 quả trứng vịt chỉ hết 9600 đồng mà giá trứng thì vẫn như cũ. Hỏi giá một quả trứng mỗi loại là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi giá của một quả trứng gà là x(đồng), giá của một quả trứng vịt là y (đồng). Điều kiện:

x > 0; y > 0

Vì mua 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 10000 đồng nên ta có: 5x + 5y = 10000 (1) Vì mua 3 quả trứng gà và 7 quả trứng vịt hết 9600 đồng nên ta có: 3x + 7y = 9600 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

5x 5y 10000 3x 7y 9600

 

  



x y 2000 3x 7y 9600

  

   

3x 3y 6000 3x 7y 9600

3x 7y 9600 4y 3600

   

 

    

y 900 3.x 7.900 9600

3x 7y 9600 y 900

  

 

    

3x 3300 x 1100

y 900 y 900

 

 

    (thỏa mãn) Vậy giá một quả trứng gà là 1100 đồng Giá một quả trứng vịt là 900 đồng.

Bài 40 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340m. Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường.

Lời giải:

Gọi x, y (m) lần lượt là chiều rộng và chiều dài của sân trường.

Điều kiện: 0 < x < 170; 0 < y < 170.

Vì chu vi của sân trường bằng 340 m nên ta có: 2(x + y) = 340 (1)

Vì ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m nên ta có: 3y – 4x = 20 (2)

(5)

Ta có hệ phương trình: ^{2 x}



^y



³⁴⁰ ^x ^{y 170}

4x 3y 20 3y 4x 20

     

     



4x 4y 680 x y 170

4x 3y 20 7y 700

   

 

    

x y 170 x 70

y 100 y 100

  

 

    (thỏa mãn điều kiện) Giá trị của x và y thỏa điều kiện bài toán.

Vậy chiều rộng của sân trường là 70m Chiều dài của sân trường là 100m.

Bài 41 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2: Làm trần tầng một của nhà văn hóa xã phải dùng 30 cây sắt φ 18 (đọc là sắt “phi 18”, tức là đường kính thiết diện cây sắt bằng 18mm) và 350kg sắt φ 8 hết một khoản tiền. Vì trần tầng hai hẹp hơn nên chỉ cần 20 cây sắt φ 18 và 250kg sắt φ 8 do đó chỉ hết một khoản tiền ít hơn khoản tiền lần trước 1440000 đồng.

Tính giá tiền của một cây sắt φ 18 và giá tiền 1kg sắt φ 8, biết rằng giá tiền một cây sắt φ 18 đắt gấp 22 lần giá tiền 1kg sắt φ 8.

Lời giải:

Gọi x (đồng) là giá tiền của 1kg sắt φ 8, y (đồng) là khoản chi phí làm trần của tầng một.

Điều kiện: x > 0, y > 0

Khi đó giá tiền của 1 cây sắt là φ 18 là 22x (đồng)

Vì tầng một dùng 30 cây sắt φ 18 và 350kg sắt φ 8 hết y đồng nên ta có: 30.22x + 350x = y

Vì tầng hai dùng 20 cây sắt φ 18 và 250kg sắt φ 8 hết ít hơn tầng một 1440000 đồng nên ta có: 20.22x + 250x = y – 1440000

Ta có hệ phương trình: 30.22x 350x y

20.22x 250x y 1440000

 

   

 1010x y

690x y 1440000

 

   

(6)

1010x y

69 x 1010x 1440000

 

     1010x y

320x 1440000

 

  

1010x y x 4500

x 4500 y 4545000

 

 

   

Vậy giá 1kg sắt φ8 là 4500 đồng

Giá 1 cây sắt φ18 là 4500.22 = 99000 đồng.

Bài 42 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2: Trong phòng học có một ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ. Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa một ghế. Hỏi có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh?

Lời giải:

Gọi số ghế trong phòng học là x (ghế), số học sinh của lớp là y (học sinh). Điều kiện x, y

∈N*

Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ, ta có phương trình: 3x + 6 = y Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa một ghế, ta có phương trình: (x – 1)4 = y

 

3x 6 y 3x y 6

x 1 .4 y 4x y 4

      

     



x 10 x 10

4x y 4 4.10 y 4

 

 

      x 10

y 36

 

  

Vậy trong phòng học có 10 ghế và 36 học sinh.

(7)

Bài 43 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ. Thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên 1ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn.

Lời giải:

Gọi x, y (tấn) lần lượt là năng suất của giống lúa mới và giống lúa cũ trên 1ha. Điều kiện:

x > 0, y > 0.

Vì 60ha lúa giống mới và 40ha lúa giống cũ thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc ta có: 60x + 40y = 460

Vì 3ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4ha trồng lúa cũ là 1 tấn nên ta có: 4y – 3x = 1

Ta có hệ phương trình: 60x 40y 460 6x 4y 46

4y 3x 1 6x 8y 2

   

 

     

 

12y 48 y 4

6x 8y 2 6x 8y 2

 

 

     

 

y 4 x 5

6x 8.4 2 y 4

 

 

     (thỏa mãn) Giá trị của x và y thỏa điều kiện bài toán.

Vậy năng suất lúa giống mới là 5 tấn/ha Năng suất lúa giống cũ là 4 tấn/ha.

Bài 44 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2: Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong (vôi, vữa và gạch có công nhân khác vận chuyển). Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây được 3

4 bức tường. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu mới xây xong bức tường?

Lời giải:

Gọi x, y (giờ) lần lượt là thời gian mà người thứ nhất và người thứ hai một mình xây xong bức tường.

(8)

Điều kiện: 1 1 x 7 , y 7

5 5

 

Như vậy, trong 1 giờ người thứ nhất xây được 1

x (bức tường), người thứ hai xây được 1 y (bức tường).

Trong 1 giờ, cả hai người xây được 1: 36 5 = 5

36(bức tường) Ta có phương trình: 1 1 5

x  y 36

Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây được 3

4 bức tường, ta có phương trình: 5 6 3 x  y 4

1 1 5

x y 36

5 6 3

x y 4

  



  



Đặt m = 1

x , n = 1

y, ta có:

5 25

m n 5m 5n

36 36

3 3

5m 6n 5m 6n

4 4

     

 

 

 

     

 

 

   

5 5

m n m n

36 36

25 1

5m 6n 5m 5n n

36 18

     

 

 

      

 

 

1 5 1

m m

18 36 12

1

1 n

n 18 18

    

 

 

   

 



(9)

1 1 x 12 x 12

1 1 y 18

y 18

   

   



(thỏa mãn)

Vậy người thứ nhất làm một mình xong bức tường trong 12 giờ, người thứ hai làm một mình xong bức tường trong 18 giờ.

Bài 45 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2: Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm một mình bao lâu thì xong việc?

Lời giải:

Gọi x, y (ngày) lần lượt là thời gian mà người thứ nhất và người thứ hai làm riêng xong công việc. Điều kiện: x > 4, y > 4.

Như vậy, trong 1 ngày người thứ nhất làm được 1

x (công việc), người thứ hai làm được 1

y (công việc).

Trong 1 ngày, cả hai người làm được 1 : 4 = 1

4(công việc) Ta có phương trình: 1

x+ 1 y= 1

4

Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc, ta có phương trình:

10 x + 1

y = 1

(10)

1 1 1

x y 4

10 1 x y 1

  



  



Đặt m = 1

x ; n = 1

y, ta có:

1 m n 1

m n 4

4 3

10m n 1 9m

4

  

   

 

 

    

 

1

1 1 1

m n n m

12

4 12 4

1

1 1

m m n

6

12 12



       

 

  

  

     

  

  

1 1

x 12 x 12

1 1 y 6

y 6

   

   



(thỏa mãn)

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 12 ngày, người thứ hai làm một mình xong công việc trong 6 ngày.

Bài 46 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2: Hai cần cẩu lớn bốc dỡ một lô hàng ở cảng Sài Gòn.

Sau 3 giờ có thêm năm cần cẩu bé (công suất bé hơn) cùng làm việc. Cả bảy cần cẩu làm việc 3 giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xong việc, biết rằng nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong 4 giờ xong việc.

Lời giải:

Gọi thời gian một cần cẩu lớn làm một mình xong công việc là x (giờ), thời gian một cần cẩu bé làm một mình xong công việc là y (giờ)

Điều kiện: x > 0; y > 0

Trong 1 giờ một cần cẩu lớn làm được 1

x (công việc)

(11)

Trong 1 giờ một cần cẩu bé làm được 1

y (công việc)

Hai cần cẩu lớn làm trong 6 giờ và 5 cần cẩu bé làm trong 3 giờ thì xong công việc nên ta có:

1 1 12 15

6.2. 5.3. 1 1

x  y  x  y 

Nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong 4 giờ xong việc. Do đó trong 1 giờ cả 7 cần cẩu làm được 1: 4 =

1

4 công việc, khi đó ta có phương trình:

2 5 1

x  y 4

12 15 x y 1

2 5 1

x y 4

  



  



Đặt 1 1

a; b

x  y 12a 15b 1

2a 5b 1 4

 



  



12a 15b 1 12a 30b 3

2

 



    15b 1

2 2a 5b 1

4

 

 

  



(12)

15b 1 2 2a 5b 1

4

 

 

  



b 1 30

1 1

2a 5.

30 4

 

   



1 1

a 1

x 24 x 24

24

1 1

1 y 30

b 30 y 30

   

  

 

     

(thỏa mãn)

Vậy một cần cẩu lớn làm một mình trong 24 giờ thì xong công việc, một cần cẩu nhỏ làm một mình trong 30 giờ thì xong công việc.

Bài 47 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2: Bác Toàn đi xe đạp từ thị xã về làng, cô Ba Ngần cũng đi xe đạp, nhưng từ làng lên thị xã. Họ gặp nhau khi bác Toàn đã đi được 1 giờ rưỡi, còn cô Ba Ngần đã đi được 2 giờ. Một lần khác hai người cũng đi từ hai địa điểm như thế nhưng họ khởi hành đồng thời; sau 1 giờ 15 phút họ còn cách nhau 10,5km.

Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng làng cách thị xã 38km.

Lời giải:

Gọi vận tốc của bác Toàn là x (km/h) vận tốc của cô Ba Ngần là y (km/h) Điều kiện: x > 0; y > 0.

Đổi 1h30’ = 1,5h và 1h15’ = 1,25

Theo đề bài bác Toàn đi được 1 giờ 30 phút, cô Ba Ngần đi được 2 giờ thì gặp nhau. Mà hai người đi ngược chiều nhau nên tổng quãng đường hai người đi được là 38km, ta có phương trình: 1,5x + 2y = 38.

Quãng đường bác Toàn đi trong 1 giờ 15 phút hay 5

4 giờ là ⁵^{x km}

 

4 Quãng đường cô Ba Ngần đi trong 1 giờ 15 phút hay5

4 giờ là ⁵^{y km}

 

4

(13)

Sau 1 giờ 15 phút, hai người còn cách nhau 10,5km nên tổng quãng đường hai người đi được là 38 – 10,5 = 27.5 km, ta có phương trình:

5 5

x y 27,5

4  4 

1,5x 2y 38

5 5

x y 27,5

4 4

 



  



3x 4y 76 5x 5y 110

 

   

15x 20y 380 15x 15y 330

 

   

5x 5y 110 5y 50

 

  

5x 5.10 110 x 12

y 10 y 10

  

 

    (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của bác Toàn là 12km/h, vận tốc của cô Ba Ngần đi 10km/h

Bài 48 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2: Ga Sài Gòn cách ga Dầu Giây 65km. Xe khách ở Thành phố Hồ Chí Minh, xe hàng ở Dầu Giây đi ngược chiều nhau và xe khách khởi hành sau xe hàng 36 phút, sau khi xe khách khởi hành 24 phút nó gặp xe hàng. Nếu hai xe khởi hành đồng thời và cùng đi Hà Nội thì sau 13 giờ hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng xe khách đi nhanh hơn xe hàng.

Lời giải:

Gọi vận tốc của xe khách là x (km/h), vận tốc của xe hàng là y(km/h) Điều kiện: x > y > 0

Đổi 24 phút = 2 5 giờ

(14)

Sau khi xe khách đi được 24 phút = 2

5 giờ, xe hàng đi được 36 + 24 = 60 phút = 1 giờ thì xe khách gặp xe hàng mà hai xe đi ngược chiều nhau nên tổng quãng đường hai xe đi được bằng khoảng cách giữa ga Sài Gòn và ga Dầu Giây, ta có phương trình:

2x y 65 5   .

Hai xe khởi hành đồng thời và cùng đi Hà Nội thì sau 13 giờ gặp nhau nên đến khi gặp nhau, xe khách đã đi quãng đường nhiều hơn quãng đường của xe hàng là 65km, do đó ta có phương trình:

13x-13y=65

2x y 65 5

13x 13y 65

  



  



2x 5y 325

x y 5

 

   

2x 5y 325 2x 2y 10

 

   

x y 5

7y 315

  

  

x y 5 x 45 5

y 45 y 45

   

 

    x 50

y 45

 

   (thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc của xe khách là 50km/h, vận tốc của xe hàng là 45km/h.

Bài 49 trang 14 SBT Toán 9 Tập 2: Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm ba người thì thời gian kéo dài sáu ngày. Nếu tăng thêm hai người thì xong sớm hai ngày. Hỏi theo quy định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao

(15)

nhiêu ngày, biết rằng khả năng lao động của mọi thợ đều như nhau?

Lời giải:

Gọi số thợ cần thiết để làm xong việc là x (người), thời gian cần thiết để làm xong việc là y (ngày)

Điều kiện: x ∈ N^*,y > 0

Số ngày công để hoàn thành công việc là xy (ngày)

Nếu giảm 3 người thì thời gian tăng thêm 6 ngày, ta có phương trình:



^{x 3 y 6}^



^{ }



^xy

Nếu tăng 2 người thì thời gian làm giảm 2 ngày, ta có phương trình:



^x^^{2 y 2}



^



^^xy

  

x 3 y 6 xy

x 2 y 2 xy

  

   



xy 6x 3y 18 xy xy 2x 2y 4 xy

   

     

2x y 6 x 8

x y 2 x y 2

  

 

      x 8

y 10

 

   (thỏa mãn điều kiện)

Vậy theo quy định cần có 8 người thợ và làm trong 10 ngày.

Bài 50 trang 15 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hình vuông ABCD cạnh y (cm). Điểm E thuộc

cạnh AB. Điểm G thuộc tia AD sao cho 3

AG AD EB

 2 . Dựng hình chữ nhật GAEF.

Đặt EB = 2x (cm). Tính x và y để diện tích của hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông và ngũ giác ABCFG có chu vi bằng 100 4 13 cm

 

.

Lời giải:

(16)

Theo giải thuyết ta có: EB = 2x (cm) Điều kiện: y > 2x > 0

AE = AB – EB = y – 2x (cm)

AG = AD +DG = y + ³^EB ^y ³^.2x ^{y 3x cm}

 

2   2  

Diện tích hình chữ nhật GAEF bằng diện tích hình vuông ABCD nên ta có phương trình:



^{y 2x y 3x}^



^



^^y²

Mặt khác theo định lí Pitago ta có:

FC = ^EB² ^^DG² ^ ^4x² ^^9x² ^^{x 13 cm}

 

Chu vi ngũ giác ABCFG bằng:

AB + BC + CF + FG + GA = y + y + x 13 + y – 2x + 3x + y

=



¹^ ^{3 x}



^^4y

Chu vi ngũ giác ABCFG bằng 100 + 4 3 (cm) nên ta có phương trình:



¹^ ^{3 x}



^^4y^{= 100 + 4} ³

  

 

y 2x y 3x y2

x 1 13 4y 100 4 13

   

    



(17)

 

2 2 2

y 3xy 2xy 6x y

1 13 x 4y 100 4 13

   

     

 

xy 6x2 0

1 13 x 4y 100 4 13

 

     

 



^{x y 6x}¹ ^{13 x}



⁰4y 100 4 13

  

 

   





^{y 6x}¹ ^{13 x}



⁰ 4y 100 4 13

 

     



^y¹ ^6x^{13 x}



4y 100 4 13

 

     



^y¹ ^6x^{13 x}



4.6x 100 4 13

 

     



^y²⁵^6x 13 x 100 4 13



 

     100 4 13

x 25 13

y 6x

  

  

  x 4

y 4.6 24

 

    (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 4 (cm); y = 24 (cm).

Bài tập bổ sung

Bài 1 trang 15 SBT Toán 9 Tập 2: Tổng số tuổi của tôi và của em tôi năm nay bằng 26.

Khi tổng số tuổi của chúng tôi gấp 5 lần tuổi của tôi hiện nay thì tuổi của tôi khi đó sẽ gấp 3 lần tuổi của em tôi hiện nay. Hãy tính tuổi hiện nay của mỗi người chúng tôi.

(18)

Lời giải:

Gọi số tuổi của tôi hiện nay là x (tuổi), điều kiện x ^*

Tổng số tuổi của tôi và của em tôi năm nay bằng 26 nên tuổi của em tôi hiện nay là 26 – x (tuổi)

Giả sử số năm phải thêm là y (năm) điều kiện y  ^* để tổng số tuổi của chúng tôi bằng 5 lần tuổi chúng tôi hiên nay.

Vì sau y năm, số tuổi của chúng tôi gấp 5 lần số tuổi chúng tôi hiện nay nên ta có phương trình (x + y) + (26 – x + y) = 5x

Tuổi của tôi sau y năm gấp 3 lần tuổi của em tôi hiện nay nên ta có phương trình: x + y = 3(26 – x)

Khi đó ta có hệ phương trình:

   

 

x y 26 x y 5x

x y 3 26 x

    

   



5x 2y 26 4x y 78

 

   

5x 2y 26 8x 2y 156

 

   

13x 182 4x y 78

 

    x 14

4.14 y 78

 

    x 14 y 22

 

   (thỏa mãn)

Vậy tuổi của tôi hiện nay là 14 tuổi, tuổi của em tôi hiện nay là 26 – 14 = 12 tuổi.

Bài 2 trang 15 SBT Toán 9 Tập 2: Có hai bến xe khách P và Q. Một người đi xe đạp từ P đến Q với vận tốc không đổi, nhận thấy cứ 15 phút lại có một xe khách đi cùng chiều vượt qua và cứ 10 phút lại gặp một xe khách đi ngược chiều. Giả thiết rằng các xe

(19)

khách chạy với cùng một vận tốc, không dừng lại trên đường và ở cả hai bến, cứ x phút lại có một xe rời bến. Hỏi thời gian xlà bao nhiêu phút và vận tốc xe khách bằng bao nhiêu lần vận tốc người đi xe đạp?

Lời giải:

Gọi vận tốc người đi xe đạp là y (km/phút), vận tốc xe khách là z (km/phút) Điều kiện: z > y > 0

- Xét trường hợp các xe khách đi cùng chiều với người đi xe đạp.

Giả sử khi xe khách thứ nhất vượt người đi xe đạp tại điểm B thì xe khách thứ hai ở điểm A như hình vẽ.

Hai xe khách khởi hành cách nhau x phút nên quãng đường AB là quãng đường mà xe khách phải đi trong x phút và AB = xz (km).

Gọi điểm mà xe khách thứ hai vượt người đi xe đạp là C thì quãng đường BC là quãng đường người đi xe đạp đi trong 15 phút nên BC = 15y (km). Quãng đường AC là quãng đường xe khách đi trong 15 phút nên AC=15z (km).

Ta có phương trình: xz + 15y = 15z

- Xét trường hợp các xe khách đi ngược chiều với người đi xe đạp

Giải sử người đi xe đạp gặp xe khách thứ nhất đi ngược chiều tại điểm D thì xe khách thứ hai đi ngược chiều đang ở vị trí điểm E như hình vẽ:

Hai xe khách khởi hành cách nhau x phút nên DE = x.z (km). Sau đó 10 phút, người đi xe đạp gặp xe khách thứ hai tại điểm F. Khi đó, quãng đường DF là quãng đường người đi xe đạp trong 10 phút nên DF = 10y (km). Quãng đường EF là quãng đường xe khách đi trong 10 phút nên EF = 10z (km)

(20)

Ta có hệ phương trình: 10y + 10z = xz Ta có hệ phương trình:

xz 15y 15z 10y 10z xz

 

  



xz 15y 15z xz 10y 10z

 

   

x 15.y 15 z x 10.y 10

z

  

 

  



Đặt ^y ^{t t}



⁰



z  

Khi đó hệ phương trình trở thành:

x 15t 15 25t 5

x 10t 10 x 10t 10

  

 

     

 

t 1 5

x 10t 10

 

   

(thỏa mãn)

t 1 5

x 10.1 10 5

 

   



t 1 5 x 12

 

  

x 12 x 12

y 1

5y z

z 5

   

   

Vậy cứ 12 phút lại có một chuyến xe khách rời bến và vận tốc của xe khách gấp 5 lần vận tốc của người đi xe đạp.